1/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 Ⅰ. 直交座標系 ガウスの定理は 微分して すぐに積分すると元に戻るというルールを 3 次元積分に適用した定理になります よく知っているのは 簡単化のため 変数が1つの場合は dj ( d ( ににします全微分 = 偏微分 d = d = J ( + C d です ( 積分定数 C を にしています これを 2 次元積分 ( 面積分 に拡張すると (, (6.1 d d = J (, d (6.2 また 3 次元積分 ( 体積分 に拡張すると (,, (,, (,, ddd = J dd ddd = になります (6.3 の関係がガウスの定理として一般化されます そこで (6.3 を元に の拡張を J dd (6.3 :,, J ( J : J, J, J (6.4 の対応より J( : J = + + とします そうすると (6.3 に対応する 3 次元積分は ddd ddd = ddd J J (6.6 に拡張されます (6.6 より Jddd = + + = ddd ddd + ddd + dd です ここで (6.1 に対応した公式 : より d (6.5 (6.7 d = J, d = J, d = J ( (6.8
2/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 J J J dd J dd J d J = J + + ddd dd dd dd = + + d になります 微小面積ベクトル d = ddi+ ddj+ ddkを用いると J J J + + dd dd dd J d J dd J dd J dd ( i+ j+ k ( i+ j+ k J ( = A B + A B + A B = A A A B B B = d (6.9 (6.1 なので (6.9 は Jddd = J d (6.11 が成立します これで ほぼ ガウスの定理 が導出できましたが 実際は 積分範囲を示さないといけま せん 積分範囲を仮に :(,, :(,, :(, 次元の領域を とすると (6.6 は とするとき その積分範囲で囲まれる 3 1 2 1 2 1 2 ( ddd Jddd = J (6.12 と変更されます 公式 (6.8 は 実際は 2 1 2 1 1 2 d = (,, J (,, d = J 2 1 (,, (,, d = J J と変更になります 従って 2 1 (,, (,, J J 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 (,, (,, Jddd = d d J 2 J 1 + d d J (,, J (,, 2 1 (,, (,, + d d J 2 J 1 (6.13 (6.14 となります 各項の積分範囲が違うので (6.9 のようにまとめられません これは 直交座標で表していますが 円筒座標や極座標やそれ以外にも色々な座標があります (6.14 から どんな座標にも適用できるように一般化しなければなりません Ⅱ. 一般座標系
3/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 座標に依らない表示を考えるために 直交座標での表式 (6.14 の意味するところを図 1 に従って考えてみます 図 1 2 2 2 1 の項に対応しています 1 1 は d d J (,, J (,, ddj = da 1 2 図 1 ddj = da そこで 図のように 2 の面 2 の方向を 1 2 とすると da= ddj (6.15 1 の面 1 の方向 =- 2 の面 2 の方向 (6.16 なので (,, (,, (,, J dd = J ddj = J da J 2 2 = 2 (,, dd (,, dd (,, = J j = J da 1 1 = 1 (6.17 になります ( 問題 1: (,, J (,, J dd = ddj を示せ これより 2 2 2 2 2 2 ( = = (,, J (,, (,, (,, dd J = J da + J da (6.18 2 1 1 1 1 1 が得られます 積分範囲を動く (, の値は 2 1 2 2 J d A : = 1 にある面 1 上のす (,, 1 1 = 1 2 図 2 べての点 2 2 J d A : = 2 にある面 2 上のす (,, 1 1 = 2 1 1 2 2 2 1 1 =, = 2 1 べての点 を表します 例えば = 2, = 1は面上左隅の点を表します そこで 積分範囲として面を指定して示すことにすると 面積分として表せ 2 2 1 2 2 2 1 2 (,, (,, J d A = J d A = 1 1 (,, d (,, J A = J da = 2 2 (6.19 を得ます さらに
4/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 を表すと 積分領域として 囲まれた 方向の領域 記号用いて表せ (,, d = (,, d + (,, d ( 方向のみ J A J A J A (6.2 1 2 のように 両面をとる約束とします 以上から 2 2 J (,, d A = d d J(, 2, J(, 1, (6.21 1 1 を得ます 結局 これを残りの面に適用して 2 2 (,, ddi = d d J (,, J (,, J 1 1 2 2 (,, ddk = d d J (,, J (,, J 1 1 2 1 2 1 (6.22 すべての面の寄与を加えると (,, (,, (,, J dd i + J dd j + J dd k になります ここで 左辺は なので 2 2 2 2 (,, J (,, d J (,, J (,, = d d J + d 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 d d J (,, 2 (,, 1 (6.23 1 1 + J (,, (,, (,, J(,, ( ddi ddj ddk = + + J ddi+ J ddj + J ddk (6.24 ddi + ddj + ddk = d (6.25 に注意して (6.24 は最終的に 2 2 2 2 (,, d = d d J (,, (,, + d d J (,, J (,, J J 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 d d J (,, 2 (,, 1 (6.26 1 1 + J と表す事ができます 従って 座標系に依らないガウスの定理として 直交座標系に依存し た表記の体積要素 ddd も d ( olume: 体積 とします : d J = J d ( ガウスの定理 (6.27
5/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 になります ((,, のかわりに を用いています 領域は 例え ば 一般の形として図 3 です 閉曲面を とするとき で囲まれた立体の体積が になります 積分領域が図 1 のような直方体の時 J には d は d による面の向きを考慮して各面上の積分を 実行し 結局 (6.14 で計算することになります J = J( d d J J d 図 3 d J Ⅲ. と流速 ここで の数学的定義は = i + j + k で与えられています の物理における 役割について説明しましょう そのため J として 物質の流れを示すベクトル流速 : J を考えます 例えば 水流 ( 水分子の流れ 電流 ( 電子の流れ などであります 従って ミクロのレベルで見ると分子や電子の ( 平均 速度ベクトルに比例することがわかります そこで 速度は 1 秒当りの なので J を 1 秒当りの移動量 ( 流速 1 秒当り 1 m 2 当りの移動量 ( 流速 として考えることにします さて 図 4 のようにある物質が十分小さな箱 ( Δ, Δ, Δ を通って出て行っています もとの大きな箱の微小部分で 大きな箱での流出量はこの微小箱で埋め尽くせば得られます この作業を 数学では積分といいます このとき Δ t 秒間の流出量の質量は 流出量の質量 =1 秒当り箱の面を通る流出量 ( 流速 の変化 Δ J 面の面積 になります ここで 各面積は ΔΔ, ΔΔ, ΔΔ で表せます 微小面積による流出量は 図 4 を参考にして 面は 方向に向いているので流速を J Δ Δ Δ 図 4 面 ΔΔ J (,. J (, +Δ, Δ Δ Δ 体積 : + Δ
6/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 と名付けるルールにすると 各面での流速を 面 : J = J,, 面 : J = J,, 面 : J = J,, (6.28 と名前をつけておきます そして ベクトル J として ( : J, J, J J (6.29 とおきます このとき 図 4 から 面の Δ t 秒当りの流出量が計算できて 入った量 : J (,, ΔΔ Δt 出た量: (,, J + Δ ΔΔ Δt (6.3 になります ( 問題 2: 何故 Δt を掛けてあるか? 従って 流出量は ので 流出量 = 出た量 - 入った量で計算できる ( (,, (,, 流出量 = J +Δ J ΔΔ Δt (6.31 になります 残りの面からの流出量を加えて流出量 = J ( +Δ,, J(,, Δ Δ Δ t+ J(, +Δ, J(,, ΔΔ Δt (,, J (,, + J +Δ Δ Δ Δt になります ここで Δ, Δ, Δ のとき (,, J( +Δ,, = J(,, + Δ (,, J(, +Δ, = J(,, + Δ (,, J(,, +Δ = J(,, + Δ が成立 ( テーラー展開の最初の 2 項 します これを (6.32 に代入して 従って 流出量 (,, (,, (,, J t t t = Δ ΔΔΔ+ Δ ΔΔΔ+ Δ ΔΔΔ (,, (,, (,, J = + + Δ Δ Δ Δ (,, (,, (,, t (6.32 (6.33 (6.34 J 流出量 = + + ΔΔΔΔt (6.35
7/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 とわかります ここで :,,, J : ( J, J, J( (6.36 なので J J J AB AB AB ( A A A ( B B B J + J + J = J + + = i+ j + k i+ j + k = A B (6.37 が得られます すなわち (,, (,, (,, J 流出量 = + + ΔΔΔΔ t = J ΔΔΔΔt (6.38 と計算されます 従って J は 流出量 ΔΔΔΔ t = J (6.39 になります ΔΔΔ は微小領域の体積になります ここで 流出量 ΔΔΔΔ t = 単位時間当たり単位体積当たりの流出量 (6.4 なので の物理的意味は J は単位時間当り単位体積当りの流出量 とわかりました (6.38 では Δ, Δ, Δ, Δt の極限で d, d, d, dt と表記する ので 流出量 = J( ddddt (6.41 となります これより 測定開始 t 1秒目から終了 t 2 秒目とするとき 全体積 からの流出量は t 2 ddddt dt ddd ( 箱の体積 全流出量 = J = J = (6.42 と計算できます また J は 外に放出 という 発散する 様子を表すので div ( divegenc e: t1 J = J 発散 (6.43 と記述することもあります 従って ガウスの定理は
8/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 d J = J d d divj = J d と 2 つの表記でまとめられます Ⅳ. マックスエルの電磁気学 (6.44 電磁気学では 真空中のマックスエルの電磁場方程式は 電場を E ( 電荷密度を ρ と すると 1 E = ρ ( (6.45 ε で与えられます この関係式より (6.27 は J = d E と置いて E = E d (6.46 (6.45 を用いて 全電荷を とすると 1 E d = ρ d = (6.47 ε ε なので より E (6.48 ε = d がわかります これを d を半径 R の球面で計算すると 5 2 重積分と面積分 -Ⅶ. 例 : 球面上の面積分 : 閉じた面より d = R sinθdθdφ (6.49 なので 2 ˆ 2 2 = d = R sinθdθdφˆ = R sinθdθ dφ ˆ ε E E E (6.5 θ= π φ= 2π になります ここで E ˆ = E として E (6.51 とすると (6.5 は π 2π R 2 sinθ d θ d φ E ε = (6.52 ここで E は極座標では E (,, θ φ と表されるが E は ( 角度に依らない 球対称 : at π 2π E = E = R (6.53
9/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 と仮定すると π 2π π 2π 2 2 R sinθ d θ d φ E ( R R E ( R sinθ d θ d φ ε = = です 積分は π (6.54 2π sinθdθ dφ = 4π (6.55 になるので ( 問題 3:(6.55 を計算して示せ π 2π RE 2 R RE R ε = = d d 2 sinθ θ φ 4π (6.56 になります つまり E ( R = 2 4πε R (6.57 従って 位置にある電荷 q に働く力 F は F = q X にある電荷に働く力 F R は (6.57 より で与えられるので 中心から R q F( R = qe( R = 2 4πε R (6.58 がえられる これを 力といいます Ⅴ. 演習 閉曲面を とし で囲まれた立体の体積を とするとき ( dd + dd + dd = 3 ( = ddd (6.59 を証明せよ (6.59 は :(,, と d :( dd, dd, dd で表す事ができて dd + dd + dd = d (6.6 従って は dd + dd + dd = d (6.61 となります そこで J = = i+ j + k (6.62 と置けばガウスの定理 (6.27 を利用できるようになり (6.61 は J ddd に等し
1/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 くなるので より A A A B B B J = = i+ j + k i+ j + k (6.63 A i+ A j+ Ak B i+ B j+ B k = A B + A B + A B (6.64 を用いて A A A A A A B B B B B B J = i+ j+ k i+ j+ k = + + (6.65 となります ここで なので より = 1, = 1, = 1 (6.66 =3 (6.67 = = 3 J (6.68 です 従って J ddd = 3ddd = 3 = ddd (6.69 が証明できました