微分積分学２

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1 ver

2

3 f f G f fx df x fx dx fx, y f G f x, y, z z fx, y G f fx, y fx, y fx, y x a y ψy fa, y y b x φx fx, b x φx fx, y f x, b x y ψy fx, y f a, y y fx, y R x, y a x b, c y d fx, y G f xy R f x, y, z z fx, y, x, y R i

4 fx, y dxdy R G f x, y, fx, y T C T T f f + x, y + x, y dxdy x y R C S A A n ds V V S A S A diva V A n ds diva dxdydz S V S Ω Ω C X X C X rotx Stokes X t C ds rotx n ds C Green R 3 Ω S ii

5 C ω C ω Ω Ω C ω C Green Green S S V V ω dω Stokes z fx, y Gnuplot c Thomas Williams, Collin Kelley and many others. Mathematica c Wolfram Research, Inc. OPTION 6 4 iii

6 iv

7 ivergence Theorem Green Green Stokes v

8 vi

9 ɛ δ ,, Gamma Beta vii

10 viii

11 4 4. A. R fx, y fx, y Γ f a, Γ f b, fa, b R 3 a, b. fx fx, y fx, y y 3 x, y R 3 <x<3, 3 <y<3 x yz z y 3 z z y x x y fx, y x y x + y fx, y x x, y R

12 y fx xy x y + z fx. x a + y x b x a + y + z b. x 4az x z x 4az z x + y 4az z 3 x a y x y b. x a y + z b x + z a y b. x y.

13 3 B. R fx, y α C α a, b fa, b α C α α fx, y x 3 + y 3 3xy 4.8 B. R 3 fx, y, z α S α a, b, c fa, b, c α S α α fx, y, z x + y + z α a, b, c fa, b, c α α C. R 3 x, y, z R x, y z x r cos θ, y r sin θ, z r, θ R, z R y z r θ x 3

14 Helicoid x r cos θ y r sin θ z θ Helix x 4cosθ y 4sinθ z θ r 4, π θ π. π θ π.. R 3 γ γ xt, yt, zt R 3 a t b, xt, yt, zt a t b Helix S S xu, v, yu, v, zu, v R 3 u, v, xu, v, yu, v, zu, v u, v x u cos v y u sin v z cosv <u, <v<. R S : x + y z x S z x z x + y.5 O,,

15 x a + y b z c x a cos u + vasin u y b sin u vbcos u <u,v< z cv x a y b z x u y bv bu a <u,v< z v + vu a fx, y, z x + y + z +3 6x + y T x, y, z R 3 x + y + z +3 6x + y x + y + z +3 4 x + y x + y + z. T x, y, z, R 3 C x, y, R 3 x + y 4 C yz- y +z z

16 4. R fx, y A. lim fx, y x,y a,b x, y a, b a, b a, b x, y a, b fx, y α lim fx, y α lim fx, y α fx, y α x, y a, b x,y a,b x a,y b α x, y a, b fx, y lim x,y a,b lim x,y a,b lim fx, y α, lim x,y a,b fx, y +gx, y γfx, y gx, y β 4. x,y a,b α + β γα γ 3 lim x,y a,b 4 lim x,y a,b fx, y gx, y αβ fx, y gx, y α β β. a, b fx, y R fx, y lim x,y a,b a, b fx, y fa, b lim fx, y fa, b x,y a,b lim x,y a,b fx, y fa, b lim x,y a,b fx, y a, b. fx, y fx, y R x, y fx, y fx, y fx, y fx, y fx, y y x x, y R x 6

17 lim fx, y lim y x,y +,y x,y +,y x lim fx, y lim y x,y,y x,y,y x y > y < y > y < lim fx, y x,y,y z y/x z y fx, y y // x fx, y x y x + y x, y R x + y R \, x, y r cos θ, r sin θ, lim fx, y lim x,y, x,y, x y x + y r 4 cos θ sin θ lim lim r cos θ sin θ r r r lim fx, y x,y, fx, y, fx, y R fx, y x, y, fx, y x, y,, lim fx, y f, x,y, z x y x + y // z y x R fx, y, gx, y fx, y+gx, y, fx, y gx, y, fx, ygx, y fx, y gx, y x, y gx, y fx, y R fx, y fx, y x, y R I φt I φfx, y. pt qt R J t J pt, qt fpt, qt J. 7

18 4. fx, y x y x + y O, R. fx, y tan y x R 3 R 3 z cos θ r B. R x n,y n n,, R x, y xn x +y n y. lim n R K K x n,y n n,, R x,y x,y K. [a, b] [c, d] [a, b] [c, d] x n,y n n,, R x,y x n,y n [a, b] [c, d] a x n b, c y n d n,, a x b, c y d n,, x,y [a, b] [c, d] // y. R a, b a, b r r a, b x, y R x a +y b r a, b r a, b x n,y n n,, R x,y x ra, b x a +y b x x n +y y n + x n a +y n b x n x +y n y + r r n x a +y b r x,y r a, b // 8

19 4. 5.,. R K fx, y K K x,y K x, y fx, y fx,y fx, y fx,y x, y K. K x, y K x, y fx, y fx,y fx, y fx,y x, y K. R O O x,y x,y r r x,y x, y x x +y y <r O. R x,y r r x,y x, y x x +y y <r R R a, b c, d y tx,y x,y rx,y x,y r x,y x,y x s x x +y y <r x, y t < r s t x,y x, y x x +y y <t x, y x x +y y x x +y y + x x +y y <t+ s<r t x,y x, y x x +y y <t r x,y. y R r x,y x 9

20 R R a, b c, d R Ω Ω x, y, x,y x,y, x,y Ω γ : [, ] Ω, γ x,y γ x,y. ɛ δ R x n,y n n,, R x, y lim xn x +y n y n ɛ N n n N x n x +y n y < ɛ x n,y n x, y ɛ N n n N x n x +y n y ɛ n fx, y x, y fx, y x,y ɛ δ x, y x x +y y < δ fx, y fx,y < ɛ ɛ δ x δ,y δ xδ x +y δ y < δ fx δ,y δ fx,y ɛ.

21 R K fx, y K ɛ δ x, y, x,y K x x +y y < δ fx, y fx,y < ɛ R fx, y x, y, a, b fa, b >. : δ> : x a +y b fa, b <δ fx, y. δ x a +y b fa, b <δ fx, y 3 R R R p, q, p,q fp, q, fp,q R... Bolzano-Weierstrass R K x n,y n n x nk, y nk k K fx, y K fx, y K n fx n,y n >n x n,y n K x n,y n K n x nk,y nk k lim k x n k,y nk x,y K fx,y lim fx n k,y nk <fx,y < k fx, y K V fx, y x, y K R.. sup V fxn,y n V n x n,y n n K

22 K x nk,y nk k fx, y sup V V lim x n k,y nk x, y K k fx, y lim k fx n k,y nk lim n fx n,y n sup V fx, y fx,y x, y K. max fx, y fx,y supv x,y K x,y K fx, y K //. R K fx, y K ɛ n K x n,y n, x n,y n xn x n +y n y n < n fx n,y n fx n,y n ɛ n,, Bolzano-Weierstrass x n,y n, x n,y n n x nk,y nk, x n k,y n k x k,y k, x k,y k k x k x k +y k y k < k K fx k,y k fx k,y k ɛ k,, lim x k,y k x,y, lim k k x k,y kx,y lim x k x k k +y k y k x x +y y x,y x,y lim fx n,y n fx n,y n fx,y fx,y ɛ> k K fx, y K //

23 4.3 A. z fx, y a, b R fa + h, b fa, b lim h h fx, y a, b x a, b x f x a, b fa, b + h fa, b lim h h fx, y a, b y a, b y f y a, b fx, y R a, b x f x a, b f x x, y f x x, y fx, y x fx, y R a, b y f y a, b f y x, y f y x, y fx, y y fx, y x y 3 + x +5y, gx, y e xy +sinx +y f x x, y xy 3 +, f y x, y 3x y +5 g x x, y ye xy +cosx +y, g y x, y xe xy +cosx + y B. fx, y, gx, y x 4. fx, y+gx, y fx, y+ gx, y x x x αfx, y α fx, y α x x 3 fx, y gx, y x 4 gx, y x fx, y gx, y+fx, y gx, y x fx, y x fx, y gx, y fx, y xgx, y. x gx, y gx, y 3

24 fx, y, gx, y y fx, y f x x, y x f xx x, y fx, y. x f x x, y y f xy x, y fx, y. y x f y x, y x f yx x, y fx, y. x y f y x, y y f yy x, y fx, y. y f xx x, y x f xxx x, y 3 fx, y. x3 f xx x, y y f xxy x, y 3 fx, y. y x 4.3 fx, y x 3 3xy + y 3 fx, y xy x + y 3 fx, y exy e x + e y 4 fx, y logx + y 5 fx, y x y 6 fx, y tan y x x> 7 fx, y cos x y> 8 fx, y x + y x +y x + y fx, y x y 3 + x +5y, gx, y e xy +sinx +y 3 fx, y, z fx,x,,x n fx, y, z f x a, b, c, f y a, b, c, f z a, b, c, fx, y, z αx + βy + γz +λxy +μyz +νzx C. z fx, y S S Pa, b, fa, b R 3 π a : x a π b : y b S π b S π b x t y b z ft, b t R R 3 4

25 π b : y b x t C b : z ft, b t R π b C b Pa, b, fa, b π b fx, y y y b fx, b x ϕx fx, b C b Pa, b, fa, b z ϕx fx, b x a ϕ a a, b fx, y x fa + h, b fa, b f x a, b lim ϕ a. h h C b Pa, b, fa, b, R 3 x t y b z f x a, bt a+fa, b t R S π a S π a R 3 x a y t z fa, t t R π a : x a y t C a : z fa, t t R π a C a Pa, b, fa, b π a fx, y x x a fa, y y ψy fa, y C a Pa, b, fa, b z ψy fa, y y b ψ b a, b fx, y y fa, b + h fa, b f y a, b lim ψ b h h C a Pa, b, fa, b, R 3 x a y t z f y a, bt b+fa, b t R 5

26 4.4 A. R 3 a, b, c R 3 ax + by + cz d x,y,z x x + ta : y y + tb t R. z z + tc abc : x x a y y b z z c R 3 a, b, c,, x,y,z ax x +by y +cz z, ax + by + cz ax + by + cz. r> x + y + z r x,y,z Hint. x,y,z 3 R 3 O x + y + z 6,, x + y + z 6,,,, : x + y +z 6. 6

27 B. fx, y R C f x x, y, f y x, y c fa, b, α f x a, b, β f y a, b a, b z fx, y Pa, b, c Pa, b, c P h a + h, b, fa + h, b P k a, b + k, fa, b + k hk P, P h, P k π h,k π h,k : z c fa + h, b fa, b x a+ h fa, b + k fa, b y b. k h, k P h, P k P π h,k T P T P : z c f x a, bx a +f y a, by b T p T P z fx, y Pa, b, c z fx, y x a T P : y b +s +t s, t R z c α β π h,k lp z fx, y Pa, b, c z fx, y l P l P : x a tf x a, b y b tf y a, b z c t t R. z fx, y Pa, b, c l P x a α α l P : y b + t β t R, N P β z c N P f x a, bf y a, b l P l P : x a f x a, b y b f y a, b z c. 7

28 R 3 O x + y + z 6,,,, z 6 x y,, x z x x, y 6 x y, z y yx, y 6 x y z x,, z y,.,, z x y, z x y +3. // z 4 z x + y,, z x x, y x, z y x, y y, z x,, z y,. x y z x + y,, : z x +y, z z x +y. // 5 gx, y e x y 3 z gx, y a, b, ga, b a, b,.6 z e -x -y 3 y C. R 3 γ γt xt, yt, zt R 3 a t b, xt, yt, zt a t b C x γ γt, γt + h l h X x, y, z R 3 h l h : X γt+s γt + h γt h γt + h γt h <s< R 3 h 8

29 γ γt + h γt t lim h h xt + h xt yt + h yt zt + h zt lim, lim, lim h h h h h h x t, y t, z t R 3 γ t γ γt T T γ γt l T : X x, y, z R 3 x xt+sx t y yt+sy t s R z zt+sz t l T : X γt +st s R, T γ t x t, y t, z t. 4.3 C. 6 x +y +z tan δ x+z Px, y, z <δ < π P xy Q O P δ POQ δx, y, z P T P xt,yt,zt xy P δ POQ δt x <, y, z > x z O P Q y. R 3 Aa,a,a 3, Bb,b,b 3 R 3 θ A B a b + a b + a 3 b 3 A B cos θ, A B a b 3 a 3 b, a 3 b a b 3, a b a b R 3. A B A a a b 3 a 3 b +a a 3 b a b 3 +a 3 a b a b A B B b a b 3 a 3 b +b a 3 b a b 3 +b 3 a b a b 9

30 A B A, B π sa+tb s, t R A B π π Xx, y, z A B X A B Cc,c,c 3 π π C sa+tb+c s, t R π C Xx, y, z A B X C S R 3 S Xu, v xu, v, yu, v, zu, v R 3 u, v, xu, v, yu, v, zu, v u, v R C S Xu,v xu,v, yu,v, zu,v R 3 u,v T : S x xu,v +sx u u,v +tx v u,v y yu,v +sy u u,v +ty v u,v z zu,v +sz u u,v +tz v u,v s, t R. X u u,v x u u,v,y u u,v,z u u,v R 3 X v u,v x v u,v,y v u,v,z v u,v R 3 T : X Xu,v +sx u u,v +tx v u,v s, t R. T S fx, y z fx, y S γt S Xu, v xu, v, yu, v, zu, v R 3 u, v γt Xu + at, v + bt R 3 t< ɛ γ γ γ d dt Xu + at, v + bt t ax u u,v +bx v u,v,ay u u,v +by v u,v, az u u,v +bz v u, v ax u u,v +bx u u, v R 3.

31 γ γ l T : X γ + tγ Xu,v +tax u u, v +tbx u u,v t R. γ γ l T T T S T S S Xu,v xu,v, yu,v, zu,v R 3 u,v T : X Xu,v +sx u u,v +tx v u,v s, t R N X u u,v X v u,v y u u,v y v u,v z u u,v z v u,v, z u u,v z v u,v x u u,v x v u,v, x u u,v x v u,v y u u,v y v u,v l N : X Xu,v +t N t R C. x u cos v Helicoid y u sin v z v u, <v< fx, y R C z fx, y Xx, y x, y, fx, y R 3 x, y B. S : z fx, y x, y. S : Xx, y x, y, fx, y R 3 x, y

32 4.5 A. qx, y Ax +Bxy+Cy A, B, C a, b, ϕt qat, bt t R ϕ t, ϕ t B. z - fa,b α h + β k fx, y R C f x x, y, f y x, y α f x a, b, β f y a, b a, b a,b,fa,b z fx, y ɛh, k fa + h, b + k fa, b αh βk h + k h, k, fa + h, b + k fa, b+αh + βk + h + k ɛh, k lim ɛh, k h,k, fx, y a, b a, b fx, y a, b, fa, b fx, y fa, b z fa, b f x a, bx a+f y a, by b dz f x a, bdx + f y a, bdy df f x x, ydx + f y x, ydy fx, y fx, y C xt, yt d dt fxt,yt f xxt,ytx t+f y xt,yty t fxt,yt 3 z fx, y C x ϕu, v y ψu, v

33 z fϕu, v,ψu, v z u z x x u + z y y u z v z x x v + z y y v, z u z x z v z x fϕu, v,ψu, v u fϕu, v,ψu, v v x u + z y x v + z y y u y v. f v ϕu, v,ψu, v ϕu, + f v ϕu, v,ψu, v ψu, x u y u f v ϕu, v,ψu, v ϕu, + f v ϕu, v,ψu, v ψu, x v y v. // x ϕu, v y ψu, v u, v- x, y- T T :u, v x, y ϕu, v, ψu, v. T x ϕu, v y ψu, v ϕu, v u ψu, v u Jacobian, ϕu, v v ψu, v v ϕ, ψ u, v x, y u, v J T u, v 4 F :r, s u, v λr, s, μr, s G :u, v x, y ϕu, v, ψu, v G F : r, s x, y ϕλr, s,μr, s, ψλr, s,μr, s x, y r, s x, y u, v u, v r, s, J G F J G J F 3 ϕ r ϕ u λ r + ϕ v μ r ϕ s ϕ u λ s + ϕ v μ s ψ r ψ u λ r + ψ v μ r ψ s ψ u λ s + ψ v μ s ϕ r ψ r ϕ s ψ s ϕ u ψ u ϕ v ψ v λ r μ r λ s μ s // 3

34 C. z fx, y C x r cos θ, y r sin θ z zr, θ zr cos θ, y r sin θ z r z x x r + z y y r z x cos θ + z y sin θ z θ z x x θ + z y y θ z x r sin θ+z y r cos θ. z r z θ cos θ r sin θ z x cos θ sin θ r sin θ rcos θ z y z x z y z r z θ sin θ rcos θ z x z r r x + z θ θ x z y z r r y + z θ θ y, r x r y θ x θ y z x z y cos θ sin θ z r z θ sin θ r cos θ r r x cosθ, r y sinθ θ x sin θ, θ y cos θ r r r tan y x > x x + y θ π +tan y x x< r x x x + y x r cosθ, r y y x + y y r sinθ z r z θ. θ x y x + y x y x + y y r sin θ r, θ y x + y x x x + y x r cos θ r //. z x +z y z r + r z θ z x +z y z r cos θ z θ sin θ + z r sin θ + z θ cos θ zr + r r r z θ. 4

35 . fx, y C h, k,, Δf fx + h, y + k fx, y Δf fx + h, y + k fx, y + k+fx, y + k fx, y y + k x ϕx fx, y + k fx + h, y + k fx, y + k ϕx + h ϕx ϕ x + θ hh hf x x + θ h, y + k x y ψy fx, y fx, y + k fx, y ψy + k ψy ψ y + θ kk kf y x, y + θ k Δf fx + h, y + k fx, y + k+fx, y + k fx, y hf x x + θ h, y + k+kf y x, y + θ k < θ, θ < ɛ f x x + θ h, y + k f x x, y ɛ f y x, y + θ k f y x, y Δf hf x x, y+kf y x, y+hɛ + kɛ. Cauchy-Schwarz dz f x x,y dx + f y x,y dy x,y,fx,y hɛ + kɛ h + k ɛ + ɛ f x x, y f y x, y lim ɛ lim ɛ h,k, h,k, lim h,k, ɛ + ɛ, hɛ + kɛ lim h,k, h + k a b α f x a, b β f y a, b // fa + h, b + k fa, b αh βk h + k h, k, 5

36 fx, y C xt, yt ϕt fxt,yt x xt, y yt h xt + δ xt, k yt + δ yt α f x x, y, β f y x, y ϕt + δ ϕt fxt + δ,yt + δ fxt,yt fx + h, y + k fx, y ϕt + δ ϕt αh βk δ xt, yt h lim δ δ x t fx + h, y + k fx, y αh βk h + k h + k δ k lim δ δ y t h + k lim x δ δ t + y t <. ϕt + δ ϕt αh βk lim δ δ // fx + h, y + k fx, y αh βk lim δ h + k ϕt + δ ϕt αh βk lim δ δ ϕt + δ ϕt h lim α lim δ δ δ δ β lim k δ δ ϕt + δ ϕt lim αx t βy t δ δ ϕ ϕt + δ ϕt t lim αx t+βy t δ δ. n n fx,x,,x n C n x t, x t,,x n t d dt fx t,x t,,x n t n f xi x t,x t,,x n t x it. i 6

37 4.5 fx, y C f y x, y fx, y ϕx fx, y x fx, y C xf x x, y yf y x, y xy z fx, y xy u Hint. u xy, v y uv zu, v f v,v 3 fx, y C xf y x, y yf x x, y x, y, z fx, y r x + y 4 ux, y C u xy x, y ux, y fx+gy 5 t> ftx ty t m fx, y fx, y m fx, y, R C fx, y m xf x x, y+yf y x, y mfx, y af x a, b+bf y a, b mfa, b a, b R 6 x + y xy x + y 3 x y 4 x + y 3 e y x x + y 7 xy x, y, fx, y x + y x, y, R, y z x z fx, y 8 fx, y x y x + y 4. R C 7

38 4.6 A. fx, y f x x, y, f y x, y, f xy x, y, f yx x, y f xy x, y f yx x, y f xyx x, y f yxx x, y f xxy x, y 4 f x y 4 f x x y y 4 f x y x y 4 f x y y x 4 f y x y x 4 f y y x x 4 f y x. fx, y n n k k n fx, y C n fx, y fx, y C 4.5 B. n n n x i fx, y n i y y n i fx, y i,,,n i x B. fx, y e x cos y f xx x, y, f yy x, y z e x cos y z y Δfx, y f xx x, y+f yy x, y x Δ x + y Laplacian z Δfx, y fx, y x x + y, ex cos y, e x sin y, tan y x, log x + y. y x z log p x.5 +y.5 +log p x.75 +y.7 +log p x.75 +y.9. 8

39 z fx, y C x r cos θ, y r sin θ z xx + z yy z rr + z r r + z θθ r. x z x z r r z θ 4.5 C. y z y z r r + z θ y r x r z xx z rr r x + z rθ θ x x r + z y r r 3 z θrr x + z θθ θ x y r z xy θ r 4 x z rr r z xy rθ r 3 + z y θθ r 4 + z y r r 3 + z xy θ r 4 z yy z rr r y + z rθ θ y y r + z r r 3 +z θrr y + z θθ θ y x r + z θ y z rr r +z xy rθ r 3 + z x θθ r 4 + z x r r 3 z xy θ r 4. x z xx + z yy z rr r + z y rr r + z y θθ r 4 + z x θθ r 4 + z y r r 3 + z r x xy r 4 x r 3 z rr + z r r + z θθ r. // C. u fx, y, z C x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ, z z <ρ, ϕ<π, <z< 4.5 C. u x + u y + u z u uϕ +u ρ + ρ z. u xx + u yy + u zz u ρρ + u ρ ρ + u ϕϕ ρ + u zz. 3 u fx, y, z C x r sin θ cos ϕ, y r sin θ sin ϕ, z r cos θ <r, θ π, ϕ<π z, θ ϕ u x +u y +u z u r + uθ + uϕ. r r sin θ y r x 9

40 u xx + u yy + u zz u rr + u θθ r + u ϕϕ r sin θ +u r r +cotθ u θ r r r ru + r sin θ u + sin θ θ θ r r r u r + r sin θ θ sin θ u θ u ϕ r sin θ + r sin θ u ϕ. r x + y + z, θ cos z r, ϕ cos x x + y r x x r, r y y r, r z z r xz θ x r x + y, θ yz y r x + y, ϕ x y x + y, ϕ x y x + y, ϕ z. θ z x + y x u x u r r + u xz θ r x + y u y ϕ x + y, y u y u r r + u yz θ r x + y + u x ϕ x + y, z u z u r r u x + y θ r u x + u y + u z u r + uθ + uϕ. ϕ r r sin θ r ϕ π y x x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ, z z <ρ, ϕ<π, <z< uρ, ϕ, z u xx + u yy + u zz u ρρ + u ρ ρ + u ϕϕ ρ + u zz. ρ r sin θ, z r cos θ, ϕ ϕ <r, <θ<π, ϕ<π ur, θ, ϕ u ρρ + u zz u rr + u r r + u θθ r u ρ ρ cos θ u r sin θ + u θ r sin θ r u xx + u yy + u zz u rr + u r r + u θθ r + u r r +cotθ u θ r + u ϕϕ r sin θ u rr + u r r + u θθ r +cotθ u θ r + u ϕϕ r sin θ r r ru + r sin θ r r r u r θ + r sin θ 3 sin θ u θ θ sin θ u θ + r sin θ + r sin θ u r r +cotθ u θ r u ϕ u ϕ. //

41 Δ x + y + z fx, y, z. Laplacian Δfx, y, z, sin 3x sin 4y sinh 5z. x + y + z. fx, y f xy x, y, f yx x, y x,y h, k,, Δfx + h, y + k fx + h, y fx,y + k+fx,y y, y + k ϕx fx, y + k fx, y ϕx Δϕx + h ϕx ϕ x f x x, y + k f x x, y Δ ϕ x + θ h h f x x + θ h, y + k f x x + θ h, y h < θ < f xy x, y y ψy f x x + θ h, y ψ y f xy x + θ h, y Δψy + k ψy h ψ y + θ k kh f xy x + θh, y + θ k hk < θ < Δ f xy x, y lim h,k, hk f xyx,y x,x + h ϕy fx + h, y fx,y Δ ϕy + k ϕy ϕ y + θ k k f y x + h, y + θ k f yx,y + θ k k < θ < x ψx f y x, y + θ k ψ x f yx x, y + θ k Δ ψx + h ψx k ψ x + θ h hk f yx x + θ h, y + θ k hk < θ < f yx x, y lim h,k, Δ hk f yxx,y // f xy x,y lim h,k, Δ hk f yxx,y 3

42 4.6 z xx, z xy,z yx,z yy : z R x y α z tan x + y t fx, t A coskx + ωt+bcoskx ωt A, B, k, ω R z f xx + k f x z cosx +4t+3cosx 4t 3 C fζ gζ c k ux, t fkx + ct+gkx ct u xx c u tt * ft ϕx, y fϕx,y fϕx,y x f ϕx, y ϕx, y, x fϕx,y y f ϕx, y ϕx, y. y 4 u xx c u tt C ux, t Hint: ξ x + ct, η x ct z ux, t z ξη 5 ux, y, t x +y 4πkt e 4kt k z ux, y, t t u t kδu r z r e 4t 4πt 3

43 6 r x + y + z x r, y r, Δ r z r x + y + z r 7 F x, y, z r x + y + z fr F x, y, z fr ΔF x, y, z Δfr f r+ r f r fr r α α R, log r Δfr 8 fx C ux, y, z, t f x + y + z ct x + y + z z t c ux, y, z, t u t c Δu u c cosr t z r <r<π, π <t<π r 9 C fζ gζ c λ, μ, ν λ + μ + ν ux, y, z, t fλx + μy + νz + ct+gλx + μy + νz ct u t c Δu u λ, μ λ + μ ux, y cosλx + μy Δu u k, λ, μ λ + μ z cosx + y z y ux, y, t e kt cosλx + μy u t kδu x 33

44 4.7 B. Taylor Maclaurin fx, y R C n 4.6 A <p n p p fx, y p fx, y x p, x p y,, p fx, y x p i y i,, p fx, y x y p, p fx, y y p p h, k p pc i h p i k i p fx, y x p i y i h x + k pfx, y a, b y i h x + k pfa, b h y x + k pfx, p [ y y xa, pc i h p i k i p f ] yb x p i y i a, b p C i p! i!p i! i fx, y R C n a, b, x, y fx, y fa, b+ x a x +y b fa, b+ x a y! x +y b fa, b+ y + x a n! x y +y b n fa, b+rn R n x a n! x +y b nfa + θx a,b+ θy b < θ< y T n x, y n p x a p! x +y b pfa, b fx, y a, b n y Taylor fx, y T n x, y R n a, b x, y a+θx a,b+θy b < θ< Lagrange fx, y, R C n,, x, y fx, y f, + x x + y f, + x y! x + y f, + y + x n! x + y n f, + Rn y R n x n! x + y nfθx, θy < θ < y 34

45 fx, y x, y a, b C R n lim R n fx, y a, b, n fx, y x a n! x +y b nfa, b. y n fx, y h x + k fx, y hf x x, y+kf y x, y, y h x y + k fx, y h f xx x, y+hkf xy x, y+k f yy x, y, h x y + k 3fx, y h 3 f xx x, y+3h kf xxy x, y+3hk f xyy x, y+k 3 f yyy x, y,. fx, y x + y xy x, y, Taylor f x x, y x y, f y x, y y x f xx x, y, f xy x, y, f yy x, y f xxx x, y f xxy x, y f xyy x, y f yyy x, y fx, y +x + y + x x y + y! +x + y + x x y + y, R.. fx, y e x+y x, y, Taylor e x+y +x + y + x + y! + + x + yn n! + θx + θyn n! p+q fx, y fx, y e x+y x p y q p, q,,, x k! x + y kf, x + y k y k! k,,. fx, y +x + y+! x + x + y yn R n n! θx + θyn R n < θ <. n! C. fx, y a, b C n t F t fa+ht, b+kt F t C n 35

46 F p t h x + k pfa + ht, b + kt p,,,n y p F p t h x + k y pfx, ip y i pc i h p i k i p fx, y x p i y i x a + ht, y b + kt F p t h x + k pfx, y y xa+ht, h yb+kt x y + k pfa + ht, b + kt F t fa + ht, b + kt F t hf x a + ht, b + kt+kf y a + ht, b + kt d h dt F t x + k fx, y y 4.5 xa+ht, yb+kt p F p t h x + k y pfx, y xa+ht, yb+kt F p+ t d dt F p t h x + k h y x y + k pfx, y xa+ht, yb+kt h x y + k p+fx, xa+ht, y yb+kt //. Taylor fx, y C n a, b h, k,, t F t fa + th, b + tk t F t Taylor F t F + F t + F t + + F n! n! tn + F n θt t n < θ < n! 36

47 F p F F + F + F! F n θ F p t fa + h, b + k fa, b+ + + F n n! h x + k pfa + ht, b + kt y + F n θ n! h x + k pfa, b p,,,n y h x + k nfa + θh, b + θk y t F h + n! h x + k y fa, b+! x + k y n fa, b+ n! h h x + k y x + k fa, b+ y nfa + θh, b + θk < θ < x, y a + h, b + k h x a, k y b fx, y fa, b+ x a x +y b fa, b+ x a y! x +y b fa, b+ y + x a n! x +y b n fa, b+rn y R n x a n! x +y b nfa + θx a,b+ θy b < θ < y 4.7 fx, y x 3 + y 3 3xy x,y 3 Taylor fx, y e x cos y x,y Taylor 3 fx, y e ax sin by a, b x,y π Taylor 4 ϕx x a C n, ψy y b C n fx, y ϕxψy a, b C n h x + k pfx, p y pc i h p i k i ϕ p i xψ i y y i 37

48 4.8 A. A fx, y x, y x,y δ x x +y y <δ, x, y A fx,y fx, y A fx, y x, y x,y δ x x +y y <δ, x, y A fx,y fx, y O fx, y fx, y A fx, y x, y x,y fx, y x, y x,y fx, y e x y fx, y e r z z e x y r x + y y fx, y x, y, f, x fx, y x + y x + y + fx, y z fx, y gx, y 6 x + y +x + y 3 38

49 z fx, y z y z y x x z gx, y B. z qx, y αx +βxy + γy α qx, y α x + β α y αγ β + α α>, β αγ < qx, y, α<, β αγ < qx, y, α, β αγ > q, y y x β αγ > α > qx, αx > x q βy, αy αy αγ β < y, qx, y qx, x +xy +3y q, fx, y x,y R ϕx fx, y x x ψy fx,y y y f x x,y f y x,y x,y fx, y fx, y f xx x, y f xy x, y Hx, y fx, y Hesse f yx x, y f yy x, y, fx, y C x,y R fx, y f x x,y f y x,y 39

50 f xy x,y f xx x,y f yy x,y Hx,y f xx x,y >, < fx,y f xx x,y <, < fx,y 3 > fx,y 4 fx, y x 3 + y 3 3xy z z x 3 + y 3 3xy f x x, y f y x, y x, y f xx x, y, f xy x, y, f yy x, y 3 fx, y f x x, y 3x y f y x, y 3y x x, y,,,. f xx 6x, f xy 3, f yy 6y. y x 3 fxy f xxf yy 9 36xy x, y, 9> f, x, y, <, f x, 6 > f, 4.8 fx, y xy + a x + a y a> z z y y x x z x 4 + y 4 +x y x +y z xy + a x + a y 4

51 z x 4 + y 4 +x y x +y 3 z x 3 +3xy 3x 3y +4 4 fx, y xy e x y 5 fx, y cosx + y +sinx +siny x, y <π 6 z x +4xy + y z 3x y z π 4 fx, y x +4xy + y. fx, y, xt, yt C ϕt fxt,yt ϕ t f x xt,ytx t+f y xt,yty t ϕ t f xx xt,ytx t +f xy xt,ytx ty t+f yy xt,yty t + f x xt,ytx t+f y xt,yty t x xt, y yt f x x,y f y x,y f xx x,y f xy x,y f xx x,y f yy z,y < x t,y t, ϕ f x x,y x + f y x,y y ϕ f xx x,y x +f xy x,y x y + f yy x,y y B. ϕt t t a, b, ϕt fx + at, y + bt t fx, y C x,y R f x x,y f y x,y f xy x,y f xx x,y f yy x,y fx, y C x, y f xy x, y f xx x, yf yy x, y f xx x, y 4

52 x,y f xy x,y f xx x,y f yy x,y f xx x,y x, y x,y x, y f xx x,y δ x,y > x,y < f xx x,y > fxx x,y < x x +y y <δ x, y >, x x +y y <δ x, y <, x x +y y <δ f xx x, y >. x x +y y <δ f xx x, y <. x, y x + a, y + b < x x +y y a + b <δ ϕt fx + at, y + bt t x,y < f xx x,y > ϕ f x x,y a + f y x,y b ϕ t f xx x + at, y + bt a +f xy x + at, y + bt ab +f yy x + at, y + bt b > t ϕ t t ϕt t fx, y ϕ ϕ fx,y fx,y x,y < f xx x,y < fx,y x,y > f xx x,y > α f xx x,y >, β f xy x,y, γ f yy x,y B. ϕt fx + αt, y t ϕ f x x,y α ϕ α α > ϕ t t t x,y fx, y > x, y ϕt fx βt, y + αt ϕ f x x,y β +f y x,y α ϕ α β +β βα + γα α β + αγ < ϕ t t t x,y fx, y < x, y fx,y // 4

53 4.9 A. fx, y R ϕx fx, ϕx 4.5 f y x, ϕx d dx fx, ϕx f xx, ϕx + f y x, ϕxϕ x ϕ x f xx, ϕx f y x, ϕx fx, y x + y fx, y y x y x f xx, y f y x, y x y x. x yx fx, y x + yx d x + yx x +yy dx y x y x y x x fx, y R C fa, b, f y a, b a, b a I R ϕx,, 3 b ϕa fx, ϕx and f y x, ϕx x I 3 ϕx C, ϕ x f xx, ϕx f y x, ϕx x I. zf x,y z z fx, y z y ϕx 4 fx, y C p ϕx C p 43

54 fx, y, z R 3 C fa, b, c, f z a, b, c a, b, c a, b R R ϕx, y,, 3 c ϕa, b fx, y, ϕx, y and f z x, y, ϕx, y x, y R 3 ϕx, y C, ϕ x x, y f xx, y, ϕx, y f z x, y, ϕx, y, ϕ yx, y f yx, y, ϕx, y f z x, y, ϕx, y x, y R. 4 fx, y C p ϕx, y C p fx, y C fx, y, f y x, y y ϕx y f xxfy f xy f x f y + f yy fx fy 3 ϕ x ϕ x f xxx, ϕx f y x, ϕx. B. C fx, y fx,y f x x,y f y x,y x,y y ϕx C ϕx ϕ x ϕ x f xxx,y f y x,y ϕ x f xx x,y x ϕ x ϕx ϕ x y ϕx 44

55 fx, y x 3 + y 3 3xy, f y x, y y ϕx ϕ x x, y ϕx ϕ x x 3 ϕ x x,y ϕx 4 ϕx escarte x 3 + y 3 3xy f x x, y 3x 3y 3x y, f y x, y 3y 3x 3y x, f xx x, y 6x ϕ x f xx, ϕx f y x, ϕx ϕx x ϕx x ϕx x x ϕx y x f x x, y fx, y y ϕx y x x 6 x 3 x 3 x 3 f x x, y x, 3 x y, f y x,y x 3,y x f xx x, y 6x ϕ x f xxx,y f y x,y 6x 3y 3x x 3. 4 x 3 f y 3, >, ϕ 3 < ϕx x y 3 4 y ϕx. // escarte x 3t +t 3, y 3t t +t3 C. R 3 C fx, y, z Px,y,z fx,y,z α α S α a, b, c fa, b, c α f z x,y,z x,y,z fx, y, ϕx, y C z φx, y φx, φ y, f x, f y, f x,f y,f z f z f z f z 45

56 S α Px,y,z T P x x f x x,y,z +y y f y x,y,z +z z f z x,y,z. l P x x tf x x,y,z l P : y y tf y x,y,z t R z z tf z x,y,z 4.9 x + y x y Bernoulli Lemniscate fx, y x + y x y, f y x, y y ϕx ϕ x x, y ϕx ϕ x x 3 ϕ x x, y ϕx 4 ϕx a> 4x 4-4a x +a y y fx, y 4x 4 4a x + a y, f y x, y y ϕx ϕx x 3 fx, y x x xy +y, f y x, y y ϕx ϕx 4 x a + y b + z c Px,y,z T P l P 46

57 . fx, y R C fa, b, f y a, b a, b fx, y z fx, y a, b y- a, b K x, y a δ x a + δ, b ɛ y b + ɛ δ, ɛ > a [a δ, a + δ] y fa,y [b ɛ, b + ɛ] fa,y [b ɛ, b + ɛ] x [a δ, a + δ] y fx, y [b ɛ, b + ɛ] y ϕx fx, y a, b K z fx, y z y ϕx f y a, b > f y x, y η ɛ f y x, y > a η x a + η, b ɛ y b + ɛ x a fa, y d dy fa, y f ya, y >. fa, y [b ɛ, b+ɛ] fa, b ɛ <fa, b <fa, b + ɛ y f x, y b+ε b K b-ε a-η a-δ a a+δ a+η x fx, y δ< η fx, b ɛ <, fx, b + ɛ > a δ x a + δ δ ɛ a, b K x, y a δ x a + δ, b ɛ y b + ɛ δ, ɛ > x a δ, a + δ y fx, y d dy fx, y f yx, y > 47

58 fx, y [ b ɛ, b + ɛ] fx, b ɛ < <fx, b + ɛ fx, y y b ɛ, b+ɛ y ϕx a I a δ, a + δ ϕx, b ϕa fx, ϕx and f y x, ϕx x I. ϕx x a ϕx ɛ δ ϕa ɛ<ϕx <ϕa+ɛ a δ<x<a+ δ ϕx a a δ, a + δ a b ϕa ϕx a,b 3 ϕx 4.7 B. Taylor fx + h, y + k fx, y+hf x x + θh, y + θk+kf y x + θh, y + θk < θ < y ϕx, y+ k ϕx + h fx + h, ϕx + h fx, ϕx + hf x x + θh, y + θk+kf y x + θh, y + θk < θ < ϕx + h ϕx h k h f xx + θh, y + θk f y x + θh, y + θk f xx, y f y x, y h 4 y ϕx ϕ x f xx, ϕx f y x, ϕx fx, y C f xx, ϕx f y x, ϕx C ϕ x f xxx, ϕxf y x, ϕx f xy x, ϕxf x x, ϕxf y x, ϕx + f yy x, ϕxf x x, ϕx f y x, ϕx A. ϕx C fx, y C p ϕx C p // 48

59 4. C. fx, y, gx, y C gx, y fx, y gx,y x,y fx,y g y x,y x y ϕx y ϕx gx, ϕx ϕ x g xx, ϕx g y x, ϕx x,y gx, y x, y y ϕx fx,y z fx, ϕx z fx, ϕx dz dx f xx, ϕx f y x, ϕx g xx, ϕx g y x, ϕx f x x,y g y x,y f y x,y g x x,y λ f yx,y g y x,y f xx,y λg x x,y f y x,x,y y λg y x,y λ Lagrange Lagrange fx, y, gx, y C gx, y fx, y λ x, y f x x, y λg x x, y f y x, y λg y x, y g y x, y x,y y ϕx C ϕx d dx fx, ϕx xx f x x,y f y x,y g xx,y g y x,y g y x, y x, y fx, y x,y fx,y 49

60 x + y fx, y x + y Lagrange gx, y x + y. gx, y f x x, y λg x x, y f y x, y λg y x, y, x + y 4λx λy λ λ 3 λ ± x 4λ ± 6 y λ ± 6 x 4λx+y λy x + y λx + y x + y λ fx, y x + y x, y 6, 6 λ 3 x, y 6, 6 λ 3 // - x 4. a + y fx, y x + y b 8x + y fx, y x + y 3 x + y xy x y + fx, y xy x + y xy x y + x + y x y

61 4 ϕx, y x xy + y, z x + y x xy + y x + y + 3 x + y sin x +siny π 6 x, y 7π 6 3 z x + y.. C. 3. fx, y, z, gx, y, z C gx, y, z fx, y, z λ x, y, z f x x, y, z λg x x, y, z f y x, y, z λg y x, y, z f z x, y, z λg z x, y, z g z x, y, z x,y,z z ϕx,y C ϕx, y x fx, y, ϕx, y f x x,y,z f z x,y,z xx,yy g xx,y g z x,y y fx, y, ϕx, y f y x,y,z f z x,y,z xx,yy g yx,y,z g z x,y,z g z x, y, z x, y, z fx, y, z fx,y,z x,y,z x a + y b + z a, b, c >, xyz c 5

62 4.. V ΦU U u,v x Φ,y Φu,v u,v x,yφu,v uv- C Φ: x xu, v, y yu, v x, y Ju, v u, v u, v u,v x,y Φu,v u,v U x,y V Φ U V Φ : V U C Ju, v Ju, v u,v x,y Φu,v u,v r r u,v r u,v r u,v u, v u u +v v r. Ju, v Ju, v r u,v m m min Ju, v u, v r u,v >. r u,v M > x u u, v M, x v u, v M, y u u, v M, y v u, v M u, v r u,v r u,v m ɛ ɛ M δ u, v, u,v r u,v max u u, v v <δ x u u, v x u u,v < ɛ M, x vu, v x v u,v < ɛ M y u u, v y u u,v < ɛ M, y vu, v y v u,v < ɛ M r u,v r u,v R 4 C xu, v, yu, v Ku,v,u,v x u u,v y v u,v x v u,v y u u,v max u u, v v <δ Ku,v,u,v Ju,v <ɛ. 5

63 max u u, v v <δ Ku,v,u,v Ju,v xu u,v y v u,v x v u,v y u u,v x u u,v y v u,v x v u,v y u u,v x u u,v x u u,v y v u,v x v u,v x v u,v y u u,v M x u u,v x u u,v + M x v u,v x v u,v < M ɛ M + M ɛ M ɛ u,v, u,v r u,v Ku,v,u,v Ju,v <ɛ<m Ku,v,u,v > Ju,v ɛ>ju,v m> r u,v r u,v Ku,v,u,v > Φ r u,v r u,v u, v, u,v Φu, v Φu,v x, y u,v, u,v r u,v xu,v xu, v x u u,v u u+x v u,v v v yu,v yu, v y u u,v u u+y v u,v v v u u, v v x u u,v y v u,v x v u,v y u u,v Ku,v,u,v > u,vu, v Φ r u,v U r u,v V ΦU Φ : V U V x,y Φ U r u,v u,v U x,y Φu,v ρ min xu, v x +yu, v y u, v U > U r u,v u,v r x,y ρ ρ x,y ρ x,y x,y ρ x,y x,y Φ U μu, v xu, v x +yu, v y u, v U U μ μu,v <ρ u,v U x u u,v xu,v x +y u u,v yu,v y x v u,v xu,v x +y v u,v yu,v y x u u,v y v u,v x v u,v y u u,v Ju,v > xu,v x yu,v y Φu,v x,y x,y V ρ x,y V ΦU V ΦU // Φ Φ C 53

64 54

65 5 5. A. R [a, b] [c, d] x, y R a x b, c y d fx, y fx, y M R x, y fx, y M M fx, y M R [a, b] [c, d] n m a a <a <a < <a m <a m b Δ : c c <c <c < <c n <c n d. R i,j [a i,a i ] [c j,c j ] ξ ij,η ij : a i ξ ij a i μ : b j η ij b j i,,,m, j,,,n. Δ μ RΔ,μ fξ ij,η ij a i a i c j c j i m, j n R i,j R RΔ,μ fξ ij,η ij a i a i c j c j Mb ad c i m, j n Δ Δ Δ max δ i,j δ i,j a i a i +c j c j i,j Δ Δ RΔ,μ fx, y dxdy lim RΔ,μ fx, y R R Δ fx, y R fx, y > x, y R fx, y dxdy z fx, y R. R 55

66 fx, y R [a, b] [c, d] f fx, y x, y x, y x, y f x, y dxdy R f x, y R f x, y dxdy R fx, y dxdy f x, y dxdy R. fx, y x, y χ x, y x, y χ x, y dxdy R χ x, y dxdy R X X R [a, b] [c, d] R i,j Δ Δ : a a <a <a < <a m <a m b c c <c <c < <c n <c n d, R i,j [a i,a i ] [c j,c j ]. X R i,j bδ a i a i c j c j X R i,j R, lim bδ Δ fx, y R [a, b] [c, d] fx, y R B. fx, y, gx, y E 56

67 3 fx, y+gx, y dxdy αfx, y dxdy α fx, y dxdy fx, y dxdy + gx, y dxdy. fx, y dxdy α. fx, y dxdy. 4 E E E fx, y dxdy fx, y dxdy + fx, y dxdy. E E fx, y R [a, b] [c, d] y [c, d] x fx, y [a, b] y R b a fx, y dxdy fx, y dx [c, d] d c b a fx, y dx dy. 3 ϕ x ϕ x a x b x, y R a x b, ϕ x y ϕ x fx, y ϕx ϕ x fx, y dy a x b [a, b] fx, y dxdy b ϕx a ϕ x fx, y dy dx y y ϕ x y ϕ x a b x 3 α y α y c y d x, y R c y d, α y x α y fx, y d y x α y x α y αy α y fx, y dx c y d [c, d] fx, y dxdy d αy c α y fx, y dx dy c x 57

68 fx, y R d b b d fx, y dxdy fx, y dx dy R c a a c fx, y dy dx. fx, y R [a, b] [c, d] f fx, y x, y x, y x, y f x, y R R Δ Δ Δ f x, y RΔ,μ lim RΔ,μ Δ lim RΔ,μ RΔ,μ Δ Cauchy ɛ δ Δ, Δ <δ RΔ,μ RΔ,μ <ɛ lim RΔ,μ Δ, Δ RΔ,μ. Δ,μ R K fx, y K R K fx, y K ɛ δ x, y, x,y K x x +y y < δ fx, y fx,y < ɛ 4. 58

69 M max x, y fx, y max x, y R f x, y < R [a, b] [c, d] mn R ij [a i,a i ] [c j,c j ] a a <a <a < <a m <a m b Δ : c c <c <c < <c n <c n d. R b ad c R, R ij a i a i c j c j R ij i,j R i,j R R ij s ij,t ij a i s ij a i μ : c j t ij c j i,,,m, j,,,n. RΔ,μ f s ij,t ij a i a i c j c j i,j i,j f s ij,t ij R ij, R i,j R i,j RΔ,μ i,j f s ij,t ij R ij M R ij M R. i,j R [a, b] [c, d] f x, y RΔ,μ I R ij [a i,a i ] [c j,c j ] s ij, t ij : a i s ij a i μ : c j t ij c j i,,,m, j,,,n. Δ μ RΔ, μ i,j f s ij, t ij R ij RΔ, μ RΔ,μ i,j A f s ij, t ij f s ij,t ij R ij f s ij, t ij f s ij,t ij R ij + B f s ij, t ij f s ij,t ij R ij. 59

70 A f s ij, t ij f s ij,t ij R ij R ij f s ij, t ij f s ij,t ij R ij B R ij fx, y ɛ < M δ x, y, x, ỹ x x +y ỹ < δ fx, y f x, ỹ < ɛ Δ Δ <δ fx, y f x, y f x, y f s ij, t ij f s ij,t ij <ɛ R ij R ij M s ij, t ij, s ij,t ij R \ s ij, t ij R \, s ij,t ij f s ij, t ij f s ij,t ij M f s ij, t ij f s ij,t ij R ij < ɛ R ij R ɛ. B B f s ij, t ij f s ij,t ij R ij A R ij R ij A R i,j f s ij, t ij f s ij,t ij M A a i a i c j c j bδ f s ij, t ij f s ij,t ij R ij M A R ij MbΔ. RΔ, μ RΔ,μ f s ij, t ij f s ij,t ij R ij < MbΔ + R ɛ. i,j II, [a, b] [c, d] Δ Δ Δ Δ 6

71 Δ : a ã < ã < ã < < ã p < ã p b c c < c < c < < c q < c q d, Δ Δ <δ. R k,l [ã k, ã k ] [ c l, c l ] s kl, t kl : ã i s ij ã i μ : c j t ij c j i,,,p, j,,,q. R k,l ã k ã k c l c l R kl Δ μ R Δ, μ f s kl, t kl R kl k,l R [a, b] [c, d] Δ Δ RΔ,μ Δ Δ RΔ,μ f s ij,t ij a i a i c j c j f s ij,t ij ã k ã k c l c l i,j i,j a i <ã k a i,c j < c l c j Δ R ij R Δ, μ RΔ,μ i,j a i <ã k a i,c j < c l c j A a i <ã k a i,c j < c l c j + B f s kl, t kl f s ij,t ij R kl f s kl, t kl f s ij,t ij R kl f s kl, t kl f s ij,t ij R kl. A a i <ã k a i,c j < c l c j R ij R ij B Δ Δ <δ fx, y f x, y R kl R ij f s kl, t kl f s ij,t ij <ɛ f s kl, t kl f s ij,t ij Rkl < ɛ R ij R ɛ. B a i <ã k a i,c j < c l c j R ij R kl R ij. I Δ Δ <δ R ij R kl f s kl, t kl f s ij,t ij M f s kl, t kl f s ij,t ij R kl A a i <ã k a i,c j < c l c j M A M A a i <ã k a i,c j < c l c j R ij Mb Δ. Rkl B 6

72 R Δ, μ RΔ,μ i,j f s ij, t ij R ij k,l f s kl, t kl R kl < MbΔ + R ɛ. III R [a, b] [c, d] Δ Δ Δ, Δ <δ R Δ Δ R Δ Δ μ c j c l c l c j y RΔ,μ a i a i x R Δ,μ, Δ,μ RΔ,μ, RΔ,μ I II RΔ,μ RΔ,μ RΔ,μ RΔ,μ + RΔ,μ RΔ,μ MbΔ+MbΔ + R ɛ. R ij R ij a i a i c j c j bδ Δ A R i,j I, II II lim bδ lim Δ Δ bδ ɛ // lim RΔ,μ Δ, Δ RΔ,μ ã k ã k y b a fx, y dx [c, d] [c, d] Δ y t j Δ y : c c <c <c < <c n <c n d, c j t j c j j,,,n fx, y dxdy b fx, t j dx c j c j [a,b] [c,d] j a R [a, b] [c, d] Δ Δ RΔ,μ [c, d] Δ y t j a a <a <a < <a m <a m b Δ : c c <c <c < <c n <c n d 6

73 R i,j [a i,a i ] [c j,c j ] s i,t j a i s i a i μ : c j t j c j i,,,m, j,,,n. RΔ,μ i,j fs i,t j a i a i c j c j fx, y R ɛ δ Δ <δ fx, y dxdy RΔ,μ < ɛ R Δ Δ <δ RΔ,μ i,j j j fs i,t j a i a i c j c j b a + j b a fx, t j dx c j c j fs i,t j a i a i i fx, t j dx c j c j + j b a R j fx, t j dx c j c j b a fx, t j dx c j c j, R j i fs i,t j a i a i. fx, y dxdy b fx, t j dx c j c j R j a fx, y dxdy RΔ,μ+ b R j R j a fx, y dxdy RΔ,μ + b R j R < ɛ + R j j b a fx, t j dx c j c j j a fx, t j dx fx, t j dx c j c j c j c j [c, d] Δ y Δ y maxc j c j < δ j Δ x maxa i a i R j fs i,t j a i a i [a, b] i i fx, t j ɛ δ x < δ Δ x <δ x R j b a fx, t j dx < ɛ d c [a, b] [c, d] Δ Δ max a i a i +c j c j < δx + δ i,j 4 <δ 63

74 Δ y < δ fx, y dxdy b fx, t j dx c j c j R j a < ɛ + b R j fx, t j dx c j c j < ɛ j a + j ɛ d c c j c j ɛ ϕy R fx, y dxdy // lim Δ y j b a b a fx, y dx c y d [c, d] fx, t j dx c j c j d c b a fx, y dx dy ϕ x ϕ x a x b x, y R a x b, ϕ x y ϕ x fx, y C,C L a, L b C x, y R y ϕ x, C x, y R y ϕ x L a a, y ϕ a y ϕ a,l b b, y ϕ b y ϕ b [a, b] ϕ x, ϕ x d max a x b ϕ x c min a x b ϕ x R [a, b] [c, d], C C L a L b. ϕ x ϕ x [a, b] ɛ δ [a, b] x, x x x < δ ϕ x ϕ x < ɛ ɛ δ [a, b] x x < δ ϕ x ϕ x < ɛ δ minδ,δ [a, b] x, x x x < δ ϕ x ϕ x, ϕ x ϕ x < ɛ 64

75 R [a, b] [c, d] R i,j Δ Δ : a a <a <a < <a m <a m b c c <c <c < <c n <c n d, R i,j [a i,a i ] [c j,c j ]. R i,j bδ R i,j a i a i c j c j Δ ɛ Δ <δmin δ, y C L a L b R ij a i a i c j c j δd c. R i,j L a L b ɛ a i a i C x i R ij C R ij C R ij ɛ +δ, a i x a i a i a i <δ δ ϕ x ϕ a i <ɛ. x, ϕ x ai x a i [ ϕ a i ɛ, ϕ a i +ɛ ]. ɛ [a i,a i ] [ϕ a i ɛ, ϕ a i +ɛ] δ R i,j ɛ +δ i R ij C R ij ɛ +δ a i a i c j c j b a4ɛ +4δ 6b aɛ δ ɛ R i,j C C ɛ δ Δ <δ bδ a i a i c j c j δd c+6b aɛ 6b a+d c ɛ R i,j ɛ lim bδ Δ f x, y R b d fx, y dxdy f x, y dy dx a c b a ϕ x ϕ x fx, y dy dx. // 3 ϕx ϕx ϕ x fx, y dy a x b 65

76 5. A. : b a dx qx px fx, y dy b qx a px fx, y dy dx b qx a px fx, y dydx b a qx px fx, y dy dx, d c dy sy ry fx, y dx d c sy ry fx, y dx dy d sy c ry fx, y dxdy d c sy ry fx, y dx dy. px, qx a x b, ry, sy c y c. b a xy dxdy. z y b a b a b [ x y ] a xy dxdy xy dx dy dy b b a y [ a y ] b dy a b 4. // a x x,y,z,x + y + z z V V x y dxdy, x, y x, y, x + y.. y x y dxdy x y dxdy [ yx x y y y dy dy [ y 3 ] // x ] y dy y 66

77 3 a, b > b a x + y dxdy xy dxdy, x, y x a, y bx a 3 xy dxdy, x, y bx x a, y b a 4 x x x + ydydx [ ] x x + ydydx 3 x + y 3 dx x 3 3 x dx [ x ] dx x // y, x B... x x, y x, y x fx, y dy dx fx, y dx dy y x fx, y dydx fx, y dydx y fx, y dxdy. y e x3 dxdy π sin x e cos y dydx. e x3 dxdy y x e x3 dydx [ e x x 3 e x3 dx 3 ] [ye x3] x dx e. 3 π sin x e cos y dydx π π sin y e cos y dxdy π [xe cos y] sin y dy [ ] π sin ye cos y dy e cos y e. 67

78 3 x + ye y dxdy,. x + ye y dxdy x, y x, x y. x x + ye y dy dx x te t x dt dx [te t x] x x t x + y e t x dt dx y x x [e t x] x dx [ x x +e x dx x e x] e. //, 5. x dx x fx, ydy ft t R x ds s ftdt x ftx tdt x R x dx fx, ydy x t x, x x s 3 F x, y [a, b] [c, d] C fx, y F x, y x y d b c a fx, y dxdy F b, d F b, c F a, d+f a, c 4 R K x, y a x a, b y b R x a y dxdy b x, y, z z x a y b, x, y R z y x 68

79 5.3 A. C x xu, v, y yu, v uv- K xy : xu, v, yu, v R u, v K. fx, y fx, y dxdy fxu, v,yu, v x, y y v K u, v dudv x, y u, v K x u a b ad bc x au + bv, y cu + dv uv- c d K u, v R u, v xy a b abs. ad bc c d dxdy x, y u, v dudv ad bc dudv ad bc K K xr, θ r cos θ, yr, θ r sin θ r >, θ R x, y r, θ x r y r x θ y θ cos θ sin θ r sin θ rcos θ r. B. xy dxdy x, y R x + y 4, x, y. y x r cos θ, r sin θ R r, θ π π θ r xy dxdy π [ r 4 4 ] [ 3 sin θ r cos θ 4 drdθ ] π 5 8. π r 3 dr sin θ dθ 69

80 3 x, y R x, y, x + y e x y dxdy xu, v uv, yu, v u v u, v R uv, u v R u, v e x y dxdy x, y u, v dv x u y u x v y v e u x, y u, v dudv [ e u udu e u u y v u v u ] x e u ududv u. e u du e + [ e u] v u e. 4 <a< : a x + y α dxdy x + y α α dxdy x + y α π a π a x + y α [ r r α α ] drdθ π α [ ] r drdθ π log r a dxdy. a π a α α π log a.. 5 fx, y 4x +4xy +4y 4x 4y + x, y, z R 3 fx, y z V x HINT. fx, y 6 + y + x y

81 π <α<β π C C : r fθ α θ β r cos θ, r sin θ R : r fθ, α θ β y θ β C θ α β fθ dθ. α xy rθ- K r, θ R r fθ, α θ β x dxdy rdrdθ β fθ rdrdθ β K α α [ r ] fθ dθ β α fθ dθ. // 5.3 fx x C x +y f x +y dxdy π f f Cardioid r a + cos θ θ π 3 Lemniscate x + y a x y a> x + y a x y 4 Rhodonea n N, a > r a sin nθ θ< π n r sin5θ 5 : x + y a 4 a x y dxdy. 7

82 5.4. C Φ: x xu, v, y yu, v uv- K xy K Ju, v ; xu, v, yu, v R u, v K. fx, y fx, y dxdy fxu, v,yu, v x, y u, v dudv. K x, y u, v K R [a, b] [c, d]. xu, v yu, v R L xu, v <L, yu, v <L u, v R L L + E [ L, L] [ L, L] E E. ΦR R Φ Φ:R C R R Φ R α R α [a + α, b α] [c + α, d α] R R α α ΦR α α Φ R α ρ α α ρ α min x x +y y : x, y, x,y α > a M > x u u, v M, x v u, v M, y u u, v M, y v u, v M u, v R..4 R R [a,b ] [c,d ] R b a d c R k < d c b a <k ΦR 4M K R K k + k 7

83 .4 K k + k δ b a +d c b a d c + d c b a R K R ΦR u, v, u,v R xu,v xu, v xu,v xu, v +xu, v xu, v x u ξ, v u u+x v u, ηv v ξ, v, u, η R x u ξ, v u u + x v u, ηv v M u u +v v M δ max xu, v min u,v R xu, v M δ. u,v R u, v, u,v R i,j yu,v yu, v M δ max yu, v min u,v R yu, v M δ. u,v R ΦR M δ δ K R ΦR 4M K R //.5 R R α [a + α, b α] [c + α, d α] R α> \ α ΦR \ ΦR α ΦR \ R α M R R α.5 R\R α R A [a, a+α] [c, d], B[b α, b] [c, d], C [a + α, b α] [c, c + α], [a + α, b α] [d α, d] R \ R α A B C A < < A i A A A na.4 ΦA i 4M 5 A i M A i ΦA M A B, C, ΦR \ R α M R \ R α // R b ad c R, R α b a αd c α R α.5 R \ R α R R α αb a + d c α R \ R α αb a + d c α α 73

84 \ α ΦR \ R α α Φ R ΦR \ R α.6 ΦR fx, y fx, y E f fx, y x, y x, y x, y. E fx, y dxdy f x, y dxdy E 5. A. R Δ : a a <a < <a m b c c <c < <c n d. Δ P i,j a i,c j i,,,m, j,,,n Δ Δ max δ i,j, δ i,j a i a i +c j c j i,j R i,j [a i,a i ] [c j,c j ] : R Δ i,j P i,j, P i,j, P i,j R i,j P i,j, P i,j, P i,j R i,j R Δ i,j R i,j. Q i,j ΦP i,j xa i,c j,ya i,c j Φ R R Δ i,j,r i,j R R Δ i,j R i,j ΦR ΦR Δ i,j i,j i,j i,j i,j ΦR i,j. Q i-,j Qi,j P i-,j P i-,j- P i,j P i,j- Φ Q i-,j- Q i,j- Q i,j ΦP i,j Q i,j, Q i,j, Q i,j Q i-,j Q i,j T Δ i,j Q i,j, Q i,j, Q i,j T i,j Δ T i,j Ti,j T Δ Ti,j Δ Ti,j i,j i,j Q i-,j- Q i,j- 74

85 T Δ i,j ΦΔ i,j RΔ i,j x xa i,c j + xa i,c j xa i,c j a i a i u a i + xa i,c j xa i,c j c j c j v c j y ya i,c j + ya i,c j ya i,c j u a i + ya i,c j ya i,c j v c j. a i a i c j c j R Δ i,j u, v a i u a i,c j v c j + c j c j u a i a i a i T i,j Φ i,j R i,j x xa i,c j + xa i,c j xa i,c j a i a i u a i + xa i,c j xa i,c j c j c j v c j y ya i,c j + ya i,c j ya i,c j u a i + ya i,c j ya i,c j v c j. a i a i c j c j R i,j u, v a i u a i,c j v c j + c j c j u a i a i a i Φ Δ i,j xa i,c j xa i,c j x u ξ i,j,c j, a i a i ya i,c j ya i,c j y u ξ a i a i,j,c j, i Φ Δ i,j Φ Δ i,j : xa i,c j xa i,c j c j c j x v a i,η i,j ya i,c j ya i,c j y v a i,η c j c i,j j ξ i,j,ξ i,j a i,a i, η i,j,η i,j c j,c j x xa i,c j +x u ξ i,j,c j u a i + x v a i,η i,j v c j y ya i,c j +y u ξ i,j,c j u a i + y v a i,η i,j v c j Φ i,j Φ i,j : x xa i,c j +x u μ i,j,c j u a i + x v a i,ν i,j v c j y ya i,c j +y u μ i,j,c ju a i + y v a i,ν i,j v c j μ i,j,μ i,j a i,a i, ν i,j,ν i,j c j,c j R i,j a i a i c j c j R i,j R b ad c R i,j R i,j R i,j R i,j R Δ i,j RΔ i,j R i,j Ti,j Δ Δ Ti,j, T i,j Ti,j, R i,j fx, y R fu, v fxu, v,yu, v fai,c j fxa i,c j,ya i,c j. 75

86 lim fai,c j Ja i,c j R Δ i,j + fa i,c j Ja i,c j Ri,j Δ i,j fxu, v,yu, v Ju, v dudv, R lim fai,c j Ti,j Δ + fa i,c j Ti,j Δ i,j lim fai,c j Ja i,c j R Δ i,j + fa i,c j Ja i,c j R i,j Δ i,j 3 fx, y lim Δ i,j fai,c j T Δ i,j + fa i,c j T i,j,, 3 fx, y dxdy. fu, v Ju, v R R 5., 4.. ɛ δ 3 fa i,c j Ja i,c j R Δ i,j + fa i,c j Ja i,c j R i,j fa i,c j Ja i,c j + fa i,c j Ja i,c j R i,j fp i,j,q i,j Jp i,j,q i,j R i,j p i,j,q i,j R i,j fai,c j Ja i,c j R Δ i,j + fa i,c j Ja i,c j Ri,j lim Δ i,j lim Δ i,j fp i,j,q i,j Jp i,j,q i,j R i,j R fxu, v,yu, v Ju, v dudv. Ti,j, Δ Ti,j Φxu, v,yu, v R C b R ɛ ɛ 4M δ u, v, u,v R max u u, v v <δ x u u, v x u u,v < ɛ 4M, x vu, v x v u,v < ɛ 4M y u u, v y u u,v < ɛ 4M, y vu, v y v u,v < ɛ 4M R C xu, v, yu, v Ju, u,u,v,v,v x u u,vy v u, v x v u, v y u u,v u, u,u,v,v,v R [a, b] [a, b] [a, b] [c, d] [c, d] [c, d] R 6 max u u, u u, v v, v v <δ Ju, u,u,v,v,v Ju, u, u, v, v, v <ɛ. 76

87 a b max u u, u u, v v, v v <δ Ju, u,u,v,v,v Ju, u, u, v, v, v Ju, u,u,v,v,v Ju, v x u u,vy v u, v x v u, v y u u,v x u u, vy v u, v x v u, vy u u, v x u u,vy v u, v x u u, vy v u, v x v u, v y u u,v x v u, vy u u, v x u u,v y v u, v y v u, v + x u u,v x u u, v y v u, v x v u, v y u u,v y u u, v + x v u, v x v u, v y u u, v M y v u, v y v u, v + M x u u,v x u u, v +M y u u,v y u u, v + M x v u, v x v u, v < M ɛ 4M + M ɛ 4M + M ɛ 4M + M ɛ ɛ // 4M Ju, v R Ju, v Ju, v R Ju, v > u, v R Ju, v < u, v R Ju, v R m m min Ju, v >. u,v R ɛ ɛ < m ɛ b δ c max u u, u u, v v, v v <δ Ju, u,u,v,v,v Ju, u, u, v, v, v <ɛ Ju, u,u,v,v,v >. max u u, u u, v v, v v <δ Ju, u,u,v,v,v Ju, u, u, v, v, v > ɛ m Ju, u,u,v,v,v > Ju, u, u, v, v, v m Ju, v m. R Δ Δ <δ< x i,j, y i,j Q i,j ΦP i,j xa i,c j,ya i,c j Φ Δ i,j T i,j Δ Δ Ti,j : T Δ i,j x i,j x i,j y i,j y i,j x i,j x i,j y i,j y i,j x uξ i,j,c j y v a i,η i,j x v a i,η i,j y u ξ i,j,c j a i a i c j c j x u ξ i,j,c j y v a i,η i,j x va i,η i,j y u ξ i,j,c j R Δ i,j c Ja i,ξ i,j,ξ i,j,c j,η i,j,η i,j R Δ i,j. ɛ Δ i,j Ja i,ξ i,j,ξ i,j,c j,η i,j,η i,j Ja i,c j 77

88 Ti,j Δ Ja i,c j +ɛ Δ i,j R Δ i,j Ti,j Ti,j x i,j x i,j y i,j y i,j x i,j x i,j y i,j y i,j x uμ i,j,c j y v a i,ν i,j x va i,ν i,j y u μ i,j,c j a i a i c j c j xu μ i,j,c j y v a i,ν i,j x va i,ν i,j y u μ i,j,c j a i a i c j c j Ja i,μ i,j,μ i,j,c j,ν i,j,ν i,j R i,j Ja i,c j +ɛ i,j R i,j ɛ i,j Ja i,μ i,j,μ i,j,c j,ν i,j,ν i,j Ja i,c j. ɛ Δ i,j a i,ξ i,j,ξ i,j [a i,a i ],c j,η i,j,η i,j [c j,c j ] c ɛ Δ i,j Ja i,ξ i,j,ξ i,j,c j,η i,j,η i,j Ja i,c j Ja i,ξ i,j,ξ i,j,c j,η i,j,η i,j Ja i,a i,a i,c j,c j,c j <ɛ T i,j ɛ i,j <ɛ. d fx, y ΦR V fai,c j Ti,j Δ + fa i,c j Ti,j i,j V max fx, y < x,y + fai,c j ɛ Δ i,j R Δ i,j + fa i,c j ɛ i,j R i,j i,j fai,c j Ja i,c j R Δ i,j + fa i,c j Ja i,c j R i,j i,j fai,c j ɛ Δ i,j R Δ i,j + fa i,c j ɛ i,j Ri,j V ɛ Δ i,j R Δ i,j + V ɛ i,j R i,j i,j i,j < Vɛ i,j R Δ i,j + R i,j V R ɛ ɛ> V R ɛ lim fai,c j Ti,j Δ + fa i,c j Ti,j Δ i,j lim fai,c j Ja i,c j R Δ i,j + fa i,c j Ja i,c j R i,j Δ i,j 3.6 fx, y dxdy f x, y dxdy lim fai,c j Ti,j Δ + fa i,c j Ti,j E Δ i,j 78

89 f x, y dxdy E E T Δ Ti,j Δ Ti,j i,j i,j ΦR ΦR Δ i,j ΦR i,j i,j i,j Φ:R C Ti,j, Δ Ti,j i,j ΦR \ ΦR \ R <i<m, <j<n P i,j R \ R Q i,j ΦP i,j xa i,c j,ya i,c j \. R A,, A,, A,, A,,, 3 A, A, A, A, A, A, A, A, p,q, A, A, p,q A, A, r,s, A, A, r,s p q p q > r s r s > A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, p,q, A, A, p,q, p q p q > A, A, A, A, A, 3 A, A, A, A, A, A, A, A, p,q, A, A, p,q, p q p q > A, A, A, A, A, A, A, r,s p, q, A, A, r,s r s r s > A,A, A, A, A, r,s, A, A, r,s p, q r s r s > A,A, A, 79

90 Δ <δ Ju, u,u,v,v,v > max u u, u u, v v, v v < Δ c Ti,j Δ Ja i,ξ i,j,ξ i,j,c j,η i,j,η i,j R Δ i,j xi,j x i,j y i,j y i,j x i,j x i,j y i,j y i,j > T i,j Ja i,μ i,j,μ i,j,c j,ν i,j,ν i,j R i,j xi,j x i,j y i,j y i,j x i,j x i,j y i,j y i,j > 3 T Δ Ti,j Δ Ti,j T Δ Ti,j Δ + Ti,j i,j i,j i,j T Δ T Δ P, P, P m, P m, P m,n P m,n P,n P,n P, Ti,j Δ T i,j T Δ T Δ \ T Δ <i<m, <j<n T Δ T Δ Φ R ΦR i, ΦR m,j ΦR i,n ΦR,j i,,m j,,n i,,m j,,n Φ R x, y R R R i,j u, v R i,j R Φu, v xu, v,yu, v x, y u, v R Δ i,j R u, v R i,j R x,y Φ Δ i,ju, v T Δ x,y Φ i,ju, v T Δ u, v R Δ i,j R Φu, v xu, v,yu, v x, y r i,j,r i,j a i,a i s i,j s i,j c j,c j x xu, v xa i,c j +x u r i,j,s i,j u a i +x v r i,j,s i,j v c j y yu, v ya i,c j +y u r i,j,s i,j u a i +y v r i,j,s i,j v c j Φu, v Φ Δ x x i,ju, v y y x u r i,j,s i,j x u ξ i,j,c j x v r i,j,s i,j x v a i,η i,j u a i y u r i,j,s i,j y uξ i,j,c j y v r i,j,s i,j y va i,η i,j v c j 8

91 b Δ <δ x x +y y < ɛ u a i 4M +v c j ɛ 4M δ ɛ Δ i,j. 4M ɛ< T Δ Δ <δ< E T Δ E \ T Δ α δ δ<ρ α.3 R α [a+α, b+α] [c α, d α] R α ΦR α α Φ R α ρ α T Δ T Δ α α T Δ \ T Δ \ α \ T Δ \ α ΦR \ R α lim Δ \ α lim \ T Δ. Δ E \ T Δ E Δ E s E T Δ E \ T Δ s E s. E s E s E s x s,y s E s s f x s,y s E s f x s,y s E s + s i,j fai,c j Ti,j Δ + fa i,c j Ti,j f x, y E f x, y E \ \ TΔ lim Δ E lim Δ f x s,y s E s s f x, y dxdy lim f x s,y s E s + Δ s i,j lim fai,c j T Δ Δ i,j fai,c j Ti,j Δ + fa i,c j Ti,j i,j + fa i,c j T i,j K ΦK C Φ K K Ω C Φ Ω K Ω Ω. 8

92 M > x u u, v M, x v u, v M, y u u, v M, y v u, v M u, v Ω. Ω A [p, q] [r, s] q ps r A.4 A k < s r <k ΦA q p 4M K A K k + k K K K R [a, b] [c, d] R i,j a a <a <a < <a m <a m b Δ : c c <c <c < <c n <c n d, R i,j [a i,a i ] [c j,c j ] bδ K R i,j a i a i c j c j lim bδ Δ R R Φ Φ R K R i,j ΦR i,j < c j c j a i a i < i m, j n M bδ fx, y E f fx, y x, y x, y x, y. E E f x, y dxdy i,j ΦR i,j i m, j n i,j i,j fx, y dxdy. fx, y dxdy lim fx, y dxdy + fx, y dxdy Δ i,j i,j i,j i,j lim fxu, v,yu, v x, y Δ R i,j K R i,j u, v dudv fxu, v,yu, v x, y u, v dudv // K 8

93 5.5 n n n,, n n 5.5 C. x + y x + y dxdy, n x, y <x, y x. x, y n x, y x y z /n n,, x n,, n n x + y n x + y dxdy dx n n n+ x x x + y + y dy. x + y n n x x x x + y dy x x dy y + x dt +t tan π 4, y [ ] x x + y dy logx + y log. n x + y x + y dxdy x + y x dxdy lim + y n n π 4 + log dx ɛ π 4 + log. n x + y π x dxdy lim + y n 4 + n log π n 4 + log. // I a <a I I a x + y dxdy, a : a x + y y I 3 a I a x + y dxdy, : <x + y 3 x + y dxdy 3 a a x π a r 3 rdrdθπ [ 3 4 r 4 3 ] a 3π a

94 I dxdy lim 3 x + y a I a 3π lim a a 4 3π 3. //. Technics y dxdy R e x n x, y x, y, x + y n y dxdy n e x x ɛ > n ɛ x, y x, y, ɛ x + y n n e x R e x y dxdy lim ɛ π lim ɛ y dxdy lim n e x y dxdy lim n ɛ ] n [ e r x +y n e x lim π ɛ ɛ ɛ π n ɛ z n e r rdrdθ lim e ɛ e n π 4 e n. y dxdy lim 4 n n e x ɛ π dθ n ɛ y e r rdr y dxdy lim π. n π e n E n x, y x n, y n y dxdy n e dx x. E n e x n n E n e x y dxdy e x e y dxdy n n n 3 e x y dxdy e y n e x dx dy π e x y dxdy lim R n lim 4 e x y dxdy lim n E n n R n z e y dy n e x dx π x, y n n e x y dxdy n x n. e x dx e dx x e x dx e x dx R y 84

95 4 σ> μ R log x +y μ πx + y σ e σ R dxdy z log x +y πx + y e <x<, <y< Gamma Beta Gamma Beta t u, Γx t cos θ, Bx, y e t t x dt ΓxΓy Γx + y Bx, y. dt udu Γ Γx e u u x du dt cosθ sin θ Beta Bx, y t x t y dt π cos x θ sin y θdθ n E n ΓxΓy 4 e u u x du e v v y dv 4 lim e u v u x v y dudv n E n 4 e u v u x v y dudv u, v 4 lim e r r x+y cos x θ sin y θdrdθ n n π 4 cos x θ sin x θdθ e r r x+y dr Bx, yγx + y. // 5.5 Gamma Beta Γ π π e x dx 3 x e ax dx π 4 a 3 a> n n n,, n n n n i n 85

96 n i n i n n n+ i, n i i. n fx, y lim n fx, y dxdy n 5.6 A. 5. R 3 V fx, y, z fx, y, z dxdydz dxdy R 3 V V dxdydz V V V B x, y R 3 x + y + z B dxdydz x x x y x y dxdydz x x y dz dy dx x x y π x dx 4π 3. R 3 z c c R c x, y R x, y, c z Az V dxdydz b a z a c b dxdy a z b z dxdy dz b c <a<b< a Az dz. B. K x, y, z x 3 + y 3 + z 3 a 3 a > 86

97 z [, a] xy x 3 + y 3 a 3 z 3 3. x 3 +y 3 a 3 z 3 K V a V dxdydz K z a sin 3 t 3π 4 π 9π 4 a3 π dxdy 3 8 π a 3 3 z 3 x 3 +y 3 a 3 z 3 a 3 a 3 sin t 3 3a sin t cos t dt 9π π 4 a3 a 3 dxdy dz 8 π a 3 3 z 3 dz cos 7 t sin tdt π cos 7 tdt cos 9 tdt 9π 4 a πa3. // xy y fx a x b x V V π b a fx dx. 3 xy x +y a R a>r> x V y a+ R x R x R x y a R x R x R x V π R R R a + R x R dx π a R x dx 4πa R x dx R [ 4πa x R x + R sin x ] R R C. R 4πa πr π R a. n n C Φ : x x u,u,u 3,x x u,u,u 3, x 3 x 3 u,u,u 3 R 3 K R 3 x u,u,u 3,x u,u,u 3,x 3 u,u,u 3 R 3 u,u,u 3 K R 87

98 fx,x,x 3 dx dx dx 3 K fu,u,u 3 x,x,x 3 u,u,u 3 du du du 3 fu,u,u 3 fx u,u,u 3, x u,u,u 3, x 3 u,u,u 3 x,x,x 3 u,u,u 3 x x x u u u 3 x x x u u u 3 x 3 x 3 x 3 u u u 3 Φ Jacobian, 3 x, y, z r, θ, ϕ x r sin θ cos ϕ, y r sin θ sin ϕ, z r cos θ x, y, z r, θ, ϕ x r x θ x ϕ y r y θ y ϕ z r z θ z ϕ r sin θ r >, θ [, π], ϕ R. sin θ cos ϕ rcos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ sin ϕ sin θ sin ϕ rcos θ sin ϕ rsin θ cos ϕ r sin θ sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ cos θ r sin θ cos θ sin θ r sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ sin ϕ cos θ sin θ cos ϕ sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ cos θ sin θ r sin θ sin ϕ +cos ϕ r sin θ. x, y R 3 x + y + z 4, x, y, z xdxdydz π π π r 3 dr [ r 4 ] [ cos θ 4 r sin θ cos ϕr sin θdrdθdϕ π sin θdθ ] π [ sin ϕ cos ϕdϕ ] π 4 π 4 π. 5.6 a > x + y a y + z a 88

99 a x + y ax a > 3 z x + y x y a a > z 4 z x + y x + y ax a > z 5 z x + y x + y ax a > z 6 Cardioid r a + cos θ π θ π x x +y +z 7 p > p dxdydz 4 x + y + z + p 5 R x +y +z dxdy 3 x + y + z p dxdydz 5 R 3 e R3 p 8 R> a R x a x +y +z R a x + y + z dxdydz 3 9 R 3 r, θ, z θ u x + y + z + p 5 x +y +z dxdydz x + y + z p dxdydz 4πR3 3 a R a 4πa 3 r a a<r. + z b r, θ, z,u, τ u S u<π S S R 3 xyz x +acos ρ cos θ b sin ρ sin θ cos θ y +acos ρ cos θ b sin ρ sin θ sin θ z a cos ρ sin θ + b sin ρ cos θ θ<π, ρ<π. x + y z θ τ y <a<b<a+ b< S Ω x 89

100 5.7 A. R 3 xy R 3 π : ax + by + cz d c T T AT xy K AK AT cosγ AK γ π xy π N a, b, c π xy γ π z N z ν,, c γ < π cos γ N ν N ν c N x π ax+byd T K γ N N a + b + c AT AK cos γ N AK. c y c π : z d a c x b y T AT xy c K a + b + c dxdy zx c + zy +dxdy K K AK dxdy K R 3 A a,a,a 3, B b,b,b 3 R 3 Cc,c,c 3 R 3 π X x, y, z x a u + b v + c, y a u + b v + c, z a 3 u + b 3 v + c 3 u, v R. π N A B a b 3 a 3 b,a 3 b a b 3,a b a b a b π a 3 b 3 x c a b a 3 b 3 y c + a b a b z c 3. π A B a b a b π T T Xu, v ua + vb + C a u b, c v d 9

101 T xy K ua + vb + c,ua + vb + c a u b, c v d x a u + b v, y a u + b v R [a, b] [c, d] R K ua + vb,ua + vb a u b, c v d AK K AK a b a b R R b ad c R. 5.3 A. π N N X u X v A B a b 3 a 3 b,a 3 b a b 3,a b a b AT A B AK A B R a b a b R X u X v dudv. R 3 S Φ Φu, v xu, v, yu, v, zu, v R 3 u, v, xu, v, yu, v, zu, v u, v R C y u y v Φ u u, v Φ v u, v, z u z v, x u x v. z u z v S T R T ΦR T AT Φ u u, v Φ v u, v dudv Φ u u, v Φ v u, v y u u, v y v u, v z u u, v z v u, v R x u x v y u y v z u u, v z v u, v + x u u, v x v u, v x u u, v x v u, v + y u u, v y v u, v z fx, y R R C Φx, y, fx, y x, y S : z fx, y Φ x x, y Φ y x, y f x x, y + f y x, y + S T AT xy K AT f x x, y + f y x, y +dxdy K. 9

102 B. z a x y S x, y x + y a S 4 x z x a x y, z y y a x y fx x, y + f y x, y + S a S x +y a π π a a a x y S π a a x y dxdy [ a r ] a dθ a π π π a a x y dxdy π π [ a r ] a dθ a π π π a dθ πa. π a a a r rdrdθ a a r rdrdθ 3 dθ 3πa. // C. z a x y x, y x + y ax x z x a x y,z y y y a x y fx x, y + f y x, y a + a x y θ r cos θ, r sin θ π <θ π,r acos θ a x S a π π a π π a a x y dxdy [ a r ] a cos θ π a cos θ dθ a π π sin θ dθ π a. // a a r rdrdθ sin θ dθ 3 z x + y x, y x + y fx x, y + f y x, y + +4x +4y S π S +4x +4y dxdy +4r rdrdθ π π dθ +4r rdr π[ +4r 3 ] 3 8 π // π 9

103 . S Φu, v xu, v, yu, v, zu, v R 3 u, v T R [a, b] [c, d] T ΦR R R i,j [a i,a i ] [c j,c j ] Δ: a a <a < <a m b c c <c < <c n d P i,j a i,c j R : R Δ i,j P i,j, P i,j, P i,j R i,j P i,j, P i,j, P i,j R i,j R Δ i,j R i,j R R i,j. i,j T Q i,j Φa i,c j T Δ i,j Q i,j, Q i,j, Q i,j T i,j Q i,j, Q i,j, Q i,j R i,j a i a i c j c j R i,j R R i,j R 3 Ti,j Δ Δ ATi,j, R i,j R Δ i,j RΔ i,j R i,j R i,j R i,j T i,j ATi,j S Φ T Δ i,j T i,j AT Δ i,j > AT i,j > T Δ i,j T i,j. T Δ i,j T Δ i,j i,j T i,j AT Δ AT Δ ATi,j Δ +AT i,j i,j Ti,j Δ x, y, z ΦΔ i,j u, v RΔ i,j Φ Δ i,ju, v Φa i,c j + Φa i,c j Φa i,c j a i a i u a i + Φa i,c j Φa i,c j c j c j v c j. x xa i,c j + xa i,c j xa i,c j u a i + xa i,c j xa i,c j v c j a i a i c j c j y ya i,c j + ya i,c j ya i,c j u a i + ya i,c j ya i,c j v c j a i a i c j c j z za i,c j + za i,c j za i,c j a i a i u a i + za i,c j za i,c j c j c j v c j. 93

104 T i,j x, y, z Φ i,j u, v R i,j Φ i,ju, v Φa i,c j + Φa i,c j Φa i,c j a i a i u a i + Φa i,c j Φa i,c j c j c j v c j. Ti,j Δ Δ ATi,j x, y, z ΦΔ i,j u, v ξ i,j,ξ i,j,ξ3 i,j a i,a i η i,j,η i,j,η3 i,j c j,c j x xa i,c j +x u ξi,j,c j u a i +x v a i,ηi,j v c j y ya i,c j +y u ξi,j,c j u a i +y v a i,ηi,j v c j z za i,c j +z u ξi,j,c 3 j u a i +z v a i,ηi,jv 3 c j ATi,j Δ N Δ i,j R Δ i,j N Δ y u ξ i,j i,j,c j y v a i,ηi,j z u ξi,j 3,c j z v a i,ηi,j 3, z u ξi,j,c 3 j z v a i,ηi,j 3 x u ξi,j,c j x v a i,ηi,j, x u ξi,j,c j x v a i,ηi,j y u ξi,j,c j y v a i,ηi,j, N Δ i,j y u ξi,j,c j y v a i,ηi,j z u ξi,j 3 z u ξi,j 3,c j z v a i,ηi,j 3 +,c j z v a i,ηi,j 3 x u ξi,j x u ξi,j,c j x v a i,ηi,j +,c j x v a i,ηi,j y u ξi,j,c j y v a i,ηi,j Φ u a i,c j Φ v a i,c j y u a i,c j y v a i,c j z u a i,c j z v a i,c j + z u a i,c j z v a i,c j x u a i,c j x v a i,c j x u a i,c j x v a i,c j +. y u a i,c j y v a i,c j N Δ i,j Φ u a i,c j Φ v a i,c j xu, v, yu, v, zu, v C R 5.. ɛ δ, R Δ Δ <δ ɛ < N Δ i,j Φ ua i,c j Φ v a i,c j < ɛ. 5.7 Ti,j Δ Δ ATi,j NΔ i,j R Δ i,j > ɛ R Δ i,j < AT Δ i,j Φ u a i,c j Φ v a i,c j R Δ i,j < ɛ R Δ i,j. Ti,j ATi,j x, y, z Φ i,j u, v α i,j,α i,j,α3 i,j a i,a i β i,j,β i,j,β3 i,j c j,c j x xa i,c j +x u α i,j,c j u a i +x v a i,βi,j v c j y ya i,c j +y u α i,j,c j u a i +y v a i,βi,jv c j z za i,c j +z u α 3 i,j,c j u a i +z v a i,βi,j 3 v c j T i,j Φ i,jr i,j AT i,j N i,j R i,j. 94

105 N y u α i,j i,j,c j y v a i,βi,j z u α 3 i,j,c j z v a i,βi,j 3, z u α 3 i,j,c j z v a i,βi,j 3 x u α i,j,c j x v a i,βi,j, x u α i,j,c j x v a i,βi,j, y u α i,j,c j y v a i,βi,j N i,j y u α i,j,c j y v a i,βi,j z u α 3 i,j z u α 3 i,j,c j z v a i,βi,j 3 +,c j z v a i,βi,j 3 x u α i,j x u α i,j,c j x v a i,βi,j +,c j x v a i,βi,j y u α i,j,c j y v a i,βi,j, ɛ R i,j < AT i,j Φ ua i,c j Φ v a i,c j R i,j < ɛ R i,j. Φ u u, v Φ v u, v u, v R R i,j R i,j μ i,j,ν i,j R i,j Φ u a i,c j Φ v a i,c j + Φ u a i,c j Φ v a i,c j Φ u μ i,j,ν i,j Φ v μ i,j,ν i,j Φ u a i,c j Φ v a i,c j Φ u a i,c j Φ v a i,c j Φ u a i,c j Φ v a i,c j R Δ i,j + Φ u a i,c j Φ v a i,c j R i,j Φ ua i,c j Φ v a i,c j + Φ u a i,c j Φ v a i,c j R i,j Φ u μ i,j,ν i,j Φ v μ i,j,ν i,j R i,j < ɛ R < AT Δ i,j AT Δ i,j i,j Φ u μ i,j,ν i,j Φ v μ i,j,ν i,j R i,j Φ u a i,c j Φ v a i,c j R Δ i,j + Φ u a i,c j Φ v a i,c j R i,j ATi,j Δ Φ u a i,c j Φ v a i,c j R Δ i,j + i,j ATi,j Φ u a i,c j Φ v a i,c j R i,j < i,j ɛ R Δ i,j + i,j ɛ R i,j ɛ i,j R i,j ɛ R. R Φ u u, v Φ v u, v u, v R R Δ Δ Φ u μ i,j,ν i,j Φ v μ i,j,ν i,j R i,j Φ u u, v Φ v u, v dudv lim Δ i,j lim AT Δ Δ lim Δ AT Δ R lim Δ R Φ u μ i,j,ν i,j Φ v μ i,j,ν i,j R i,j. i,j Φ u u, v Φ v u, v dudv AT. 95

106 T T T Δ Φu, v Φ u u, v Φ v u, v dudv 5.7 z x + y x, y x + y ax a > x + y + z a x, y x + y ax a > 3 C y fx a x b x π b a fx +f x dx 4 y x x x T Gabriel s Horn T x 5 xy x +y a R a>r> x 6 x a + y x a>b b πb b + a sin e a b e. e a 96

107 7 fx, y log x + y, x, y R x, y, z R 3 fx, y z V x, y R fx, y R z z fx, y R S 8 z xy R z z x + y. z xy x y + x + y y z x + y z π 4 x 9,, S : S x, y, z R 3 x + y +z, z. h S S h x, y, z S z h Sh Sh S h 97

108 5.8. fx, y, gx, y x, y p + Hölder : q p, q >, fx, ygx, y dxdy fx, y p p dxdy gx, y q dxdy a, b Young ab ap p + bp q f p fx, y p dxdy p g q q gx, y q q dxdy fx, y gx, y. fx, y gx, y f q g q ax, y fx, y gx, y, bx, y f p g q fx, y gx, y fx, ygx, y dxdy dxdy f p g q f p g q ax, ybx, y dxdy p ax, yp + q bx, yq dxdy fx, y p gx, y q + dxdy p f p q g q p f p fx, y p dxdy + p q g q gx, y q dxdy q p + q. fx, ygx, y dxdy f p g q fx, y p p dxdy gx, y q dxdy q. // R> x, y R x + y R B + x, y, z R 3 x + y + z R,z B + V C fx, y, z xfx, y, R x y dxdy R x y B + fx, y, z dxdydz. x 98

109 + x, y R x + y R,x x, y R x + y R,x U + u, v R u + v R x R,v u v + y u. u v x, y u, v R u v R u v v R u v xfx, y, R x y dxdy + R x y U + R x y f R v u v,u,v x, y u, v dudv U + f R u v,u,v dudv. U + xfx, y, R x y R x y x R u v y u., dxdy f R u v,u,v dudv U + xfx, y, R x y dxdy R x y xfx, y, R x y xfx, y, R x dxdy + y dxdy + R x y R x y f R u v,u,v dudv f R u v,u,v dudv U + U + R u v fx, u, v dx dudv fx, y, z dxdydz. // x x U + R u v B+ 5.8 fx, y : lim fx, y n n dxdy max fx, y. n x,y fx, gx x Hint. fx dx gx dx fxgx dx. [, ] [, ] fx fy gx gy 99

110 5.9 C. fx, y, fx, y x [a, b] [c, d] d dx d c fx, y dy d c fx, y x dy x [a, b] d c fx, y x dy a x b. 5. R [a, b] [c, d] fx, y R ɛ δ R x, y, x,y x x + y y < δ fx, y fx,y < ɛ ɛ δ * a x, x b x x <δ d fx, y d fx, y d fx, y dy dy fx,y d dy ɛdy ɛd c. c x c x c x x c d c fx, y x dy a x b d c fx, y x dy a x b x a d c d ft, y dt c t fx, y x dy d dx dy x a d c x ft, y dy a t dt d fx, y dt dy d c x dx d d c c fx, y fa, y dy x [a, b] fx, y fa, y dy d dx d c fx, y dy. //

111 fx, y fx, y, x c [a, b] [c, fx, y dy, c fx, y x dy x [a, b] c fx, y x dy d dx c fx, y dy fx, y dy a x b x c c fx, y x dy a x b [a, b] ɛ M >c x [a, b] fx, y M M dy <ɛ x M fx, y [a, b] dy M [a, b] c x fx, y fx, y dy dy x x c M 3.5 fx, y c x x ft, y dt dy a c t x a ft, y dt M t x a dt dy c dy a x b x a M c M c x a ft, y t M dt c x ft, y t dy + x a x dt M c ft, y t ft, y ft, y dy dt + dt dy a t a M t x ft, y fx, y fa, y dy + dt dy a M t x [a, b]. fx, y dt dy ɛb a M M x dy fx, y fa, y dy. c dy c fx, y x dy d dx c fx, y dy

112 fx, y, c fx, y x fx, y dy, [a, b] [c, c fx, y x dy x [a, b] c fx, y x dy a x b [a, b] ɛ M >c x [a, b] fx, y M M dy <ɛ x M d dx c fx, y dy c fx, y x dy x [a, b] 3 fx, y, fx, y x [a, b] c, d] d c fx, y dy, d c fx, y x dy x [a, b] d c fx, y x dy a x b [a, b] d dx d c fx, y dy d c fx, y x dy x [a, b] 5.9 Gamma Γ x t x e t log tdt x > dn dx n Γx t x e t log t n dt x >

113 p.85 R 3 S C Φu, v xu, v, yu, v, zu, v S u, v, xu, v, yu, v, zu, v u, v R C S Φu, v xu, v, yu, v, zu, v u, v y u y v N Nu, v Φ u u, v Φ v u, v, z u z v, x u x v Nu, v Nu, v y u u, v y v u, v z u u, v z v u, v z u z v x u x v z u u, v z v u, v + x u u, v x v u, v S C Φs, t xs, t, ỹs, t, zs, t S s, t E, y u y v x u u, v x v u, v + y u u, v y v u, v xs, t, ỹs, t, zs, t s, t E E R C E C ϕ, ψ : E Φu, v Φs, t Φϕu, v,ψu, v s, t ϕu, v,ψu, v S Φs, t xs, t, ỹs, t, zs, t s, t E ỹ s ỹ t Ñs, t Φ s s, t Φ t s, t z s z t, z s z t x s x t, x s x t Ñs, t ỹ s ỹ t Ñs, t ỹ s s, t ỹ t s, t z s s, t z y s, t z s s, t z t s, t + x s s, t x t s, t x s s, t x t s, t + ỹ s s, t ỹ t s, t.. 3

114 4.5 B. 3 x u u, v x v u, v x s s, t x t s, t s u u, v s v u, v y u u, v y v u, v ỹ s s, t ỹ t s, t t u u, v t v u, v x u u, v x v u, v y u u, v y v u, v x s s, t x t s, t s u u, v s v u, v ỹ s s, t ỹ t s, t t u u, v t v u, v. y u u, v y v u, v z u u, v z v u, v ỹ s s, t ỹ t s, t s u u, v s v u, v z s s, t z t s, t t u u, v t v u, v z u u, v z v u, v x u u, v x v u, v z s s, t z t s, t s u u, v s v u, v x s s, t x t s, t t u u, v t v u, v s u u, v s v u, v Nu, v Ñs, t, t u u, v t v u, v Nu, v Ñs, t Abs s u u, v s v u, v t u u, v t v u, v Nu, v dudv E,. Abs Ñs, t dsdt. C R> S S x R sin θ cos ϕ, y R sin θ sin ϕ, z R cos θ θ<π, ϕ<π x, y, z S N y θ y ϕ Nθ, φ, z θ z ϕ, x θ x ϕ R sin θ sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ z θ z ϕ x θ x ϕ y θ Ns, t R sin θ. ds π π y ϕ Nθ, φ dθdϕ π π S R sin θdθdϕ4πr R 3 S fx, y, z x, y, z S fxu, v, yu, v, zu, v Nu, v dudv 4

115 S C fxu, v, yu, v, zu, v Nu, v dudv f xs, t, ỹs, t, zs, t Ñs, t dsdt fx, y, z ds ds Nu, v dudv fx, y, z ds S S fxu, v, yu, v, zu, v Nu, v dudv. C S S p V p R p V p p, V p p p, V p X R n R n F p p X γ : p p, F p γ γ F p p X p, F p X R n p X γ F p p X F R 3 S N 4.4. N P P S S 5

116 R 3 S R 3 V S fx, y, z,gx, y, z,hx, y, z V x, y, z fx, y, z,gx, y, z,hx, y, z x, y, z S V S N V V N V V u, v fxu, v,yu, v,zu, v,gxu, v,yu, v,zu, v,hxu, v,yu, v,zu, v u, v V N u, v V u, v Nu, v y u u, v y v u, v z u u, v z v u, v fu, v + gu, v + hu, v x u u, v x v u, v z u u, v z v u, v x u u, v x v u, v y u u, v y v u, v. V E Ṽ s, t f xs, t, ỹs, t, zs, t,g xs, t, ỹs, t, zs, t,h xu, v, ỹu, v, zu, v s, t E Nu, v V u, v Nu, v ±Ṽ s, t Ñs, t Ñs, t s, t S u, v s u u, v s v u, v t u u, v t v u, v > Nu, v V u, v Nu, v dudv V u, v Nu, v dudv Nu, v Ñs, t Ṽ s, t Ñs, t dsdt Ṽ s, t Ñ s, t dsdt Ñs, t E S V n ds n E Nu, v S Nu, v V n ds V u, v Nu, v dudv. S C 6. Helicoid x u cos v, y u sin v, z v u, v π 6

117 6. ivergence Theorem. ivergence Theorem ivergence Theorem R 3 S Ω Ω S Ω C f, g, h C Ax, y, z fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z x, y, z Ω S n A n ds div A dxdydz S Ω div A f x + g y + h. z A Ω A Ω S diva A n ds > diva > S < diva <. A Ω S A n ds Ω S Ω Ω div A Ω A n ds. S div A > Ω A n ds >. S div A < Ω A n ds <. Ω A F x, y, z fx, y, z,, Gx, y, z,gx, y, z, Hx, y, z,,hx, y, z A F + G + H A n ds F + G + H n ds F n ds + G n ds + H n ds S S S S S div A dxdydz div F + G + H dxdydz Ω Ω div F dxdydz + div G dxdydz + div H dxdydz Ω Ω S Ω 7

118 A F G H Ω Ω R C φ y, z ψ y, z Ω x, y, z R 3 φ y, z <x<ψ y, z, y, z R R C φ x, z ψ x, z Ω x, y, z R 3 φ x, z <y<ψ x, z, x, y R R 3 C φ 3 x, y ψ 3 x, y Ω x, y, z R 3 φ3 x, y <z<ψ 3 x, y, x, y 3 R R 3 R 3 R 3 A F Ω R C φ y, z ψ y, z Ω x, y, z R 3 φ y, z <x<ψ y, z, y, z R Ω S S l x, y, z x φ y, z, y, z, S r x, y, z S t x, y, z φ y, z <x<φ y, z, y, z x φ y, z, y, z S l S r y y y z S r N z y z z, z y z z x y x z, x y x z,x y, x z R 3 y y y z y y y z S l N, z y z z, x y x z, x y,x z R 3 z y z z x y x z y y y z 8

119 F n ds + S l F n ds S r fφ y, z,y,z dydz + fψ y, z,y,z dydz φy,z f x dx f dydz x dxdydz. φ y,z Ω S t N x F n ds ds S t S t S F n ds F n ds + F n ds + F n ds S l S r S t f x dxdydz div F dxdydz Ω Ω G n ds div G dxdydz, H n ds div H dxdydz S Ω Ω 3 Ω S Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω, Ω Ω S Ω. Ω S S S Ω S S S Ω S S S S S Ω S S n Ω S S n A n ds A n ds S S Ω A n ds A n ds A n ds + A n ds S S S S S A n ds + A n ds + A n ds A n ds S S S S A n ds + A n ds S S div A dxdydz + div A dxdydz div A dxdydz. Ω Ω Ω Ω // S Ω Ω R 3 x r sin θ cos ϕ, y r sin θ sin ϕ, z r cos θ <r, θ π, 9

120 ϕ<π R> B R R S R x, y, z S R N 6. N R sin θ sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ R 3. x R 3 ˆr r, y r, z αr, θ, ϕ α ˆr r x α ˆr αr, θ, ϕ r, y r, z r αx x r αy y r αz z r α r r x x r + α α r r y y div α ˆr x x x r r + α y y r α r r z z r + α z z r 4.6 C. 3 α θ θ x x r + θ y y r + θ z z r α θ αx + r y + α + α xz r x + y x r + yz r x + y y r + αy + r z αz r θ θ x x r + α ϕ ϕ x x r, θ θ y y r + α ϕ ϕ y y r, + α θ θ z z r + α ϕ ϕ z z r. x + y r z r α ϕ ϕ x x r + ϕ y y r + ϕ z z α y r ϕ x + y x r + x x + y y. r α r r x x r x + α x + α r r r y y r y + α y + α r r r z z r + α z z r α r x r x r + α r x r 3 + α r y r y r + α r y r 3 + α r z r z r + α r z r 3 α r + α div α ˆr α r r + α r div α ˆr αr, θ, ϕ r r S R α ˆr n ds r αr, θ, ϕr sin θdθdϕ R R r div α ˆr r dr sin θdθdϕ αr, θ, ϕ r dr sin θdθdϕ,r] B R div α ˆr dxdydz [,π] [, π. div α ˆr r sin θdrdθdϕ x ˆr r, y r, z r ˆθ xz r x + y, yz r x + y, x + y r y ˆϕ x + y, x x + y, r x + y + z

121 Ω R> x, y, z R 3 z R x y Ω S R> x, y, R 3 x + y R S + x, y, z R 3 <z R x y x, y, z S + S + x, y, z R x y x, y x, y, z S + y x y y N, z x z y, x x z x z y x x x y y x x y y y x z, y z, R 3 Ω A f, g, h A n ds A n ds + A n ds S S S A n ds xfx, y, R x y + ygx, y, R x y dxdy R x y R x y hx, y, R x y dxdy hx, y, dxdy. hx, y, R x y dxdy Ω hx, y, dxdy Ω h z dxdydz f x dxdydz + g Ω y dxdydz + h Ω z dxdydz div Adxdydz. Ω Ω 6. R 3 r : rx, y, z fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z x, y, z x, y, z R 3. R 3 O,, r r x + y + z R 3 S Ω r n ds dxdydz Ω. 3 S Ω r S O S n ds 4π r3 3 div r r 3 S

122 4 R 3 S Ω r 4π S r n ds O / Ω 3 O Ω O q P x, y, z Ex, y, z Coulomb kq r E kq r x, y, z kqx x + y + z r, kqy 3 r, kqz kq r 3 r 3 r 3 k k R 3 S Ω Q P x, y, z Ex, y, z 4 E n ds Q. 4π S P x, y, z ρx, y, z Ω Q ρx, y, z dxdydz Ω E n ds 4π S Ω ρx, y, z dxdydz Gauss S Ω P x, y, z ρx, y, z G F G r r 3 F n ds 4πG S Ω ρx, y, z dxdydz. a> fx, y 4x 4 4a x + a y, f y x, y C 4.9 x cosu, y sinu π u π C y S S Ω R 3 Y,y, Y n ds Ω S

123 R 3 C Φt xt, yt, zt C t I, xt, yt, zt I R C L C L C x t + y t + z t dt I C T C t x t, y t, z t L C T C dt I C z x t I C t C T C T C x t, y t, z t t I x t + y t + z t s L C ds ds T C dt C x t + y t + z t dt y C Φu xu, ỹu, zu C u J, xu, ỹu, zu J R C T d x C u du, dỹ du, d z I J C du ϕ : I J Φt Φu Φϕt u ϕt C Φt Φu T C t T C u dx T C t dt, dy dt, dz d x dt du, dỹ T C t dx dt + dy dt + dz dt du, d z du du dt d x du L C T C t dt I J T C u du dt + dỹ du T C u du, + d z du du dt T C u du. dt 3

124 . L C C fx, y, z x, y, z C fφt T C t dt I C du > t I dt fxt, yt, zt T C t dt f xu, ỹu, zu T C u du I J C fx, y, z ds ds T C t dt I J C ϕ : I J du < t I dt fxt, yt, zt T C t dt f xu, ỹu, zu T C u du I J fx, y, z ds fxt, yt, zt T C t dt. C C C Xx, y, z fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z x, y, z C ds T C dt b b X t C ds X T C dt fx, y, z x + gx, y, z y + hx, y, z z dt C a a Ω R Ω Ax, y fx, y, gx, y Ω C Ω Ω x xt, y yt a t b Ω n x t + y t, y t, x t Ω A n ds Ω b a b a y fx, y x + y gx, y x ds x + y y fx, y x + y gx, y x x + y dt x + y fx, yy gx, yx dt Ω Ω 4

125 . Stokes R 3 fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z C : x xt, y yt, z zt a t b xt, yt, zt C b a fxt, yt, zt x t+gxt, yt, zt y t+hxt, yt, zt z t dt C ω fx, y, z dx + gx, y, z dy + hx, y, z dz C ω C fx, y, z dx + gx, y, z dy + hx, y, z dz C ω C ω Xx, y, z fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z x, y, z C X t C ds C fx, y, z dx + gx, y, z dy + hx, y, z dz ω C C ω fx, y, z dx + gx, y, z dy + hx, y, z dz C t ϕτ α τ β ϕ τ > α τ β, a ϕα, b ϕβ C : xτ xϕτ, ỹτ yϕτ, zτ zϕτ α τ β ω C C b a β α fx, y, z dx + gx, y, z dy + hx, y, z dz fxt, yt, ztx t+gxt, yt, zty t+hxt, yt, ztz t dt f xτ, ỹτ, zτ x τ+g xτ, ỹτ, zτỹ τ+h xτ, ỹτ, zτ z τ dτ 5

126 C t ϕτ α τ β ϕ τ < α τ β, b ϕα, a ϕβ C C C : xτ xϕτ, ỹτ yϕτ, zτ zϕτ α τ β ω ω. C C 3 C C : x x t, y y t, z z t a t c C : x x t, y y t, z z t c t b ω C ω + C ω. C 4 ω f x, y, z dx + g x, y, z dy + h x, y, z dz ω f x, y, z dx + g x, y, z dy + h x, y, z dz ω + αω f x, y, z+αf x, y, z dx + g x, y, z+αg x, y, z dy + h x, y, z+αh x, y, z dz C ω + αω C ω + α ω C α R. ω R 3 C C C : x xt, y yt a t b C : x xt, y yt,z a t b fx, y fx, y, z fx, y ω fx, y dx + gx, y dy ω fx, y, z dx + gx, y, z dy +dz C ω fx, y dx + gx, y dy R ω ω R ω C C 6 C

127 6.4 Green y C x R fx, y, gx, y C : x xt, y yt a t b xt, yt C C fx, y dx + gx, y dy fx, y dx + gx, y dy b C a fxt, ytx t+gxt, yty t dt 6.3. C fx, y dx + gx, y dy C C C C fx, y dx + gx, y dy fx, y dx + gx, y dy. C C 3 C C : x xt, y yt a t c, C : x xt, y yt c t b fx, y dx + gx, y dy C fx, y dx + gx, y dy + C fx, y dx + gx, y dy. C 4 f x, y dx + g x, y dy f x, y dx + g x, y dy f x, y dx + g x, y dy + α f x, y dx + g x, y dy C C f x, y+αf x, y dx + g x, y+αg x, y dy α R. C 7

128 C. Green Green Ω R Ω fx, y, gx, y Ω C f gx, y dx + fx, y dy x + g dxdy y Ω Ω Ω ϕ x ϕ x a x b Ω x, y R a x b, ϕ x y ϕ x y fx, y b b gx, ydx gx, ϕ x dx + gx, ϕ x dx Ω a b gx, ϕ x gx, ϕ x dx a b ϕx a ϕ x a Ω g y dydx g Ω y dxdy. y ϕ x Ω y ϕ x a b x α y α y a y b Ω x, y R a y b, α y x α y fx, y b a y Ω x α y x α y Ω fx, ydy b a b a fα y,y dy + b a fα y,y dy fα y,y+fα y,y dy b αy a α y f x dxdy f Ω x dxdy. x Ω f gx, ydx + fx, ydy x + g dxdy y Ω Ω Ω i,j Ω i,j Ω i,j Green Ω Ω i,j Ω Ω i,j Ω i,j 8

129 Ω gx, ydx + fx, ydy gx, ydx + fx, ydy Ω i,j Ω i,j f i,j Ω i,j x + g f dxdy y Ω x + g dxdy y Ω Ω //. Green Green Ω R Ω Ax, y fx, y, gx, y Ω C Ω x xt, y yt a t b 6.3 Ω A n ds Ω f gx, ydx + fx, ydy Ω x + g y dxdy Ω Ω Green A n ds div Adxdy Ω V div A f x + g. y Ω R Ω X x, x Y,y A, y X n ds xdy Ω Ω Ω dxdy Y n ds ydx Ω Ω Ω A n ds ydx+ xdy Ω Ω Ω Ω π <α<β π C C : r fθ α θ β 9

130 r cos θ, r sin θ R : r fθ, α θ β ydx + xdy β fθ dθ α. R R γ :[a, b] R γ γt γt a t <t <b γa γb R Ω Ω Ω γ P P l P l Q R γ Q, R γ P Ω x, y R x + y < A x, y R <x +y < Ω γ A γ R Ω ω px, ydx + qx, ydy px, y, qx, y Ω Ω C fx, y df f x x, ydx + f y x, ydy ω df ω exact

131 Ω ω px, ydx + qx, ydy px, y, qx, y Ω C Ω exact Ω C fx, y Ω C : x xt, y yt a t b ω C C C C ω fxb, yb fxa, ya. ω df f x x, ydx + f y x, ydy ω b a b f x xt, ytx t+f y xt, yty t dt [ fxt, yt ] b a fxb, yb fxa, ya. // a d fxt, yt dt dt 3 Ω ω Ω exact Ω C ω. C 4 Ω R Ω ω px, ydx + qx, ydy px, y, qx, y Ω C Ω exact Ω px, y y ω df qx, y x px, ydx + qx, ydy f x x, ydx + f y x, ydy px, y f x x, y, qx, y f y x, y Ω px, y y px, y y f xy x, y f yx x, y qx, y x qx, y x Ω P x, y Ω Px, y

132 γ :[, ] Ω γ P, γ P γ :[, ] Ω γ P, γ P Ω γ P P γ Green px, ydx + qx, ydy γ px, ydx + qx, ydy γ px, ydx + qx, ydy γ γ q x p dxdy, y γ γ γ γ γt t γ γ t γ t t. γ γ Ω P Ω P γ px, ydx + qx, ydy γ γ Ω P P Ω P Ω fx, y fx, y px, y dx + qx, y dy γ γ :[, ] Ω P x,y Px, y px, y f x x, y, qx, y f y x, y Ω Px, y h l h :[, ] l h t x + th, y Ω Ω P x,y Px, y γ :[, ] Ω fx, y px, y dx + qx, y dy γ

133 fx + h, y px, y dx + qx, y dy γ+l h γt t γ + l h t γ t t. fx + h, y fx, y h h γ+lh h lh px, y dx + qx, y dy px, y dx + qx, y dy h px + th, y dt px, y+ px, y dx + qx, y dy γ px + th, yhdt px + th, y px, y dt px, y h. px + th, y px, y dt h px, y f x x, y qx, y f y x, y //. 4 ω df fx, y C Fx, y F x, y px, y dx Gx, y qx, y dy y Fx, y x px, y, Gx, y y qx, y Fx, y y fx, y F x, y+gx, y df x, y Fx, y x Fx, y + x + px, y dx + qx, y dy q x x, y F x, y x y q x x, y p y x, y Fx, y dy dx + y dy dx + qx, y dy + qx, y Fx, y dy y. 4 f x x, y px, y f y x, y qx, y 3

134 fx, y x, y Ω fx, y c c R dy y px, dx qx, y fx, y dx + x fx, y dy px, ydx + qx, ydy y 6.4 R ω x 3 + xy + ydx +x y + xdy exact ω df fx, y R, px, y y x + y, qx, y x x + y y ω px, y dx + qx, y dy - x R, exact 3 : - dy dx x 3x y x 3 y. 6.5 Green Green Green R 3 V C fx, y, z fx, y, z V fx, y, z grad fx, y, z, x fx, y, z, y fx, y, z z 4

135 grad f f fx, y, z C div grad fx, y, z fx, y, z x + fx, y, z y + fx, y, z Δfx, y, z z gx, y, z C div g grad f x g f x + y g f y + z g f z f g x x + f g y y + f g z z + g f x + f y + f z grad f grad g+gδf fx, y, z, gx, y, z C div g grad f gradf grad g+gδf div g grad f f grad g g Δf f Δg R 3 S V V S V C fx, y, z, gx, y, z S n Green S S f g n ds f g n g f n ds V V [ ] fδg + f g dxdydz [ ] fδg gδf dxdydz, f g grad f n grad g n S n n f n x,y,z P x,y,z fx, y, z S f n x fp + hn fp,y,z lim. h h S n f g n ds S V V f grad g n ds div f grad g dxdydz [ ] f g+fδg dxdydz. S grad g grad f+f Δgdxdydz S V C fx, y, z S f n ds Δf dxdydz V 5

136 V R> B x, y, z R 3 x + y + z R B S R> S x R sin θ cos ϕ, y R sin θ sin ϕ, z R cos θ x, y, z S N θ<π, ϕ<π N R sin θ sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ R sin θ x, y, z R B C fx, y, z S f n ds π π V Δf dxdydz grad f N dθdϕ π π x f x + y f y + z f R sin θdθdϕ z 6.5 r x + y + z x, y, z R 3 r, logr r Φx, y, z 4πR3 3 r grad div grad R r πr + πr 3 r<r grad Φ R> 6.6 Stokes 6.4 Green Green R 3 S C C S C Stokes. Stokes Green R 3 S ϕu, v xu, v, yu, v, zu, v S u, v, xu, v, yu, v, zu, v u, v R C 6

137 S ϕu, v xu, v, yu, v, zu, v u, v N Nu, v ϕ u u, v ϕ v u, v Nu, v y u u, v y v u, v z u u, v z v u, v y u z u y v z v, z u x u z v x v, x u y u z u u, v z v u, v + x u u, v x v u, v x v y v x u u, v x v u, v + y u u, v y v u, v S px, y, z px, y, z ds pxu, v, yu, v, zu, v Nu, v dudv S S Xx, y, z fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z x, y, z S fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z S C S C C S γ C : x xut, vt, y yut, vt, z zut, vt γ : [a, b ] ut, vt C ua, va ub, vb γ γ γ γ X t C ds ω fx, y, z dx + gx, y, z dy + hx, y, z dz C C C ω fx, y, z dx + gx, y, z dy + hx, y, z dz X b fx, y, z dx fxut, vt, yut, vt, zut, vt d xut, vt dt dt C a b a γ γ C fxut, vt, yut, vt, zut, vt x u ut, vtu t+x v ut, vtv t dt fxu, v, yu, v, zu, v x u u, v du + fxu, v, yu, v, zu, v x v u, v dv v fxu, v, yu, v, zu, vx uu, v + u fxu, v, yu, v, zu, vx vu, v dudv 7 C Green

138 f x x v x u + f y y v x u + f z z v x u fx uv dudv γ γ + f x x u x v + f y y u x v + f z z u x v +fx vu dudv γ f y y v x u + y u x v +f z z u x v z v x u dudv. gx, y, z dy ω C C γ γ γ C C hx, y, z dz γ γ g z z v y u + z u y v +g x x u y v x v y u dudv, h x x v z u + x u z v +h y y u z v y v z u dudv. fx, y, z dx + gx, y, z dy + hx, y, z dz f y y v x u + y u x v +f z z u x v z v x u dudv + γ g z z v y u + z u y v +g x x u y v x v y u dudv + γ h x x v z u + x u z v +h y y u z v y v z u dudv h y g z y u z v y v z u +f z h x z u x v z v x u +g x f y x u y v x v y u dudv h y g z y u z u y v z v +f z h x S X z u x u z v x v +g x f y rot X h y g z,f z h x,g x f y x u y u x v y v dudv X rot X curl X rot X S C rot X n ds C X t C ds C ω C rot X n ds C S C X S C X C S C X Stokes R 3 S C 8

139 S C X X t C ds rot X n ds. C C C C S Stokes C S X S ω fx, y, z dx+gx, y, z dy+hx, y, z dz x, y, z S ω Xx, y, z fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z x, y, z S C X t C ds C ω C rot X n ds. S S V S C C C V t C ds rot V n ds C C V rot V C S C V rot V V Vorticity R> S V x, y, z y, x, z C : x + y + z R Stokes z R cos θ <θ < π C C : x R sin θ cos ϕ, y R sin θ sin ϕ, z z ϕ<π rot V y x z, y z x, x x y,, y 6. S N C Nθ, φ R sin θ sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ rot V n ds π θ R sin θ cos θdθdϕπr sin θ. 9

140 C T C V t c ds T φ R sin θ sin φ, cos ϕ, π V T dϕ π R sin θ dϕ πr sin θ. R 3 S V x x,y,z ρx,y,z V V x xx, y, z Ex, y, z Coulomb V ρx Ex ρx x x x x 3 dx dy dz V Ex rot E rot Ex ρx x x rot x x 3 dx dy dz V x x x x 3 grad x x rot grad. 6.6 R 3 C fx, y, z df grad f f x,f y,f z rot grad f grad f f R 3 V C A div rot A 3 ω a, b, c R 3, r x, y, z R 3 R 3 v ω r rot v ω 4 y C : x + y + z R V t c ds rot V n ds C C 5 S xz V x, y, z x + y, yz x + y, x + y 3

141 6 R> S xz V x, y, z R x + y + rot V n y x + y, yz x + y x x + y, 6.7. R 3 C A f, g, h rot A C ϕ grad ϕ A ϕ A Ax, y, z fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z rota h y x, y, z g z x, y, z f z x, y, z h x x, y, z x, y, z g x x, y, z f y x, y, z,, ϕx, y, z xftx, ty, tz+ygtx, ty, tz+zhtx, ty, tz dt d tftx, ty, tz dt ftx, ty, tz+txf x tx, ty, tz ϕ x x, y, z ftx, ty, tz+tx f x tx, ty, tz+ty g x tx, ty, tz+tz h x tx, ty, tz dt ftx, ty, tz+tx f x tx, ty, tz+ty f y tx, ty, tz+tz f z tx, ty, tz dt d tftx, ty, tz dt fx, y, z dt ϕ y x, y, z gx, y, z, ϕ z x, y, z hx, y, z // G R 3 ρ φx φx, y, z Gρ x + y + z G rx 3

142 φ 6.5 grad φ x, φ y, φ Gρ r z r F 3 φx x F tx dt Gρ tx + y + z t Gρ dt x + y + z 3 r Gρ dt t r φx. R 3 S V x x,y,z ρx,y,z V ρx E E n ds ρx dx dy dz Gauss 4π S V Ex ρx x x x x 3 dx dy dz V x x x x 3 grad x x Φx Ex ρx grad V V ρx x x dx dy dz x x dx dy dz grad Φx Φx Ex Gauss E dive ρ 4π div E ρ! S V div Ex dx dy dz ρx dx dy dz. div E 4π V V Φx div grad Φ ΔΦ 4πρ Poison. Ex Φx Green V x ɛ S ɛ S S ɛ V ɛ fx Φx, gx x x fx Φx Δ gx Δ x x div grad x x Δ fx ΔΦx divgradφx div Ex 4πρx 3

143 f g n g f ds n S S ɛ f g n g f n [ ] ds fδg gδf dxdydz gδf dxdydz V ɛ V ɛ f g grad f n grad g n S n n S ɛ f n gradφx n Ex n g n gradgx n x x x x x x 3 x x ɛ lim ɛ S ɛ f g n g f n Φx Ex n ds lim ds + lim ds 4π Φx. ɛ S ɛ ɛ ɛ S ɛ ɛ x V Ex Φx [ 4π x x n Φx Φx ] ρx n x x ds + x x dx dy dz Φx S x V V S // V R 3 C B f, g, h div B C A rot A B A B C ϕ grad ϕ grad ϕ + A B Bx, y, z fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z A αx, y, z, βx, y, z, γx, y, z B f x x, y, z+g y x, y, z+h z x, y, z x, y, z A γ y x, y, z β z x, y, z fx, y, z α z x, y, z γ x x, y, z gx, y, z x, y, z β x x, y, z α y x, y, z hx, y, z,, αx, y, z βx, y, z γx, y, z t zgtx, ty, tz yhtx, ty, tz dt t xhtx, ty, tz zftx, ty, tz dt t yftx, ty, tz xgtx, ty, tz dt. 33

144 3 R 3 S S C V x, y, z, V x, y, z S div V divv rot V rotv V V, V n V n S nx, y, z S V V V div V x, y, z divv x, y, z div V x, y, z x, y, z rot V x, y, z rotv x, y, z rot V x, y, z x, y, z V nx, y, z V nx, y, z V nx, y, z x, y, z S. V rot V V ϕx, y, z V gradϕ div V div grad ϕ Δϕ. ϕ grad ϕ n Green n f f [ ] S n ds ϕδϕ + ϕ ϕ dxdydz ϕ ϕ dxdydz V ϕ dxdydz grad ϕ dxdydz. V gradϕ V V // 6.7 x,y,z R 3 R C fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z R R ϕx, y, z x y z ft, y, z dt + gx,t,z dt + hx,y,t dt x y z ϕ ϕ x x, y, z fx, y, z, ϕ y x, y, z gx, y, z, ϕ z x, y, z hx, y, z R 3 B z, x, y A 3 34

145 4 x,y,z R 3 R C fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z x fx, y, z+ y gx, y, z+ hx, y, z x, y, z R R z αx, y, z, βx, y, z x y γ z β f, x ht, y, z dt, γx, y, z z α x γ g, y y fx,t,z dt x β y α h R x x gt, y, z dt 5 R 3 C B Δ ρ divb Poisson ρx, y, z x, y, z C A B grad ρ rota 6 R 3 S V V S V C ux, y, z Δu x, y, z V u x, y, z S u x, y, z V Hint. Green Stokes S C ω S C ω ω ω C X C S C rot X n ds C 35

146 R 3 fx, y, z dx + fx, y, z dy + fx, y, z dz x, y, z fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z C k C k R 3 fx, y, z dx dy + gx, y, z dy dz + hx, y, z dz dx x, y, z fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z C k C k fdx dy+gdy dz+hdz dx f g h. ω f dx dy + g dy dz + h dz dx μ f dx dy + g dy dz + h dz dx αω + βμ αf + βf dx dy + αg + βg dy dz + αh + βh dz dx α, β R. 3 fdx dy + gdy dz + hdz dx fdx dy + gdy dz + hdz dx. 4 dx dy dy dx, dy dz dz dy, dz dx dx dz. R 3 fx, y, z dx dy dz x, y, z fx, y, z C k C k d C fx, y, z C f x, y, z R 3 C df f x dx + f y dy + f z dz C ω fdx+ gdy+ hdz dω df dx + dg dy + dh dz f x dx + f y dy + f z dz dx +g x dx + g y dy + g z dz dy +h x dx + h y dy + h z dz dz g x f y dx dy +h y g z dy dz +f z h x dz dx 36

147 C ω fx, y, z dx dy + gx, y, z dy dz + hx, y, z dz dx dω df dx dy + dg dy dz + dh dz dx f x dx + f y dy + f z dz dx dy +g x dx + g y dy + g z dz dy dz +h x dx + h y dy + h z dz dz dx f z + g x + h y dx dy dz C 3 ω fx, y, z dx dy + gx, y, z dy dz + hx, y, z dz dx dω ω 6.3. R 3 C C R 3 Ω ω px, y, z dx + qx, y, z dy + rx, y, z dz px, y, z, qx, y, z, rx, y, z Ω Ω C fx, y, z df f x x, y, z dx + f y x, y, z dy + f z x, y, z dz ω df ω exact 6.4 Green. R 3 Ω C fx, y, z ω df Ω C : x xt, y yt z zt a t b ω C C ω fxb, yb, zb fxa, ya, za. C ω fx, y, z dx dy + gx, y, z dy dz + hx, y, z dz dx R 3 S S R ϕu, v xu, v, yu, v, zu, v S u, v xu, v, yu, v, zu, v u, v C ω fx, y, z dx dy + gx, y, z dy dz + hx, y, z dz dx S S x u x v f + g y u y v + h z u z v dudv y u y v z u z v x u x v 37

148 S 3 ω fx, y, z dx dy dz R 3 ω fx, y, z dx dy dz fx, y, z dxdydz 3 Stokes Green S ω fx, y, z dx + gx, y, z dy + hx, y, z dz Xx, y, z fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z x, y, z S 6.6 Stokes S C rot X n ds C dω C y u y v ω h y g z C C z u z v +f z h x rot X n ds dω. C C z u x u z v x v +g x f y x u y u x v y v dudv Stokes R 3 S C S C ω ω dω. C C C C S 6.4. Green Green Green Ω R Ω Ω ω gx, ydx + fx, ydy f ω dω x + g dx dy. y Ω Ω Ω 38

149 6. ivergence Theorem R 3 S V V S V ω fx, y, z dx dy + gx, y, z dy dz + hx, y, z dz dx x, y, z V ω dω. S V S R ϕu, v xu, v, yu, v, zu, v S u, v xu, v, yu, v, zu, v u, v C V A g, h, f ω fx, y, z dx dy + gx, y, z dy dz + hx, y, z dz dx S S x u x v f y u y v + g y u y v z u z v + h z u z v dudv A n ds x u x v S diva dxdydz g x + h y + f z dxdydz dω. V V V 6.8 ω S S C R 3 d, d d d. 3 Stokes 39

150 4

151 z 4. A. 3 <x<3, 3 <y<3 z x. y x z x y 4

152 4. tan θ θ R y tan θ x x fx, y x y x + y tan θ +tan θ cosθ. z y y tan θ x x y lim fx, y lim x x x + y cosθ x lim fx, y fx, y O // x,y, y lim x + fx, y lim y x + tan x π y > π y < z y lim x fx, y lim y x tan x π y > π y < lim x fx, y fx, y y // 3 cos θ r lim r + cos θ r π <θ<π θ ± π π <θ< π, π <θ π. y z x x HINT..9. ɛ δ 4 4

153 3 R R p, q, p,q F t fp+p pt, q +q qt t [, ] F fp, q F fp,q α α F t t, R p,q p +p pt,q+q qt α fp,q // 4.3 f x 3x 3y, f y 3y 3x f x yx y x + y, f y xx y x + y 3 f x exy y e x + ye y e x + e y, f y exy x e y + xe x e x + e y 4 f x x x + y, f y y x + y 5 f x yx y, f y x y log x 6 f x y x + y, f y 8 f x xx +y x +y x x + y 7 f x y x + y, f y + logx +y, f y yx +y x +y x x + y + logx +y fx, y x y 3 + x +5y, gx, y e xy +sinx +y. f x xy 3 +, f y 3x y +5, f xx y 3, f xy 6xy, f yy 6x y, f xxx, f xxy 6y, f xyy xy, f yyy 6x. g x ye xy +cosx +y, g y xe xy +cosx +y, g xx y e xy sinx+y, g xy +xye xy sinx+y, g yy x e xy 4sinx+y, g xxx y 3 e xy cosx +y, g xxy +xyye xy cosx +y, g xyy x + xye xy 4cosx +y, g yyy x 3 e xy 8cosx +y. fa + h, b, c fa, b, c 3 fx, y, z lim h h fx, y, z a, b, c x a, b, c x f x a, b, c fa, b + h, c fa, b, c lim fx, y, z a, b, c y h h a, b, c y f y a, b, c fa, b, c + h fa, b, c lim fx, y, z a, b, c z h h a, b, c z f z a, b, c f x αx +λy +νz, f y βy +λx +μz, f z γz +μy +νx. 43

154 z 4.4 B 5 n z gx, y e x y 3 a, b, ga, b x a ae a b 3 l : y b + t 3b e a b 3 t R. z e a b 3 x z e -x -y 3 y z gx, y,.6,e.6 n n : x, y e.6 z e C 6 δx, y, z tan z x + y. xt,yt,zt cos δ cos π π t, sin T T t, sin δ cos π sin δ cos T t, δt tan π T t sin δ cos π T t. 4.4 Xu, v u cos v, u sin v, v u, <v< Helicoid Xu, v T Xu,v u cos v, u sin v, v+scos v, sin v, + t u sin v, u cos v, s, t R u sin v x u cos v y + u z vu. N X u u, v X v u, v sinv, cosv, u R 3. // S Xx,y x,y,fx,y R 3 x,y T : X Xx,y +sx x x,y +tx y x,y s, t R, T : x x y y + s + t s, t R. z fx,y f x x,y f y x,y 44

155 f x x,y N X x x,y X y x,y f y x,y f x x,y f y x,y l : x x f x x,y y y t f y x,y t R. z fx,y S : z fx, y S : Xx, y x, y, fx, y R 3 x, y // 4.5 fx, y C. // fx, y fx, + y f y x, ydt fx, ϕx u xy, v y uv zu, v f u,v v z v f x x v + f y y v fx u v +f y fx u v v +f yv xfx + yf y y zu, v ϕu. fx, y ϕxy. // 3 x r cos θ, y r sin θ r zr, θ fr cos θ, r sin θ z θ r, θ r sin θf x r cos θ, r sin θ+rcos θf y r cos θ, r sin θ xf y x, y yf x x, y zr, θ ϕr. fx, y ϕ x + y. // 4 u xy x, y u x x, y ϕx ua, b u,b fx x a u x x, b dx a ϕt dt ux, y gy fx gy u,y ϕx dx. // 45

156 5 fx, y, R C fx, y m xf x x, y+yf y x, y mfx, y, af x a, b+bf y a, b mfa, b a, b R ftx ty t m fx, y t xf x tx ty+yf y tx, ty mt m fx, y. t xf x x, y+yf y x, y mfx, y. * t m ftx, ty t> t t t m ftx, ty mt m ftx, ty+t m xf x tx, ty+yf y tx, ty t m mftx, ty +txf x tx, ty+tyf y tx, ty. t m ftx, ty t t t m ftx, ty fx, y // fx, y, f x, f y, lim x,x, fx, y, lim x, x, fx, y fx, y, C fx, y, 8 4. fx, y R xy 4 f x x, y x + y f x 4 y yx, y x + y f x, f y, f x f y z f y x, y z y x 4.6 z R x y α z x αr x y α x αxr x y α z y αr x y α y αyr x y α z xx αr x y α +αx α R x y α x αr x y α +4αα +x R x y α αr +α +x y R x y α+ z xy z yx αx α R x y α y 4αα +xyr x y α 4αα +xy R x y α+ z yy αr x y α +αy α R x y α y αr x y α +4αα +y R x y α αr x +α +y. R x y α+ 46

157 z 3 x y 3 z tan x + y z y x z tan x + y z x z xy x + y +x + y 4 +x + y 4 x+y 4x + y 3 + x + y 4 +x + y4 8x + y 4 + x + y 4 3x + y4 + x + y 4. // 3 ux, y, z, t fλx + μy + νz + ct+gλx + μy + νz ct u t cf λx + μy + νz + ct cg λx + μy + νz ct u tt c f λx + μy + νz + ct+c g λx + μy + νz ct. u x λf λx + μy + νz + ct+λg λx + μy + νz ct u xx λ f λx + μy + νz + ct+λ g λx + μy + νz ct. u yy,u zz u xx + u yy + u zz c u tt. // 4 ξ x + ct, η x ct zξ, η u ξ + η, ξ η c z t z ξ c z η c z tt z ξξ c z ξη c z ηξ c + z ηη c c z ξξ z ξη + z ηη. z x z ξ + z η z xx z ξξ + z ξη + z ηξ + z ηη z ξξ +z ξη + z ηη. 47

158 4.5 z ξη 4 u xx c u tt 4 ϕξ, ψη // ux, t zξ, η ϕξ+ψη ϕx + ct+ψx ct 5 ux, y, t t ux, y, t x ux, y, t x +y 4πkt e 4kt x +y 4πkt e 4kt + x +y x + y 4πkt e 4kt 4kt x +y 4πkt e 4kt + x + y x +y 6πk t 3 e 4kt. 4πkt e ux, y, t e x +y x 8πk t 4kt +xe x +y 4kt ux, y, t y, x +y 4kt x kt x x +y kt 8πk t xe x +y 8πk t e 4kt + 4kt, Δux, y, t x +y 4πk t e 4kt + 6πk 3 t 3 x + y e x +y 4kt ux, y, t. // k t 6πk 3 t 3 x e x +y 4kt. 6 r x + y + z r x x + y x + z x x + y + z x r, r y y r, r z z r x r r r x x r, 3 y r y r 3, z r z r 3 x r x x r 3 r 3 + x 3r 4 x r r 3 + 3x r 5. y r r 3 + 3y r 5, z r r 3 + 3z r 5 Δ r x + y + z r 3 r + 3x + y + z 3 r 5 // 48

159 7 F x, y, z fr, r x + y + z, Fx, y, z x F x, y, z x F x, y, z y, f r r x f r x r, f r x x r f r x r + f r y + z r 3. F x, y, z z, ΔF x, y, zf r x + y + z r + f r x +y +z r 3 f r+ r f r. Δr α αα +r α, Δlogr r. // 8 ux, y, z, t f x + y + z ct x + y + z c ux, y, z, t t ux, y, z, t t c x + y + z f x + y + z ct, c x + y + z f x + y + z ct. ux, y, z, t x x x + y + z f x + y + z x ct+ 3 x + y + z f x + y + z ct, ux, y, z, t x x + y + z + 3x 3 f x + y + z ct x + y + z 5 + x + y + z 3x x + y + z f x + y + z ct, ux, y, z, t y, + x x + y + z 3 f x + y + z ct. ux, y, z, t z, Δux, y, z, t x + y + z x + y + z f x + y + z ct 3 x + y + z f x + y + z ct c ux, y, z, t t. // 49

160 4.7 fx, y x 3 + y 3 3xy x,y 3 Taylor f x x, y 3x y, f y x, y 3y x f xx x, y 6x, f xy x, y 3, f yy x, y 6y fxxxx, y 6, f yyy x, y 6 f xxy x, y f xyx x, y f yyx x, y fx, y +! 6x 6x y + 6y + 3! 6x 3 +6y 3 +3x 3x y + 3y +x 3 +y 3, R 4 fx, y 4. fx, y e x cos y x,y Taylor f x x, y e x cos y, f y x, y e x sin y f xx x, y e x cos y, f xy x, y e x sin y, f yy x, y e x cos y fxxxx, y e x cos y, f yyy x, y e x sin y f xxy x, y e x sin y, fxyyx, y e x cos y f x,, f y, f xx,, f xy,, f yy,. fx, y f, + x x + y f, + x y! x + y f, y + x 3! x + y 3fθx, θy y +x + x y + R 3, R 3 x 3! x + y 3fθx, θy y x 3 f xxx θx, θy +3x yf xxy θx, θy +3xy f xyy θx, θy +y 3 f yyy θx, θy 3! x 3 e θx cos θy 3x ye θx sin θy 3xy e θx cos θy + y 3 e θx sin θy 3! eθx x 3 cos θy 3x y sin θy 3xy cos θy + y 3 sin θy < θ <. // 3! 5

161 4.8 A. fx, y x + y x + y + fx, y r x + y + fx, y fr r 8+ 6 r r 4 r fr r fx, y r 4 x + y 4 f, 9 8 // 4.8 fx, y xy + a x + a y f x x, y y a x f y x, y x a y x y 3 a. a> f xx a x 3, f yy a y 3, f xy fxy 3 a, 3 a f xx 3 a, 3 af yy 3 a, 3 a 4 3 <. f xx 3 a, 3 a> fx, y x, y 3 a, 3 a 3 3 a // fx, y x 4 + y 4 +x y x +y x, y, f, x, y, ± f±, 3 z x 3 +3xy 3x 3y +4 x, y, ± f, ± x, y, f, 4 x, y, f, 4 fx, y xy e x y f x f y x, y, ±, ± z xy e x y f, f, f, f, f,

162 5 fx, y cosx + y+sinx +siny x, y <π f x x, y sinx + y+cosx f y x, y sinx + y+cosy f xx x, y cosx + y sin x f xy x, y cosx + y f yy x, y cosx+y sin y x, y <π. f x a, b sina + b+cosa f y a, b sina + b+cosb cos a cos b sin a + b a b a + b sin a b a b a b π,, π 6, π, 5π 6. a + b a b π. - z cosx + y+sinx +siny a, b f xy a, b f xx a, bf yy a, b cos a + b cosa + b+sinacosa + b+sinb i π, π 3 <, f xx π, π > ii, iii π 6, π <, f xx π 6, π 6 3 < iv π, π + +> v 5π 6, 5π <, f xx 5π 6, 5π 6 3 < vi π, π + > vii π, π + > a, b π 6, π 6, 5π 6, 5π 6 3 a, b π, π 3. // 5

163 x + y x + y 6 z x +4xy + y 3 z 3x y z π 4, fx, y x +4xy + y 4.9 A. y ϕx ϕ x f xx, ϕx f y x, ϕx C y f x f y fx, y y d f x fxx + f xy y f y f x fyx + f yy y dx f y fy f xxfy f xy f x f y + f yy fx fy 3 ϕ x f xxx, ϕxf y x, ϕx f xy x, ϕxf x x, ϕxf y x, ϕx + f yy x, ϕxf x x, ϕx f y x, ϕx 3.// 4.9 fx, y x + y x y, f y x, y y ϕx ϕ x x, y ϕx ϕ x x 3 ϕ x x,y ϕx 4 ϕx ϕ x f xx, y f y x, y + y 3 xx yx + y +. x, y ±, ±. 3 ϕ x f xxx,y f y x,y 3x + y y x + y + x. y 3 4 x ± 3 x ± y y y ϕx y ϕx. a> fx, y 4x 4 4a x + a y, f y x, y y ϕx ϕx x ± a x ± a y a y ϕx y a y ϕx. 53

164 3 fx, y x x xy +y, f y x, y y ϕx ϕx f x x, y x y, f y x, y y x, f xx x, y y ϕx ϕx ϕ x ϕ x f xxx,y f y x,y y x ϕ x x y ϕx fx, y,f x x, y f y x, y x,y x +, y ϕx + ϕ x y x +,y ϕx ϕ x y. x,y ϕx + ϕ x y. x,y ϕx ϕ x y. // + > < + < > x x xy +y y - l l 4 x -- 4 x a + y b + z c P x,y,z T P l P fx, y, z x a + y b + z 4.9 C. c fx, y, z l P fx x,y,z,f y x,y,z,f z x,y,z x a, y b, z c P x,y,z T P l P x x x a + y y y b + z z z c, l P : x x a + y y b x x tx a y y ty b + z z c. z z tz c // t R. 54

165 4. x a + y fx, y x + y b gx, y x a + y b, g x x a, g y y b, f x f y Lagrange. x a + y b f x λg x λx a a λx, b λy. f y λg y λy b x a + y b x λ + y λ x + y x + y λ. λ x a + y b a 4λ + b 4λ a + b a + b 4λ λ ±. x + y λ ± a + b fx, y ±a fx, y x + y a + b, ±b a + b ± a + b. // 8x + y, fx, y x + y gx, y 8x + y Lagrange. gx, y 8x + y f x x, y g x x, y, f y x, y g y x, y,x,y 8x + y, 8x 3 y 3 lim fx, y, lim x +,y ± lim x ± x ± 3 y ± 3 fx, y x,y ± fx, y, lim fx, y,y + x ±,y fx, y x, y 3, 3 3 3, x, y 3, 3 3. // 3 8x + y +6 x 3 + y 3 3 x + y xy x y + fx, y xy 4 gx, y x + y xy x y + 4 Lagrange. 55

166 f x λg x y λx y f y λg y λ x +y x y λ. gx, y x + y xy x y + 4 x y λ 8. gx, y xy x + y 4 gx, y R x, y x, y [, ] [ ], z xy z xy x, y 8, 8 64 x, y,,,. // 4 ϕx, y x xy + y z x + y x xy + y x + y + 3 ` x + y Lagrange. z x λϕ x +λx y z y λϕ y +λ x + y x y x +y. 3x 3y,, x y. ϕx, x x y x ±. fx, y x + y z x + y. // 5 sin x +siny π 6 x, y 7π z x + y 6 z x + y sin x +siny π 6 x, y 7π. 6 I,. C. ϕx, y sinx +siny Lagrange. π 6 x, y 7π 6 ϕx, y z x λϕ x x λcos x z y λϕ y y λcos y λ λ x y ϕx, y λ cos x x π λ 6 x 7π 6 x y ϕx, y sin x 4 x sin 4 y x π sin 4 y x y sin sin x y π sin π sin // 56

167 4.. C Φ: x xu, v, y yu, v u,v U x,y Φu,v V Ju, v u, v u, v U x u u, v y v u, v x v u, v y u u, v x v u, v y u u, v C fx, u, v x xu, v f v x, u, v x v u, v fx, u, v C v αx, u fx, u, αx, u x xu, αx, u, α u x, u x uu, αx, u x v u, αx, u C gx, y, u y yu, αx, u g u x, y, u y u u, αx, u y v u, αx, u α u x, u y u u, αx, u + y v u, αx, u x uu, αx, u x v u, αx, u Ju, v x v u, αx, u. gx, y, u C u βx, y gx, y, βx, y y yβx, y,αx, βx, y fx, βx, y,αx, βx, y x xβx, y,αx, βx, y x, y Φu, v V Φ : u βx, y, v αx, βx, y C // 5.. Δ : R [a, b] [c, d] R i,j a a <a <a < <a m <a m b c c <c <c < <c n <c n d, R i,j [a i,a i ] [c j,c j ]., R \ R \ R i,j bδ a i a i c j c j χ x, y R i,j μ μ : x, y x, y Δ μ : ξij,η ij R i,j, R i,j R \ ξ ij,η ij R i,j R \, μ : ξij,η ij R i,j, R i,j ξ ij,η ij R i,j. 57

168 RΔ,μ RΔ,μ bδ RΔ,μ RΔ,μ. lim RΔ,μ lim RΔ,μ Δ Δ lim bδ lim RΔ,μ RΔ,μ Δ Δ R χ x, y dxdy // 5. A. 3 3 b a [ a 3 3 y + ay3 3 [ ax 3b x + y dxdy ] b xy dxdy b bx a b [ x xy] a dy a3 b 3 + ab3 3 aba + b. 3 a 3 ] a b bx a a xy dydx a a b bx 3b a [ xy b a 3 ] b bx a 3 a dx 6b 3 + ay dy a dx [ a b bx 4b a x b bx dx a 4 ] a a b 4. a b 8 5. x dx fx, ydy x dy y dx x fx, ydy x 3 dy 3 fx, ydx. +y fx, ydx + dy fx, ydx. y s, t R s x, t s x ds s ft dt ft dsdt x [ ] x ft s dt t x x dt x t ft ds ftx t dt. // d x s x ds ftdt ftx tdt d x s x x ds ftdt x ftdt + fttdt dx dx x x ftdt ftdt xfx+xfx. x x ds s ftdt x 3 fx, y F x, y F x, y x y y x ftx tdt // 58

169 d b c a fx, y dxdy 4 R d c [ ] b F y x, y [ F b, y ] d c dy a [ F a, y d c ] d c F y b, y F y a, y dy F b, d F b, c F a, d+f a, c. // x, y a x a, b y b x a b R a y x a [ dxdy b a b a y x y dy dx b a a a bx [ a a b3 bx 3 dx 3 b 3a bx ] a. 3 a K x, y, z z x a y b, x, y R K x, y bx y bx a a x a y bx a x a dxdy b a y bx a x dy dx + b a y b 4 bx a a a bx a a [ bx 4 a 3 bx a [ x y a ] a x a y b y3 3b ] bx a dy dx 4 dx 4 ba ab 6. // a bx a a bx 3 a 3 bx a bx3 3a 3 dx ] b y3 dx 3 b b dy dx x a y b dy dx a bx 3 3a 3 dx 5.3 B 5 x, y R fx, y K x, y ρ, θ V xρ, θ ρ cos θ 6 + ρ sin θ yρ, θ ρ cos θ ρ sin θ x ρ x cos θ θ y ρ y θ fx, y dxdy xρ, θ yρ, θ xρ, θ + yρ,θ 6 + sin θ 3 cos θ 6 sin θ 3 π ρ sin θ 6 3 ρ cos θ 3 fxρ, θ,yρ, θ ρ sin θ 6 ρ, θ R ρ, θ<π ρ sin θ 6 + ρ cos θ 3 ρ sin θ 6 ρ cos θ 3 ρ 6 3 fxρ, θ,yρ, θ x, y ρ, θ dρdθ. +6ρ cos θ 8 3 ρ 3. 59

170 V π 8 3 π ρ ρ dρdθ 8 3 [ ρ 4 ] 4 ρ dθ 8 3 π π 4 ρ 3 ρ dρdθ π // 5.3 x +y π f x + y dxdy f r rdrdθ dθ f r rdr r [ fr ] π π f f. // Cardioid C : r a + cos θ θ π r dθ π C π 8a π a + cos θ dθ a cos 4 θdθ cos 4 θdθ8a 3 4 π 3πa 3 lemniscate x + y a x y a> r a cos θ π 4 θ π 4, 3π 4 θ 5π 4. // π 4 a cos θdθ+ π 4 5π 4 3π 4 a cos θdθa π 4 π 4 cos θdθa [ sin θ ] π 4 π 4 a. // 4 Rhodonea r a sin nθ θ< π n π n a sin nθ dθ a 5 π n cos nθ a x y dxdy 8 3 3πa R log x +y μ πx + y σ e σ R lim R πx + y σ e log x +y μ R R π lim R [ dθ a θ 4. sin nθ ] π n n x, y R x + y R πa. n N, a> // 4n dxdy lim log x +y μ R R πx + y σ e σ dxdy. σ dxdy lim R log r μ e σ dr π πσ π R log r μ e σ dr. πσ log r μ e σ rdrdθ πσr 6

171 < log r μ < r e μ+σt > σ dt dr σr log r μ e σ dr e μ+σt e t e μ dt e σt t dt πσ π π e μ π e t σ σ dt R eμ+ σ π e t σ dt log x +y μ πx + y σ e σ eμ+ σ π σ μ+ dxdy πe. // e s ds e μ+ σ. 5.5 π Γ B, Γ dθ e t dt π π Γ e x dx e x dx. e 3 x ax ] e ax dx x dx [x e ax a a + xe ax lim x a + a a e t a dt 4 π a 3 e ax dx a> e ax a dx t ax n n,, n, n n+ i, n i i. n n Ω n n,, Ω n, Ω n Ω i n+, Ω i n i. n n fx, y lim n fx, y dxdy lim n n fx, y dxdy Ω n n n n Ω i n Heine-Borel p n Ω i p Ω p lim n fx, y dxdy n lim n fx, y dxdy. Ω n n n Ω n n lim fx, y dxdy lim fx, y dxdy. n n n Ω n lim fx, y dxdy lim fx, y dxdy n n n Ω n n n,, n i n 6

172 // Heine-Borel R K R n n,, N K n n N n n K n n k p n K \ k 4.. k p n n p nk k K p K p q q q i q+ p i q+ r p r p q+ lim p n k p k p nk r p k p nk q+ k n k >q+ n k p nk l p nk q+ // l k n n n 5.6 R 3 x, y, z x + y a, y + z a x +y a a y dxdy 8 a a y a a y dxdy 8 a y dy 6 3 a3. x, y x + y ax r cos θ, r sin θ π <θ π,r acos θ V 4 3 π π a x y dxdy 4 [ 3 a r 3 4 π a 3. // 3 ] a cos θ a cos θ a r rdrdθ dθ 4 π 3 a3 sin 3 θ dθ 6

173 3 4 4 x, y R a x a, a y a x + y dxdy a x + y dxdy a a [ x x + y 3 ] a dx dy a a a 3 + y x dy a a 3 a 3 a 3 + ay 3 ay a 3 dy a 3 +ay dy [ a 3 y ] + ay3 a 3 3 a4 a 3 + a4 a a4 3 3 x, y, z R 3 z x + y, x a + y a x a +y a x + y dxdy π π a 4 π π a 4 cos 4 θdθ 4a 4 π π +cosθ + +cos4θ π π dθ a cos θ cos 4 θdθ 4a 4 π dθ a 4[ 3 r rdr π π π [ r 4 4 +cosθ dθ θ +sinθ + sin 4θ 8 ] π π ] a cos θ dθ 3 πa4. // 8a4 3. // 5 x, y, z R 3 z x + y, x a +y a 3 π π x a +y a x + y dxdy dθ π π a cos θ r rdr π π [ r 3 a 3 cos 3 θdθ 6 3 a3 π 3 ] a cos θ dθ cos 3 θdθ 3 9 a3.// 6 xy Cardioid r a + cos θ π <θ π x R x r cos θ, y r sin θ cos φ, z r sin θ sin φ r >, θ,π, φ π, π 63

174 R r cos θ, r sin θ cos φ, r sin θ sin φ R 3 r a + cos θ, θ<π, π <φ π. x, y, z r, θ, φ r sin θ V V dx dy dz r sin θdrdθdφ R R π a+cos θ π [ ] r π r 3 a+cos θ sin θdrdθπ 3 sin θ dθ π a 3 + cos θ 3 ] π π sin θdθ πa3 + cos θ4 [ 8πa // 7 x +y +z p dxdydz R 3 e e x p e y p e z p dxdydz e x 3 p dx π 3 p R x + y + z + p 5 R p x + y + z + p 5 x +y +z x +y +z dxdy π dxdydz π 3 x +y +z p dxdydz x + y + z p dxdydz π π π ρ dρdθ. ρ + z + p 5 ρ π dρ. ρ + z + p 5 3z + p 3 p dz π [ ] z z + p 3 3 z + p 4π 3. 4π p> 3 r p+ sin θdrdθdϕ p +3 p 3. p 3 4π p< 3 p +3. I 8 R> a R x a x +y +z R a x + y + z dxdydz 3 R x a R y +z R x a x + y + z dydz dx 3 R π R x a R R π R x r a x + r 3 [ ] R x x a dx π a x + r drdθ dx π R R R R R x r x a a x + r 3 x a a x + a x a ax + R dx. dr dx 64

175 I 4πa +π R 4πR +π R R R a x a ax + R dx a x a ax + R dx 3.9 R R x +y +z R a x a ax + R dx x a a x + y + z 3 R <a a R. C. 3 R R3 3 a <R a 4a 3 dxdydz a<r 4πR3 3 a R a 4πa 3 a<r. // 9 Hint. [, ] [, π [, π S Ω Φθ, ρ, t xθ, ρ, t,yθ, ρ, t,zθ, ρ, t xθ, ρ, t cosθ + t a cos ρ cos θ b sin ρ sin θ cos θ yθ, ρ, t sinθ + t a cos ρ cos θ b sin ρ sin θ sin θ zθ, ρ, t t a cos ρ sin θ + b sin ρ cos θ θ<π, ρ<π, t α a cos ρ cos θ b sin ρ sin θ α θ a cos ρ sin θ + b sin ρ cos θ α ρ a sin ρ cos θ b cos ρ sin θ x, y, z Φ α θρ a sin ρ sin θ b cos ρ cos θ θ, ρ, t x θ x ρ x t sin θ α ρ cos θ αcos θ α θ cos θ α ρ cos θ αcos θ y θ y ρ y t +αtt cos θ α ρ sin θ αsin θ + t α θ sin θ α ρ sin θ αsin θ z θ z ρ z t α θρ α θ α α θρ α θ +αttab ab t + ab t a cos ρ cos θ b sin ρ sin θ. <a<b<a+ b< ab t +t a cos ρ cos θ b sin ρ sin θ > VolΩ dxdydz x, y, z Ω [,π [,π [,] θ, ρ, t dθdρdt ab t + ab t a cos ρ cos θ b sin ρ sin θ dθdρdt π ab. // [,π [,π [,] 65

176 5.7 N Δ i,j J, J, J 3 J y u ξi,j,cj y v a i,ηi,j z u ξi,j 3,c j z v a i,ηi,j 3, z u ξi,j J 3,c j z v a i,ηi,j 3 x u ξi,j,c j x v a i,ηi,j, x u ξi,j J 3,c j x v a i,ηi,j y u ξi,j,c j y v a i,ηi,j. Φ u a i,c j Φ v a i,c j J,J,J 3 J y u a i,c j y v a i,c j z u a i,c j z v a i,c j,j z u a i,c j z v a i,c j x u a i,c j x v a i,c j,j x u a i,c j x v a i,c j 3 y u a i,c j y v a i,c j N Δ i,j J + J + J 3, Φ u a i,c j Φ v a i,c j J + J + J 3. N Δ i,j Φ u a i,c j Φ v a i,c j R 3 N Δ i,j Φ u a i,c j Φ v a i,c j N Δ i,j Φ u a i,c j Φ v a i,c j J J + J J + J 3 J Ju, u,u,v,v,v x u u,vy v u, v x v u, v y u u,v u, u,u,v,v,v R [a, b] [a, b] [a, b] [c, d] [c, d] [c, d] R 6 J 3 J 3 Ja i,ξ i,j,ξ i,j,c j,η i,j,η i,j Ja i,a i,a i,c j,c j,c j a xu, v, yu, v, zu, v C M > x u u, v M, x v u, v M y u u, v M, y v u, v M u, v R z u u, v M, z v u, v M. b R ɛ ɛ 8M δ u, v, u,v R x u u, v x u u,v < ɛ 8M, x vu, v x v u,v < ɛ 8M max u u, v v <δ y u u, v y u u,v < ɛ 8M, y vu, v y v u,v < ɛ 8M z u u, v z u u,v < ɛ 8M, z vu, v z v u,v < ɛ 8M 66

177 R Δ Δ <δ p.73 J 3 J 3 ɛ J J ɛ J J ɛ N Δ i,j Φ u a i,c j Φ v a i,c j J J + J J + J 3 J 3 // ɛ 4 + ɛ 4 + ɛ 4 <ɛ F F u,u,u 3,u 4,v,v,v 3,v 4 y u u,v 4 y v u 4,v z u u 3,v 4 z v u 4,v 3 z u u 3,v 4 z v u 4,v 3 + x u u,v 4 x v u 4,v x u u,v 4 x v u 4,v + y u u,v 4 y v u 4,v u,u,u 3,u 4,v,v,v 3,v 4 R [a, b] [a, b] [a, b] [a, b] [c, d] [c, d] [c, d] [c, d] R 8. F R 8 R 5.. ɛ δ ui u i, v i v i <δ F u,u,u 3,u,v,v,v 3,v Fu,u,u 3,u 4,v,v,v 3,v 4 <ɛ. max i,,3,4 R Δ Δ <δ F ξi,j,ξ i,j,ξ3 i,j,a i,ηi,j,η i,j,η3 i,j,c j N Δ i,j F a i,a i,a i,a i,c j,c j,c j,c j Φ u a i,c j Φ v a i,c j // ɛ < N Δ i,j Φ u a i,c j Φ v a i,c j < ɛ 5.7 z x + y r S x +y ax x +y ax z x + z y +dxdy x +y ax dxdy πa. x r + y r r cos θ, r sin θ π <θ π, r a cos θ S x +y ax π [ r ] a cos θ π dxdy π π dθ a cos θ dθ 4 a π rdr cos θdθ πa. // +dxdy 67

178 x + y ax x + y + z a x + y ax x + y + z a x + y ax z + ax a. y ± ax x a ax z a ax z a - ax / x + y ax z + ax a z y ax x y x a x ax x y z x y +y x x, z + y z x, z a x + 4ax x a 4ax x Ω x, z z + ax a S 4 4 Ω a a a ax a dzdx 4 ax x a a [ x ] a x dx 4a a 4a. // a ax x dzdx 3 C y fx a x b x y + z fx +zx + zy + fx f x + y z z x fxf x, z y y z z S b fx S dx +zx + zy dy a b a b a fx fx +f x dx fx +f x dx fx a x b fx +f x z b a fx +f x fx y fx fx +f dx x dy fx y fx y dy [ ] fx sin y π fx b a fx +f x dx. // 68

179 4 y x S π x S V V y +y dx > π πy dx π [ x dx π ] π, x ydxπ dx π lim log n. // x n 5 S y a + R x R x R x S y a R x S π S π R R R R S S + S 4πaR R x R x S a + R x R R R x dx π ar R x + R dx, a R x R R R x dx π ar R x R dx. R R R R [ ] R R x dx 4πaR sin x 4π ar. // R R 6 y b a a x a x a x S y bx a a x a, +y a4 a b x. a x a a x y +y b a4 a a b x S a b S π a4 a a a b x dx 4πb a a4 a a b x dx 4πb a a b a a4 t 4πb dt a b a a b πb b + a sin e a b e. // e a [ t a 4 t + a 4 sin t ] a a b a 7 z [ e V dxdydz dxdy dz πe z z ] dz π log x +y x +y e z πe. x, y R fx, y x, y R x + y e R V dxdydz log x + y dxdy log x +y z fx, y 69

180 x + y + x + y dxdy S +zx + zy dxdy e π r +dr π [r r ++log r + r + ] e π e e ++log e + e +. // π e r + r rdrdθ 8 z xy z x + y R z x + z y 4x + y x, y R +4x +4y dxdy. 9 S h z x y x + y h h h x z x x y, z y y +z x y x + zy. x y S Sh x +y h h π π x y dxdy π [ ] r h h dθ π h dθ πh h. h h r drdθ r h + h dθ Sh S π h // 5.8 fx, y M max x,y fx, y fx, y M x, y fx, y n dxdy n. C. 4 M n n dxdy MA n, <A dxdy <. lim fx, y n n dxdy lim MA n M. n n fx, y.9 B. M fx,y x,y fx, y ɛ δ x x +y y <δ fx, y >M ɛ δ x, y x x +y y <δ <A δ δ dxdy < 7

181 fx, y n dxdy n δ M ɛ n dxdy n M ɛ A δ n lim fx, y n n dxdy lim M ɛ Aδ n M ɛ ɛ >. n n lim fx, y n n dxdy M n lim fx, y n n dxdy M // n [, ] [, ] fx fy gx gy x, y I fx fy gx gy dxdy. I fxgx fxgy fygx +fygy dxdy fxgx dxdy fxgx dx fxgx dx fx dx fx dx fxgy dxdy gy dy fy dy gx dx. // fygx dxdy + gx dx + fygy dy fygydxdy y Γx e t t x dt y Γ x e t t x log tdt fx, t e t t x t> Γx fx, t dt x > fx, t x e t t x log t e t t x t 7

182 < x x x fx, t dt x M M e t t x dt M. x > 3.6 C. d dx fx, t dt fx, t x dt fx, t x dt x > e t t x log tdt x > x L Hospital lim t e t t x log t fx, t x e t t x log t t 3.6 C. d dx fx, t dt fx, t x dt x > s x l l t s e t t x log t x 3/ x 4/3 - - x 5/4 x 5/6 <x<x fx, t x fx,t dt x dt - - x / e t t x log tdt e t t x log tdt e t t x t x log tdt t x t x log tdt t x log tdt t x log tdt x x. fx, t dt e t t x log tdt <x x 3.6 C. 3 d dx fx, t dt d fx, t dt d fx, t dt + dx dx fx, t dt + x fx, t x fx, t dt fx, t x dt x > dt fx, t x dt x >. // 7

183 6. Helicoid x u cos v y u sin v z v u, v π N X u u, v X v u, v sinv, cosv, u R 3. S π S N dudv u +4dudv π u +4du π [,] [,π] [ u u +4+4log u + u +4 ] + 5 π 5+4log. // 6. div ˆr r, div ˆθ z r, div ˆϕ. x + y R 3 x r sin θ cos ϕ, y r sin θ sin ϕ, z r cos θ <r, θ π, r ϕ<π 6. ˆr x, r y, r z θ θ x, θ y, θ xz z r x + y, yz r x + y, x + y r ˆθ θ θ ϕ ˆϕ x, ϕ y, ϕ z ˆr, ˆθ, ˆϕ Ω [a, b] [c, d] [e, f] R 3 Ω S S [a, b] [c, d] e S [a, b] [c, d] f S 3 [a, b] c [e, f] S 4 [a, b] d [e, f] S 5 a [c, d] [e, f] S 6 b [c, d] [e, f] S A n ds 3 A n ds + A n ds. S i S i i S n,, R 3 S n,, R 3 A n ds + A n ds S S [a,b] [c,d] [a,b] [c,d] [e,f] hx, y, e dxdy + h z dxdydz f A n ds x + g y + h z dxdydz S Ω Ω [a,b] [c,d] Ω div A dxdydz. hx, y, f dxdy h z dxdydz. 73

184 6. rx, y, z x, y, z x, y, z R 3. div r x x + y y + z 3 z S O ɛ S ɛ n r r r 4π r n ds 3 4π S S ɛ 3 div r r 3 x x r 3 + y r r 3 n r r 3 r r r. r r n ds 3 4π S ɛ r ds ds S ɛ. 4πɛ S ɛ 4πɛ y r 3 + z S z r3 4 O / V r r n ds div r dxdydz. 3 r3 V O V O ɛ> S ɛ S ɛ V S S ɛ V V r r 3 n ds r r 3 n ds S // S ɛ S r r 3 n ds div r dxdydz V r3 S ɛ r n ds r3 C x cosu, y sinu π u π C y S x cosucos v, y sinu, z cosusin v u, v [ π, π ] [, π S y u y v N, z u z v, x u x v cosucos u cos v, sin u cos u, cosucos u sin v z u z v x u x v y u y v S Y n ds π Y N dudv Ω divy dxdydz sin u sin u cos ududv Ω π dxdydz Ω π π sin u du dv 74

185 6.3 R C x ϕu, v y ψu, v C C C : x xt, y yt a t b C C C : u ut, v vt a t b xt ϕut, vt yt ψut, vt a t b ω fx, ydx + gx, ydy dx ϕ u u, vdu + ϕ v u, vdv dy ψ u u, vdu + ψ v u, vdv ω fx, ydx + gx, ydy fϕu, v, ψu, v ϕ u u, vdu + ϕ v u, vdv + gϕu, v, ψu, v ψ u u, vdu + ψ v u, vdv fϕu, v, ψu, vϕ u u, v+gϕu, v, ψu, vψ u u, v du + fϕu, v, ψu, vϕ v u, v+gϕu, v, ψu, vψ v u, v dv fϕ, ψϕ u + gϕ, ψψ u du + fϕ, ψϕ v + gϕ, ψψ v dv, ω fu, vdu + gu, vdv fu, v fϕ, ψϕ u + gϕ, ψψ u gu, v fϕ, ψϕ v + gϕ, ψψ v ϕ u ϕ u, ϕ v ϕ v, ψ u ψ u ψ v ψ v C fx, ydx + gx, ydy b a b a b a C fxt, ytx t+gϕut, vt, ψut, vty t dt fϕut, vt, ψut, vtϕ u u t+ϕ v v t + gϕut, vt, ψut, vtψ u u t+ψ v v t dt fϕ, ψϕ u + gϕ, ψψ u u t + fϕ, ψϕ v + gϕ, ψψ v v t dt fu, vdu + gu, vψ v dv. ω R C ω R C // C 75

186 B C : x r cos α, y r sin α r fα C : x fθcosθ, y fθsinα α θ β C : x fβ rcosβ, y fβ rsinβ r fβ ydx + xdy r sin θ r sin θ + r θcosθ+rcos θr cos θ + r sin θ dθ r dθ r dθ β fθ dθ. C α r dθ r dθ // C C 6.4 x 3 + xy + y xy + x y + x y x ω x 3 + xy + ydx +x y + xdy x, y R γ t, t x γt x, t x x t x + y fx, y γ x 3 + xy + ydx +x y + xdy [ x4 x 4 + t x + xt ω df // ] x+y x x t 3 dt + x4 4 + x y + xy x+y ω px, y dx + qx, y dy y x + y dx + x x + y dy x t x+x dt R, exact R, fx, y R, ω df 6.4 C. Green C ω C 3 R, C : xt, yt cos t, sin t t<π π π ω pcos t, sin t sin t+qcos t, sin tcost dt dt π. C ω R, exact // 3 x +3x ydx +x 3 ydy R fx, y x,y, x +3x ydx +x 3 ydy x tdt+3x 3 y t 3 dt + x 3 y 76 xt +3x yt 3 xdt + t 3 dt y x 3 t 3 yt ydt tdt x + x3 y y

187 fx, y c c R // 6.5 rx, y, z x, y, z x, y, z R 3 grad r r r, div grad r r, grad log r r r, div grad log r r, grad r r r 3, div grad r x, y, z R3. grad Φ 4πR 3 r 3 r 3 R r 4π r 3 r<r, div grad Φ R r 4π r<r. 6.6 C fx, y, z grad f f x,f y,f z rot grad f f zy f yz,f xz f zx,f yx f xy. Ax, y, z fx, y, z, gx, y, z, hx, y, z x, y, z R 3 h rot A y g z, f z h x, g x f, y div rot A h x y g + f z y z h + g x z x f. y 3 v ω r a, b, c x, y, z bz cy, cx az, ay bx x, y, z R 3 rot v ay bx y ω. cx az bz cy, z z ay bx cx az, x x bz cy y 4 R 3 x, y, z φ zx z x r sin θ sin φ, y r cos θ, z r sin θ cos φ <r, θ<π, φ<π. y R cos θ < θ < π C C : x R sin θ sin ϕ, y y, z R sin θ cos ϕ ϕ<π. S N C T Nθ, φ R sin θ sin θ sin ϕ, cos θ, sin θ cos ϕ, T ϕ R sin θ cos ϕ,, sin ϕ. rot V,, C V R cos θ,rsin θ sin ϕ, rot V N θ, φ R sin θ cos ϕ V T ϕ R sin θ cos θ cos ϕ. π π V t c ds V T ϕ dϕ R sin θ cos θ cos ϕdϕ, C π θ rot V n ds cos ϕdϕ R sin θdθ. C 77

188 5 S N C T Nθ, φ R sin θ sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ, T ϕ R sin θ sin ϕ, cos ϕ,. V R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R sin θ V T ϕ rot V y x + y, x x + y, sinϕ, cosϕ, C rot V N. V t c ds π V T ϕ dϕ C C rot V n ds. // 6 R > S V x, y, z y, x, xz V x, y, z x + y, yz x + y, x + y xz, yz, x +y x + y V αx, y, z R x + y xz V x, y, z R x + y + y x + y, yz x + y x x + y, α V α V. V, W fx, y, z C rot V + W rotv +rotw, rot f V f rot V + grad f V. V αv αv rot V rotαv rot αv α rot V + grad α V α rot V grad α V. V rot V,, V 5 y rot V x + y, x x + y,. α rot V α rot V R y x + y x + y, x. x + y, x grad α α x,α y,α z R, x + y 3 y x + y 3, R x, y, x + y 3 p.8 78

189 grad α V R x + y 3 grad α V R x + y 3 R y rot V x + y x + y, x x + y, + R x + y y, x, x + y. rot V n x, y, y, x, R x + y,, x, y, x + y xz, yz, x + y R x + y,, R y, x, x + y R y, x, x + y R y, x, x + y x + y z x, y, z R x + y. // 6.7 R h y x, y, z g z x, y, z, f z x, y, z h x x, y, z, g x x, y, z f y x, y, z ϕx, y, z ϕ x x, y, z fx, y, z ϕ y x, y, z ϕ z x, y, z x x x f y t, y, z dt + gx,y,z x x f z t, y, z dt + x y y z ft, y, z dt+ gx,t,z dt+ hx,y,t dt x y z x x g x t, y, z dt + gx,y,zgx, y, z y g z x,t,z dt + hx,y,t y h x t, y, z dt + h y x,t,z dt + hx,y,thx, y, z. x y A αx, y, z, βx, y, z, γx, y, z αx, y, z t xz y xz y dt, βx, y, z 3 γx, y, z t yz +x yz +x dt. 3 t xy z dt yz z, 3 3,, αx, y, z, βx, y, z, γx, y, z γ y x, y, z β z x, y, z fx, y, z α z x, y, z γ x x, y, z gx, y, z x, y, z. β x x, y, z α y x, y, z hx, y, z divb f x x, y, z+g y x, y, z+h z x, y, z d t ftx, ty, tz tftx, ty, tz+t xf x tx, ty, tz+yf y tx, ty, tz+zh z tx, ty, tz dt 79

190 γ y x, y, z β z x, y, z t yftx, ty, tz xgtx, ty, tz dt t xhtx, ty, tz zftx, ty, tz dt y z tftx, ty, tz dt + t yf y tx, ty, tz xg y tx, ty, tz xh z tx, ty, tz+zf z tx, ty, tz dt d t ftx, ty, tz dt dt [ t ftx, ty, tz ] t x f x tx, ty, tz+g y tx, ty, tz+h z tx, ty, tz dt t x divb dt fx, y, z // 4 αx, y, z, βx, y, z xy, γx, y, z x + yz. 5 Poisson Δ ρ divb ρx, y, z x, y, z C B grad ρ div B grad ρ divb div grad ρ divb Δρ C A B grad ρ rota // 6.8 R 3 S ω fx, y, z dx dy + gx, y, z dy dz + hx, y, z dz dx x, y, z S S ϕu, v xu, v, yu, v, zu, v S u, v, xu, v, yu, v, zu, v u, v R C S ϕs, t xs, t, ỹs, t, zs, t S s, t E, xs, t, ỹs, t, zs, t s, t E E R C E C ϕ, ψ : E ϕu, v ϕs, t s u u, v s v u, v t u u, v t v u, v > s, t ϕu, v,ψu, v u, v 4.5 B. 3 x u u, v x v u, v x s s, t x t s, t s u u, v s v u, v y u u, v y v u, v ỹ s s, t ỹ t s, t t u u, v t v u, v 8

191 x u u, v x v u, v y u u, v y v u, v x s s, t x t s, t s u u, v s v u, v ỹ s s, t ỹ t s, t t u u, v t v u, v. fx, y, z dx dy S E x u x v fxu, v, yu, v, zu, v y u y v dudv x s x t s u fxu, v, yu, v, zu, v ỹ s ỹ t t u x s x t f xs, t, ỹs, t, zs, t dsdt. ỹ s ỹ t s v t v dudv ω S S y u u, v y v u, v z u u, v z v u, v ỹ s s, t ỹ t s, t s u u, v s v u, v, z s s, t z t s, t t u u, v t v u, v z u u, v z v u, v x u u, v x v u, v z s s, t z t s, t s u u, v s v u, v x s s, t x t s, t t u u, v t v u, v S E fx, y, z dx dy + gx, y, z dy dz + hx, y, z dz dx x s x t f ỹ s ỹ t + g ỹ s ỹ t z s z t + h z s z t s u s v x s x t t u t v dudv x s x t f ỹ s ỹ t + g ỹ s ỹ t z s z t + h z s z t dsdt. x s x t ω S C // R 3 f df f x dx + f y dy + f z dz d df f yx f xy dx dy +f zy f yz dy dz +f xz f zx dz dx. R 3 ω fdx+ gdy+ hdz dω g x f y dx dy +h y g z dy dz +f z h x dz dx d dω d g xz f yz +h yx g zx +f zy h xy dx dy dz dx dy dz. R 3 3 ω dω ω d dω d dω. // 8

192 3 Stokes R 3 : S C : [ ] X f, g, h ω fdx+ gdy+ hdz rotx h y g z,f z h x,g x f y dω h y g z dy dz + fz h x dz dx + g x f y dx dy X t ds C Stokes rotx n ds ω C dω V : R 3 S : V [ ] V A g, h, f ω fdx dy + gdy dz + hdz dx diva g x + h y + f z dω g x + h y + f z dx dy dz A n ds S diva dxdydz V ω S dω V 8

193 abc x a + y b + z c x a + y b z c. x a y b z c. x a + y b z x a y b z 83

194 Leibniz 84

195 [] : II - -,,. [] :,,

196 Asteroid ,7,3,37 5,83,,5,58,64,76 ɛ δ 43,44, Vorticity 9 Torus 5,87, ,9, Gauss,3 Cardioid 7,89,9,97 87,89,96 Exact,4, , Γ 85 5,7 9,88,9 6,3 4,9,69,88 5,9, 4,6,7,7 4,8, ,, 4,,3,5-3 6,7, 9,9,93 Coulomb,3 Green Green 4,3,34 Green 8,9, , grad, 4,3,33 9, ,37,38 C 7, C n C 8, , Stokes 6,8,38 55,56, ,7,, 9, 6,3,57,6, ,37 3 5,83 5, ,86,87 7,4 5,34,7,38, 3 Taylor 34,36 Taylor 35 39,4 escarte ,4,5,45 8,,3,83 37,

197 ivergence 7,9 7,9,3,38,39 3 3,8,9,9 3-6,3-6 Rhodonea 7 Heine-Borel 6,5,7-4, B 85 Hölder 98 5,7,9,8 rot curl 8,9,3 33,35,38 div 7, ,34 Hesse 39 Bernoulli Helix 4 Helicoid 4,6 69,7,87, 3 6,7, 7,,,9,9 3-5,,7 5,33 6,8,38 Bolzano Bolzano-Weierstrass Poisson Poisson 3,35 Maclaurin ,7,9,9 4,9 56,65,7 56,65,74 3,5 5 Jacobian 3,5,7,88 3,88 9,,,55,7 Lagrange 49 Helix 4 Laplacian Δ 8,3,5 Laplace 8,3 Riemann 55,58,8,95 66,68 Lemniscate 46,7 6,7 6, Weierstrass 87

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