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こうだいみやのじょう
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1 意思決定科学 DEA 包絡分析法情報学部堀田敬介年月日火

2 考えようあなたはつの店舗をもつ社長だ今年年間の業績が最もよい店舗を表彰して他店舗の模範とし次年度も切磋琢磨させたいさてあなたはどの店舗を表彰するのか? A 店 B 店 C 店 D 店 E 店 F 店営業費 8 7 人員数 8 売上 A 店 B 店 C 店 D 店 E 店 F 店売上 / 費売上 / 人 F B D 包絡線 E C A

3 Cotet DEA とは? DMU 意思決定主体効率性 :DMUの入力出力と効率値 DEA の基本的モデル CCR モデル生産可能集合とその他のモデル凸包モデル BCCモデル IRSモデル DRSモデル GRSモデル

4 DEA とは? DEA Data Eelopet Aali eelop= 包む eelopet= 包むこと cf eelope= 封筒入力個出力個 DMU Deciio Makig Uit 仮想的入力 DMU Deciio Makig Uit 仮想的出力比率尺度を効率性と見なして相対比較 DMU の変換効率 = 仮想的出力仮想的入力最も変換効率の良い DMU を基準として他の DMU の非効率性を算出し比較するただし変換効率は DMU 毎に最も有利になるように計算

5 DEA とは? 入力出力営業所の営業マン人数と売上について [] p 営業所 DMU A B C D E F G H 入力出力営業マン数 8 売上高入力営業マン数 DMU Deciio Makig Uit 出力売上高

6 上高DEA とは? 入力出力営業所の営業マン人数と売上について [] p 営業所 DMU A B C D E F G H 出力 / 入力売上高 / 営業マン数効率値効率的 DMU 非効率的 DMU o 営業マン数売H E B D G C F A 7 8 効率的フロンティア生産可能集合

7 DEA とは? 入力出力デパートの各店舗の売上 cf [] p 店舗 DMU A B C D E F G H I 入力入力出力従業員数 9 8 売場面積 8 売上高入力従業員数売場面積 DMU Deciio Makig Uit 出力売上高

8 DEA とは? 入力出力デパートの各店舗の売上 cf [] p 店舗 DMU A B C D E F G H I 入力 / 出力従業員数 / 売上高 / 入力 / 出力効率的 DMU 非効率的 DMU 売場面積 / 売上高 / 場面積売上高 o 従業員数 / 売上高売E I H G A F D B C 効率的フロンティア生産可能集合

9 DEA とは? 入力出力デパートの各店舗の売上 cf [] p 効率的 DMU 非効率的 DMU 場面積売上高 o 従業員数 / 売上高売E P I H D G B A C F 効率的 DMU CDE の効率値は非効率的 DMU H の非効率値は OP OH DMU DE が H の有位集合 or 参照集合

10 DEA とは? 入力出力各営業所の取引先と売上 cf [] p7 営業所 DMU A B C D E F G 入力出力出力営業マン数売上高 7 8 取引先数 9 8 入力営業マン数 DMU Deciio Makig Uit 出力売上高取引先数

11 DEA とは? 入力出力各営業所の取引先と売上 cf [] p7 出力 / 入力出力 / 入力生産可能集合効率的 DMU 非効率的 DMU 営業所 DMU A B C D E F G 売上高 / 営業マン数 7 取引先数 / 営業マン数引先数営業マン数 o 売上高 / 営業マン数取G D C P A F E 7 効率的フロンティア B Q 非効率的 DMU D の非効率値は OD/OP 優位集合は G F 非効率的 DMU A の非効率値は OA/OQ 優位集合は B Q は非効率なので B を目指す!

12 DEA:CCR モデル多入力多出力入力個出力個入力のウェイト DMU Deciio Makig Uit 出力のウェイト仮想的入力 := 仮想的出力 := 効率性生産性 := 入力出力のウェイトは可変固定ウェイト

13 DEA:CCR モデル多入力多出力 k k k 入力個個 k= DMU k Deciio Makig Uit 出力個 k k k 入力データ行列出力データ行列 DMU 数個 DMU 数個 X 入力数 Y 出力数入力データ用ウェイトベクトル q k T T : i i ik k 出力データ用ウェイトベクトル DMU k の仮想入力 DMU k の仮想出力 r k : j j jk k

14 DEA:CCR モデル多入力多出力測定対象 DMU o o= のウェイトを計算する : a k k k k o o o o o k t 全ての DMU の効率性は以下対象の DMU の効率性を最大化 <FP o > 分数計画問題入出力用可変ウェイトの変数は非負 : a k k k k o o o o o k t 線形計画問題 <LP o > 同値 [] <FP o > の目的関数について分母をにし分子を最大化 <FP o > の制約の分母を払う注全部で個の LP を解く!

15 DEA:CCR モデル多入力多出力効率性について <LP a o : o > t o o k o o k k k k Def: DMU o がD 効率的 DMU o がD 非効率的 o o 注 D 効率的だからといって効率的とは言えない Le: DMU o が D 非効率的即ち k o k なら k { } k k E o に属する DMU は D 効率的この等号を満たす k の集合を DMU o の優位集合 or 参照集合という Def: DMU o の優位集合 or 参照集合 E : k { } o k k k k 効率的フロンティアの一部を形成

16 DEA:CCR モデル多入力多出力 <LP o > の双対問題と最適解について : a k k k k o o o o o k t <LP o > i io j j i i io j i t : : j i io j j j i i io i 双対問題入力 i の重み和 DMU o の入力 i 出力 j の重み和 DMU o の出力 j 入力の余剰出力の不足 CCR モデル <D o >

17 DEA:CCR モデル多入力多出力入力の余剰と出力の不足を求める a io j j j i i io i j i t <LP o > の最適値出力の不足の和入力の余剰の和 <D o > を解いて最適解を得た後この LP を解いて最適解を得る Def: DEA 効率性の定義となる DMU は DEA 効率的それ以外の DMU は DEA 非効率的 DEA の実行手順

18 DEA:CCR モデル例題意思決定科学受講学生の効率性学生 DMU A B C D E F 勉強時間授業集中度 8 9 出席率中間試験 7 期末試験 9 7 入力個出力個入力のウェイト DMU 学生出力のウェイト + 効率性生産性 := + +

19 DEA:CCR モデル学生 ADMU A の効率性を求める分数計画問題 a : 8 t <FP A > 線形計画問題 <LP A > 学生 DMU A B C D E F 勉強時間授業集中度 8 9 出席率中間試験 7 期末試験 9 7 a t P 主問題 D 双対問題 i t

DEA:CCR モデル学生 ADMU A の効率性を求める学生 DMU A B C D E F 勉強時間授業集中度 8 9 出席率 9 8 9 中間試験 7 期末試験 9

20 DEA:CCR モデル学生 ADMU A の効率性を求める学生 DMU A B C D E F 勉強時間授業集中度 8 9 出席率中間試験 7 期末試験 9 7 線形計画問題 <LP A > i t <LP A > の最適値 θ= なら次の LP も解く a t

21 DEA:CCR モデル例題 [] p DMU A B C D E F 入力入力出力 i t 入力 8 A = C + 7 D 出力 A = C + 7 D DMU A は DEA 非効率的で優位集合は C と D D E A B C F o / / 8 最適解 :θ=8 λ λ λ λ λ λ = 7 DMU A についての問題

22 DEA:CCR モデル例題 DMU A B C D E F 入力入力出力 i t DMU C についての問題入力余剰も出力不足もないので DMU C は DEA 効率的 a t D E A B C F o 最適解 :θ= λ λ λ λ λ λ = 最適解 : = C 自身の値が / /

23 DEA:CCR モデル例題 i t a t D E A B C F o DMU A B C D E F 入力入力出力最適解 :θ= λ λ λ λ λ λ = DMU F についての問題 / / F の値はで C の値が最適解 : = 入力余剰があり DMU F は DEA 非効率的優位集合は CC に比較して入力余剰だけ非効率

24 DEA の特徴特徴長所短所他と異なった特徴を持つ DMU は DEA 効率的と判断されやすい他と異なることが良いことの場合は DEA は良い指標全ての DEA 効率値が大きい値を持つ場合がある DEA 効率的と判断される DMU が非常に多い場合がある

25 例題 DEA を用いた野球打者評価 CCR モデルによる年度シーズンのセパ両リーグ打率上位各人の打者計人について DEA により評価入力打数三振 DMU 野球打者 = 与えられる打席を得点に結びつけるシステム注 : 三振は少ない方がよいので入力に出力安打打点四死球犠打盗塁打数三振安打打点四死球犠打盗塁青木宣親ヤクルト福留孝介中日金本知憲阪神金城龍彦横浜井端弘和中日岩村明憲ヤクルト 8 7 データ一部加工 Yahoo! スポーツプロ野球個人成績打率年月日時 9 分

26 例題 DEA を用いた野球打者評価 CCR モデルによる年度シーズンのセパ両リーグ打率上位各人の打者計人について DEA により評価結果例 : 年度セリーグ打率位石井琢朗横 <D o > を解いた結果 :θ=87λ =8λ =7λ 8 =7λ 7 =7 各入力 87 石井琢郎 = 8 金本知憲阪 + 7 井端弘和中 + 7 赤星憲広阪 + 7 城島健司ソ各出力石井琢郎 = 8 金本知憲阪 + 7 井端弘和中 + 7 赤星憲広阪 + 7 城島健司ソ結果例 : 年度セリーグ打率位二岡智宏巨 <D o > を解いた結果 :θ=9λ =89λ =8λ =λ 7 =97 各入力 9 二岡智宏 = 89 青木宣親ヤ + 8 金本知憲阪 + 金城龍彦横 + 97 前田智徳広各出力二岡智宏 = 89 青木宣親ヤ + 8 金本知憲阪 + 金城龍彦横 + 97 前田智徳広注 :<D o > のモデル化解は cple9 による

27 演習 : やってみよう DEA を用いた野球打者評価 CCR モデルによる昨シーズンのセパ両リーグ打率上位各人の打者計人について DEA により評価

生産可能集合生産可能集合 P 入力データ行列X k k k 入力個 DMU DMU DMU

に属する P に属す活動の非負結合も P に属する個 Y 出力個 k k k : 活動 =

28 生産可能集合生産可能集合 P 入力データ行列X k k k 入力個 DMU DMU DMU Deciio Makig Uit Deciio Makig Uit Deciio Makig Uit 生産可能集合 P に対する仮定 CCR モデル現在の各 DMUの活動 i i i= は P に属する P に属す活動に対し k 倍した活動 k k も P に属する P に属す活動に対しを満たすも P に属する P に属す活動の非負結合も P に属する個 Y 出力個 k k k : 活動 = 入力と出力の対 P={ }: 生産可能集合 = 活動の集合出力データ行列規模の収穫が一定 cotat retr to cale

29 生産可能集合規模の収穫が一定とは? 用満足度O 価値など効収穫逓増 icreaig retr to cale 規模の収穫が一定 cotat retr to cale 収穫逓減 ecreaig retr to cale 注 : 一般には価値が大きくなるほど効用の増加量は減る場合が多い

30 生産可能集合生産可能集合 P に対する仮定 CCR モデル現在の各 DMU の活動 i i i= は P に属する P に属す活動に対し k 倍した活動 k k も P に属する P に属す活動に対しを満たすも P に属する P に属す活動の非負結合も P に属する入力出力O D E A B C F G H λ λ λ Y X P CCR モデル入力出力実際の問題は θ o と o を使う Chare-Cooper-Rhoe

31 生産可能集合注 :CCR モデルは凸包モデルの L= U= の場合とみなせる LUの取り方現在の各 DMUの活動 i i i= は P に属するにより変わる P に属す活動に対し k 倍した活動 k k も P に属する P に属す活動に対しを満たすも P に属する P に属す活動の非負結合も P に属する生産可能集合 P に対する仮定凸包モデル P Xλ Yλ λ L eλ U の条件によるの取り得る範囲実際の問題は θ o と o を使う L U O L U

32 生産可能集合生産可能集合 P に対する仮定凸包モデル :BCC モデル [L=U=] 現在の各 DMU の活動 i i i= は P に属する P に属す活動に対し k 倍した活動 k k も P に属する P に属す活動に対しを満たすも P に属する P に属す活動の非負結合も P に属する U L Y X P eλ λ λ λ eλ 入力出力O D E A B C F G H 実際の問題は θ o と o を使う BCC モデル入力出力 BCC の効率値は一般に CCR より大になる Baker-Chare-Cooper

33 生産可能集合生産可能集合 P に対する仮定凸包モデル :IRS モデル [L=U= ] 現在の各 DMU の活動 i i i= は P に属する P に属す活動に対し k 倍した活動 k k も P に属する P に属す活動に対しを満たすも P に属する P に属す活動の非負結合も P に属する U L Y X P eλ λ λ λ eλ 入力出力O D E A B C F G H 実際の問題は θo と o を使う IRS モデル入力出力比較的規模の小さい活動の効率性を重視 Icreaig Retr to Scale 収穫逓増

に属す活動の非負結合も P に属する U L Y X P eλ λ λ λ eλ 入力出力O D E A B C F G H

34 生産可能集合生産可能集合 P に対する仮定凸包モデル :DRS モデル [L=U=] 現在の各 DMU の活動 i i i= は P に属する P に属す活動に対し k 倍した活動 k k も P に属する P に属す活動に対しを満たすも P に属する P に属す活動の非負結合も P に属する U L Y X P eλ λ λ λ eλ 入力出力O D E A B C F G H 実際の問題は θo と o を使う DRS モデル入力出力比較的規模の大きい活動の効率性を重視 Decreaig Retr to Scale 収穫逓減

35 生産可能集合生産可能集合 P に対する仮定凸包モデル :GRS モデル [L U ] 現在の各 DMU の活動 i i i= は P に属する P に属す活動に対し k 倍した活動 k k も P に属する P に属す活動に対しを満たすも P に属する P に属す活動の非負結合も P に属する U L Y X P eλ λ λ λ 8 eλ e 8 入力出力O D E A B C F G H 実際の問題は θo と o を使う GRS モデル入力出力 BCC の生産可能集合を拡大効率値は BCC より悪い Geeral Retr to Scale 現存の活動の規模をある程度縮小拡大したものまで認める立場

36 参考文献 [] A Chare WW Cooper a E Rhoe ``Mearig the Efficiec of Deciio Makig Uit Eropea Joral of Operatioal Reearch Vol pp9-978 [] 刀根薫経営効率性の測定と改善 ~ 包絡分析法 DEAによる~ 日科技連 99 [] 末吉俊幸 DEA~ 経営効率分析法 ~ 朝倉書店 [] 森雅夫松井知己オペレーションズリサーチ朝倉書店 []

例えば, ある企業の支店を評価する場合, 従業員人当たり売上高や売場面積当たりの来客数などを評価項目として考えると, その値が大きいほど効率的であると考えることができるしかし, 従業員人当たり売上高が高い支店と売場面積当たりの来客数が多い支店のどちらがより効率的であるかを知りたい場合, どちら

例えば, ある企業の支店を評価する場合, 従業員人当たり売上高や売場面積当たりの来客数などを評価項目として考えると, その値が大きいほど効率的であると考えることができるしかし, 従業員人当たり売上高が高い支店と売場面積当たりの来客数が多い支店のどちらがより効率的であるかを知りたい場合, どちら包絡分析法 (DEA) について包絡分析法 (DEA:Data Envelopment Analysis) は, 効率性を分析する方法のつであり, 公共機関や民間企業などを評価するために利用されている DEA は, 複数項目での総合評価,2 個性的で多様性を活かした評価,3 改善値の定量的な把握, ができるといった特徴があり, 一般的に利用されている分析手法 ( 比率分析, 回帰分析など ) では見落とされていたような新しい分析結果を得ることができる