1 1 1 1.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.2.1 t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.2.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1.2.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.2.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1.3.1 Fisher's PLSDProtected Least Signi cant Di erence : : : : : : : : : : : : : : : 4 1.3.2 Tukey : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1.3.3 Sche e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1.3.4 Dunnett : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 1.3.5 Bonferroni : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1.3.6 Newman-Keuls : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.3.7 Duncan : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.3.8 Waller-Duncan : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.3.9 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 1.4.1 Games-Howell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 1.4.2 Dunnett C : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 1.4.3 Tamhane T2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 1.5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 1.5.1 Steel-Dwass : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 1.5.2 Steel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 1.5.3 Dunn : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 1.5.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 1.6 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 1.6.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 1.6.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 1.6.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 1.6.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 1.6.5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 1.7 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15
1.7.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 1.7.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 1.8 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 1.8.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 1.8.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 1.8.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 1.8.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20
1 1 1.1 2 t 3 a multiple comparison [1] 1 1.2 1.2.1 t 3 t ABC 3 ¹ A ¹ B ¹ C ¾A 2 ¾2 B ¾2 C A B AB B C BCA C AC AB c BC c AC c ABC t type error 5 P[AB] P[BC] P[AC] 0:95P[AB c ] P[BC c ] P[AC c ] 0:05 (2.1) Er P[Er] P[] P[AB BC AC] 1 0:95 3 0:142625 (2.2) 3 type error 1 1 k k (2.3) 3 t a
2 1 1.2.2 3 3 ABC H 0 ¹ A ¹ B ¹ C (2.4) overall null hypothesis H 0AB ¹ A ¹ B (2.5) H 0AC ¹ A ¹ C (2.6) H 0BC ¹ B ¹ C (2.7) subset null hypothesisfamily of subset null hypothesis F 1 H 0AB H 0AC H 0BC (2.8) A F 2 H 0AB H 0AC (2.9) type familywise error ratetype FWEtype FWE 1 type FWE conservative type FWE type FWE 1. type error 2. type error 3. type error A B C ¹ A ¹ B ¹ C ¹ A 6= ¹ B ¹ B 6= ¹ C ¹ A 6= ¹ B 6= ¹ C ¹ A ¹ B ¹ B ¹ C ¹ A ¹ B ¹ C ¹ A ¹ B ¹ B ¹ C ¹ A ¹ B ¹ B ¹ C ¹ C ¹ A
1.2. 3 1.2.3 type FWE type error 1.2.4 t t Studentized rangeq q x 1 x j j 1px 1 x j n ¹x j n x ij=nj 1p¹x 1 ¹x j ¹x max ¹x min s 2 p j=1 q ¹x max¹x min s= p n n x ij¹x j 2 =pn p (2.10) q q qaá E a Á E Á E N a n 1 + + n a a Á E Á 1 Á E Á 1 Á 2 Á E Á 2 qaá 1 qaá 2 qaá E 1=Á E 1=Á 2 1=Á 1 1=Á 2 qaá 1 + 1=Á 1 1=Á E 1=Á 1 1=Á 2 qaá 2 (2.11)
4 1 1.3 1.3.1 Fisher's PLSDProtected Least Signi cant Di erence Fisher's PLSD LSD LSD b post-hoc c LSD LSDunprotected LSD 1.3.2 Tukey Tukey HSD Tukey's honestly signi cant di erence test WSD Tukey's wholly signi cant di erence testhsd Tukey a Tukey q WSD Tukey b Tukey HSD HSD Tukey Tukey Tukey 1. 2. d 1a n 1 n a i ji =1aj 1ai j H 0ij H 0ij ¹ i ¹ j (3.12) 1. a F H 012 H 013 H 0ij i =1aj 1ai j 2. a ¹x 1 ¹x i s 1 s i i 1a ¹x i n i k=1 n i x ik s i n i k=1 x ik ¹x i 2 n i 1 i 1a (3.13) b F-protected Fisher's Least Signi cant Di erence c post-hoc a posteriori d Tukey Tukey-Kramer
1.3. 5 3. Á E S e Á E N a n 1 + + n a a N S e a n i 1s i a n i (3.14) Á E (3.15) 4. t ij t ij ¹x i ¹x j S e 1 n i + 1 n j i 1aj 1ai j (3.16) 5. jt ij j qaá E = p 2 H 0ij jt ij j qaá E = p 2 H 0ij qaá E = p 2 100 1.3.3 Sche e Sche e e contrast a a c i ¹ i c i 0 i 1a (3.17) 3.17 c i H 0 a H 0 c i ¹ i 0 (3.18) ¹ i i 1234 ¹ 1 ¹ 2 c 1 1c 2 1c 3 0c 4 0 c 1 0:5c 2 0:5c 3 0:5c 4 0:5 ¹ 1 ¹ 2 ¹ 3 ¹ 4 3.18 c 1 c 2 c 3 c 4 F ANOVA Sche e Tukey 1. 2. 1. 3.18 e
6 1 2. a ¹x 1 ¹x i s 1 s i i 1a ¹x i n i x ik k=1 n i s i n i k=1 x ik ¹x i 2 3. Á E S e Á E N a n 1 + + n a a N 4. t ij S e i 1a (3.19) n i 1 a n i 1s i a n i (3.20) Á E (3.21) a 2 F a S e c i ¹x i =Á A c 2 i =n i Á A a 1 i 1a (3.22) 5. F FÁ A Á E H 0 F FÁ A Á E H 0 1.3.4 Dunnett Dunnett 1 2 f Dunnett 1. 2. 1 i i 23a 1. F H 012 H 013 H 01a f Tukey Sche e
1.3. 7 2. F H 112 H 113 H 11a H 11i H 11i ¹ 1 6= ¹ i (3.23) H 11i ¹ 1 ¹ i (3.24) H 11i ¹ 1 ¹ i (3.25) 3. a ¹x 1 ¹x i s 1 s i i 1a ¹x i n i x ik k=1 n i s i n i k=1 x ik ¹x i 2 4. Á E S e Á E N a n 1 + + n a a N S e i 1a (3.26) n i 1 a n i 1s i a n i (3.27) Á E (3.28) 5. t ij t 1i ¹x 1 ¹x i S e 1 n 1 + 1 n i i 1a (3.29) 5.½ n 2 n 2 + n 1 n 2 n 3 n a (3.30) 5. 3.23Dunnett d daá E ½ jt 1i j daá E ½ H 01i ¹ 1 ¹ i jt 1i j daá E ½ H 01i 3.24Dunnett d 0 daá 0 E ½ t 1i daá 0 E ½ H 01i ¹ 1 ¹ i t 1i daá 0 E ½ H 01i 3.25Dunnett d 0 daá 0 E ½ t 1i daá 0 E ½ H 01i ¹ 1 ¹ i t 1i daá 0 E ½ H 01i 1.3.5 Bonferroni Bonferroni Bonferroni k E i i 12k Pr k E i k Pr(E i ) (3.31)
8 1 k =3Pr[E 1 [ E 2 [ E 3 ] Pr[E 1 ]+Pr[E 2 ]+Pr[E 3 ] ¹ 1 ¹ 2 ¹ 3 F H 012 H 013 H 023 3.31 H 012 1 2 3 Pr[ 1 [ 2 [ 3 ] Pr[ 1 ]+Pr[ 2 ]+Pr[ 3 ] type FWE Pr 3 i Pr[ i ] =3i 123 =3 Bonferroni  2 3.31 k Bonferroni k Holm [2] Sha er [3] g Simes Hochberg [4]Hommel [5]Rom [6] 1.3.6 Newman-Keuls Newman-Keuls Student-Newman-Keuls S-N-K type FWE 1.3.7 Duncan Duncan Newman-Keuls [ 1.3.6 ] type FWE t [8] 1.3.8 Waller-Duncan Duncan [ 1.3.7 ] g Sha er Bonferroni Sid ak Bonferroni Tukey Holland-Copenhaver
1.3. 9 1.3.9 Williams Dunnett Tukey-Welsch [7]Peritz h Hochberg's GT2 Gabriel Ryan-Einot-Gabriel-Welsch R-E-G-W h Newman-Keuls Tukey-Welsch
10 1 1.4 1.4.1 Games-Howell Games-Howell [9] Tukey Welch 3.16a t ij ¹x i¹x j s 2 i n i + s2 j n j i 1aj 1ai j (4.32) n i n j s 2 i x ik ¹x i 2 =º i º i n i 1s 2 j x jk ¹x j 2 =º j º j n j 1 k=1 k=1 qaº ij s 2 i º ij =n i + s 2 j =n j 2 s 4 i =n2 i n i 1+ s 4 j =n2 j n j 1 (4.33) Tukey [ 1.3.2 ] 1.4.2 Dunnett C Dunnett C Games-Howell 4.33 i Dunnett T3 1.4.3 Tamhane T2 Welth i Games-Howell Dunnett C 2 Games-Howell-C
1.5. 11 1.5 1. 2. j 3. n 10 k 4. outlier 1.5.1 Steel-Dwass Steel-Dwass Tukey 1.5.2 Steel Steel Dunnett 2 1.5.3 Dunn Dunnett 1 2 National Institutes of Health National Toxicology Program 1.5.4 Williams [ 1.3.9 ] Shirley-Williams Bonferroni j k
12 1 1.6 1.6.1 t t AC AC AB BC AB BC ABACBC ABAC i j H 0{ij} i j 1.1 t 1 1.1 t A BA C 1.1 A B C A B C 1.1 A B C A [or]b CB A andc A B A C A A BA C t l 1.1 hierarchial ANOVA[] [10] 1.6.2 t LSD m Duncan Newman-Keuls l B C m
1.6. 13 n LSD LSD 4 post-hoc LSD 2 1. 2. LSD LSD 2 t o 3 ABC 3 5 H 0 H 1 LSD A BB C A C 3 H 0AB H 0BC H 0AC H 1AB H 1BC H 1AC ¹ A ¹ B ¹ C H 1 type error 5 1. ¹ A ¹ B ¹ C H 0 LSD A BB CA C H 1BC H 1AC type error A B 5 3 LSD 4 ABCD H 0 ¹ A ¹ B ¹ C ¹ D H 0 5 ¹ A ¹ B ¹ C ¹ D H 0 LSD LSD A BA CA DB CB DC D 6 A DB DC D 3 3 A BA CB C 5 2 t type error 5 1.6.3 sample size 2 Tukey mn a type FWE mn 12 a 12 mn 13 a 4 [11] t n multiple range test o LSD t
14 1 1.6.4 Bartlett Levene type error t F 4 [12] 0:2 [13] 0:5 Welch [ 1.4 ] 1.6.5 p Tukey Sche e Sche e 3 LSD p
1.7. 15 1.7 1.2 1.2 No No Yes Scheffé Scheffé 1 1 Tukey Bonferroni Šidák Games-Howell Tukey Bonferroni Šidák Games-Howell Steel-Dwass Steel-Dwass Scheffé Bonferroni Scheffé Bonferroni No Yes Williams Williams Shirley-Williams Shirley-Williams No Yes Dunnett Dunnett Steel Dunn Steel Dunn No Yes No Yes Bonferroni Šidák Bonferroni Šidák Yes
16 1 1.7.1 1.2 1. [ 1.6.1 ] 1 A B C B C A B t A C t 2 t A B C Dunnett ABC 2 30 40 50 60 2 2. [ 1.6.3 ] n 2 n 10 2 3. 4. 1.6.4
1.7. 17 1.7.2 1.2 1. A B A C B C A B C D A 0.2 B 0.8 C 0.6 D 0.4 [ 1.3.3 ] 2.1 A B AB A B Williams Dunnett A 10mg A 20mg 40mg A Dunnett A 20mg 10mg 40mg Williams Shirley-Williams 3. A B C D ¹ A ¹ B ¹ C ¹ D ¹ A ¹ B ¹ C ¹ D 4. 2 A B C D A C Bonferroni q 1.2 q Tukey Tukey
18 1 1.8 1.8.1 ABCD 4 8 A B C D 1 51:8 41:4 28:1 38:1 2 60:7 31:5 25:6 19:5 3 43:9 35:8 24:3 51:5 4 58:3 45:8 36:7 42:6 5 47:4 40:1 49:0 39:0 6 38:9 42:1 36:2 37:8 7 47:8 34:9 54:0 51:5 8 49:8 45:2 46:7 50:8 49:8 39:6 37:6 41:4 7:2 5:1 11:3 10:7 1.8.2 4 1.2 4 Tukey Games-Howell Steel-Dwass df 695:7 3 231:9 2:90 2238:8 28 79:96 2934:5 23 F (3280:05) 2:95
1.8. 19 A B A B C D C D A B A B C D Min 38.90 31.50 24.30 19.50 1st Qu 46.5235.57 27.48 38.03 Median 48.80 40.75 36.45 40.80 Mean 49.82 39.60 37.57 41.35 3rd Qu 53.42 42.88 47.28 50.97 Max 60.70 45.80 54.00 51.50 S.D. 7.16 5.09 11.31 10.71 C D 1.3 1.3 AD 1.3 a. D c. Q-Q D AD ¹ 42:09 S.D. 9.73 3S.D. 12.9 D 3S.D. 9.22 D 19.5 8 1.3-d. C S.D. B 2 CD Levene p 0:195 0:05 Tukey 1.3 1.6.4 Levene p 0:195 Games-Howell Tukey
20 1 1.8.3 95 CI 95 CI Games Howell Avs:B 10:23 0:027 1:08 19:38 C 12:25 0:096 1:83 26:33 D 8:48 0:293 5:01 21:96 Bvs:C 2:03 0:966 11:46 15:51 D 1:75 0:974 14:58 11:08 Cvs:D 3:78 0:901 19:79 12:24 Tukey Avs:B 10:23 0:125 1:98 22:43 C 12:25 0:049 0:04 24:46 D 8:48 0:253 3:73 20:68 Bvs:C 2:03 0:969 10:18 14:23 D 1:75 0:979 13:96 10:46 Cvs:D 3:78 0:833 15:98 8:43 p 0:05 Games-Howell A BTukey A C 1.3-d.A C Tukey Tukey A C S.D. 95 0.04 Games-Howell A B C D Tukey 1.8.4
1.8. 21 036-8564 66-1 FAX 0172 39 5981 e mailpteiki@cc.hirosaki-u.ac.jp URLhttp://itan.cc.hirosaki-u.ac.jp/ptstu /pteiki/eiki.html
23 [1] 1858-711989. [2] Holm SA simple sequentially rejective multiple test procedurescandinavian.jornal of Statistics 665-701979. [3] Sha er JPModi ed sequentally rejective multiple test procedurejornal of the American Statistical Association 81826-8311986. [4] Hochberg YA sharper Bonferroni procedure for multiple tests of signi cancebiometrika 75800-802 1988. [5] Hommel GA stagewise rejective multiple test procedure based on a modi ed Bonferroni test Biometrika 75383-3861988. [6] Rom DMA sequentially rejective test procedure based on a modi ed Bonferroni inequality Biometrika 77663-6651990. [7] Welsch REA modi cation of the Newman-Keuls procedure for multiple comparisonsworking Paper 612-672,Sloan School of Management,M.I.T.,Boston,MA,1972. [8] [1]. 65567-5721990. [9] Games PA,Howell JFPairwise multiple comparisons procedures with unequal N's and/or variances A Monte Carlo studyj.educ.statist. 1113-1251976. [10] 1 4728-331993. [11] Tukey Tukey-Kramer 117-241989. [12] Gans DJUse of a preliminary test in comparing two sample meanscommun. Statist. B10163-174 1981. [13] 2855-781999.