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論 説 不 完 備 情 報 下 の 期 間 構 造 森 田 洋.はじめに 利 子 率 の 期 間 構 造 の 動 的 プロセスを 明 らかにすることは 様 々な 目 的 で 行 動 する 市 場 参 加 者 に とって 重 要 である.たとえばその 目 的 には 金 融 資 産 や 派 生 商 品 の 評 価,ポートフォリオ 配 分 や ALM 管 理 等 におけるリスク 管 理, 政 府 による 効 率 的 な 国 債 管 理 政 策, 金 融 当 局 による 有 効 な 金 融 政 策 の 実 行 などがある.このため 期 間 構 造 のダイナミクスを 調 べるために 今 まで 豊 富 な 種 類 のモデルが 多 くの 研 究 者 によって 提 示 されており,その 文 献 は 膨 大 なものとなっている. 最 近 の 期 間 構 造 の 研 究 における 興 味 深 い 報 告 の 一 つとして, 金 利 の 非 定 常 性 に 関 する 議 論 が ある. 例 えばKoeda(0では 長 短 金 利 がいわゆる 単 位 根 を 持 ち 定 常 的 でないことを 指 摘 し ている.その 上 で 短 期 金 利 の 階 の 差 分 が 平 均 回 帰 的 なプロセスに 従 う 期 間 構 造 モデルを 考 え 実 際 のデータにそれがよくあてはまることが 示 されている. 連 続 時 間 の 枠 組 みとなると 完 備 情 報 を 前 提 とする 限 り, 金 利 の 差 分 が 平 均 回 帰 過 程 に 従 うことを 定 式 化 するのは 難 しい. 本 論 文 は 情 報 に 関 する 不 完 備 性 を 導 入 することにより, 完 備 情 報 の 下 では 困 難 な 上 記 の 性 質 を 持 つ 連 続 時 間 期 間 構 造 モデルの 構 築 を 実 現 することを 目 的 としている. 不 完 備 情 報 の 下 での 均 衡 モデルの 研 究 は 古 くから 行 われている. 例 えばDeempe(986は CIR 型 一 般 均 衡 モデルにおいて 生 産 技 術 を 表 すファクターが 観 測 不 可 能 な 不 完 備 情 報 経 済 を 考 え,その 下 で 資 産 価 格 がどのように 決 定 されるかを 議 論 している.Dohan and Fedman(986 やFedman(989でも 同 様 の 設 定 でCIR 型 一 般 均 衡 モデルを 利 用 し, 市 場 均 衡 における 期 間 構 造 について 議 論 している. 純 粋 交 換 経 済 を 考 え 外 生 的 な 国 内 総 生 産 の 成 長 率 に 関 するファク ターを 観 測 不 可 能 とする 不 完 備 情 報 経 済 において 期 間 構 造 を 議 論 したものにはRiede(000 がある. 本 論 文 でも 不 完 備 情 報 を 仮 定 するものの,CIR 型 の 一 般 均 衡 モデルや 純 粋 交 換 経 済 モ デルは 考 えない.ここでは 短 期 金 利 の 瞬 間 的 期 待 変 化 量 をつのファクターとしてそれが 観 測 不 可 能 である 債 券 市 場 を 考 える 部 分 均 衡 分 析 を 行 う.すなわち 短 期 金 利 の 水 準 は 観 測 できるが その 上 昇 あるいは 下 落 トレンドは 直 接 観 測 できないという 情 報 の 不 完 備 性 を 考 える.また 代 表 的 投 資 家 を 考 える 代 わりに 債 券 市 場 に 一 定 の 目 的 関 数 を 持 つアービトレージャーが 存 在 するこ とを 仮 定 し, 裁 定 機 会 を 排 除 する 整 った 債 券 価 格 体 系 が 成 立 するとする. 本 論 文 で 得 られた 結 果 は 以 下 のとおりである.まず 第 に 適 当 なパラメータの 下 で990 年 代 後 半 の 日 本 の 期 間 構 造 モデルを 再 現 可 能 であることが 示 唆 された.この 時 期 の 日 本 の 期 間 構 造

4( 4 横 浜 経 営 研 究 第 3 巻 第 号 (0 の 一 つの 特 徴 は 時 点 が 異 なるごとに 長 期 金 利 が 大 きく 異 なることである.ファクターが 平 均 回 帰 的 な 性 質 を 持 つ 標 準 的 な 期 間 構 造 モデルではこのような 期 間 構 造 は 生 成 できない.なぜなら ば 長 期 金 利 に 対 してはファクターの 影 響 は 小 さくファクターの 実 現 値 が 大 きく 異 なったつの 状 況 間 でも 長 期 金 利 はほぼ 等 しい 水 準 となってしまうからである. 本 論 文 のように 金 利 が 非 定 常 的 なモデルではこの 点 が 克 服 される. 第 にKoeda(0において 提 案 されている 期 間 構 造 モデルの 連 続 時 間 版 に 対 応 するモデルが 生 成 できた. 上 述 のとおり, 金 利 の 差 分 が 平 均 回 帰 的 な 性 質 を 持 つモデルは, 連 続 時 間 の 枠 組 みの 中 では 完 備 情 報 の 下 で 構 築 することが 難 しいが, 本 論 文 におけるモデルではパラメータの 条 件 が 整 えば 短 期 金 利 の 差 分 が 平 均 回 帰 的 となり,ま たこの 金 利 の 差 分 がファクターとなる 期 間 構 造 モデルが 構 築 できる.すなわち 不 完 備 情 報 とい う 理 論 的 要 素 が 金 利 の 階 の 差 分 が 定 常 的 となる 仕 組 みを 作 り 上 げるという 新 しい 見 方 を 提 供 することができたといえる. 本 論 文 の 構 成 は 以 下 のとおりである.まず 次 の 節 でモデルを 説 明 し, 続 く3 節 でアービトレー ジャーの 最 適 化 問 題 を 含 めここで 考 える 債 券 市 場 の 数 学 的 定 式 化 について 触 れる.4 節 では 市 場 均 衡 における 期 間 構 造 を 導 出 する.5 節 において 得 られた 期 間 構 造 モデルの 特 徴 を 説 明 し 最 後 の 節 でまとめを 述 べる..モデル 確 率 空 間 が ] X, F, Qg で 与 えられているとする. 時 間 を 表 す 数 直 線 は 6 0, 3g である. 次 元 標 準 ブラウン 運 動 Z = 6 Z, Z @, $ 0 が 与 えられていて, Z と Z は 互 いに 独 立 である とする.このブラウン 運 動 によって 生 成 されるフィルトレーションを " F : $ 0, で 表 すことに する.ショートレートすなわち 残 存 期 間 が 無 限 に0に 近 い 短 期 金 利 の 確 率 過 程 が 確 率 微 分 方 程 式, d = i d+! dz ( によって 与 えられているとする.ただし! = 6!,! @であり,! と! は 定 数 である.ま た i は 確 率 微 分 方 程 式, di = ] i - ig d+! dz ( i で 表 される 確 率 過 程 に 従 う.! i = 6! i,! i@であり,! i と! i は 定 数 である. 本 論 文 では 情 報 が 不 完 備 であり, 市 場 参 加 者 にとって i が 観 測 不 可 能 であるとする.したがっ て 市 場 参 加 者 にとって 観 測 可 能 な 確 率 変 数 は 唯 一 ショートレートの 実 現 値 のみである.フィル トレーション # F :! 6 0, 3g- をショートレートの 過 去 から 現 在 に 至 るまでの 実 現 値 の 履 歴 か ら 生 成 された v - 加 法 族 によって 定 義 されるものとする. 市 場 参 加 者 にとっての 情 報 集 合 はこの フィルトレーションで 記 述 される. 市 場 参 加 者 が 利 用 可 能 な 情 報 をもとに 推 定 する i の 条 件 付 き 期 待 値 を m と 表 すことにしよ う.すなわち m = E7i F ; A である.また i の 推 定 において 認 識 される 推 定 誤 差 を z で 表 す た 離 散 時 間 モデルにおいて 確 率 過 程 " :! 6 0, 3g, はARIMA(,に 従 うことを 意 味 する.

不 完 備 情 報 下 の 期 間 構 造 ( 森 田 洋 ( 5 5 ことにする.すなわち z = E7] i -m g ; F Aである.さらに 本 論 文 では 連 続 時 間 フィルタリン グ 理 論 を 利 用 するための 重 要 な 仮 定 として 初 期 時 点 の 0 において i0 は 正 規 分 布 に 従 う,すな わち P _ i # ; F iは 正 規 分 布 関 数 となることを 仮 定 する. 0 0 本 論 文 では 市 場 参 加 者 はアービトレージャーであるとし, 次 の 目 的 関 数 を 各 時 点 $ 0 で 最 大 化 するように 行 動 するとする. a E7dW ; F A- Va7dW ; F A ただし W はアービトレージャーの 運 用 資 産 額 であり,aはアービトレージャーの 危 険 回 避 度 である. 市 場 にはこのアービトレージャーのみしか 存 在 しないことを 本 論 文 では 仮 定 するが, これは 分 析 を 簡 単 にするためである. 一 般 には 債 券 市 場 における 市 場 参 加 者 にはアービトレー ジャーの 他 にポートフォリオ 運 用 の 一 環 として 債 券 投 資 を 行 うトレーダーがいる.この 投 資 家 層 を 加 えてモデルを 分 析 すれば, 実 際 の 債 券 市 場 に 近 い 市 場 を 描 くことができ 興 味 深 い.ただ 投 資 家 につのタイプが 存 在 することにするとモデルは 著 しく 複 雑 となり 異 質 的 な 投 資 家 が 存 在 する 場 合 の 市 場 均 衡 を 扱 わなくてはいけない. 本 論 文 では 研 究 の 主 眼 は 情 報 の 不 完 備 性 にあ りその 影 響 を 明 確 にすることにあるので, 本 論 文 では 投 資 家 の 異 質 性 は 導 入 しないことにする. 市 場 では 各 残 存 期 間 のデフォルトリスクがなく 額 面 がの 割 引 債 が 各 時 点 で 取 引 されてい ることを 仮 定 し, 時 点 におけるその 価 格 を P,, $ で 表 すことにしよう. 債 券 価 格 は 市 場 参 加 者 の 出 す 売 買 注 文 によって 市 場 均 衡 として 決 定 されると 考 えるので P, は F - 可 測 とな る.またこの 債 券 の 供 給 量 はいかなる 残 存 期 間 の 債 券 とも 任 意 の 時 点 で n であるとする.こ れは 後 の 節 で 債 券 価 格 モデルを 斉 時 的 なものとして 扱 うためである. 国 債 管 理 政 策 などを 議 論 する 上 では 債 券 供 給 量 は 残 存 期 間 ごと, 発 行 年 ごとに 異 なることを 許 して 分 析 することが 重 要 と 考 えられるが, 本 論 文 の 焦 点 は 国 債 管 理 政 策 にはないので 簡 単 化 のためにすべての 債 券 の 供 給 量 は 同 一 の 量 であると 仮 定 する. 3.アービトレージャーの 最 適 化 問 題, を 残 存 期 間 の 債 券 に 対 する 時 点 でのアービトレージャーのポジション 額 と 定 義 しよう. この 表 記 を 用 いて 我 々のモデルを 数 学 的 に 記 述 すると 次 のようになる. 経 済 の 状 態 推 移 を 表 すプロセス d = i d+! dz (3 di = ] i - ig d+! dz (4 i アービトレージャーの 最 適 化 問 題 a ma E7dW ; F A- Va7dW ; F A (5 ",,! 6, 3g もちろんこの 目 的 関 数 はアービトレージャー 特 有 のものではなく, 様 々なタイプの 裁 定 取 引 を 促 すも のでもない.ただこの 目 的 関 数 の 下 でアービトレージャーが 取 引 を 行 えば, 同 一 時 点 での 異 なる 満 期 の 債 券 間 で 裁 定 が 不 可 能 となるような 整 った 価 格 体 系 が 成 立 することになる. 後 に 明 らかになるように, この 目 的 関 数 を 最 大 化 するようアービトレージャーが 取 引 を 行 うことで 標 準 的 な 無 裁 定 条 件 に 相 当 する 条 件 が 得 られる.

6( 6 横 浜 経 営 研 究 第 3 巻 第 号 (0 3 3 dp, s.. dw = ew - #, do d+ #, (6 P, 0 0 " P], g : $ 0, は F - 可 測 な 確 率 過 程 である (7 需 給 一 致 の 条 件, = n, $ (8 3つの 箇 条 書 きにおける 後 者 つは 市 場 均 衡 の 記 述 である.アービトレージャーの 直 面 する 各 時 点 における 最 大 化 問 題 において 重 要 な 入 力 変 数 はその 時 点 におけるショートレートの 水 dp, 準 および P, で 表 される 債 券 の 収 益 率 である. 債 券 の 収 益 率 を 最 大 化 問 題 で 利 用 するとき 必 然 的 に 債 券 の 価 格 プロセスの 情 報 が 必 要 となる.ところが 債 券 価 格 は 各 時 点 において 市 場 均 衡 により 決 定 されるので, 市 場 参 加 者 にとって 利 用 可 能 な 情 報 にのみ 依 存 する 構 造 を 持 つはずで ある.だが, 本 論 文 のモデルにおいては 状 態 変 数 i は 市 場 参 加 者 にとって 観 測 不 可 能 であるた め,この 変 数 に 依 存 させた 構 造 を 債 券 価 格 は 持 ちえない.あくまでも 債 券 価 格 は F - 可 測 な 過 去 のショートレートの 履 歴 " s : s #, に 依 存 する 対 応 関 係 を 持 つはずであるが, 現 段 階 では その 対 応 がどのような 形 をとるのか,より 具 体 的 にはマルコフ 性 を 持 つ 変 数 によって 状 態 を 表 現 できてその 関 数 として 債 券 価 格 が 表 現 可 能 なのかといったことが 不 明 のままである.このた め, 上 記 の 記 述 のままではマルコフ 性 を 持 つ 状 態 変 数 に 債 券 価 格 を 依 存 させる 標 準 的 なアプロー チから 債 券 の 均 衡 価 格 を 求 めることは 望 めない.だが 幸 いにも, 上 記 の 経 済 と 同 じ 債 券 価 格 を 与 える 仮 想 上 の 完 備 情 報 経 済 を 想 定 し,マルコフ 過 程 に 従 う 状 態 変 数 を 用 いた 標 準 的 なアプロー チから 市 場 均 衡 価 格 を 求 めることができる.その 鍵 となるのが 次 の 命 題 である. 命 題 確 率 分 布 P ] i0 # ; F 0g が 正 規 分 布 N] m 0, z 0 g の 分 布 関 数 であることを 仮 定 すると 次 が 成 立 する. ( a 任 意 の 0 において P _ i # ; F iは 正 規 分 布 N] m, z gの 分 布 関 数 となっている. ( b 確 率 過 程 " Z : $ 0,を dz = ] d -m d!! gによって 定 義 すると, m, 程 式 の 一 意 かつ 連 続 かつ F - 可 測 な 解 となっている. z は 次 の 方!! i+ z dm = ] i - m g d+ dz (9!! _!! i+ zi dz = >! i! i-z- d H (0!! ( c 確 率 過 程 " Z : $ 0, は 標 準 ブラウン 運 動 過 程 であり,これにより 生 成 される v- 加 法 族 F, Z 0 と F は 同 一 である. 上 記 の 命 題 の(a(b(cはLipse and Shiyaev(00の 定 理., 定 理., 定 理.5を 各 々 適 用 することにより 得 られる. 完 備 情 報 の 経 済 であるならば 時 点 の 状 態 を 表 すのは F を 生 成 する " Z s : s #, という 情 報 で

不 完 備 情 報 下 の 期 間 構 造 ( 森 田 洋 ( 7 7 ある.これに 対 して 本 論 文 における 不 完 備 情 報 の 経 済 の 場 合 には, 先 にも 触 れたとおり F を 生 成 するのはショートレートの 過 去 の 履 歴 " s : s #, である. 過 去 の 履 歴 すべてを 利 用 するこ としかわかっていないならば,マルコフ 性 を 持 つ 状 態 変 数 を 利 用 したアプローチが 不 可 能 であ る. 上 記 の 命 題 はこの 部 分 において 重 要 な 役 割 を 果 たす.すなわち, 命 題 の(cより F と F, 0 Z は 同 一 であるので, 後 者 の v- 加 法 族 を 生 成 するブラウン 運 動 の 履 歴 " Z s : s #, によっ て 経 済 の 状 態 が 表 現 されているということができる.さらに 命 題 (bより,このブラウン 運 動 の 履 歴 は i に 対 する 推 定 値 m の 履 歴 " m s : s #, でも 同 一 の 情 報 を 生 成 することがわかる.さ らに 再 び 命 題 (bよりプロセス " m : $ 0, はマルコフ 性 を 持 つこともわかり, 最 終 的 には, m, z の3 変 数 が 経 済 の 状 態 を 表 す 変 数 と 結 論 できるのである 3. より 直 感 的 な 説 明 をしてみよう.もしも i が 観 測 可 能 であり 完 備 情 報 の 経 済 となっているな らば, 経 済 の 推 移 を 表 す 時 点 における 状 態 変 数 はそのマルコフ 性 より と i となるはずであ る.だが 本 論 文 のモデルにおいては i が 観 測 不 可 能 であるため 経 済 の 推 移 を 表 す 状 態 変 数 は と i に 関 する 情 報 となる. i は 正 規 分 布 に 従 うため 分 布 に 関 する 情 報 は 次 のモーメント と 次 のモーメントで 十 分 であるがそれが m と z である.したがって 不 完 備 情 報 の 経 済 であ る 本 論 文 のモデルにおいて 状 態 変 数 となるのは,m, z の3 変 数 であるということができる のである. 以 上 より 経 済 の 数 学 的 記 述 はマルコフ 性 を 持 つ 状 態 変 数 を 利 用 したアプローチが 可 能 な 次 の 記 述 に 表 現 しなおすことができる. 命 題 本 モデルにおける 経 済 の 数 学 的 記 述 は 次 のように 表 現 しなおすことができる. 経 済 の 状 態 推 移 を 表 すプロセス d = m d+!! dz (!! i+ z dm = ] i -m g d+ dz (!! _!! i+ zi dz = >! i! i-z- d H (3!! アービトレージャーの 最 適 化 問 題 a ma E dw F, Z Va dw F, Z 0 0 7 ; A - 7 ; A (4 ",,! 6, 3g 3 3 dp, s.. dw = ew - #, do d+ #, (5 P, " P], g : $ 0, は F, 需 給 一 致 の 条 件 0 0 0 Z - 可 測 な 確 率 過 程 である (6, = n, $ (7 特 に 注 意 するべきは,この 記 述 によって 本 論 文 におけるモデルは 形 式 的 に, 出 発 点 において 不 確 実 性 をブラウン 運 動 過 程 " Z : $ 0, により 記 述 し,m, z が 状 態 変 数 である 完 備 市 場 経 3 後 の 節 で 明 らかになるが 実 際 m はショートレートの 過 去 の 履 歴 をつの 数 字 に 集 約 した 変 数 となって いる

8( 8 横 浜 経 営 研 究 第 3 巻 第 号 (0 済 と 見 なすことができる 点 である. 以 下 ではこの 記 述 を 利 用 して 債 券 の 市 場 均 衡 価 格 を 求 めて いくことにしたい. 4. 斉 時 的 モデルにおける 期 間 構 造 z に 関 する 方 程 式 である(0 式 はいわゆるリッカチ 方 程 式 を 意 味 し,その 解 は 初 期 値 所 与 とすると 次 のように 与 えられる. z 0 を z -z z - z e z 0- z z = z -z - e z0 - z 0 - ] -0g 0 - ] -0g (8!!!! ただし i i i = + +, z =-!! +!! -, z =-!! +!! - - i i!!!! である. 非 確 率 的 ではあるが 推 定 誤 差 z は 一 般 には 時 間 とともに 変 動 する.だが(8 式 より z は z に 収 束 する,つまり 十 分 時 間 が 経 過 した 後 は 推 定 誤 差 はほぼ z に 等 しくなることがわかる.この ことより, 一 つには 簡 単 化 を 理 由 として,もう 一 つには 後 の 節 においてあいまいさを 残 すこと なくm とショートレート 間 の 関 係 を 明 らかにしたいため, 次 の 仮 定 を 設 けることにする. 仮 定 推 定 誤 差 の 初 期 値 に 関 して 次 の 等 式 が 成 立 することを 仮 定 する. z0 = z (9 (8 式 より, 仮 定 の 下 では 明 らかにすべての $ 0 に 対 しz = z =-!! +! i! ] -g が 成 立 することとなる. 以 下 では 表 記 を 簡 潔 にするために 次 のように v, vm を 定 義 しよう. v =!! v m =!! i+ z!! 債 券 の 供 給 量 は 時 間 に 依 存 することなく 一 定 であるので, 仮 定 が 置 かれると 経 済 は 斉 時 的 となり 市 場 均 衡 における 債 券 価 格 は 時 間 には 依 存 しなくなる.そこで 債 券 価 格 が 次 の 形 とな ることを 推 測 して 均 衡 価 格 を 求 めることとしよう. P, = P ], m, g = ep ] A+ B + B m] gm g 但 し,A,B,B m は にのみ 依 存 する 関 数 である.この 関 数 形 の 下 では,(5 式 で 表 されるアー ビトレージャーの 資 産 のプロセスは 次 の 式 に 表 現 を 改 めることができる.

不 完 備 情 報 下 の 期 間 構 造 ( 森 田 洋 ( 9 9 # # 3 3 m m 0 0 dw = = W +, ] n, - gdgd+ =, ] B v+ B v gdgdz ただし n, は 債 券 の 瞬 間 的 収 益 率 の 条 件 付 期 待 値 を 表 すものであり, 伊 藤 の 補 題 より n, = B m + B ] i- m g+ B v+ B mvm+ B B v v m m m -A-B -B m] gm となっている. 以 上 よりアービトレージャーの 最 適 化 問 題 における 目 的 関 数 部 分 は 次 の 形 に 表 現 しなおすことができる. 3 3 a ma, ] n, - gd- =, ] B v+ B m] gvmgdg,! 60, 3g ", # # 0 0 そこで,, $ に 関 する 階 の 条 件 を 求 めると 0, = n - # - a =, s] B ] sgv+ B m] sgvmgdsg ] B v+ B m] gvmg, $ 0 3 を 得 る.この 条 件 に 需 給 一 致 の 条 件, = n, $ を 代 入 することで 市 場 均 衡 における 債 券 価 格 が 満 たす 条 件 が 求 まる. n, - - m] B v + B m] gvmg = 0, $ (0 3 ただし m は m = an= # ] B ] s g v+ B m] s g v g m dsg として 定 義 される 定 数 である.このmはいわゆる 0 リスクの 市 場 価 格 に 対 応 するパラメータである. 本 論 文 では 市 場 均 衡 から 債 券 価 格 を 求 めてい るため, 無 裁 定 条 件 の 下 で 債 券 価 格 を 求 めるアプローチの 場 合 に 外 生 変 数 となるリスクの 市 場 価 格 はここでは 内 生 的 に 求 められている.その 決 定 要 素 はアービトレージャーのリスク 回 避 度 と 債 券 価 格 のリスクエクスポージャー B ] sg, B m] sgおよびファクターのリスクの 大 きさを 表 す v, vm となっていて,いずれの 変 数 が 絶 対 値 の 意 味 で 大 きくなってもリスクの 市 場 価 格 のサイ ズは 大 きくなるという 直 感 に 合 う 性 質 を 持 っている. 上 述 の 均 衡 条 件 は 数 学 的 には 常 微 分 方 程 式 問 題 に 帰 着 させることができ, 市 場 均 衡 における 瞬 間 的 フォワード レート f], m, g=- n P], m, gは 次 のように 求 めることがで きる.

0( 0 横 浜 経 営 研 究 第 3 巻 第 号 (0 命 題 3 市 場 均 衡 における 瞬 間 的 フォワードレートは 次 で 与 えられる. e m e f, m, = + - - m mv + i v m - - - - d - nd n vm e vvm e v - - - - - - - - d n d n - d n ( 証 明 は 数 学 付 録 を 参 照 されたい. 右 辺 第 項 および 第 項 は 金 利 予 想 に 関 する 部 分, 第 3 項 と 第 4 項 はリスクプレミアム, 残 りの 項 がコンベクシティ( 言 い 換 えるとJensenの 不 等 式 効 果 の 項 である. 次 の 節 においてはこの 期 間 構 造 モデルがどのような 性 質 を 持 つのかを 考 察 してい くこととする. 5. 均 衡 における 期 間 構 造 の 性 質 5. 90 年 代 後 半 における 日 本 の 期 間 構 造 に 対 する 説 明 力 図 図 は990 年 代 後 半 における 年 次 の 期 間 構 造 を 図 示 したものである.この 期 間 構 造 の 大 きな 特 徴 は 第 につの 年 度 で 比 較 したときに 短 期 ゾーンで 金 利 がほぼ 同 じでも 長 期 金 利 が 異 なる ことがあるということである. 具 体 的 には97 年 度 とその 他 の 年 度 との 間 で 比 較 してみると 短 期 金 利 はほとんど 同 一 であるが 中 長 期 ゾーンで 金 利 が 異 なる 水 準 となっている.このような 期 間 構 造 はファクターが 一 つの 期 間 構 造 モデルでは 描 くことができない. 第 に, 長 期 金 利 が 年 によって 大 きく 異 なっている.より 具 体 的 には97 年 の 長 期 金 利 が 他 の 年 の 長 期 金 利 と 大 きく 異 なっている.このような 期 間 構 造 はショートレートやその 他 のファク ターが 平 均 回 帰 的 な 性 質 を 持 つ 典 型 的 な 期 間 構 造 モデルでは 表 現 しにくい.これらのモデルで

不 完 備 情 報 下 の 期 間 構 造 ( 森 田 洋 ( は 短 期 金 利 等 ファクターは 長 期 的 には 平 均 回 帰 水 準 に 収 束 し,それが 遠 い 将 来 における 金 利 に 対 する 予 想 となって 期 間 構 造 に 反 映 されるため,ファクターの 値 が 大 きく 異 なっていてもその 長 期 金 利 への 影 響 は 小 さい,つまりファクターの 値 の 違 いが 長 期 金 利 にはほとんど 表 れないか らである. 図 前 節 で 求 めた 期 間 構 造 モデルの 場 合, 上 述 の 点 を 特 徴 にもつ 期 間 構 造 を 描 くことができる. ここでは 各 パラメータは i = 0, = 0. 6, v = 0. 007, v m = 0. 005, m =-0. と 設 定 してみた. 4つの 期 間 構 造 を 考 えるため 各 々 時 点, 時 点, 時 点 3, 時 点 4というインデックスをつけ, そのファクターの 値 を, 時 点 が = 0. 6 %, m = 0. 74 %, 時 点 が = 0. 65 %, m = 0. 3 %, 時 点 3が = 0. 3 %, m = 0. 5 %, 時 点 4が = 0. 6 %, m = 0. 4 %とした.この 数 字 のもとで 求 めた 期 間 構 造 が 図 である.ファクターがつの 期 間 構 造 であるため, 先 述 の 特 徴 の 第 点 である 短 期 金 利 が 等 しくても 中 長 期 金 利 が 異 なる 値 をとる 期 間 構 造 になっているが,さらに 第 点 の 特 徴 である 長 期 金 利 が 時 点 ごとに 大 きく 異 なる 値 をとる 特 徴 もあわせもっている. 図 と 図 ではもちろん 曲 線 の 形 状 に 若 干 の 違 いが 表 れるが 大 方 似 た 形 となっている.ただ 以 上 の 議 論 はモデルの 重 要 な 側 面 である 不 完 備 情 報 には 直 接 関 係 なく,ショートレートが 平 均 回 帰 構 造 を 持 たないマルチファクターモデルの 持 つ 性 質 故 に 得 られるものである. 次 の 節 では 不 完 備 情 報 によってもたらされる 特 異 な 期 間 構 造 の 特 徴 について 議 論 することにしよう. 5. 階 の 差 分 が 自 己 回 帰 過 程 に 従 う 金 利 モデルの 生 成 実 際 の 金 利 データを 調 べてみると, 必 ずしも 金 利 の 時 系 列 データが 定 常 的 であるとは 限 らな い. 特 にアメリカのデータでは 短 期 金 利, 長 期 金 利 ともいわゆる 単 位 根 を 持 ち, 定 常 的 な 時 系 列 となっていないことが 報 告 されている. 本 論 文 のモデルでも 平 均 回 帰 的 な 性 質 を 持 たないた めにショートレートが 非 定 常 的 なモデルとなっていることは 容 易 に 理 解 できるが,この 点 につ

( 横 浜 経 営 研 究 第 3 巻 第 号 (0 いてさらに 詳 しく 見 ることにしたい. z の 定 義 によりパラメータ は,!! + z = +!! i と 表 されるので,( 式 を( 式 に 代 入 することによりZ を 消 去 すると 次 の 方 程 式 を 得 ること ができる. dm = _ i - m id+ ] -gd 上 記 の 方 程 式 は 確 率 微 分 の 表 現 である.これを 積 分 方 程 式 の 形 にすると 次 のとおりとなる. 0 m m e m e 0 = - ] - e u 0 + - - - + - - g _ i ] - g # d u (!! ただし m = d ni + d- n である.すなわちショートレートの 局 所 的 期 待 変 化 量 に 対 する 投 資 家 の i に 対 する 推 定 値 m は 過 去 のショートレートの 変 化 の 加 重 平 均 という 形 で 過 去 のショートレートの 履 歴 によって 決 定 されている. ( 式 左 辺 第 3 項 の 積 分 は 部 分 積 分 の 公 式 により 次 のように 書 き 直 すことができる. # # 0 0 - ] -ug - ] -0g - ] -ug e d u = -e 0- e u du この 結 果 ( 式 は 次 の 形 となる. 0 - ] - - ] -0g 0 g m = m 0 e + m _ -e i 0 u + - -e 0 - - - - - ] ` ] g j g = # e u dug (3 ここでモデルを 定 常 的 なものとするために 0 "-3 としてみよう.このとき(3 式 は 次 の 形 をとる. 0 u m = m+ - - - ] - g = # e u dug (4-3 すなわち 0 "-3 とすることで 初 期 値 の 影 響 をなくすと i の 推 定 値 である m は 推 定 値 の 定 常 的 水 準 m および 直 近 のショートレートの 水 準 が 過 去 のショートレートの 加 重 平 均 をどれだけ 超 過 しているかというつの 要 素 によって 決 定 される. 直 近 のショートレートが 過 去 の 平 均 と 等 しく 超 過 水 準 が0の 場 合 には 推 定 値 は m と 一 致 する. 直 近 のショートレートが 平 均 を 超 過 して いるときにはこの 定 常 水 準 よりも 高 くなり, 逆 に 超 過 量 がマイナスのときには 定 常 水 準 よりも 低 くなる.

不 完 備 情 報 下 の 期 間 構 造 ( 森 田 洋 ( 3 3 さ て,(4 式 右 辺 第 項 の 括 弧 の 中 身 に お け る シ ョ ー ト レ ー ト の 過 去 の 加 重 平 均 - -u # u e du は が 大 きな 値 になるにつれて 直 近 のショートレートの 値 に 大 きな 重 み -3 をおいた 加 重 平 均 となるため, " 3 となると 積 分 部 分 は 直 近 のショートレートの 水 準 にほぼ - -u 対 応 することになる.したがって # u e du は 直 近 のショートレートの 変 化 を 表 す ものになると 推 測 することができる. - -3 より 直 観 的 に 理 解 するためにこれを 離 散 近 似 を 行 って 確 認 してみよう. 離 散 近 似 を 行 うと 超 過 水 準 は - 3! - i= i ] + g と 表 すことができる.そこで " 3 とすると i 3 - im! -i = - im im i +! i + i + " 3 = " 3 + " 3 F + - -i i- = - - となり 階 の 差 分 に 収 束 する.これと( 式 とによって 次 の 命 題 を 主 張 することができる. 命 題 4 が 十 分 に 大 きいとき,ショートレートの 確 率 微 分 方 程 式 をオイラー 近 似 すると 次 の 式 のとおりとなる. - = ] m + ] -g ] - gg+!! f + - + ただし f は N] 0, gに 従 うホワイトノイズである. 式 からわかるとおり, 次 の 自 己 回 帰 過 程 に 従 うのはショートレートの 水 準 ではなく 階 の 差 分 となっている.Koeda(0ではアメリカの 期 間 構 造 においてショートレートの 水 準 で はなく 階 の 差 分 と 長 短 金 利 差,およびGDPの 変 化 率 の3 変 数 が 平 均 回 帰 性 を 持 つVAR( 過 程 を 考 え, 無 裁 定 条 件 を 満 たす 期 間 構 造 が 実 際 のデータによくフィットすることが 報 告 されて いる. 我 々のモデルも 適 当 なパラメータの 値 の 下 ではショートレートの 階 の 差 分 が 次 の 自 己 回 帰 過 程 に 従 うことを 意 味 するのであるから, 本 論 文 のモデルはKoeda(0における 期 間 構 造 モデルの 連 続 時 間 版 に 近 いものと 位 置 付 けることができる. 一 般 に 連 続 時 間 モデルの 枠 組 みでは 完 備 市 場 の 期 間 構 造 モデルにおいて 階 の 差 分 が 自 己 回 帰 過 程 に 従 うモデルを 構 築 す ることは 難 しい.この 意 味 で 不 完 備 情 報 は 金 利 が 階 の 差 分 が 自 己 回 帰 過 程 に 従 うモデルを 内 生 的 に 構 築 することが 可 能 な 重 要 な 理 論 的 要 素 ということができる. 6.まとめ 本 論 文 では 債 券 市 場 に 簡 単 な 不 完 備 情 報 の 仮 定 を 設 け,その 下 で 均 衡 における 期 間 構 造 を 求 めた. 得 られた 期 間 構 造 モデルからは, 適 当 なパラメータの 下 では990 年 代 後 半 の 日 本 の 期 間 構 造 を 再 現 することが 可 能 であることが 示 唆 された.また 階 の 差 分 が 定 常 的 となる 金 利 モデ ルの 理 論 的 基 礎 を 提 供 することも 明 らかとなった. 特 に 連 続 時 間 の 枠 組 みにおいて 階 の 差 分

4( 4 横 浜 経 営 研 究 第 3 巻 第 号 (0 が 定 常 的 となるモデルの 定 式 化 は 完 備 情 報 の 仮 定 の 下 では 難 しい.その 意 味 で 不 完 備 情 報 が 金 利 の 階 の 差 分 が 定 常 的 となる 仕 組 みを 作 り 上 げる 役 割 を 果 たすという 一 つの 新 しい 見 方 を 提 供 することができたといえよう. もちろん 今 回 の 研 究 では 実 証 分 析 は 行 われていない.したがって 飽 くまでも90 年 代 後 半 の 日 本 の 期 間 構 造 の 再 現 はその 可 能 性 が 示 唆 されたというにとどめざるをえない. 計 量 的 なデータ 分 析 については 別 の 機 会 に 譲 ることにしたい.また 今 回 生 成 した 階 の 差 分 が 定 常 的 となる 金 利 モデルも 一 変 数 のものであり,Koeda(00のように 長 短 金 利 差 やGDP 成 長 率 などの 他 の 変 数 を 含 めた 多 変 量 の 期 間 構 造 モデルまでは 構 築 できていない.その 意 味 でモデルの 構 築 は 不 完 全 であり,この 拡 張 についても 別 の 機 会 に 譲 ることとしたい. 7. 数 学 付 録 この 数 学 付 録 では 命 題 3の 証 明 を 示 す.すなわち 市 場 均 衡 条 件 を 満 たす 瞬 間 的 フォワードレー トを 表 す( 式 を 導 出 する. 債 券 価 格 が 満 たすべき 市 場 均 衡 条 件 として(0 式, B m + B ] i - m g+ B v + B v m m m + B B v v -A-B -B m - m m m = m] B v+ B m] gvmg (5 が 得 られた.この 等 式 は 任 意 の,m, に 対 して 成 立 しなくてはいけない.このことより, 変 数,m の 次 の 項 および0 次 の 項 に 関 して 整 理 し,その 係 数 を0とおくことで 次 の 常 微 分 方 程 式 を 得 る. 0 = -B ] g- 0 = B -B m-b m] g A = B ] i -v mg- B v m+ B v m m (6 (7 + B mvm+ B B m] g vvm (8 また 債 券 価 格 が 自 動 的 に 満 たすべき 条 件 P], m, 0g= より 境 界 条 件 として A] 0g = 0, B ] 0g = 0,B m ] 0g= 0 が 与 えられているので 上 記 の 微 分 方 程 式 とこの 境 界 条 件 によって 常 微 分 方 程 式 問 題 が 定 義 される.この 問 題 を 解 くと 次 の 解 を 得 ることとなる. B = - (9 B m e = - d - - - n (30

不 完 備 情 報 下 の 期 間 構 造 ( 森 田 洋 ( 5 5 ところで 瞬 間 的 フォワードレートの 定 義 f], m, g=- n P], m, gより f], m, g = -A-B -B m] gm e = -A + + - - ] g m (3 を 得 ることができる. 右 辺 第 項 の A については 微 分 方 程 式 の 解 (9 式 と(30 式 を(8 式 に 代 入 することで 得 られる. 参 考 文 献 Deempe, J., 986, Asse Picing in a Poducion Economy wih Incomee Infomaion, Jouna of Finance 4, 383-39. Dohan, M and D. Fedman, 986, Equiibium Inees Raes and Muipeiod Bonds in a Paiay Obsevabe Economy Jouna of Finance 4, 369-38. Fedman, D., 989, The Tem Sucue of Inees Raes in a Paiay Obsevabe Economy, Jouna of Finance 44, 789-8. Koeda, J., 0, How Does Yied Cuve Pedic GDP Gowh? A Maco-Finance Appoach Revisied, CARF Woking Pape. Langieg, T, C., 980, A Muivaiae Mode of he Tem Sucue, Jouna of Finance 35, 7-97. Lipse, R.S., and A. N. Shiyayev, 00, Saisics of Random Pocess, Spinge-Veag, New Yok. Riede,F., 000, Impefec Infomaion and Inveso Heeogeneiy in he Bond Make, Physica-Veag. Vasicek,O., 977, An Equiibium Chaaceizaion of he Tem Sucue, Jouna of Financia Economics 5, 77-88. もりた ひろし 横 浜 国 立 大 学 大 学 院 国 際 社 会 科 学 研 究 科, 経 営 学 部 教 授 0 年 8 月 8 日 受 理