22 3 2 1 2 2 2 3 3 4 NS 4 4.1 NS............ 5 5 Scalar turbulence 5 6 FEM 5 6.1 NS.................................... 6 6.2 Mes A )................................... 6 6.3..................................... 7 6.3.1 )....................... 7 6.4 Galerkin....................................... 7 6.4.1..................................... 7 6.4.2 Galerkin................................... 8 6.5 SUPG.......................... 9 6.6 PSPG )........................... 9 6.6.1 GLS..................................... 9 6.6.2 SUPG/PSPG................................ 10 6.7 NS............................... 10 6.8.................................... 11 7 11 7.1..................................... 12 7.2 Galerkin....................................... 12 7.3 SUPG.......................................... 12 7.4......................................... 13 7.5..................................... 13 7.6..................................... 17 7.7.................................... 18 1
8 19 8.1 GPBi-CG....................................... 19 8.1.1..................................... 19 8.2................................ 20 8.2.1..................................... 20 8.2.2 element-by-element............................... 21 A 22 1 freefem libmes libmes Wiki [1] deal.ii, FEniCS, keyfe2, OOFEM, Impact, OpenCFD 2 [2],[3]) Finite element metod :FEM) Finite difference metod :FDM) Finite volume metod :FVM) FDM+FEM Bounday integral metod :BIM) Bounday element metod :BEM) 2
図 1: 流れの数値解法の系統図 問題の定式化 差分法 有限要素法 境界要素法 微分方程式の差分近似 微分方程式の弱形式表 微分方程式の積分方程 表現 現 または汎関数の極 式表現 値問題 離散化 格 子 点 境 界 適 合 格 有限要素 三角形 四 境界要素 線分 三角 子 境界非適合格子 角形 三角柱 六面体 形 四辺形) など) 解法 領域型 領域型 境界型 連立一次方程式の係数 大型 疎 帯行列 大型 疎 帯行列 小型 成分の詰まって 行列 主な特徴 いる行列 離散化が簡単 計算時 任意の形状に対する取 問題の次元を１次元低 間が速い 離散化の精 り扱いが用意 境界条 下できる 外部問題を 度やスキームの安定性 件 ノイマン型境界条 内部問題と同様に扱え が明確である 件 の処理が容易 計 る 境界の微分量も直 算の自動化が達成し易 接の未知量として定式 い 化できる 計算量少な い 適用性 適用性広い 非線形問 適用性広い 非線形問 基本解の存在する問題 題も可 主として流 題も可 主として構 に限定される 非線形 体解析に利用されてい 造解析に利用されてい 問題は困難である る るが流体解析も活発に 線形の３次元問題 特 なってきた 異応力問題 移動境界 問題 3 偏微分方程式の型と解の特徴 双曲型方程式と放物線方程式の解の特徴は正反対であり ふさわしい空間と時間の離散化手法も 異なる 双曲型では解に方向性があることから 空間の離散化には方向性のある重み関数 風上側 3
) SUPG) ) NS Galerkin Laplace FEM Galerkin Galerkin SUPG ) 4 NS NS u i + u u i j = p + 1 Re ui + u ) j 1) u i = 0 2) 1. u )u 2. 3. u p 1,2 NS 3 NS u 2) p NS u Fourier u = ūt) sinkx) u u = ū2 t)k coskx) sinkx) = 1 2ū2 t)k sin2kx) 3) k 2k NS 4
)+ ) 4.1 NS 1. 2. 3. 4. NS 1-2 MAC FEM 5 Scalar turbulence φ + u φ i = 1 2 φ 4) ReSc Scν/κ) Scmidt κ φ 6 FEM 5
6.1 NS Γ NS 1) 2) u i + u u i j p + 1 ui + u )) j = 0 Re 5) u i = 0 6) [Diriclet ] Γ Γ g u i = g i 7) [Neumann ] Γ pδ ij + 1 ui + u )) j n j = i 8) Re n j g i, i 6.2 Mes A ) node) 1, 2,, N element) 1, 2,, M - 1 1-4-5-2 1-5-2 - M 5-N-6 6
6.3 5) r 1 x, y) = u i + u u i j pδ ij + 1 ui + u )) j Re 9) r 1 u, v, p r 1 r 1 w 6) wx, y)r 1 x, y)d = 0 10) r 2 x, y) = u i 11) q qr 2 x, y)d = 0 12) 6.3.1 ) Gauss-Green 10) 12) ui w i + u u i j ) w i d + pδ ij + 1 ui Re = Γ w i + u j pδ ij + 1 Re )) d + ui + u j q u i d )) n j dγ 13) w u u 6.4 Galerkin Galerkin 6.4.1 e u u u 1 x, y) = x i, y i ) i N i x, y) = 14) 0 x, y) = x j, y j )i j) 7
i x, y N i N α x, y) e α α = 1, 2, 3) N α x, y) = a α + b α x + c α y) 15) a α = 1 2 x βy γ x γ y β ) b α = 1 2 y β y γ ) c α = 1 2 y γ y β ) 16) N α N u N i u x, y) = N c j N j x, y) 17) c j 14) u x j, y j ) = u j u x, y) = j=1 N u j N j x, y) 18) j=1 u j ux i, y j ) 6.4.2 Galerkin u i ū i p N u i = N α u i,α ū i = N α ū i,α p i = N α p i,α 19) α w i q Galerkin wi = N α w i,α q = N α q α 20) 13) wi u i + u ) u i wi j d + p δ ij + 1 u i + u j Re = p δ ij + 1 Re Γ w i )) d + u i + u j q u i d )) n j dγ 21) 8
6.5 SUPG 1. Galerkin 2. Galerkin 3. SUPGStreamline Upwind/Petrov-Galerkin) ) SUPG w i w i = w i + τ s u j w i 22) τ m wi u i + u u i j n el + e τ s u wi j ) wi d + ) [ u i + u u i j τ s p δ ij + 1 u i + u j Re p δ ij + 1 Re = p δ ij + 1 Re Γ w i )) u i d + q u i d ))] + u j )) u i + u j d n j dγ 23) 6.6 PSPG ) 6.6.1 GLS GLS Galerkin/Least-square metod) NS wi u i + u u i j n el + e τ s [ u i ) d + [ w i + u j n el + e τ s + u j u i w i u j w i p δ ij + 1 Re wi u i + u j q δ ij + 1 Re wi p δ ij + 1 u i + u j Re ) d = p δ ij + 1 Re Γ w i )) d + q u i d ))] + w j ))] d u i + u j )) n j dγ 24) 9
1,2,3 Gelerkin 4 NS GLS GLS GLS NS [ ] GLS SUPG PSPG Pressure stabilizing/petrov Galerkin) 6.6.2 SUPG/PSPG 24) [ ] GLS SUPG/PSPG NS NS wi u i + u u i j n el + e q u n el i d + τ s u wi j e ) wi d + p δ ij + 1 Re ) [ u i + u u i j + p = Γ w i u i + u j 1 Re p δ ij + 1 Re q τ ) [ u i s + u u i j + p 1 Re )) u i d + u j u i + u j ))] )) d n j dγ 25) ))] u i + u j d = 0 26) 6.7 NS NS SUPG/PSPG) wi u i + u ) ū i wi j d n el + e pd + τ s ū wi k k 1 wi Re u i + u j ) u i + u ū i j + p ) d ) d = Γ w i i dγ 27) 8) q u n el i d + e p δ ij + 1 Re τ p q ) u i + u ) ū i j + p d = 0 28) )) u i + u j n j = i Γ 29) 10
ū i u i 6.8 τ s = [ ) 2 2 + t 2 ū e i e ) 2 ) ] 2 1/2 4 + Re 2 30) e ū e i i = 1, 2) e ū e i e α = 1, 2, 3 ū 1, ū 2, ū 3 ) v 1, v 2, v 3 ) ū e = 1 3 ū 1 + ū 2 + ū 3 ) v e = 1 3 v 1 + v 2 + v 3 ) 31) ū e i = n d ū e i )2 = ū e ) 2 + v e ) 2 32) n d n d = 2 nen i=1 ) ) ) 1 e = 2 ūe i Nα ū e α=1 i [ 1 = 2 ū e i ū e N 1 + N ve 1 + ū e N 2 + N ve 2 + ū e N 3 + N )] ve 3 1 [ ] 1 1 = 2 ū e i ūe b 1 + v e c 2 + ū e b 2 + v e c 2 + ū e b 3 + v e c 3 ) 33) n en n en = 3 7 φ + u φ i = 1 2 φ ReSc 2 i 34) [Diriclet ] Γ Γ g u i = g i 35) [Neumann ] Γ 1 φ n i = q ReSc Γ q 36) n j 11
7.1 s φ s + ū φ i 1 2 ) φ ReSc 2 d = 0 37) i NS ū i φ s + ū i φ ) d + 1 s φ d = ReSc Γ q s 1 φ n i dγ 38) ReSc 7.2 Galerkin Galerkin φ = N α φ α s = N α s α 39) s φ d + s ū φ 1 s φ i d + d = s q dγ 40) ReSc Γ q 7.3 SUPG τ e s = s s + τ e ū i 41) s φ d + s ū φ i d + n el + τ e ū i 1 s φ d ReSc φ s 1 2 + u i φ 1 ReSc 2 ) φ 2 d = s q dγ 42) i Γ q s φ d + s u φ i d + 1 ReSc n el + τ e s φ d ū i s φ + u i φ ) d = s q dγ 43) Γ q 12
7.4 L i 1L j 2!i!j!k! 2 Lk 3d = 2 + i + j + k)! 44) i, j, k 7.5 u w u + ū n el + ū w e τ s v w v + ū n el + ū w e τ s ) u + v d ) u + v w ) v + v d ) v + v w w p d+ + ū u w p d+ + ū v 1 2 w Re u + v + p 1 2 w v Re v + v + p u + w v ) d+ ) d = w 1dΓ 45) Γ + w v ) d+ ) d = w 2dΓ 46) Γ 1 w v Re d 1 w u Re d ) u q + v d + + n el n el e e q τ ) u p q τ ) v p + ū u + ū v u + v + p v + v + p ) d ) d = 047) s φ φ φ + u + v n el + τ e ū s ) d + + v s 1 s ReSc ) φ φ + s φ + u φ + v φ ) d ) d = Γ q s q dγ 48) w i = N α w α,i w α,i N α α = 1 3 M: w u d = = e 12 N α N β d u β = 2 1 1 1 2 1 u β 1 1 2 N 1 N 2 N 3 = M u β N 1N 2 N 3 d t u 1 t u 2 t u 3 49) 13
A: wū u d + w v u [ ] d = N γ N α N β ū β + N N γ αn β v β du γ N 1 ū 1 v 1 u 1 = N 2 N 1N 2 N 3 d ū 2 b 1b 2 b 3 + v 2 c 1c 2 c 3 u 2 N 3 ū 3 v 3 u 3 2 1 1 ū 1 v 1 = e 1 2 1 ū 12 2 b 1b 2 b 3 + v 2 c 1c 2 c 3 u γ = Au γ 50) 1 1 2 ū 3 v 3 G: w pd = w pd = Nα N βp β d = Nα N βp β d = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 N 1N 2 N 3 dp β = e 3 N 1N 2 N 3 dp β = e 3 b 1 b 1 b 1 b 2 b 2 b 2 p β = G 1 p β b 3 b 3 b 3 c 1 c 1 c 1 c 2 c 2 c 2 p β = G51) 2 p β c 3 c 3 c 3 D ij : [ 1 Re = 1 2 Re 2 w b 1 b 2 b 3 u + w b 1b 2 b 3 d + )] u 1 d = Re c 1 c 2 c 3 2 N α N β + N α c 1c 2 c 3 du β ) N β du β = b 1 b 1 b 1 b 2 b 1 b 3 c 1 c 1 c 1 c 2 c 1 c 3 2 b Re 2 b 1 b 2 b 2 b 2 b 3 + c 2 c 1 c 2 c 2 c 2 c 3 u β = D 11 u β 52) b 3 b 1 b 3 b 2 b 3 b 3 c 3 c 1 c 3 c 2 c 3 c 3 1 w v Re d = 1 Nα Re ) N β dv β = 1 Re c 1 c 2 c 3 b 1b 2 b 3 dv β = c 1 b 1 c 1 b 2 c 1 b 3 c Re 2 b 1 c 2 b 2 c 2 b 3 v β = D 12 v β 53) c 3 b 1 c 3 b 2 c 3 b 3 14
1 w u Re d = [ 1 Nα Re )] N β du β = 1 Re b 1 b 2 b 3 c 1c 2 c 3 du β = b 1 c 1 b 1 c 2 b 1 c 3 b Re 2 c 1 b 2 c 2 b 2 c 3 u β = D 21 u β 54) b 3 c 1 b 3 c 2 b 3 c 3 [ 1 w v Re + 2 w = 1 b 1 b Re 2 b 1b 2 b 3 d + b 3 )] v d = c 1 c 2 c 3 1 Nα Re c 1c 2 c 3 N β + 2 N α dv β ) N β dv β = b 1 b 1 b 1 b 2 b 1 b 3 c 1 c 1 c 1 c 2 c 1 c 3 b Re 2 b 1 b 2 b 2 b 2 b 3 + 2 c 2 c 1 c 2 c 2 c 2 c 3 v β = D 22 v β 55) b 3 b 1 b 3 b 2 b 3 b 3 c 3 c 1 c 3 c 2 c 3 c 3 C s : q u d = N β N α du β = q v d = N β N α dv β = M s : SUPG) N 1 N 2 N 3 N 1 N 2 N 3 b 1b 2 b 3 du β = e 3 c 1c 2 c 3 dv β = e 3 b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 b 3 u β = C s1 u β 56) b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 c 1 c 2 c 3 v β = C s2 v β 57) c 1 c 2 c 3 e τ s = τ s e 12 ū w b 1 b 2 b 3 w + v ) u = ū 1ū 2 ū 3 + Nα τ s N βū β N γ + N α N β v β N γ 2 1 1 v 1 v 2 v 3 1 2 1 u γ 1 1 2 c 1 c 2 c 3 ) d u γ = M s u γ 58) A s : SUPG) 15
τ s ū w ) w + v ū u ) u + v 59) e [ Nα = τ s N N δ βū β N γ ū γ + N ) α N N δ β v β N γ ū γ Nα + N N δ βū β N γ ū γ + N )] α N N δ β v β N γ ū γ du δ b e 1 ū 1 b 1 ū 2 b 1 ū 3 c 1 v 1 c 1 v 2 c 1 v 3 2 1 1 = τ s b 12 2 ū 1 b 2 ū 2 b 2 ū 3 + c 2 v 1 c 2 v 2 c 2 v 3 1 2 1 b 3 ū 1 b 3 ū 2 b 3 ū 3 c 3 v 1 c 3 v 2 c 3 v 3 1 1 2 ū 1 b 1 ū 1 b 2 ū 1 b 3 v 1 c 1 v 1 c 2 v 1 c 3 ū 2 b 1 ū 2 b 2 ū 2 b 3 + v 2 c 1 v 2 c 2 v 2 c 3 u δ = A s u δ 60) G si : SUPG) ū 3 b 1 ū 3 b 2 ū 3 b 3 v 3 c 1 v 3 c 2 v 3 c 3 τ s ū w ) w p + v e = Nα τ s N N γ βū β + N ) α N N γ β v β dp γ b e 1 ū 1 b 1 ū 2 b 1 ū 3 c 1 v 1 c 1 v 2 c 1 v 3 b 1 b 1 b 1 = τ s b 3 2 ū 1 b 2 ū 2 b 2 ū 3 + c 2 v 1 c 2 v 2 c 2 v 3 b 2 b 2 b 2 p γ = G s1 p γ 61) b 3 ū 1 b 3 ū 2 b 3 ū 3 c 3 v 1 c 3 v 2 c 3 v 3 b 3 b 3 b 3 τ s ū w ) w p + v e = Nα τ s N N γ βū β + N ) α N N γ β v β dp γ b e 1 ū 1 b 1 ū 2 b 1 ū 3 c 1 v 1 c 1 v 2 c 1 v 3 c 1 c 1 c 1 = τ s b 3 2 ū 1 b 2 ū 2 b 2 ū 3 + c 2 v 1 c 2 v 2 c 2 v 3 c 2 c 2 c 2 p γ = G s2 p γ 62) b 3 ū 1 b 3 ū 2 b 3 ū 3 c 3 v 1 c 3 v 2 c 3 v 3 c 3 c 3 c 3 M pi : PSPG) q u τ p e = N α τ p N βd u β q v τ p e = N α τ p N βd v β A pi : PSPG) = τ p e 3 = τ p e 3 b 1 b 1 b 1 b 2 b 2 b 2 u β b 3 b 3 b 3 c 1 c 1 c 1 c 2 c 2 c 2 v β c 3 c 3 c 3 = M p1 u β = M p2 v β 63) 64) q τ p ū u ) u Nα + v = τ p e N N γ βū β + N ) α N N γ β v β du γ b e 1 b 1 b 1 ū 1 b 1 ū 1 b 2 ū 1 b 3 v 1 c 1 v 1 c 2 v 1 c 3 = τ p b 3 2 b 2 b 2 ū 2 b 1 ū 2 b 2 ū 2 b 3 + v 2 c 1 v 2 c 2 v 2 c 3 u γ = A p1 u γ 65) b 3 b 3 b 3 ū 3 b 1 ū 3 b 2 ū 3 b 3 v 3 c 1 v 3 c 2 v 3 c 3 16
q τ p ū v ) v Nα + v = τ p e N N γ βū β + N ) α N N γ β v β du γ c e 1 c 1 c 1 ū 1 b 1 ū 1 b 2 ū 1 b 3 v 1 c 1 v 1 c 2 v 1 c 3 = τ p c 3 2 c 2 c 2 ū 2 b 1 ū 2 b 2 ū 2 b 3 + v 2 c 1 v 2 c 2 v 2 c 3 u γ = A p2 u γ 66) c 3 c 3 c 3 ū 3 b 1 ū 3 b 2 ū 3 b 3 v 3 c 1 v 3 c 2 v 3 c 3 G p : PSPG) q p τ p e + q ) p Nα N γ = τ p + N ) α N γ dp γ b 1 b 1 b 1 b 2 b 1 b 3 c 1 c 1 c 1 c 2 c 1 c 3 = τ p e b 2 b 1 b 2 b 2 b 2 b 3 + c 2 c 1 c 2 c 2 c 2 c 3 p γ = G p p γ 67) b 3 b 1 b 3 b 2 b 3 b 3 c 3 c 1 c 3 c 2 c 3 c 3 D con : = = [ 1 s φ ReSc + s b 1 b 2 b 1b 2 b 3 d + 1 ReSc ReSc b 3 )] φ d = c 1 c 2 c 3 1 Nα ReSc c 1c 2 c 3 N β + N α dφ β ) N β dφ β b 1 b 1 b 1 b 2 b 1 b 3 c 1 c 1 c 1 c 2 c 1 c 3 b 2 b 1 b 2 b 2 b 2 b 3 + c 2 c 1 c 2 c 2 c 2 c 3 u β = D con φ β 68) b 3 b 1 b 3 b 2 b 3 b 3 c 3 c 1 c 3 c 2 c 3 c 3 7.6 NS M du dt + Au G 1p + D 11 u + D 12 v + M s du dt + A su G s1 p = 0 M dv dt + Av G dv 2p + D 21 u + D 22 v + M s dt + A sv G s2 p = 0 C 1 u + C 2 v + M p1 du dt + M p2 dv dt + A p1u + A p2 v + G p p = 0 69) M dφ dt + Aφ + D conφ + M s dφ dt + A sφ = 0 70) M + M s ) du dt + A + A s)u G G s1 )p + D 11 u + D 12 v = 0 71) M + M s ) dv dt + A + A s)v G G s2 )p + D 21 u + D 22 v = 0 72) C 1 u + M p1 du dt + A p1u + C 2 v + M p2 dv dt + A p2v + G p p = 0 73) 17
M + M s ) dφ dt + A + A s + D con )φ = 0 74) 7.7 du dt = un+1 u n t 75) Crank-Nicolson 73) C i u i M + M s ) un+1 u n + A + A s )u n+ 1 2 + G Gs1 )p n+1 + D 11 u n+ 1 2 + D12 v n+ 1 2 = 0 t M + M s ) vn+1 v n + A + A s )v n+ 1 2 + G Gs1 )p n+1 + D 21 u n+ 1 2 + D22 v n+ 1 2 = 0 t C 1 u n+1 u n+1 u n + M p1 + A p1 u n+ 1 2 + C2 v n+1 v n+1 v n + M p2 + A p2 v n+ 1 2 + Gp p n+1 = 0 t t 76) u n+ 1 2 u n+ 1 2 = 1 2 un+1 + u n ) 77) A, G ū i Adams-Basfort ū = 3 2 un 1 2 un 1 78) α = 1, 2, 3) U,V,P A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 U1 n+1 U2 n+1 U3 n+1 V1 n+1 V2 n+1 V3 n+1 P1 n+1 P2 n+1 P3 n+1 = B 1 B 2 B 3 79) 18
A 11 = 1 t M + M s) + 1 2 A + A s + D 11 ) 80) A 12 = 1 2 D 12 81) A 13 = G 1 G S1 ) 82) A 21 = 1 2 D 21 83) A 22 = 1 t M + M s) + 1 2 A + A s + D 22 ) 84) A 23 = G 2 G S2 ) 85) A 31 = C 1 + 1 t M p1 + 1 2 A p1 86) A 32 = C 2 + 1 t M p2 + 1 2 A p2 87) A 33 = G P 88) B 1 = B 2 = B 3 = 1 t M + M s) 1 ) 2 A + A s + D 11 ) U n 1 2 D 12V n 89) 1 t M + M s) 1 ) 2 A + A s + D 22 ) V n 1 2 D 21U n 90) 1 t M p1 1 ) 1 2 A p1 U n + t M p2 1 ) 2 A p2 V n 91) 8 Ax = b 92) 8.1 GPBi-CG 8.1.1 A D 19
2: a 11 0 D = 0 a nn = 92) a11 0 a11 0...... = D D 93) 0 ann 0 ann 8.2 Element-by-Element A Element-by-element 8.2 1 4 a, b 1 3 8.2.1 a a ā 1 1 a ā 1 2 a ā 1 3 a ā 2 1 a ā 2 2 a ā 2 3 94) a ā 3 1 a ā 3 2 a ā 3 3 b a b 1 1 a b 1 2 a b 1 3 a b 2 1 a b 2 2 a b 2 3 95) a b 3 1 a b 3 2 a b 3 3 20
a ā 1 1 a ā 1 3 a ā 1 2 0 a ā 3 1 a ā 3 3 + ab 1 1 a ā 3 2 + ab 1 2 a ā 1 3 a ā 2 1 a ā 2 3 + ab 2 1 a ā 2 2 + ab 2 2 a b 2 3 96) 0 a b 3 1 a b 3 2 a b 3 3 q = Ap q 1 q 2 q 3 q 4 a ā 1 1 a ā 1 3 a ā 1 2 0 = a ā 3 1 a ā 3 3 + ab 1 1 a ā 3 2 + ab 1 2 a ā 1 3 a ā 2 1 a ā 2 3 + ab 2 1 a ā 2 2 + ab 2 2 a b 2 3 0 a b 3 1 a b 3 2 a b 3 3 p 1 p 2 p 3 p 4 97) N N 8.2.2 element-by-element element-by-element a b q ā 1 q ā 2 q ā 3 q b 1 q b 2 = = a ā 1 1 a ā 1 2 a ā 1 3 a ā 2 1 a ā 2 2 a ā 2 3 a ā 3 1 a ā 3 2 a ā 3 3 a b 1 1 a b 1 2 a b 1 3 a b 2 1 a b 2 2 a b 2 3 p ā 1 p ā 2 p ā 3 p b 1 p b 2 98) 99) q b 3 a b 3 1 a b 3 2 a b 3 3 p b 3 a 2 p ā 2 3 p 3 p ā 1 p ā 2 = p 1 p 3 p b 1 p b 2 = p 2 p 3 100) p ā 3 p 2 p b 3 p 4 q 1 q 3 q 2 q 2 q 3 = = a ā 1 1 a ā 1 2 a ā 1 3 a ā 2 1 a ā 2 2 a ā 2 3 a ā 3 1 a ā 3 2 a ā 3 3 a b 1 1 a b 1 2 a b 1 3 a b 2 1 a b 2 2 a b 2 3 p 1 p 3 p 2 p 2 p 3 101) 102) q 4 a b 3 1 a b 3 2 a b 3 3 p 4 21
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