2 α 2 A α 1 α 5 α 3 α 4 1.2: A 3 π n 4 n 3 n = 3 n 3 n = 2 1 α A 4π α/2π A = 4π α 2π = 2α n = 2 α α 1.3: 2 n = 3,, R 3 α, β, γ S 2,, R,, R 2, R 2 T T

1 I: 1.1 3 1 S 2 = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1} O S 2 S 2 n n O (a) (b) 3 1.1: 3 n A α 1,, α n n α j = (n 2)π + A j=1 n (n 2)π

2 α 2 A α 1 α 5 α 3 α 4 1.2: A 3 π n 4 n 3 n = 3 n 3 n = 2 1 α A 4π α/2π A = 4π α 2π = 2α n = 2 α α 1.3: 2 n = 3,, R 3 α, β, γ S 2,, R,, R 2, R 2 T T α 1 2

1.2. 3 R R 1.4: n = 3 2 T, T R R = T T T R T = T T T R 2 (T ) = (T ) + (T ) + (T R ) 2 ( R ) = 2α + 2β + 2γ 2A T S 2 \ T 3 T (T \ S 2 ) = (T ). (T ) = 1 2 (S2 ) = 2π α + β + γ = π + A 1.2 S 2 (vertex) (edge) (face) v, e, f v e + f = 2. 2 3 T, T, T R T, T, T R T T T R 3 S 2 T T S 2 \ T

4 1.5:. F 1,, F f F j (j = 1,, f) n j α j1,, α jnj A j n j α jk = (n j 2)π + A j k=1 ( ) j = 1,, f 2π n f j α jk = 2π v j=1 k=1 n j j = 1,, f F j n j 2 2e f n j = 2e. j=1 A j S 2 4π f A j = 4π. ( ) j = 1,, f 2π v = 2e π 2π f + 4π, v e + f = 2 j=1

1.3. 5 1.3 R (1) R v, e, f m n m, n 3 ( 1 m + 1 n 1 ) e = 1 2 (2) m, n, v, e, f m n v e f 3 3 4 6 4 3 4 8 12 6 4 3 6 12 8 3 5 20 30 12 5 3 12 30 20 1.1: (3) (1) e = mv/2 = nf/2 v = 2e/m, f = 2e/n v e + f = 2 (2) (1) m = 3 n = 3 m = 3 n 3, 4, 5 n = 3 m 3, 4, 5 (3) (2) f 4, 6, 8, 12, 20 5

7 II: 2.1 4 4 2 2 2 2 4 2.6 4 II (a) (b) 2.6: 2 4 III

8 5 2.2 ( ) 2.7 G 0 G 0 2.7: + G 0 2.8 G 0 V E 1,, E m E 1,, E m E 1 5 II

2.2. 9 + + + + 2.8: V 2.9 E 2 E 3 + E 1 E 4 + + V E + 7 E 5 E 6 2.9: E 1, E 2,, E 7 E 1 + + + + + V 4 V G 0 (i) V (ii) V 4 G 0 1

10 2.10: 2.10 G 1 G 1 v, e, f G 1 1 2.11 G 1 ( ) = ( ). (1) 4v G 1 n 2.11: E 1 + + + + E 1 6 n 3 2 G 1 n f n G 1 n 3 (1) 2f 3 + n 4 nf n 4v 2f 3 + n 4 nf n (2)

2.3. 11 G 1 v e + f = 2 f = n 3 f n n 3 nf n = 2e (2n 4)f n = 4v 8 (3) n 3 n 4 2n 4 n (3) 2f 3 + n 4 nf n 2f 3 + nf n 4v 8 n 4 (2) 2.3 2.12 π 2.12: Γ, Γ n Γ A 1,, A n Γ A 1,, A n A 1 A 2 = A 1A 2,, A n 1 A n = A n 1A n, A n A 1 = A na 1.

12 k = 1,, n A k A k A k > A k A k + A k < A k A k = A k Γ A 1 A 2,, A n A 1 4 A 1 A n A1 A n A A n 1 A 2 + n 1 A 2 + Γ Γ + 2.13: Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ 1 Γ Γ n Γ A 1,, A n Γ A 1,, A n A 1 A 2 = A 1A 2,, A n 1 A n = A n 1A n, A n A 1 = A na 1. Γ Γ Γ A k Γ 1 4

2.4. 13 2.4 Γ Γ n Γ A 1,, A n Γ A 1,, A n A 1 A 2 = A 1A 2,, A n 1 A n = A n 1A n, A 2 A 2,, A n 1 A n 1 2.14 A n A 1 A na 1 A n A 1 = A na 1 A 1 = A 1,, A n = A n A 1 A n A 1 A n A 2 Γ A n 1 A2 Γ A n 1 2.14:. 4 2 Γ + Γ Γ 2

14 + + B B Γ + Γ + Γ Γ + C C 2.15: 2 Γ 2 B, C Γ + 2.15 B, C Γ Γ B, C BC Γ Γ +, Γ Γ A 1,, A n + Γ + Γ Γ B C Γ +, Γ Γ Γ BC > B C Γ + Γ + BC < B C 2.5 n n = 3 n n + 1. k(= 2,, n) A k = A k n + 1 Γ Γ A k 1 A k A k+1 A k 1 A k A k+1 n 2.16. k = 2,, n A k > A k Γ A n 1 A na n+1 A n 1 n + 1 A n 1 A n 1 2.17

2.5. 15 A 1 A A n+1 1 A n+1 A k 1 Γ A k 1 Γ A k A k+1 A k A k+1 2.16: A 1 A 1 A 2 A n+1 A 2 A n+1 A n A n+1 Γ A n Γ A n A n 1 A n 1 2.17:. n + 1 n + 1 Γ A 1,, A n 1, A n, A n+1 2.17 A 1A n+1 > A 1A n+1 n + 1 Γ A n 1 n + 1 Γ A n 1 n + 1 Γ, Γ A 1 A n+1 > A 1A n+1 A 1 A n+1 > A 1 A n+1. n+1 2.18(a) A n 1 A na n+1 3 A 1, A 2, A n+1 1 A n, A n+1 A n, A n+1 2.18(b) A 1 A n+1 < A 1 A n+1 3 A 1, A 2, A n+1 1 A 1 A n+1 = A 2 A n+1 A 1 A 2 A 1A n+1 < A 2A n+1 A 1A 2 A 1 A 2 = A 1A 2 A 2,, A n, A n+1 n A 2,, A n+1 n

16 A n A n A n+1 A 1 A n+1 A n 1 A 1 A n 1 A 2 A 2 (a) (b) 2.18: A 2 A n+1 < A 2A n+1 A 1 A n+1 < A 2A n+1 A 1 A 2 A 1 A n+1

数学的定式化, 1,, n 平面内の多角形 に対し int i int j = = 1 n かつ (i = j) 1,, n に分割されると言い が成り立つとき は = 1 + + n と書くことにする ただし は の内部を表す int i i 1 3 2 = 1 + 2 + 3, 平面内のふたつの多角形 に対し 以下の条件が満た は合同分割同値であると言い されるとき と と書く 1,, n および 1,, n を 平面内に多角形 適当にとったとき = 1 + + n, i i = 1 + + n, (i = 1,, n). 1 2 3 1 2 3

, Area = Area ; Area, Area = Area.

証明に向けての準備 補題１ いかなる３角形に対しても それと合同分割同値 な長方形が存在する 証明終わり 補題１ いかなる３角形に対しても それと合同分割同値な長方形が存在する 補題２ 面積が等しいふたつの長方形は合同分割同値であ る 困ったケース 証明終わり

補題１ いかなる３角形に対しても それと合同分割同値な長方形が存在する 補題２ 面積が等しいふたつの長方形は合同分割同値である 補題３ いかなる３角形も １辺の長さが１の長方形と合 同分割同値である 補題１ 補題２ 1 証明終わり 命題 平面内のいかなる多角形も １辺の長さが１の長 方形に合同分割同値である 証明 T1 を３角 ステップ１ 与えられた多角形 T2 T1,, T n 形 に分割する T3 Ti ステップ２ 各３角形 は 同じ面積 Ri を持つ１辺の長さが１の長方形 に合 同分割同値である 補題３ R1 R3 R2 R1,, Rn を 積 ステップ３ 長方形 R1 R が作られる もとの多角形 方形 R2 み上げて １辺の長さが１のひとつの長 R に合同分割同値であ はこの長方形 る R3 R 証明終わり

B-G の定理 Area 1 = Area 2 Bolyai-Gerwien の定理の証明 = 1 2 1 1 1 R1 Area 1 = Area R1 Area 1 = Area 2 Area R1 = Area R2 1 = 2 R1 R2 1 2 Area 2 = Area R2 2 1 R2 2 主張 平面内のいかなる多角形も １辺の長さが１の長方形に合同分割同値である B-Gの定理の証明終わり そもそも 面積 とは O := の個数 の面積 = 2 O 2 I I := の個数 の面積 = Area := lim 0 2 O = lim 0 2 I

極限操作を必要としない多角形の 面積 の定義 a 1 Area := a Hilbert の第３問題 問題 空間内の体積の等しいふたつの多面体は合同分割 同値か 背景 ２次元の場合 すなわち平面内の多角形に対しては 極限操作を用いることなく その面積が定義可能であった ところが３次元の場合 すなわち空間内の多面体に対しては 極限操作なしに体積 を定義することは不可能であるように Hilbert には思えた Dehn による解決 空間内の多面体は 体積が等しくと も合同分割同値であるとは限らない すなわち 空間内の体積の等しいふたつの多面体で 合同分割同値でないものが存在する

David HILBERT (1862-1943) １９世紀後半から２０世紀 前半にかけて活躍した大数学者 その業績は 代数 幾 何 解析 数理物理学等極めて多岐に渡る １９世紀最後 の年 1900 年にパリで開催された国際数学会議において 彼が発表したのが いわゆる Hilbert の 23 の問題である その多くが２０世紀における数学の発展に多大な影響を与 えた その中で一番最初に解決されたのが 第３問題と呼 ばれるものである 解決したのは Hilbert の弟子の Max DEHN (1878-1958) Hilbert が問題を発表してから か数 ヶ月後とのことである Dehn 不変量 ー 定義に向けての準備 ー 有理数全部を集めてできる集合 := { 1,, p } に対し 有限個の実数からなる集合 V ( ) := {a1 1 + + ap p : a1,, ap } :V( ) 関数 に対し以下の条件が成り立つとき は 線形であると言われる ( + ) = ( ) + ( ) (a ) = a ( ) (, ( a, V ( )); V ( )).

空間内の多面体 に対し e Edge( ) := {e : e は の辺 } e Edge( ) に対し 各 e ang(e) := を含むふたつの面の間の偏角 Ang( ) := {ang(e) : e Edge( )} Dehn 不変量 ー 空間内の多面体 Ang( ) { } R なる有限集合 ー :V( ) ー なる 線形関数 ( )=0 このとき の に関する Dehn 不変量が以下で定義さ れる Dehn( ; ) := e Edge( ) length(e) (ang(e)). e の長さ ただし length(e) := 辺

Dehn の定理, を多面体とする もしそれらが合同分割同値である ならば Ang( ) Ang() { } R なる任意の有限集 合 および ( ) = 0 なる任意の 線形関数 :V( ) に対し 次が成り立つ Dehn( ; ) = Dehn(; ). Hilbert の問題に対する反例 Dehn( ; ) := e Edge( ) L L ー １辺の長さ L の立方体 L 任意の に対し Dehn(L ; ) = 12 L ( /2). ところが 2 ( ) = (2 ) = ( ) = 0. 2 2 Dehn(L ; ) = 0. ( /2) = 0. ー １辺の長さ１ の正四面体 = Arccos 1/3, 補題 すなわち cos length(e) (ang(e)) 1 = 1/3. /. これより 次のような 線形関数 が存在することが分かる ( ) = 0, この に対し ( ) = 1. Dehn(L ; ) = Dehn(; ) Dehn(; ) = 6 1 ( ) = 6 したがって Dehn の定理より L. Dehn の定理 Vol(L ) = Vol() となるようとる L を いま L, すると が Hilbert の第３問題に対する反例になる = Dehn( ; ) = Dehn(; )

= Dehn( ) = Dehn() Vol = Vol Vol = Vol Dehn( ) = Dehn() =

未解決問題 ー 高次元化 Dehn-Sydler の定理 Dehn = = Sydler Vol = Vol Dehn( ) = Dehn() これらは３次元 Euclid 空間の中での話 一般次元 Euclid 空間の中でも Dehn の定理は成り立つ ４次元 Euclid 空間の中でも Sydler の定理は成り立つ (Jessen, 1968) 未解決問題 ５次元以上の Euclid 空間の中で Sydler の定理は成り 立つか 未解決問題 ー 非 Euclid 幾何学化 Dehn-Sydler の定理 Dehn = = Sydler Vol = Vol Dehn( ) = Dehn() n 次元 Euclid 空間 の代わりに n 次元球面 En Sn や n 次元双曲空間 Hn を考えることも可能 Sn, Hn (n 3) においても Dehn の定理は成り立つ Sn, Hn (n 3) において Sydler の定理は成り立 未解決問題 つか

Norman Do, Scissors congruence and Hilbert's third problem, The Australian Math. Soc. Gazette, 33 (2006), no. 2, 81-87. Ruth Kellerhals, Old and new about Hilbert's third problem, European Women in Mathematics, 179-187, Hindawi ubl. Corp., Cairo, 2000. Walter D. Neumann, Hilbert's 3rd problem and invariants of 3-manifolds, The Epstein Birthday Schrift, 383--411 (electronic), Geom. Topol. Monogr., 1, Geom. Topol. ubl., Coventry, 1998.

補題の証明について cos k = # k 3k すなわち cos = 1/3. (k = 1, 2, ); ただし は３で割り切れない整数 k # の証明 帰納法による k = 2 の場合 cos 2 = 2 cos2 k=j = Arccos 1/3, /. 補題 k = 1 の場合 cos = 1/3 であるから OK. 2 1 7 1=. 1 =2 確かに OK. 3 9 1, j に対し # が成立すると仮定 cos( + ) cos( ) cos( + ) + cos( ) = = cos cos sin sin, cos cos + sin sin. = 2 cos cos. := j, := : cos(j + 1) = 2 cos j cos cos(j 1) 2 j 9 j j 1 j 1 =2 j = 3 3 3j 1 3j+1 これより 補題 # j+1 =2 9 j j 1. cos k = k 3k すなわち cos = 1/3. (k = 1, 2, ); ただし は３で割り切れない整数 k q p, q と仮定 ただし は互いに素な正の整数 p cos p = cos q = ±1. 補題の証明 背理法による 仮定より p = q.. これは確かに３で割り切れない整数 証明終わり = Arccos 1/3, /. 1 ところが これは (#) に矛盾 = 証明終わり

Dehn の定理の証明のための補題, 1,, n を = 1 + + n なる多面体 Ang( ) Ang(1 ) Ang(n ) { } R なる任意の有限集合 を :V( ) を ( ) = 0 なる任意の 線形関数とする このとき ( ) Dehn( ; ) = Dehn(1 ; ) + + Dehn(n ; ). ( ) Dehn( ; ) = Dehn(1 ; ) + + Dehn(n ; ). e Edge(1 ) Edge(n ) 証明 各 に対し 次のいずれかが成り立つ のある辺に含まれる (Type A) e は のある面に含まれる (Type B) e は の内部に含まれる (Type C) e は i i e e (Type A) (Type B)

Dehn( ; ) = Dehn(1 ; ) + + Dehn(n ; ). ( ) のある辺に含まれる (Type A) e は のある面に含まれる (Type B) e は i i e e の内部に含まれる (Type C) e は (Type A) (Type B) n の右辺 = i=1 e Edge(i ) length(e) (ang(e)) = + e:type A + e:type B e:type C 第１項 = Dehn( ; ) 第２項 = 0 ( ( ) = 0) 第３項 = 0 ( (2 ) = 2 ( ) = 0) 証明終わり Dehn の定理の証明 Dehn の定理 ただし = Dehn( ; ) = Dehn(; ); Ang( ) Ang() { }, :V( ), ( ) = 0. 線形, 1,, n, 1,, n が存在 証明 仮定より 以下のような多面体 n = 1 + + n, n = 1 + + n, i i. をとり を 線形関 Ang(i ) Ang(i ) R なる有限集合 i=1 i=1 : V に 拡張 する ( ) 数 このとき Dehn( ; ) = Dehn( ; ), 一方 補題より Dehn( ; ) = n Dehn(; ) = Dehn(; ) Dehn(i ; ), i=1 i i より そして Dehn(; ) = n Dehn(i ; ). i=1 Dehn(i ; ) = Dehn(i ; ). 以上から Dehn( ; ) = Dehn(; ). 証明終わり

普遍 な Dehn 不変量 Dehn( ; ) R は 多面体 のみならず Dehn 不変量 :V( ) や にも依存 や を使わずに Dehn 不変量を定義したい Dehn 不変量の値域を 複雑化 することにより これは実現可能 Dehn( ) R Dehn の定理 Z = R/ Z Dehn( ) = Dehn()