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えりかえいさか
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1 名城論叢 2006 年 3 13 平均可変費と平均費を最にする産量の関係尾崎雄郎ミクロ経済学において完全競争下の企業や独占企業の利潤最化動など多くの問題が短期の総費曲線や平均費曲線, 限界費曲線などをいて分析される. 短期の総費曲線は, 産量の増加関数で, 通常分に湾曲し, 滑らかで, 逆 S 字型をしていて, 正の総固定費を伴うと想定される. ミクロ経済学の多くの教科書においてこのような形状の総費曲線から平均費曲線, 平均可変費曲線, 限界費曲線などを導出する法や導出されたこれらの曲線がU 字型になることなどが説明されている. このとき, 平均可変費を最にする産量より平均費を最にする産量のほうがきいことをす図や数値例が得られるにも拘らず, 極く少数の例 (Ferguson and Maurice [1], p. 220, Gill [2], p. 56, Hadar [3], p. 23, Henderson and Quandt [4], p. 72, Quirk [7], pp ) を除けば, この事実を明瞭に認識し, 指摘しているものはない.Gill [2] がこの事実の証明を試みているけれども, 厳密ではない. その後, 尾崎 [5],[6] によってこの事実がいろいろな法で証明された. 本論においても, 逆 S 字型の, 分に湾曲した総費曲線の下で, 平均可変費曲線が最になる産量よりも平均費が最になる産量のほうがきいことを以前とは異なった微分による法と幾何学的な法で証明する. ある企業の産量を, 短期における滑らかで, 分に湾曲していて, 逆 S 字型をしている総費曲線を TCp, さらに総可変費を VCp, 総固定費を, 平均費を ACp, 平均可変費を AVCp, 平均固定費を Ap, 限界費を MCp と表す. これらの曲線はすべて微分可能であるとする. そして, 平均可変費を最にする唯つの産量を 1, 平均費を最にする唯つの産量を 2 とする. 我々の的は, 記号で表せば, p1 1? 2 を証明することである. 総費は, 産量が変化するにつれて変化する総可変費と, 産量が変化しても変化しない総固定費に分けられるから, p2 TCp / VCp + と表される. 平均費, 平均可変費, 平均固定費は各々 p3 ACp / TCp,AVCp / VCp,Ap / と定義されるので,p2 と p3 より p4 ACp / AVCp + Ap という関係をえる.p4 をで微分すると, p5 dacp d / davcp d + dap d

2 14 第 6 巻第 3 号となる. 他,p3 より正のに対して常に p6 dap d /, 2? 0 が成する. 仮定により AVCp は唯つの産量 1 のところで最になるから, / 1 において p7 davcp d / 0 が成する. よって,p5,p6,p7 より, / 1 において p8 dacp d / dap d となる.p7とp8 は AVCp が最になる / 1 のところで ACp は最ではなく, 第 1 図におけるようになお下降中であることがわかる.ACp は U 字型をしているので, このことは AVCp が最になる産量 1 のところよりもきい産量 2 のところで ACp が最になること, すなわち p1 が証明された. 同様に,ACp は仮定により唯つの産量 2 のところで最になるから, / 2 において p9 dacp d が成する.p5,p6,p9 より, / 2 において p10 davcp d / 0 /, dap d? 0 > 0 ACp AVCp MCp dacp d? 0 MCp ACp AVCp dacp d = 0 davcp d = 0 davcp d > 0 O 1 2 第 1 図

3 平均可変費と平均費を最にする産量の関係 ( 尾崎 ) 15 が成する.p9 と p10 は第 1 図におけるように ACp が最になる / 2 のところで U 字型をしている AVC() は上昇中で既に最値を通過していることをしている. このことはやはり p1 が成することを意味する. 次に, 幾何学的法で p1 が成することを明らかにする. 第 2 図において逆 S 字型をした総費曲線 TCp と縦軸との交点のきさが総固定費を表す.p2 より総可変費 VCp は TCp との差であるから, ある産量に対する平均可変費 AVCp は点 G とその産量に対する TCp 上の点とを結んでできる直線の傾きで表される. したがって, 点 G と TCp 上の点を結んでできる直線が TCp の接線になるところで AVCp は最になる. それ故, 接点 H に対応する産量 1 のところで AVCp は最になり, その最値は接線 a の傾きで表される. 平均費 ACp は原点 O とある産量に対応する TCp 上の点とを結んでできる直線の傾きで表されるから, 1 に対する平均費は原点 O と点 H を結んでできる直線 b の傾きで表される. 直線 a が点 H で TCp に接するとき, 直線 b が TCp に接することはない. 直線 b は 1 に対応する TCp 上の点 H と 1 よりもきい産量に対応する TCp 上の点 K で交わり, 直線 b に対する ACp は最ではない.ACp が最になるのは原点 O と TCp 上の点とを結んでできる直線が TCp の接線となる産量のところである. 直線は 1 よりきい点 J に対応する産量 2 のと TCp K b a J TCp H G 第 2 図

4 16 第 6 巻第 3 号 TCp TCp g J a I H G O 1 2 第 3 図ころで TCp に接し,ACp はそこで最になり,ACp の最値は接線の傾きで表される. 以上により p1 がされた. さらに, 別の幾何学的法で p1 をす. 第 3 図において原点 O と TCp 上の点とを結んでできる直線が TCp に接する点 J, すなわち 2 に対応するところで ACp は最になり, その最値は接線の傾きで表される. 産量 2 に対する AVCp は直線 g の傾きで表される. 直線 g の傾きは接線の傾きよりさく, 点 J において TCp に接することはない. 直線 g は点 J とこれよりも左下の点 I で TCp と交わるから,AVCp が最になるのは点 J より左下の点 H のところ, すなわち 2 よりさい 1 のところであり, このとき点 H で接する直線 a の傾きが最の AVCp を表す. 以上によりやはり p1 がされた. 参考献 [1] Ferguson, C. E., and Maurice, S. C., Economic Analysis, Revised Edition. Homewood, Illinois : Richard D. Irwin, [2] Gill, R. T., Economics and the Private Interest : An Introduction to Microeconomics, Second Edition. Pacific Palisades, California : Goodyear Publishing Co., 1976.

5 平均可変費と平均費を最にする産量の関係 ( 尾崎 ) 17 [3] Hadar, J., Elementary Theory of Microeconomic Behavior, Second Edition. Reading, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing Co., [4] Henderson, J. M., and Quandt, R. E., Microeconomic Theory : A Mathematical Approach, Second Edition. New York : McGraw-Hill Book Co., [5] 尾崎雄郎, 短期の費曲線について, 名城商学, 第 33 巻, 第 3 号 (1984 年 ),pp [6] 尾崎雄郎, 短期における平均費と平均可変費を最にする産量の関係, 名城商学, 第 45 巻, 第 4 号 (1996 年 ),pp [7] Quirk, J. P., Intermediate Microeconomics, Third Edition. Chicago, Illinois : Science Research Associates, 1987.

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<94F68DE EA C2E6D6364> 名城論叢 005 年 1 需要の弧弾性について尾崎雄郎 1. はじめに需要の価格弾性という概念が A. Marshall によって 1881 年にはじめて創出され (Keynes [8], Pigou 版 p. 45, n., Newman [13]), さらに需要曲線上の1 点における価格弾性を幾何学的に表わす法も彼によって明らかにされた (Marshall [11]). それ以来彼の有名な