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1 計測工学 I 第 2 回 Excel による移動平均の計算

2 今日の内容 第 2 回 Excel による移動平均の計算 実際にパソコンを使って移動平均の計算を行い ディジタルフィルタ FIR フィルタの考え方を導入する 計測データの処理方法に慣れる この方法は単に移動平均に用いるだけではなく 一般的なフィルタ処理にも用いることができます ディジタルフィルタ処理の入門として 移動平均を扱います

3 Excel の構造 Excel は表計算ソフトで データを行と列に入力することができます C 言語などのコンピュータプログラムで 従来 配列 で処理していた データ をセルに直接書き込み関数を使ってプログラムを書くことができます for( i=0; i<n-1; i++ ) { ecg_new[i] = (ecg[i] + ecg[ii+1]) / 2; }

4 移動平均とは 自分自身の前後数点のデータを 平均し その点のデータとする処理です 式の読み方 i 番目の要素を計算する時 k の値を i-n から i+n まで変えて 加算する その結果を 2n+1 で割って平均する xi = 1 2n +1 i+n k=i n x k

5 生データ 測定したままで 何も処理していないデータを 生データ と ( 俗に ) 呼びます 英語では Raw Data 今回は manaba から ECG-sample.xlsx をダウンロードして開いて下さい

6 提出用データ データは 150 秒あります 各自の学籍番号の下 3 桁を秒に読み替えて そこを起点に 5 秒分のデータを切り出して下さい 例 : 学籍番号 110XXX100 番の人 100 秒から 105 秒までのデータを切り出して 新たに Sheet1 に A1 のセルからコピーして下さい 下の [+] のタブをクリックし 新しいシート を挿入する 5 秒分のデータを選択し コピー する 新しく作ったシートの [A1] のセルに貼付ける 全員 1001 行のデータになっているはずです

7 Excel での範囲選択 1000 行分を 1 行ずつ下向き矢印で移動すると時間がかかります 範囲選択は [Shift] キーを押しながらカーソル移動のキーを使います ここでは ページ単位 でスクロールします パソコンによって [Page Up] [Page Down] だったり [Pg Up] [Pg Dn] と書かれているキーが ページアップ ページダウン のキーです ノート PC の場合 [Fn] キーなどと組み合わせる場合があります MacBook の場合は [Command]+ カーソルの [ ][ ] です つまり PC によっては [Shift] キーを押しながら [Fn] キーと [Pg Dn] を押すというふうに 三つのキーを押すと ページ単位で移動しながら範囲選択ができます また さらに範囲が広い場合には [Shift] キーを押しながら起点のセルをクリックした後 [Shift] キーを押したまま スクロールバーで範囲を選び [Shift] を押し続けたまま終点のセルをクリックするのが 一番オススメの方法です

8 商用交流雑音 元のデータは 秒間隔です 周波数 200Hz この上に 50Hz の商用周波数が乗っています 何点で移動平均したらいいでしょうか?

9 移動平均点数の計算 50Hz のデータは 0.02 秒で 1 周期分の変化をします サンプリング間隔は 秒です 交流雑音は = 4 で 4 区間分に 1 周期が乗ってきます これを 前 2 点 後 2 点 に分けて平均します 区間は 4 つですが中心にある自分自身も数えるので +1 します n=2 で以下の式を読みます k は 自分 ( i ) の 2 点前から 自分の 2 点後まで変化させ 1/5 倍 (5 で割って ) 平均します xi = 1 2n +1 i+n k=i n x k

10 Excel での計算 (Step 1) A1 から A1001 まで 生データがコピーされているはずです ここで B3 のセルに =average(a1:a5) と入力します

11 Excel での計算 (Step 2: 操作の考え方 ) 入力された B3 のセルの式を B999 までコピーします こういう時に便利なのは Excel のジャンプ機能です [Ctrl] キーを押しながら上下左右のキーを押すと 連続したデータの切れ目まで一気にジャンプします データのある状態が続いているときは 最後のデータまで データのない状態が続いていると 最初のデータが現れるまで ジャンプします でも B 列にはデータがありません ですので 一旦 A 列に移動し A 列の一番下 (A1001) までジャンプしてから 一つ右の B 列に移動し 今度は コピー先の B999 から B4 まで 範囲選択 します

12 Excel での計算 (Step 2) まず B3 のセルをコピーします (Ctrl-C) B3 のセルの周囲が点滅します 一つ左の A 列 (A3) にカーソルを移動させ [Ctrl] を押しながら下向き矢印を押します A1001 までジャンプします 一つ右 二つ上の B999 に移動します カーソルキーで移動します B999 で [Shift] と [Ctrl] を押しながら 上向き矢印 を押します 一気に B999 から B3 までが選択されます [Shift] キーだけ押したまま 一つ下に戻りコピー先の範囲 (B4:B999) を選びます 範囲を選んだら 貼付け (Ctrl-V) します Ctrl + Shift + Ctrl + Shift +

13 Excel の式の相対参照 Excel の関数式は $ マークをつけなければ 相対参照 になります このため =AVERAGE(A1:A5) が 1 行下にコピーされると =AVERAGE(A2:A7) になり 最後の B999 のセルでは =AVERAGE(A997:A1001) になります これで 計算式の入力は Ok です

14 グラフ表示 A3:B999 まで 計算済みの範囲を選んで下さい A3 をクリックし [Shift] を押しながら 右向き矢印 ( ) を 1 回押して B3 に移動し さらに [Ctrl] も押しながら 下向き矢印 ( ) を押すと 一気に A3:B1001 を選ぶことができます [Shift] だけを押した状態で 上向き矢印 ( ) を 2 回押すと 範囲を A3:B999 に狭めることが可能になります これを 折れ線グラフで表示して下さい

15 ディジタルフィルタ 移動平均の場合には 右の式の計算を行いました xi = 1 2n +1 i+n k=i n x k これ以外にも 同様の手法で 右のような式を与えることができます これがディジタルフィルタです y i = n k= n a k x i+k 移動平均の場合には 係数行列 a k が 1/(2n+1) の定数であると考えることが出来ます

16 微分フィルタ 単純に a 0 = -1, a 1 = 1 と置くと 微分フィルタになります 連続量の微分の定義は以下のようになります 微小時間での x(t) の増分を求めれば良いので 直前の値との差を求めれば 微分の形になります ( 厳密には サンプリング周期で割ります ) d dt x(t) = lim Δt 0 y i = x i x i 1 x(t) x(t Δt) Δt X(t)-x(t-Δt) Δt

17 Excel での微分フィルタ計算 B 列の 移動平均 の結果をそのまま使います C4 のセルに =B4-B3 の式を入力し この式を C999 までコピーします

18 ピークの強調 係数列として { -2, 1, 2, 1, -2 } というフィルタを設計します 特性の計算は Z 変換 で調べるとわかりますが この科目では扱いません ですが 同様の方法で計算することができます ( 下図は わかりやすくするため 200 のオフセットを加算しました ) 心電図の QRS のピークを強調できるフィルタです

19 一般的なディジタルフィルタ FIR フィルタで調べてみて下さい Finite Impulse Response Filter( 有限インパルス応答フィルタ ) です 掛け合わせる係数列を様々に変えることによって ノッチフィルタ 低域濾過フィルタ 高域濾過フィルタなど 様々な特性を持つフィルタを作れます 相関フィルタとして 特定の波形パターンを抽出するのにも使えます より厳密な処理を行うためには サンプリング周波数を高くとって ( オーバサンプリングして ) フィルタの次数 ( 計算する係数の数 ) を増やすことで 特性を改善することができます 画像引用元 :Wikipedia

20 今日のまとめ EXCEL を用いて 移動平均処理を行うことができる ディジタルフィルタの作り方を EXCEL で検証できる Excel の操作法で Ctrl キーや Shift キーを組み合わせると 少ないキー操作 マウス操作で簡単に計算やグラフの作成を行うことができる 同様の手法で 微分フィルタ ノッチフィルタ 低域濾過フィルタ 高域濾過フィルタ パターン抽出フィルタなど 簡単に実現することができる フィルタは FIR フィルタの考え方で 厳密に計算式を立てることができる

21 今日の提出課題 データを切り出したシートで 移動平均と 微分フィルタの計算処理を行ってグラフを作成し 学籍番号 -02.xlsx のファイル名で保存し メール添付で提出して下さい 提出先は 授業中にお示しします EXCEL の拡張子 (xlsx) は 自動的に付加されるので 重複していないか 提出前によく確認して下さい 配点 6 点 : 移動平均の正しいグラフがある (4 点 ) 微分フィルタの計算結果のグラフがある (2 点 ) ボーナス点 : QRS 強調のフィルタのグラフが添付されている (2 点 )