3Dm_0000.indd

Size: px
Start display at page:

Download "3Dm_0000.indd"

Transcription

1 D 本 章 では 3Dにおける 方 向 について 説 明 します 本 章 は 6つの 節 に 分 かれています 9.1 節 は 方 向 (orientation) 向 き(direction)および 角 変 位 (angular displacement)の 用 語 間 の 微 妙 な 違 いについて 説 明 します 9.2 節 は 行 列 を 使 ってどのように 方 向 を 表 現 するかについて 説 明 します 9.3 節 は オイラー 角 を 使 ってどのように 角 変 位 を 表 現 するかについて 説 明 します 9.4 節 は 四 元 数 を 使 ってどのように 角 変 位 を 表 現 するかについて 説 明 します 9.5 節 は この3つの 方 法 を 比 較 対 比 します 9.6 節 は 方 向 をどのようにある 形 式 から 別 の 形 式 に 変 換 するかを 説 明 します 本 章 では 3Dのオブジェクトの 方 向 を 記 述 するという 難 しい 問 題 に 取 り 組 みます また 密 接 に 関 連 する 概 念 である 角 変 位 についても 説 明 します 3Dでは 複 数 の 方 法 で 方 向 と 角 変 位 を 表 現 でき ます ここでは 3つの 最 も 重 要 な 手 法 を 説 明 します 行 列 オイラー 角 四 元 数 です それぞれの 手 法 について どのようにその 表 現 手 法 が 機 能 するかを 正 確 に 定 義 し その 手 法 の 特 性 長 所 短 所 を 説 明 します 異 なる 状 況 では 異 なるテクニックが 必 要 になり 各 テクニックには 長 所 と 短 所 があります 各 手 法 がどのように 機 能 するのかを 理 解 するだけでなく 特 定 の 状 況 ではどのような 手 法 が 最 も 適 切 か 表 現 の 間 でどのように 変 換 するのかを 理 解 することも 重 要 です 本 章 では 2.2 節 で 説 明 したオブジェクト 空 間 と 慣 性 空 間 という 用 語 を 至 る 所 で 使 用 します 9.1 3Dで 方 向 をどう 表 現 するかを 議 論 する 前 に まず 私 たちが 何 を 表 現 しようとしているのかを 正 確 に 定 義 しましょう 本 節 では 方 向 が 他 の 以 下 の 類 似 の 用 語 とどう 関 連 しているかを 説 明 します 向 き 角 変 位

2 146 9 章 3D における方向と角変位 回転 直感的には オブジェクトの方向はオブジェクトがどの向きに面しているかです しかしながら向 きは厳密には方向と同じではありません ベクトルは 向き を持っていますが 方向 は持っていな いのです この違いは以下のとおりです ベクトルがある向きを指しているとき ベクトルをその長 ベクトルは長さ以外の厚さや大きさを持たない さに沿って ひねる ことができます 図 9-1 参照 ので このとき ベクトル つまりその向き は実際には変化しません 図 9-1 長さに沿ってベクトルをひねっても ベクト ルには目に見える変化はない しかし ある向きに面しているオブジェクトがあり ベクトルをひねったのと同様にそのオブジェ オブジェクトの方向は変化します クトをひねった場合 図 9-2 参照 図 9-2 オブジェクトをひねると方向が変わる 技術的には このことは 方向は最低 3 つの数を必要とする一方 3D における向きは 2 つの数字 す なわち 極座標 だけを使ってパラメータ化できるという事実により示されます オブジェクトの位置を指定するとき 絶対的に指定することはできません なぜなら位置は 常に これまで 位置を指定するこ 特定の基準座標系の中で指定する必要があるからです 節参照 とは 実際には与えられた参照点 通常は 何らかの座標系の原点 からの平行移動量を指定するこ とと同じであることを見てきました 同様に オブジェクトの方向を表現するときに方向は絶対的には表現することはできません 位置 3DGameBook.indb :59:25 PM

3 9.2 行列形式 147 がある既知の点からの平行移動により与えられるのと同じで 方向はある既知の参照となる方向 よ く恒等方向または ホーム方向と呼ばれます からの回転により与えられます 回転の量は角変位と して知られています 言い換えれば 方向を表現することは角変位を表現することと数学的に同値 なのです 数学的に同値 というのは 本書では方向と 角変位や回転のような用語との間にわずかな区別 を付けているからです 角変位を それに付随して座標変換の向きを持つものとして考えるとわかり やすいでしょう 例えば 古い方向から新しい方向への角変位 または 慣性空間からオブジェクト 空間への角変位などです つまりソースとデスティネーションの関係が存在するのです 方向は ソースとデスティネーションの関係ではなく親と子の関係を表現しているような状況で使われます この方向と角変位の区別は 点とベクトルの区別に似ています この 2 つの用語も数学的には同値で すが 概念的には同一ではありません どちらの場合も 前者の用語は主に単一の状態を表現し 後者の用語は主に 2 つの状態の間の違いを表現するのに使われます もちろん これらの約束事は純粋に好みの問題ですが 役に立ちます 特に 私たちは角変位を 表す行列と四元数 および方向を表現するオイラー角について考えることにします 9.2 行列形式 3D の座標空間で方向を表現する 1 つの方法は ある座標空間の基底ベクトルを 他の座標空間を 使って表現して列挙することです これらの基底ベクトルを行として使って 3 3 行列にすると 行 列の形式で方向を表現したことになります 別の言い方をするなら ベクトルをある座標空間から別 の座標空間へ座標変換するのに使う回転行列を与えることで 2 つの座標空間の相対方向を表現でき るということです 図 9-3 行列を用いた方向の定義 どの行列 ここまでは 行列を使って点をある座標空間から別の座標空間へ座標変換する方法について見て きました 行列を使って角変位を表現することを話題にする場合には 正確にはどの座標変換のこ 3DGameBook.indb :59:25 PM

4 D とを 言 っているのでしょうか? この 行 列 は ベクトルを 慣 性 空 間 からオブジェクト 空 間 へ 座 標 変 換 するのでしょうか? あるいは 反 対 向 きでしょうか? 本 章 での 目 的 としては それは 問 題 にはなりません 座 標 変 換 後 の 基 底 ベクトルを 列 挙 すること で 行 列 が 方 向 を 表 現 するということで 十 分 なのです ある 座 標 空 間 から 別 の 座 標 空 間 への 回 転 を 表 現 することにより( 表 現 対 象 としてどちらの 座 標 変 換 を 選 んだとしても) 私 たちは 方 向 を 規 定 して いるのです 行 列 の 座 標 変 換 の 実 際 の 向 きは 実 装 時 の 詳 細 です 回 転 行 列 は 直 交 行 列 なので(8.3 節 参 照 ) ある 行 列 を 使 うか 別 の 行 列 を 使 うかは 必 要 なら 単 に 逆 変 換 を 得 るためにそれを 転 置 すると いう 問 題 に 過 ぎません 行 列 形 式 は 方 向 を 表 現 するとても 明 示 的 で 明 快 な 形 式 です この 明 示 的 な 性 質 にはいくつかの 利 点 があります ベクトルの 回 転 が 即 座 に 利 用 できます 行 列 形 式 の 最 も 重 要 な 性 質 は 行 列 を 使 って オブジェ クト 空 間 と 慣 性 空 間 の 間 でベクトルを 回 転 できることです これは 方 向 の 他 のどの 表 現 方 法 にもできないことです ベクトルを 回 転 させるためには 方 向 を 行 列 形 式 に 変 える 必 要 があり ます 四 元 数 の 長 所 として 乗 算 を 通 して 回 転 を 実 行 するのに 使 えるということがよく 言 われ ています(9.4.8 節 参 照 ) しかし その 計 算 を 調 べれば この 近 道 は 結 局 対 応 する 回 転 行 列 による 乗 算 になることがわかるでしょう グラフィックスAPI で 使 われる 形 式 です 前 の 段 落 で 述 べたことを 理 由 の 一 部 として グラ フィックスAPIは 方 向 を 表 現 するのに 行 列 を 使 っています グラフィックス APIを 使 うときに は 最 終 的 には 座 標 変 換 を 行 列 として 表 現 する 必 要 があります 座 標 変 換 をプログラム 内 でど のように 格 納 するかはみなさん 次 第 ですが 他 の 表 現 方 法 を 選 んだ 場 合 は グラフィックスパ イプライン 内 のある 時 点 でそれらを 行 列 に 変 更 する 必 要 があるのです 複 数 の 角 変 位 の 連 結 ができます 行 列 の 第 2の 長 所 は 入 れ 子 になった 座 標 空 間 の 関 係 を 集 約 することができる 点 です 例 えば オブジェクトBに 対 するオブジェクトAの 方 向 がわかって いて オブジェクトCに 対 するオブジェクトBの 方 向 がわかっていれば 行 列 を 使 って オブ ジェクトCに 対 するオブジェクトAの 方 向 を 決 定 することができます これらの 概 念 は 2 章 で 入 れ 子 になった 座 標 空 間 について 学 んだときに 遭 遇 し また 行 列 がどのように 連 結 できるか については7.6 節 で 説 明 しました 逆 行 列 を 使 えます 角 変 位 が 行 列 形 式 で 表 現 されていると 逆 行 列 を 使 って 逆 の 角 変 位 を 計 算 することができます 回 転 行 列 は 直 交 行 列 なので この 計 算 は 行 列 を 転 置 させるだけの 簡 単 な ことです API とはアプリケーションプログラミングインタフェースの 略 です 要 するに ビデオハードウェアと 通 信 す るために 使 うコードです

5 前 節 で 述 べたように 行 列 はその 明 示 的 であるという 性 質 により いくつかの 長 所 を 持 っています しかしながら 行 列 は 方 向 を 格 納 するのに9 個 の 数 を 使 っていますが 方 向 はたった3つの 数 でパラ メータ 化 することが 可 能 なのです これらの 余 分 な 数 は いくつかの 問 題 の 原 因 となりえます 行 列 はメモリを余 計 に 使 います アニメーションシーケンスのキーフレームのように たくさ んの 方 向 を 格 納 する 必 要 がある 場 合 その 数 が3つでなく9つであるための 余 分 な 空 間 は 実 際 無 視 できません 控 え 目 な 例 を 考 えてみましょう さまざまな 体 のパーツが15 個 のピースに 分 かれた 人 間 のモデルをアニメーションさせるとします 各 パーツの 親 パーツに 対 する 相 対 的 な 方 向 を 厳 密 に 制 御 することで アニメーションを 実 現 しています フレームごとに 各 パー ツに 対 して1つの 方 向 を 格 納 しており このアニメーションデータは 15Hzという 適 切 なレー トで 格 納 されているとします つまり 1 秒 間 に225 個 の 方 向 を 保 持 しているということです 行 列 と32ビットの 浮 動 小 数 点 数 を 使 うと 1 秒 ごとに8,100バイトが 必 要 です オイラー 角 (9.3 節 で 出 てきます)を 使 うと 同 じデータで2,700バイトしか 使 いません 例 えばたった30 秒 間 のアニメーションデータで オイラー 角 を 使 って 同 じデータを 格 納 した 場 合 よりも 行 列 は 162Kバイトも 多 く 必 要 とします 人 間 には 使 いにくいです 行 列 は 人 間 が 直 接 扱 うには 直 感 的 ではありません 数 がたくさん ありすぎ それらはすべて 1 と 1 の 間 です さらに 人 間 は 方 向 を 角 度 で 考 えるのが 自 然 で すが 行 列 はベクトルを 使 って 表 現 しています 練 習 すれば 与 えられた 行 列 から 方 向 を 解 読 する 方 法 を 習 得 できます これには 行 列 を 可 視 化 する6.2.2 節 のテクニックが 役 に 立 ちます こ れでもまだオイラー 角 よりもずっと 難 しく 逆 に 方 向 から 行 列 を 求 めることもずっと 困 難 です 自 明 でない 方 向 の 行 列 を 手 作 業 で 構 築 するには 大 変 な 時 間 がかかります 一 般 的 に 言 って 行 列 は 人 間 が 方 向 を 考 える 自 然 な 方 法 ではないということです 行 列 は 不 正 な 形 式 になることがあります 3つの 数 で 十 分 なのに 行 列 は9つの 数 字 を 使 ってい ます 言 い 換 えると 行 列 は6 度 の 冗 長 性 を 含 んでいます 行 列 が 方 向 を 有 効 に 表 現 するため には6つの 制 限 が 満 たされる 必 要 があります 行 は 単 位 ベクトルでなければならず 互 いに 垂 直 でなければならないのです(8.3.2 節 参 照 ) この 最 後 の 点 をもっと 詳 細 に 考 えてみましょう もし9つの 数 をランダムに 持 って 来 て 3 3 行 列 を 作 ったら これらの6つの 制 限 を 満 たしている 可 能 性 はきわめて 低 いでしょう したがって この 9つの 数 は 有 効 な 回 転 行 列 を 形 成 しません 言 い 換 えれば 行 列 は 少 なくとも 方 向 を 表 現 するという 目 的 においては 不 正 な 形 式 になる 可 能 性 があるということです 不 正 な 形 式 の 行 列 は 数 値 の 例 外 やその 他 の 予 期 しない 振 る 舞 いの 原 因 となりえるため 問 題 となります なぜ 誤 った 行 列 になってしまうのでしょうか? いくつかのパターンがあります まず スケーリング スキュー リフレクションを 含 んだ 行 列 になっているかもしれません このような 操 作 を 受 けたオブジェクトの 方 向 とはなんでしょうか? これに 対 する 明 確 な 定 義 は 実 際 には 存 在 しません 非 直 交 行 列 はきちんとした 回 転 行 列 ではありません( 直 交 行 列 の 完 全 な 説 明 は8.3 節 を 参 照 ) リフレクション 行 列 は 直 交 行 列 ですが これも 有 効 な 回 転 行 列 で

6 D はありません 第 2に 単 に 外 部 ソースから 間 違 ったデータを 取 り 込 んでしまう 場 合 があります 例 えば モー ションキャプチャのような 物 理 データ 収 集 システムを 使 っている 場 合 キャプチャリング 処 理 によるエラーが 起 こりえます 不 正 な 形 式 の 行 列 を 生 成 するとして 悪 名 高 いモデリングパッ ケージはたくさんあります 最 後 に 浮 動 小 数 点 数 の 丸 め 誤 差 に 起 因 して 実 際 に 間 違 ったデータを 作 成 してしまうことが あります 例 えば 方 向 に 対 して 増 分 変 化 をたくさん 適 用 するとします これは 人 間 がイン タラクティブにオブジェクトの 方 向 を 制 御 できるゲームやシミュレーション 内 では 日 常 的 に 起 こることです 行 列 の 乗 算 は 浮 動 小 数 点 数 の 精 度 の 制 限 を 受 けやすく 多 数 の 行 列 の 乗 算 に より 不 正 な 形 式 の 行 列 になってしまう 可 能 性 があります この 現 象 は 行 列 クリープとして 知 ら れています 節 ですでに 説 明 したように 行 列 を 直 交 化 することにより 行 列 クリープに 対 抗 することができます 節 で 行 列 を 用 いた 角 変 位 の 表 現 について 学 習 したことをまとめましょう 行 列 は 方 向 を 表 現 する 強 引 な 手 法 です ある 座 標 空 間 の 基 底 ベクトルを 異 なる 座 標 空 間 を 使 って 明 示 的 に 列 挙 しています 方 向 を 表 現 する 行 列 形 式 は 役 に 立 ちます 主 に 座 標 空 間 の 間 でベクトルを 回 転 させることがで きるためです 現 在 のグラフィックスAPIは 行 列 を 使 って 方 向 を 表 現 しています 行 列 の 乗 算 を 使 って 入 れ 子 になった 座 標 空 間 の 行 列 を 単 独 の 行 列 に 集 約 することができます 逆 行 列 は 逆 の 角 変 位 を 決 定 するメカニズムを 提 供 します 行 列 はこれから 学 習 する 他 のテクニックより2~3 倍 のメモリを 必 要 とします これはアニメー ションデータのような 多 数 の 方 向 を 格 納 するときには 効 いてきます すべての 行 列 が 有 効 に 方 向 を 表 現 するわけではありません 行 列 によってはミラーリングやス キューを 含 んでいます 外 部 ソースからの 不 正 なデータの 取 得 や 行 列 クリープによって 不 正 な 形 式 の 行 列 になることがあります 行 列 内 の 数 値 は 人 間 が 取 り 扱 うには 直 感 的 ではありません 9.3 方 向 を 表 現 するもう1つの 一 般 的 な 手 法 は オイラー 角 (Euler angle)として 知 られています (Eulerはエウラーではなくオイラーと 発 音 します) この 技 法 は 一 連 の 複 数 の 角 変 位 は1つの 角 変 位 と 同 値 であることを 証 明 した 有 名 な 数 学 者 レオンハルト オイラー( )の 名 前 から 付 け られました

7 9.3 オイラー角 オイラー角とは何か オイラー角の基本的な考え方は 1 つの角変位を互いに垂直な 3 本の軸の周りの 3 つの一連の回転 として定義することです これは複雑に見えますが 実際にはとても直感的です 実際 使いやす さがオイラー角の長所の 1 つです オイラー角は 本当にどんな回転を表現するのにも使えるので角 変位という言葉を使っています しかし本書では 主に親座標空間 ワールド空間など 内でのオブ ジェクトの方向を表現するために使います オイラー角は 方向を互いに垂直な軸の周りの 3 つの回転として表現します しかし どの軸で しょうか また どの順番でしょうか どのような 3 つの軸でいかなる順番でもうまくいくことが わかっていますが ある特定の順番で使うのが最も便利です 最も一般的で 本書で用いる約束事は いわゆるオイラー角のヘディング ピッチ バンク heading-pitch-bank と呼ばれるものです こ の系では方向は ヘディングの角度 ピッチの角度 バンクの角度により定義されます 基本的な 考え方は 恒等方向のオブジェクト すなわち軸が初期状態の軸と一致する方向のオブジェクトから 始めるということです そこから ヘディング ピッチ 最後にバンクの回転を適用し 表現しよう としている方向にオブジェクトが到達するようにします 正確にヘディング ピッチ バンクの用語を定義する前に 簡単に本書で用いる座標空間の約束 事についておさらいしましょう 本書では左手系を使っています そこでは x は右方向 y は また 左手の法則に従って正の回転を定義する方法をお 上方向 z は前方向です 図 1-15 参照 忘れでしたら 図 7-5 に戻って記憶を呼び覚ますとよいでしょう 図 9-4 に示すようにヘディングは y 軸の周りの回転量を決定します 正の回転は右に 上から見 たときに時計回りに 回転します 図 9-4 ヘディングは最初の回転であり y 軸の周りに回転 する ヘディングが適用された後に ピッチが x 軸の周りの回転量を決定します これはオブジェクト 空間の x 軸ですが 元の慣性空間の x 軸ではありません 左手の法則に従っているので正の回転 は下に向くことになります 言い換えれば ピッチは実際には捻転角 angle of declination を決定 しているのです これを図 9-5 に示します 3DGameBook.indb :59:26 PM

8 152 9 章 3D における方向と角変位 y 慣性空間とオブジェクト空間 x オブジェクト空間 図 9-5 ピッチは 2 番目の回転でありオブジェクト空間 の x 軸の周りに回転する z 慣性空間 x 慣性空間 z オブジェ クト空間 z オブジ ェクト空間 x 慣性空間 z 慣性空間 x オブジェクト空間 y 慣性空間とオブジェクト空間 最後に ヘディングとピッチが適用された後 バンクが z 軸の周りの回転量を決定します 先ほ どと同様に これはオブジェクト空間の z 軸ですが 元の慣性空間の z 軸ではありません 左手の 法則により 正のバンクは原点から z の方向を見たときに反時計回りに回転します これを図 9-6 に示します y 慣性空間 y オブジェクト空間 z オブジ ェクト空間 図 9-6 バンクは 3 番目の最後の回転であり オブジェ クト空間の z 軸の周りに回転する z x オブジェクト空間 慣性空間 x 慣性空間 x 慣性空間 z オブジェ クト空間 y オブジェクト空間 z 慣性空間 y 慣性空間 x オブジェクト空間 正のヘディングが時計回りなのに正のバンクが反時計回りだというのは 矛盾しているように見え るかもしれません 正のヘディングは 軸の正の端点から原点を見たときの時計回りだということに 注意してください バンクで時計回りか反時計回りかを判定したときに用いたのとは逆の見方なので す 原点から y 軸の正の端点を見れば 正のヘディングは反時計回りに回転します あるいは z 軸の正の端点から原点を見れば オブジェクトの正面から後方を見れば 正のバンクはオブジェク トを時計回りに回転させているように見えます どちらの場合も 左手の法則が使われているのです 回転がヘディング ピッチ バンクの順で起こっているときは オブジェクトを慣性空間からオブ ジェクト空間へ回転させる順番のことを話していることを忘れないでください もし オブジェクト 空間から慣性空間への回転を考えているのなら この順番は逆になります ヘディング ピッチ バンク系に与えられたもう 1 つの名前は ロール ピッチ ヨー roll- pitch-yaw です ここでロールはバンクの同義語で ヨーはヘディングの同義語です 実際には 3DGameBook.indb :59:27 PM

9 ヨーは 正 確 にはヘディングと 同 じではありません これについては9.3.2 節 で 詳 しく 説 明 します ロー ル ピッチ ヨー 系 では オブジェクト 空 間 から 慣 性 空 間 へ 回 転 する 順 番 で 角 度 が 名 付 けられている ことに 注 意 してください 前 に 述 べたように ヘディング ピッチ バンク 系 がオイラー 角 の 唯 一 の 系 ではありません 方 向 は 任 意 の 互 い 垂 直 な3 本 の 軸 の 周 りの 任 意 の 並 びの 回 転 で 定 義 することができます いくつかのオプ ションにより オイラー 角 の 約 束 事 にはバリエーションがあります まず ヘディング ピッチ バンク 系 は 他 の 名 前 で 通 っています もちろん 違 う 名 前 で 呼 ん だからといって 違 う 約 束 事 にはなりませんが 注 目 に 値 します 1つの 一 般 的 な 用 語 の 集 合 は ロール ピッチ ヨーです ここで ロールはバンクと 同 じで ヨーは 基 本 的 にはヘディング と 同 じです この 順 番 はヘディング ピッチ バンクと 逆 であることに 注 意 してください こ れは 純 粋 に 意 味 的 な 問 題 です これは ベクトルをオブジェクト 空 間 から 慣 性 空 間 へ 回 転 させ るときの 回 転 の 順 番 を 名 付 けているのです 実 際 には ヨーとヘディングの 間 には 技 術 的 な 違 いがあります ヨーはオブジェクト 空 間 の y 軸 の 周 りの 回 転 であり ヘディングは 慣 性 空 間 の y 軸 の 周 りの 回 転 です この 回 転 はオブジェクト 空 間 の y 軸 が 慣 性 空 間 の y 軸 と 一 致 してい るときに 実 行 されるので この 区 別 は 重 要 ではありません 第 2に 任 意 の3 本 の 軸 を 回 転 の 軸 として 使 うことができます 基 本 軸 を 使 うのが 最 も 便 利 で すが 基 本 軸 でなくてはならないということはありません 第 3に 各 回 転 でどちらの 向 きを 正 と 見 なすかを 定 義 するときに 必 ずしも 左 手 や 右 手 の 法 則 に 従 う 必 要 はありません 例 えば 正 のピッチを 上 方 向 の 回 転 として 定 義 することももちろん 可 能 であり 普 通 のことです 第 4に 最 も 重 要 なことですが 回 転 は 異 なる 順 番 で 行 え その 順 番 は 重 要 であるということ です どんな 系 でも 方 向 を 定 義 できますが 最 も 実 用 的 であるためヘディング ピッチ バン クの 順 が 最 も 広 く 使 われています ヘディングは 垂 直 軸 の 周 りの 回 転 を 決 定 します 私 たちが 作 業 する 環 境 には 何 らかの 平 坦 な 地 面 がある 場 合 が 多 いという 主 な 理 由 で このことには 重 要 な 意 味 があります 慣 性 の x 軸 や z 軸 の 周 りの 回 転 量 がわかっても 通 常 はあまり 役 に 立 ち ません 他 の2つ 角 度 の 順 番 も 便 利 なように 選 ばれています すなわち ピッチは 水 平 線 から の 捻 転 角 として 重 要 であり バンクは z 軸 上 でどれだけひねるかを 決 定 します もしみなさんが お 好 みの 約 束 事 と 違 うものを 使 ってオイラー 角 を 扱 う 必 要 がある 場 合 に 以 下 の 2 点 をアドバイスしておきます まず 他 のオイラー 角 の 系 がどのように 機 能 するかを 正 確 に 理 解 するようにしてください 正 の 回 転 の 定 義 や 回 転 の 順 番 など 細 かいことが 大 きな 違 いとなります 次 に オイラー 角 をみなさんのフォーマットに 変 換 する 最 も 簡 単 な 方 法 は 行 列 形 式 に 変 換 し てからその 行 列 を 好 みのオイラー 角 のスタイルに 変 換 し 直 すことです これらの 変 換 をどのよ うに 行 うかは9.6 節 で 学 習 します 角 度 を 直 接 いじることは 思 っているよりもずっと 困 難 で

10 D す より 詳 しくは 付 録 Cの [21] を 見 てください オイラー 角 は 方 向 をたった3つの 数 値 でパラメータ 化 し かつ これらの 数 値 は 角 度 です オイ ラー 角 のこの2つの 特 徴 は 方 向 の 他 の 表 現 にはない 明 らかな 長 所 となっています オイラー 角 は 私 たちにとって 使 いやすく 行 列 や 四 元 数 に 比 べてかなり 簡 単 です おそらくこ れは オイラー 角 の3つの 数 値 が 人 間 が 方 向 を 考 えるときに 自 然 に 使 う 角 度 だからです そ の 状 況 で 最 も 適 切 な 約 束 事 としてこれが 選 択 されているならば 最 も 重 要 な 角 度 が 直 接 的 に 表 現 されているはずです 例 えばヘディング ピッチ バンク 系 を 使 えば 捻 転 角 が 直 接 的 に 表 現 されています この 使 いやすさは 重 要 な 長 所 です 方 向 を 数 値 で 表 示 したり キーボードか ら 入 力 したりする 必 要 のある 場 合 には オイラー 角 はまさに 唯 一 の 選 択 肢 です 最 小 の 表 現 が 可 能 です オイラー 角 は3つの 数 値 を 使 って 方 向 を 表 現 します 他 のどんな 系 で も 3つより 少 ない 数 値 で3Dの 方 向 を 表 現 することはできません メモリが 高 価 な 場 合 は オ イラー 角 が 最 も 経 済 的 な 方 向 の 表 現 方 法 です どんな3つの 数 値 でも 有 効 です ランダムに3つの 数 値 を 持 ってきても その 数 値 の 集 合 は 方 向 を 表 現 するものとして 解 釈 可 能 な 有 効 なオイラー 角 を 形 成 します 言 い 換 えれば 無 効 な オイラー 角 となる 集 合 などというものは 存 在 しないのです もちろん 数 値 は 正 しくないかもし れませんが 少 なくとも 有 効 ではあります これは 行 列 や 四 元 数 の 場 合 には 当 てはまりませ ん 本 節 では オイラー 角 の 方 向 表 現 手 法 の 短 所 についていくつか 説 明 します これらは 主 に 以 下 の とおりです 所 定 の 方 向 の 表 現 が 一 意 に 決 まらない 2つの 角 の 間 の 補 間 が 難 しい これらの 点 について 詳 しく 説 明 しましょう まず 所 定 の 方 向 について その 方 向 を 表 すのに 使 え る 異 なるオイラー 角 の3つの 数 値 がたくさん 存 在 する という 問 題 があります これはエイリアシン グ(aliasing)として 知 られており いささか 不 便 な 場 合 があります 2つのオイラー 角 の3つの 数 値 は 同 じ 角 変 位 を 表 現 しているか? というような 基 本 的 な 質 問 も エイリアシングのせいで 答 える のが 困 難 です 第 1の 最 も 簡 単 なエイリアシングの 形 式 は ある 角 度 に 360 の 倍 数 を 加 えたときに 起 こります 明 らかに まるまる1 周 分 の 数 値 を 加 えても 数 値 は 異 なりますが 表 現 される 方 向 は 変 わりません 第 2のもっと 厄 介 なエイリアシングの 形 式 は 3つの 角 度 が 互 いに 完 全 に 独 立 でないために 起 こり ます 例 えば 135 ピッチを 下 げることは 180 ヘディングし 45 ピッチを 下 げ その 後 180 バンクするのと 同 じです いかなる 所 定 の 方 向 に 対 しても 一 意 な 表 現 を 保 証 するためには 角 度 の 範 囲 に 制 限 を 設 ける 必 要

11 があります 最 も 一 般 的 な1つのテクニックは ヘディングとバンクを ±180 に 制 限 し ピッチを ±90 に 制 限 することです これはオイラー 角 の 正 準 集 合 を 規 定 します いかなる 方 向 に 対 しても その 方 向 を 表 現 するオイラー 角 の 正 準 集 合 は1つしか 存 在 しません 実 際 には 対 処 する 必 要 のある 面 倒 な 特 異 点 がもう1つあるのですが それについてはすぐに 説 明 します 筆 者 らのコードで オイラー 角 のパラメータを 取 るほとんどすべての 関 数 は 任 意 の 範 囲 のオイ ラー 角 で 正 常 に 動 きます しかし オイラー 角 を 計 算 する すなわち 返 すコードを 書 く 際 には 常 に 正 準 なオイラー 角 の3つ 組 を 返 すようにしています 正 準 オイラー 角 を 使 うことで 私 はほぼ 東 を 向 いていますか? というような 多 くの 基 本 的 なテストを 単 純 化 できます オイラー 角 で 悩 まされる 最 も 有 名 な(そして 面 倒 な)タイプのエイリアシング 問 題 を 以 下 の 例 で 説 明 します 45 右 へヘディングし 90 ピッチを 下 げると これは 90 ピッチを 下 げてから 45 バンクしたのと 同 じです 事 実 ピッチの 角 度 として ±90 を 選 ぶと 垂 直 軸 の 周 りの 回 転 に 制 限 されてしまうのです この 現 象 すなわち 第 2の 回 転 角 が ±90 だと 第 1と 第 3の 角 度 の 回 転 が 同 じ 軸 の 周 りの 回 転 になってしまう 現 象 は ジンバルロック(Gimbal lock)として 知 られています こ のエイリアシングをオイラー 角 の3つ 組 の 正 準 集 合 から 除 去 するために ジンバルロックのケースで は 垂 直 軸 の 周 りのすべての 回 転 をヘディングに 割 り 当 てます 言 い 換 えれば 正 準 集 合 では ピッ チが ±90 ならバンクは 0 であるということです 方 向 を 表 現 するという 目 的 からは エイリアシングはそれほど 大 きな 問 題 になりません 特 に 正 準 のオイラー 角 を 使 っている 場 合 はそうです しかし 仮 に2つの 方 向 AとBの 間 を 補 間 したいとしま しょう 言 い 換 えれば 所 定 のパラメータ t(0 t 1)に 対 し t が 0 から 1 に 変 化 するにつれ A からBへの 変 化 を 滑 らかに 補 間 するような 中 間 の 方 向 Cを 計 算 したいのです これは 例 えばキャラ クタアニメーションや 自 動 カメラにとって 非 常 に 役 に 立 つ 演 算 です この 問 題 に 対 するナイーブなアプローチは 3つの 角 度 それぞれに 独 立 に 標 準 の 線 型 補 間 式 を 適 用 することです この 式 を 以 下 に 示 します これは 問 題 だらけです まず 正 準 オイラー 角 が 使 われていないと 角 度 の 値 が 大 きくなってしまう 場 合 があります 例 えば 方 向 Aのヘディングが 720 で 方 向 Bのヘディングが 45 だと 想 像 してください 720 =2 360 で 0 と 同 じです したがって 基 本 的 にはヘディングの 値 は 45 しか 離 れていません しかし この 素 朴 な 補 間 では 図 9-7に 示 すように 逆 の 向 きに2 周 近 く 回 ってしまいます

12 156 9 章 3D における方向と角変位 図 9-7 素朴な補間は よけいな回転を生じることがある もちろん この問題に対する解決策は正準オイラー角を使うことです 常に正準オイラー角の 2 つ の集合の間を補間しているという前提にすることは可能です あるいは 補間ルーチンの内部で正準 値に変換することで この前提条件を強制しようとすることも可能です 単純に角度を の範囲内にラップすることは簡単ですが の範囲からはずれたピッチの値を処理す るのは それより大変です しかしながら 正準な角を使ったとしても この問題を完全に解決したことにはなりません 回転 角の周期性に起因する第 2 の形式の補間問題が起こりえます A のヘディングが 170 で B のヘ ディングが 170 だったとします これらはどちらも の範囲内でヘディングの正準値 であることに注意してください 2 つのヘディングの値は 20 しか離れていませんが 先ほどと同様 ナイーブな補間ではこれを正しく扱えず 図 9-8 に示すように 短い方の 20 のパスを取らずに 340 も遠回りして回転してしまいます 図 9-8 ナイーブな補間は遠回りして回転することがある この第 2 の形式の問題の解決策は 補間式内で使われている角の差分を の範囲に ラップして 最短の弧を見つけることです 3DGameBook.indb :59:28 PM

13 これら2つの 一 時 しのぎをしてもなお オイラー 角 の 補 間 はジンバルロックに 悩 まされ 多 くの 状 況 でぎくしゃくした 不 自 然 なコースを 取 ることになるのです オブジェクトが 突 然 方 向 を 変 えたり どこかに 張 り 付 いたように 見 えたりします 基 本 的 な 問 題 は 補 間 の 最 中 に 角 速 度 が 一 定 していない ことです みなさんがまだジンバルロックがどのように 見 えるか 経 験 したことがなければ 何 をそれ ほど 大 騒 ぎしているのかと 不 思 議 に 思 うかもしれません 残 念 なことに この 問 題 を 本 書 のイラスト から 十 分 に 理 解 するのはとても 難 しいのです インタラクティブに 経 験 してみる 必 要 があり 幸 運 に も 本 書 のWebページ(gamemath.com)に ジンバルロックの 優 れたインタラクティブなデモがあ ります オイラー 角 の 補 間 の 最 初 の2つの 問 題 は 面 倒 ではありますが 確 実 に 克 服 することが 可 能 です 正 準 オイラー 角 を 使 うことと 差 分 値 を 範 囲 内 にラップすることは 比 較 的 簡 単 な 回 避 策 です しかし 残 念 なことに ジンバルロックは ちょっと 厄 介 な 問 題 という 以 上 の 根 本 的 な 問 題 なのです ひょっ とすると 方 向 を 再 び 公 式 化 して これらの 問 題 の 影 響 を 受 けない 系 を 考 え 出 すことができるでしょう か? 残 念 ながら それは 不 可 能 です 3Dの 方 向 を 表 現 するのに3つの 数 値 を 使 うということに 伴 う 固 有 の 問 題 が 確 固 として 存 在 するのです 問 題 の 形 を 変 えることはできますが 除 去 することはで きません 3つの 数 値 を 使 って3 次 元 の 方 向 をパラメータ 化 するいかなる 系 にも パラメータ 化 空 間 に 特 異 点 が 存 在 することが 保 証 されており したがって ジンバルロックのような 問 題 を 免 れること はできません 9.4 節 で これらの 問 題 を 四 元 数 を 使 ってどのように 克 服 するかについて 学 習 します 節 のオイラー 角 についての 結 論 をまとめましょう オイラー 角 は3つの 角 度 を 使 って 方 向 を 格 納 します これらの 角 度 は 互 いに 垂 直 な3 本 の 軸 の 周 りの 順 序 付 けられた 回 転 を 表 します オイラー 角 の 最 も 一 般 的 な 系 はヘディング ピッチ バンク 系 です 方 向 を 表 現 する 他 の 手 法 に 比 べて ほとんどの 場 合 オイラー 角 は 私 たちにとって 直 感 的 に 扱 えます メモリが 高 価 なときには オイラー 角 は 最 小 のデータ 量 で3Dの 角 を 格 納 することができます オイラー 角 には 無 効 な 集 合 というものは 存 在 しません どんな3つの 数 値 でも 意 味 のある 解 釈 ができます オイラー 角 には エイリアシング 問 題 が 起 こります 回 転 角 の 周 期 性 のためと 回 転 が 互 いに 完 全 独 立 でないためです 正 準 オイラー 角 を 使 うと オイラー 角 に 対 する 基 本 的 な 多 くの 質 問 を 単 純 化 することができま す ヘディングとバンクが の 範 囲 で ピッチが の 範 囲 の 場 合 そ のオイラー 角 の3つ 組 は 正 準 集 合 です さらに ピッチが ±90 ならばバンクは 0 です

14 D ジンバルロックはピッチが ±90 のときに 起 こります この 場 合 ヘディングとバンクはどち らも 垂 直 軸 周 りの 回 転 になるので 自 由 度 が1つ 失 われます オイラー 角 を 使 って 表 現 された2つの 方 向 の 間 の 補 間 は 解 決 が 困 難 です 単 純 な 形 式 のエイ リアシングは 面 倒 ではありますが 回 避 策 が 存 在 します ジンバルロックはもっと 根 本 的 な 問 題 で 簡 単 な 解 決 策 は 存 在 しません 9.4 四 元 数 という 用 語 は 3D 数 学 においてはきちんと 理 解 されずに 広 まったちょっとした 流 行 語 です それは 多 分 ほとんどの 人 が 四 元 数 を 理 解 していないからです 四 元 数 を 取 り 巻 くこの 謎 は 主 と して 多 くのテキストでの 四 元 数 の 取 り 上 げ 方 に 起 因 しています 願 わくは 本 書 が 四 元 数 に 関 する みなさんの 混 乱 を 解 決 する 手 助 けになることを 望 みます 3 次 元 の 方 向 を 表 現 するのに3つの 数 値 しか 使 わないと なぜ オイラー 角 で 説 明 したジンバル ロックのような 問 題 が 起 こることが 保 証 されているかには 数 学 的 な 理 由 があります これは 多 様 体 のようなかなり 高 度 ないくつかの 数 学 用 語 に 関 係 することです 四 元 数 は 方 向 を 表 現 するのに4 つの 数 値 を 使 うことにより これらの 問 題 を 回 避 します それで 四 元 数 という 名 前 なのです 四 元 数 には 1つのスカラー 要 素 と1つの3Dベクトル 要 素 が 含 まれます 通 常 スカラー 要 素 を wと 表 します ベクトル 要 素 は 1つの 塊 としては v と 表 し 個 々の 要 素 としては x y z と 表 し ます 両 方 の 表 記 法 を 以 下 に 示 します v を 使 った 短 い 表 記 法 を 使 う 方 が 便 利 な 場 合 もありますし 展 開 されたものの 方 が 明 瞭 な 場 合 も あります 本 章 では 可 能 な 場 合 は すべての 式 を 両 方 の 形 式 で 示 しています この4つの 数 値 が 正 確 に 何 を 表 現 しているかは この 後 すぐに 説 明 します 四 元 数 を 縦 に 書 くこともあります これは 式 の 体 裁 を 整 えるためだけのものです 行 の 四 元 数 と 列 の 四 元 数 の 間 には 意 味 のある 区 別 はありません ここでちょっと 脱 線 して 複 素 数 学 の 話 をします 四 元 数 は 完 全 に 幾 何 学 的 視 点 から 解 釈 すること が 可 能 ですので この 話 題 は 四 元 数 の 使 い 方 を 理 解 するのに 絶 対 に 必 要 というわけではありません しかし 四 元 数 という 数 学 的 遺 産 とその 発 明 をめぐる 出 来 事 を 知 るのは 興 味 深 いことです 複 素 数 対 (a,b) が 複 素 数 a+bi を 定 義 することを 思 い 出 してください ここで i は i 2 = 1 となるような いわゆる 虚 数 です aは 実 数 部 と 呼 ばれ bは 虚 数 部 です いかなる 実 数 k( 普 通 の 数 ) も 複 素 数 (k,0)=k+0i として 表 現 することができます

15 複 素 数 は 式 9-1に 示 すように 加 算 減 算 乗 算 が 可 能 です 虚 数 部 の 符 号 を 反 転 することで 複 素 数 の 共 役 を 計 算 することもできます その 表 記 法 を 式 9-2 に 示 します 複 素 数 の 大 きさを 計 算 することができます この 演 算 の 表 記 法 と 解 釈 は 実 数 の 絶 対 値 に 似 てお り 実 際 実 数 を 複 素 数 として 表 現 したときには 同 じ 結 果 になります 式 9-3に 複 素 数 の 大 きさを 示 します 複 素 数 の 集 合 は 2D 平 面 上 に 存 在 しています この 平 面 を2 本 の 軸 を 持 つものとして 考 えること ができます 実 軸 と 虚 軸 です したがって 虚 数 (x,y) は2Dのベクトルとして 解 釈 できます 虚 数 がこのように 解 釈 されると それらを 使 って 平 面 内 での 回 転 を 実 行 することができます( 回 り 道 で はありますが) 虚 数 p は 図 9-9に 示 すように 原 点 の 周 りに 角 度 θだけ 回 転 します

16 160 9 章 3D における方向と角変位 図 9-9 平面内での虚数の回転 この回転を実行するために 第 2 の虚数 q (cosθ,sinθ) を定義します ここで 回転したベク トル p' は 虚数の乗算により計算できます もちろん これは 節の 2 2 の回転行列に過ぎません しかし虚数により 興味深い表記法 が提供されています 同じ方法で四元数を 3D で使えることがわかるでしょう アイルランドの数学者ウィリアム ハミルトンは 虚数を 2D から 3D に拡張する方法を何年も探 していました この新しい形式の虚数は 1 つの実数部と 2 つの虚数部を持っていると彼は考えてい ました しかしハミルトンは 2 つの虚数部を持つ有用な形式の虚数を作り出すことはできませんで した その後 物語は進み 1843 年 アイルランド王立アカデミーの講演に行く途中で 彼は突然 2 つではなく 3 つの虚数部が必要であることに気が付いたのです 彼は この新しい形式の複素数の 性質を定義する式を ブルーム橋に刻みました こうして 四元数は発明されたのです 四元数は 複素数系を 3 つの虚数 i j k を持つように拡張しています 3 つの虚数は以下のよう に関係しています 四元数 [w,(x,y,z)] は 複素数 w xi yj zk を定義します すぐにわかるように 標準の 複素数の多くの性質が四元数にも当てはまります 最も重要なことには 複素数を使って平面上の ベクトルを回転できるのと類似した方法で 四元数を使って 3D のベクトルを回転できるということ 3DGameBook.indb :59:31 PM

17 です オイラーは 一 連 の 回 転 は 単 一 の 回 転 と 同 値 であることを 証 明 しました したがって 3Dの 任 意 の 角 変 位 は 単 一 の 軸 の 周 りの 単 一 の 回 転 として 表 現 することができます 方 向 をこの 形 式 で 表 現 するとき この 形 式 は 軸 角 度 (axis-angle) 表 現 として 知 られています 節 で 任 意 の 軸 の 周 りにベクトルを 回 転 する 行 列 を 導 き 出 しました そのときやったように 回 転 の 軸 となるベクトル n を 定 義 しましょう 現 時 点 では n は 単 位 長 を 持 つよう 制 限 しておくと 便 利 ですが 軸 を 定 義 するという 目 的 からは n の 長 さは 重 要 ではありません n の 向 きは 左 手 あるいは 右 手 の 座 標 空 間 にとって 標 準 的 な 方 の 手 の 法 則 に 従 って どちらを 正 の 回 転 と 見 なすかを 定 義 します(この 法 則 を 忘 れてしまっていたら 図 7-5を 見 てください) この 軸 の 周 りの 回 転 量 と して スカラーθも 定 義 します したがって (θ,n) は nにより 指 定 される 軸 の 周 りのθラジア ンの 回 転 として 角 変 位 を 定 義 します 四 元 数 は 角 変 位 の 軸 角 度 表 現 として 解 釈 することができます もちろん n とθを 単 純 に 四 元 数 の4つの 数 字 に 直 接 格 納 はしません それでは 簡 単 すぎます それらは 四 元 数 の 中 にはあります が それほど 単 純 明 快 ではありません 式 9-4は 四 元 数 q の 中 の 数 が どのようにθと n に 関 係 しているかを 示 しています 四 元 数 の 両 方 の 表 記 法 を 使 っています q の w 要 素 はθに 関 係 していますが 同 じものではないことを 覚 えておいてください 同 様 に v と n も 関 係 していますが 同 一 ではありません 四 元 数 は 符 号 反 転 することができます これは 各 要 素 を 符 号 反 転 するという 自 明 な 方 法 で 行 いま す 驚 くべきことに 四 元 数 q と q は 同 じ 角 変 位 を 表 現 していることがわかります θに 360 の ここでの 軸 という 言 葉 は 何 かがその 周 りを 回 転 する 直 線 という 一 般 的 な 意 味 で 使 われており 基 本 軸 と 混 同 しないでください 与 えられた 方 向 の 回 転 軸 は 任 意 の 方 向 を 向 いていることがかなり 多 いのです 実 際 軸 角 度 形 式 を 方 向 を 表 現 する 第 4 の 形 式 として 定 義 することもできました しかし 軸 角 度 形 式 は 実 際 には 滅 多 に 使 われません 普 通 は 代 わりに 四 元 数 かオイラー 角 が 使 われます

18 D 倍 数 を 足 しても q によって 表 現 される 角 変 位 は 変 わりありませんが q の4つの 要 素 すべての 符 号 が 反 転 されます したがって いかなる3Dの 角 変 位 も 四 元 数 形 式 では 正 確 に2つの 異 なる 表 現 が あり それらは 互 いの 符 号 反 転 になっています 幾 何 学 的 には 無 の 角 変 位 を 表 現 する2つの 恒 等 四 元 数 が 存 在 します [1,0] と [ 1,0] です (ボールド 体 の 0 は ゼロベクトルを 表 すことに 注 意 ) θが 360 の 偶 数 倍 のとき cos(θ/2)=1 となり 前 者 の 形 式 になります θが 360 の 奇 数 倍 のときは cos(θ/2)= 1 となり 後 者 の 形 式 になります どちらの 場 合 も sin(θ/2)=0 なので n の 値 は 無 関 係 です これは 当 然 です 回 転 角 θが 完 全 に 何 周 した 数 であっても 方 向 には 実 際 の 変 化 はなく 回 転 の 軸 は 無 関 係 なのですから 数 学 的 には 1つの 恒 等 四 元 数 が 存 在 します [1,0] です いかなる 四 元 数 q に 恒 等 四 元 数 を 掛 けても 結 果 は q です( 四 元 数 の 乗 算 については 節 で 勉 強 します) 四 元 数 q に 別 の 幾 何 学 的 な 恒 等 四 元 数 [ 1,0] を 掛 けると q になります 幾 何 学 的 には q と q は 同 じ 角 変 位 を 表 現 するので この 結 果 は 同 じ 四 元 数 です 数 学 的 には q と q は 等 しくないので [ 1,0] は 真 の 恒 等 四 元 数 ではないのです ベクトルや 複 素 数 と 同 様 に 四 元 数 の 大 きさも 計 算 することができます 表 記 法 と 式 を 式 9-6に 示 しますが ベクトルのものと 似 ています この 意 味 を 幾 何 学 的 に 見 てみましょう θと n を 使 って 置 き 換 えると 以 下 を 得 ます n は 単 位 長 であるという 制 限 を 思 い 出 してください それにより 次 の 式 を 得 ます

19 9.4 四元数 163 三角恒等式 sin2x cos2x 1 付録 A 参照 を適用すると 以下を得ます 四元数で方向を表現するという目的から このルールに従ういわゆる単位四元数だけを扱います 正規化されていない四元数に関する情報については 付録 C の [3] を参照してください 四元数の共役と逆数 四元数の共役は q* と表記され 四元数のベクトル部分を符号反転することで得られます 式 9-7 四元数の共役 四元数の逆数は q 1 と表記され 四元数の共役をその大きさで割ることで定義されます 式 9-8 四元数の逆数 四元数の逆数は 実数 スカラー の逆数と興味深い対応を見せています 実数では逆数 a 1 は 1/a です 言い換えれば a(a 1) a 1a 1 です 同じことが四元数にも当てはまります ある四 元数 q にその逆数 q 1 を掛けると 恒等四元数 [1,0] になります 四元数の乗算については次節で 説明します 式 9-8 は 四元数の逆数の公式な定義です しかし ここではその目的から単位四元数のみを使っ ているので 四元数の共役と逆数は同値です q と q* は逆の角変位を表現しているので 共役 逆数 は興味深いです なぜそうなるのかは簡単 です v を符号反転することにより回転軸 n を反転しており これは正の回転と見なす向きを逆に しています したがって q はある軸の周りにθだけ回転し q* は同じ量だけ逆の向きに回転する のです 3DGameBook.indb :59:35 PM

20 164 9 章 3D における方向と角変位 ここでの目的のためには 四元数の共役の別の定義として v および n は変えずに w を否定す ることも可能です これは 回転軸をひっくり返すことで何を正の回転と見なすかを逆転させる代わ りに 回転θの量を反転しています これは 式 9-8 で与えられる定義と同値 少なくともここでは であり 実装がわずかに高速になり また 幾何的解釈もわずかに直感的になります しかし 共役 という用語は 複素数の文脈では特別な意味を持っているので ここでは元の定義をそのまま使う ことにしました 四元数の乗算 外積 四元数は 節の複素数の解釈に従って乗算が可能です これにより 四元数の乗算の標準的な定義を導くことができます 式 9-9 に四元数の両方の表記 法を使って示します 式 9-9 四元数の積の標準的な定義 これは 私たちが本書で用いる四元数の乗算の定義ではありません 本書では少し異なる 形式を使います この代わりの定義 およびその論理的背景について 何ページか割きます 3DGameBook.indb :59:37 PM

21 9.4 四元数 165 本書では 四元数の外積には乗算記号を使いません また 行の四元数と列の四元数の間に違い はありません 四元数の乗算は結合可能ですが 交換可能ではありません 式 9-10 四元数の乗算は結合可能だが交換可能ではない 2 つの四元数の積の大きさを調べてみましょう この積を拡張して項を打ち消し このステップは とても乱雑なので割愛しました 因数に分解 すると 以下のようになります 最後に 四元数の大きさの定義を適用します 式 9-11 四元数の積の大きさは 大きさの積と等しい 3DGameBook.indb :59:41 PM

22 D よって 四 元 数 の 積 の 大 きさは 大 きさの 積 に 等 しくなります これは 2つの 単 位 四 元 数 を 掛 け た 結 果 が 単 位 四 元 数 になるということで とても 意 味 のあることです 四 元 数 の 積 の 逆 数 は 順 序 を 逆 にした 逆 数 の 積 と 等 しくなります ここで 四 元 数 の 興 味 深 い 性 質 がわかります 標 準 的 な3Dの (x,y,z) の 点 を 四 元 数 p= [0,(x,y,z)] を 定 義 することで 四 元 数 空 間 に 展 開 しましょう(もちろん p は 一 般 には 単 位 四 元 数 でありません) q を 私 たちが 議 論 している 形 式 の 回 転 四 元 数 [cosθ/2,n sinθ/2] とします ここで n は 回 転 の 単 位 ベクトル 軸 で θは 回 転 角 です 驚 くべきことに 以 下 の 四 元 数 の 乗 算 を 実 行 することで 3Dの 点 p を n の 周 りに 回 転 させられることがわかります このことは 乗 算 を 展 開 し n とθに 置 き 換 え 結 果 を 式 7-5と 比 較 することで 証 明 できます 実 際 これが ほとんどの 四 元 数 のテキストで 用 いられている 四 元 数 から 行 列 形 式 への 変 換 を 導 き 出 す 方 法 です 私 たちは 四 元 数 から 行 列 形 式 への 変 換 を 回 転 の 幾 何 学 のみから 導 き 出 すことを 選 択 しました(これは9.6.3 節 で 行 います) 結 局 四 元 数 の 乗 算 と3Dベクトルの 回 転 との 間 の 対 応 は 実 用 的 というより 論 理 的 に 興 味 深 いのです 実 際 問 題 として 四 元 数 を(9.6.3 節 で 導 出 する 式 9-23 を 使 って) 行 列 形 式 に 変 換 して その 後 ベクトルにその 行 列 を 掛 けるのは 同 じくらいに 速 そうです このちょっとした 数 学 的 雑 学 の 他 に 四 元 数 の 乗 算 の 重 要 な 点 は 何 でしょうか? 複 数 の 回 転 を 適 用 すると 何 が 起 きるか 調 べてみましょう 点 pを 四 元 数 aにより 回 転 した 後 その 結 果 を 別 の 四 元 数 b により 回 転 します a で 回 転 した 後 b で 回 転 することは 四 元 数 の 積 ba で1 回 回 転 することと 同 値 であることに 注 意 してください したがって 行 列 の 乗 算 と 同 様 四 元 数 の 乗 算 を 使 って 複 数 の 回 転 を 連 結 するこ とができます 四 元 数 の 乗 算 の 標 準 の 定 義 に 従 うと これらの 回 転 は 右 から 左 の 順 で 起 こります これでは 複 数 の 回 転 をあべこべに 書 かなければならず 行 列 形 式 での 同 じ 演 算 と 一 致 していない( 少 なくとも 行 ベクトルが 使 われている 場 合 は)ので とても 不 幸 なことです 式 9-9に 起 因 するこの 後 進 性 の 理 由 から 本 書 と 筆 者 らのコードでは 標 準 の 定 義 からはずれ 逆 の 順 番 で 被 演 算 子 を 掛 ける 四 元 数 の 乗 算 を 定 義 します ベクトルの 外 積 の 部 分 しか 影 響 を 受 けな

23 いことに 注 意 してください この 定 義 でも 四 元 数 の 基 本 的 な 性 質 や θと n を 使 った 幾 何 学 的 な 解 釈 は 変 わりません 筆 者 らの 定 義 だけでも 四 元 数 の 乗 算 を 使 ってベクトルを 直 接 回 転 させられます 四 元 数 を 右 に 掛 け その 逆 数 を 左 に 掛 けるのです 複 数 の 回 転 の 連 結 を 表 現 する 積 は まさに 左 から 右 に 回 転 が 起 こる 順 番 に 読 むことができます 本 書 の 以 降 の 文 章 およびすべてのコードでは 上 記 の 式 9-13で 与 えられる 四 元 数 の 乗 算 の 定 義 を 用 います 混 乱 を 最 小 限 にするため この 標 準 からの 逸 脱 に 起 因 して 他 のテキストでの 式 やコー ドと 違 ってしまう 個 所 では 常 にそのことを 指 摘 します 筆 者 らは この 標 準 からの 逸 脱 を 軽 々しく 考 えてはいるわけではなく 非 常 に 妥 当 な 理 由 があって こうしました 10.3 節 で 四 元 数 クラスを 開 発 しますが そこでは 四 元 数 クラスのメンバを 直 接 扱 う 必 要 を 完 全 になくします 筆 者 らにとって 角 変 位 としての 四 元 数 の 高 度 な 能 力 の 使 いやすさは 公 的 標 準 に 固 執 することよりもずっと 重 要 なことなのです 最 終 的 な 目 的 は 四 元 数 の 本 質 と 使 用 可 能 な 演 算 を 理 解 し これらの 演 算 を 直 接 公 開 するクラスを 設 計 し これらの 演 算 を 通 じてクラスを 使 って もうクラス 内 部 の 数 値 をいじくりまわさなくてもよくすることなのです 四 元 数 の 乗 算 と 逆 数 を 使 って 2つの 四 元 数 の 間 の 差 分 を 計 算 することができます 差 分 は 1つ の 方 向 から 別 の 方 向 への 角 変 位 として 定 義 されます 言 い 換 えれば ある 所 定 の 方 向 a と b に 対 し て a から b に 回 転 する 角 変 位 d を 計 算 できるということです これは 以 下 の 四 元 数 の 等 式 を 使 ってコンパクトに 表 現 できます

24 D ここでは 筆 者 らのより 直 感 的 な 四 元 数 の 乗 算 の 定 義 を 使 っています 回 転 の 順 番 は 乗 算 の 順 番 に 対 応 しており 左 から 右 です では d を 解 いてみましょう 式 内 の 変 数 がスカラーを 表 してい れば 単 純 に d で 割 ることができます しかし 四 元 数 は 掛 けることができるだけで 割 ることは できません おそらく 逆 数 を 掛 けることで 望 む 効 果 を 達 成 できるのではないでしょうか? 両 辺 の 左 に a 1 を 掛 けると 以 下 のようになります 四 元 数 の 乗 算 は 交 換 可 能 でないので 注 意 が 必 要 です 四 元 数 の 乗 算 の 結 合 可 能 な 性 質 を 適 用 して 単 純 化 すると 以 下 が 得 られます これで ある 方 向 から 他 の 方 向 への 角 変 位 を 表 現 する 四 元 数 を 生 成 する 方 法 が 得 られました こ れは 節 で 使 います 数 学 的 には 2つの 四 元 数 の 角 度 の 差 分 は 真 の 差 分 ( 減 算 )よりも 実 際 には 除 算 の 方 に 似 ています 四 元 数 に 対 する 内 積 の 演 算 が 定 義 されています この 演 算 の 表 記 と 定 義 は ベクトルの 内 積 と 非 常 によく 似 ています ベクトルの 内 積 と 同 様 結 果 がスカラーであることに 注 意 してください 単 位 四 元 数 a と b に 対 して 1 a b 1 です b と bは 同 じ 角 変 位 を 表 現 しているにもかかわらず a b= (a b) なので 通 常 は a b の 絶 対 値 だけを 興 味 の 対 象 とします 四 元 数 の 内 積 の 幾 何 学 的 な 解 釈 は ベクトルの 内 積 の 解 釈 と 似 ています すなわち 四 元 数 の 内 積 a b の 絶 対 値 が 大 きいほど a と b で 表 現 される 角 変 位 は 似 ているということです log exp 本 節 では 直 接 使 われることは 滅 多 にないものの いくつかの 重 要 な 四 元 数 の 演 算 の 基 本 となる3 つの 演 算 について 説 明 します これらの 演 算 とは 四 元 数 の 対 数 指 数 およびスカラーによる 乗 算 です

25 う まず 角 度 の 半 分 θ/2と 等 しい 変 数 αを 導 入 することにより 四 元 数 の 定 義 を 再 公 式 化 しましょ ここで q の 対 数 は 式 9-15のように 定 義 されます の 表 記 は 定 義 により 等 しい ことを 意 味 しています log q の 結 果 は 一 般 には 単 位 四 元 数 で はないことに 注 意 してください 指 数 関 数 は まったく 反 対 の 方 法 で 定 義 されます まず 四 元 数 p を [0,αn] の 形 式 で 定 義 し ます n は 単 位 ベクトルです 指 数 関 数 は 式 9-16のように 定 義 されます 定 義 により exp p は 常 に 単 位 四 元 数 を 返 します 四 元 数 の 対 数 と 指 数 は スカラーのそれと 類 似 性 があります いかなるスカラー a に 対 しても 以 下 の 関 係 が 成 り 立 つことを 思 い 出 してください 同 様 に 四 元 数 の 指 数 関 数 は 四 元 数 の 対 数 関 数 の 逆 関 数 として 定 義 されます

26 D 最 後 に 四 元 数 にはスカラーを 掛 けることができ その 結 果 は 各 要 素 にスカラーを 掛 けるという 自 明 な 方 法 で 計 算 されます 所 定 のスカラー kと 四 元 数 q において 式 9-17が 成 り 立 ちます 通 常 この 結 果 は 単 位 四 元 数 にはなりません それが スカラーによる 乗 算 が 角 変 位 を 表 現 す るというコンテキストではそれほど 有 用 な 演 算 でない 理 由 です 四 元 数 は 累 乗 (べき 乗 )することができます これは q t と 表 記 します これを 指 数 関 数 と 混 同 しな いでください 指 数 関 数 は 1つの 四 元 数 の 引 数 しか 取 りません 四 元 数 の 累 乗 は2つのパラメータ ( 四 元 数 と 指 数 )を 取 ります 四 元 数 の 累 乗 は 実 数 を 累 乗 したときの 結 果 と 似 ています a が 非 0のスカラーのとき a 0 =1 で a 1 =a であることを 思 い 出 してください t が の 間 を 変 化 するとき a t は 1... a の 間 を 変 化 します 同 様 の 命 題 が 四 元 数 の 累 乗 でも 保 持 されます すなわち t が の 間 を 変 化 するとき q t は [1,0]... q の 間 を 変 化 します 四 元 数 の 累 乗 は 角 変 位 のフラクション( 割 合 )を 抽 出 することができるので 便 利 です 例 えば 四 元 数 q で 表 現 される 角 変 位 の 1/3 を 表 現 する 四 元 数 を 計 算 するには q 1/3 を 計 算 します の 範 囲 外 の 指 数 は ほとんど 予 想 どおりの 振 る 舞 いをします(ただし 1つの 重 要 な 警 告 が あります) 例 えば q 2 は q の 角 変 位 の2 倍 を 表 現 します q が x 軸 の 周 りの 時 計 回 り 30 の 回 転 を 表 現 していたら q 2 は x 軸 の 周 りの 時 計 回 り 60 の 回 転 を 表 し q 1/3 は x 軸 の 周 りの 反 時 計 回 り 10 の 回 転 を 表 します 上 述 した 警 告 とはこうです 四 元 数 は 最 短 の 弧 を 使 って 角 変 位 を 表 現 しています 複 数 回 の 回 転 は 表 現 できません 上 記 の 例 を 続 けると q 8 は 予 想 される x 軸 の 周 りの 時 計 周 り 240 の 回 転 ではなく 反 時 計 回 り 120 の 回 転 です もちろんある 向 きへ 240 回 転 することは 逆 向 きへ 120 することと 同 じなので 正 しい 最 終 結 果 は 適 切 に 得 られます しかし この 四 元 数 にさらに 演 算 を 実 行 すると 予 想 どおりの 振 る 舞 いをしないことがあります 例 えば (q 8 ) 1/2 は 直 感 的 に 予 想 される q 4 ではありません 一 般 的 に (a s ) t =a st のような スカラーの 累 乗 に 関 する 多 くの 代 数 恒 等 式 は 四 元 数 には 当 てはまりません さてこれで 四 元 数 の 累 乗 を 何 に 使 うかを 理 解 できたので それが 数 学 的 にどのように 定 義 され るかを 見 ましょう 四 元 数 の 累 乗 は 前 節 で 学 習 したユーティリティ 演 算 を 使 って 定 義 されます そ の 定 義 は 式 9-18によって 与 えられます

27 スカラーの 累 乗 に 関 しても 同 様 の 命 題 が 成 り 立 つことに 注 意 してください なぜ t が の 範 囲 を 変 化 する 間 に q t が 恒 等 四 元 数 から q までを 補 間 するかを 理 解 するの はそれほど 難 しくはありません log 演 算 が 基 本 的 に 軸 n と 角 度 θを 抽 出 することに 注 意 してくださ い その 後 指 数 t でスカラーの 乗 算 を 実 行 すると その 効 果 は 単 にθを t 倍 するだけです 最 後 に expでlog 演 算 がしたことを 取 り 消 し 新 しい w と v を tθ と n から 再 計 算 します したがって 上 記 で 与 えられた 定 義 は 公 式 な 数 学 的 なものであり 理 論 的 に 優 雅 に 機 能 しますが これをコード に 直 接 翻 訳 することは 必 要 以 上 に 複 雑 です リスト9-1に q t の 値 をどう 計 算 できるかを 示 します // float w,x,y,z; // float exponent; // // 0 if (fabs(w) <.9999f) { // alpha (alpha = theta/2) float alpha = acos(w); // alpha float newalpha = alpha * exponent; // w w = cos(newalpha); // xyz } float mult = sin(newalpha) / sin(alpha); x *= mult; y *= mult; z *= mult; このコードについて いくつか 注 目 すべき 点 があります

vecrot

vecrot 1. ベクトル ベクトル : 方向を持つ量 ベクトルには 1 方向 2 大きさ ( 長さ ) という 2 つの属性がある ベクトルの例 : 物体の移動速度 移動量電場 磁場の強さ風速力トルクなど 2. ベクトルの表現 2.1 矢印で表現される 矢印の長さ : ベクトルの大きさ 矢印の向き : ベクトルの方向 2.2 2 個の点を用いて表現する 始点 () と終点 () を結ぶ半直線の向き : ベクトルの方向

More information

このQ&Aは 平 成 23 年 6 月 の 消 費 税 法 の 一 部 改 正 において 仕 入 税 額 控 除 制 度 にお けるいわゆる 95%ルール の 適 用 要 件 の 見 直 し( 平 成 24 年 4 月 1 日 以 後 に 開 始 する 課 税 期 間 から 適 用 )が 行 われた

このQ&Aは 平 成 23 年 6 月 の 消 費 税 法 の 一 部 改 正 において 仕 入 税 額 控 除 制 度 にお けるいわゆる 95%ルール の 適 用 要 件 の 見 直 し( 平 成 24 年 4 月 1 日 以 後 に 開 始 する 課 税 期 間 から 適 用 )が 行 われた - 平 成 23 年 6 月 の 消 費 税 法 の 一 部 改 正 関 係 - 95%ルール の 適 用 要 件 の 見 直 しを 踏 まえた 仕 入 控 除 税 額 の 計 算 方 法 等 に 関 するQ&A Ⅰ 基 本 的 な 考 え 方 編 平 成 24 年 3 月 国 税 庁 消 費 税 室 このQ&Aは 平 成 23 年 6 月 の 消 費 税 法 の 一 部 改 正 において 仕 入

More information

<4D6963726F736F667420576F7264202D2081796A696E6A695F736569646F5F3031817A8ED088F582CC82E282E98B4382F088F882AB8F6F82B7906C8E9690A7937882CC90AE94F55F3131303631332E646F63>

<4D6963726F736F667420576F7264202D2081796A696E6A695F736569646F5F3031817A8ED088F582CC82E282E98B4382F088F882AB8F6F82B7906C8E9690A7937882CC90AE94F55F3131303631332E646F63> Ⅰ 人 事 制 度 の 整 備 は 現 状 把 握 から 1. 人 事 制 度 の 類 型 を 理 解 する 2. 人 事 制 度 は5つの 項 目 で 分 析 3. 人 件 費 が 経 営 に 与 える 影 響 4. 個 別 賃 金 の 分 析 を 行 う Ⅲ 基 準 定 義 の 明 確 化 で 社 員 のモチベーションが 向 上 1. 職 能 資 格 職 務 役 割 等 級 フレーム 例 2.

More information

平成23年度受験対策

平成23年度受験対策 正 解 肢 を 見 つける 裏 ワザ 1 4 肢 択 一 試 験 はこのように 解 け! 試 験 には 試 験 択 一 試 験 論 述 試 験 など 様 々な 形 式 があります 試 験 に 合 格 するためには 学 習 を 始 める 前 に その 試 験 の 特 徴 を 押 さえることが 重 要 です では 宅 建 試 験 ではどうでしょうか? こ の 試 験 は 4 肢 択 一 の 試 験 です

More information

宮川.pwd

宮川.pwd 人 気 と 行 列 の 経 済 学 モデル 宮 川 栄 一 はじめに 大 学 を 選 択 するときのように, 選 ばないといけないが 各 選 択 肢 の 価 値 がよく 分 からない,という 場 合 がよくあります 神 戸 大 学 への 入 学 を 決 めたとき, この 大 学 にどれだけの 価 値 があるか,よく 分 からなかったのではないでしょう か 旅 行 先 の 見 知 らぬ 場 所 で 食

More information

「災害などのリスクと経済政策」勉強会 (第4回)

「災害などのリスクと経済政策」勉強会 (第4回) 図 11:< 最 適 なリスクファイナンスの 水 準 > よって 費 用 対 効 果 の 観 点 からして 費 用 の 掛 け 方 には 100%でない どこか 別 の 適 正 な 水 準 がある 例 えば 免 責 金 額 を 設 けることでコストをセーブする あるいは 全 体 に 保 険 をかけるのではなく 一 部 分 をピックアップして 保 険 をかける さらには 保 険 をかけるタ イミングを

More information

第 2 節 取 得 時 効 71 第 3 節 消 滅 時 効 75 第 4 節 時 効 の 援 用 放 棄 77 第 5 節 時 効 の 中 断 81 第 7 章 相 続 83 第 1 節 相 続 とは 84 第 2 節 相 続 人 相 続 分 85 第 3 節 共 同 相 続 90 第 4 節 相

第 2 節 取 得 時 効 71 第 3 節 消 滅 時 効 75 第 4 節 時 効 の 援 用 放 棄 77 第 5 節 時 効 の 中 断 81 第 7 章 相 続 83 第 1 節 相 続 とは 84 第 2 節 相 続 人 相 続 分 85 第 3 節 共 同 相 続 90 第 4 節 相 完 全 合 格 講 座 オリジナルテキスト 権 利 関 係 目 次 宅 建 試 験 ガイダンス 1 権 利 関 係 の 特 徴 と 攻 略 法 11 第 1 章 民 法 の 基 礎 知 識 15 第 1 節 民 法 とは 15 第 2 節 契 約 について 16 第 2 章 意 思 表 示 19 第 1 節 詐 欺 20 第 2 節 強 迫 22 第 3 節 虚 偽 表 示 24 第 4 節 心 裡

More information

小島先生のやさしい法律教室

小島先生のやさしい法律教室 景 気 の 落 ち 込 みを 背 景 に 取 引 先 の 破 綻 が 懸 念 される 場 面 も 見 受 けられます そこで 今 回 は, 取 引 先 の 破 綻 についてよくあるご 相 談 をまとめてみました 1. 破 産 手 続 社 長 ( 以 下, 社 ): 最 近, 大 型 倒 産 が 見 られますね 倒 産 と 破 産 は 違 うのですか 弁 護 士 ( 以 下, 弁 ): 倒 産 というのは

More information

ような 厚 生 年 金 基 金 関 係 の 法 改 正 がなされており (2)については 平 成 16 年 10 月 1 日 から (1) 及 び(3)については 平 成 17 年 4 月 1 日 から 施 行 されている (1) 免 除 保 険 料 率 の 凍 結 解 除 ( 母 体 企 業 (

ような 厚 生 年 金 基 金 関 係 の 法 改 正 がなされており (2)については 平 成 16 年 10 月 1 日 から (1) 及 び(3)については 平 成 17 年 4 月 1 日 から 施 行 されている (1) 免 除 保 険 料 率 の 凍 結 解 除 ( 母 体 企 業 ( 実 務 対 応 報 告 第 22 号 厚 生 年 金 基 金 に 係 る 交 付 金 の 会 計 処 理 に 関 する 当 面 の 取 扱 い 平 成 18 年 10 月 27 日 企 業 会 計 基 準 委 員 会 本 実 務 対 応 報 告 は 平 成 24 年 5 月 17 日 までに 公 表 された 次 の 会 計 基 準 等 による 修 正 が 反 映 されている 企 業 会 計 基 準

More information

Microsoft Word - 疑義照会回答(厚生年金保険 徴収)2606差替え

Microsoft Word - 疑義照会回答(厚生年金保険 徴収)2606差替え 疑 義 照 会 ( ) 1. 二 以 上 事 業 所 勤 務 被 保 険 者 の 保 険 料 登 録 P1 1 2. 定 期 保 険 料 の 調 査 決 定 及 び 納 入 告 知 P2 1~2 3. 調 査 決 定 の 変 更 P3 1~2 4. 歳 入 金 の 還 付 P5 1 5. 還 付 請 求 P6 1 6. 歳 入 金 の 徴 収 P7 1 7. 被 保 険 者 賞 与 支 払 届 P8

More information

2 県 公 立 高 校 の 合 格 者 は このように 決 まる (1) 選 抜 の 仕 組 み 選 抜 の 資 料 選 抜 の 資 料 は 主 に 下 記 の3つがあり 全 高 校 で 使 用 する 共 通 の ものと 高 校 ごとに 決 めるものとがあります 1 学 力 検 査 ( 国 語 数

2 県 公 立 高 校 の 合 格 者 は このように 決 まる (1) 選 抜 の 仕 組 み 選 抜 の 資 料 選 抜 の 資 料 は 主 に 下 記 の3つがあり 全 高 校 で 使 用 する 共 通 の ものと 高 校 ごとに 決 めるものとがあります 1 学 力 検 査 ( 国 語 数 2 県 公 立 高 校 の 合 格 者 は このように 決 まる (1) 選 抜 の 仕 組 み 選 抜 の 資 料 選 抜 の 資 料 は 主 に 下 記 の3つがあり 全 高 校 で 使 用 する 共 通 の ものと 高 校 ごとに 決 めるものとがあります 1 学 力 検 査 ( 国 語 数 学 社 会 理 科 英 語 の5 教 科 ) すべての 高 校 で 資 料 とする 2 調 査 書 (

More information

税務調査      業種別・狙われるポイント

税務調査      業種別・狙われるポイント 経 営 者 が 最 低 限 知 っておきたい! 役 員 給 与 の 税 務 Ⅲ はじめに 今 回 は 役 員 給 与 のうち 臨 時 的 で 巨 額 な 支 出 がなされる 役 員 退 職 給 与 を 主 に 取 り 上 げてい ます 役 員 退 職 給 与 は 大 きなお 金 を 会 社 からもらえる というメリットだけでなく 中 小 企 業 の 節 税 の 王 道 と 言 われるもので 会 社

More information

Q1-25 市 県 民 税 と 所 得 税 の 控 除 額 に 差 があるのはどうしてですか? 回 答 Q1-1 転 出 したとき 市 県 民 税 はどこへ 支 払 う? 質 問 : 転 出 したとき 市 県 民 税 はどこへ 支 払 うのですか? 答 : 個 人 の 市 県 民 税 は 毎 年 1

Q1-25 市 県 民 税 と 所 得 税 の 控 除 額 に 差 があるのはどうしてですか? 回 答 Q1-1 転 出 したとき 市 県 民 税 はどこへ 支 払 う? 質 問 : 転 出 したとき 市 県 民 税 はどこへ 支 払 うのですか? 答 : 個 人 の 市 県 民 税 は 毎 年 1 税 に 関 するQ&A 質 問 と 回 答 1. 個 人 市 県 民 税 編 質 問 一 覧 Q1-1 転 出 したとき 市 県 民 税 はどこへ 支 払 う? Q1-2 死 亡 した 夫 に 市 県 民 税 の 納 税 通 知 書 が 届 きました? Q1-3 昨 年 退 職 時 に 市 県 民 税 を 一 括 して 納 めたのに 納 税 通 知 書 がきましたが? Q1-4 家 屋 敷 課 税

More information

Microsoft Word - 2015入試総括

Microsoft Word - 2015入試総括 2015 年 神 奈 川 県 公 立 高 校 共 通 選 抜 試 験 総 括 名 学 館 EXCEL 教 務 部 2015 年 2 月 16 日 ( 月 )に 行 われました 神 奈 川 県 公 立 高 校 共 通 選 抜 試 験 の 問 題 につ いて 簡 単 ではありますが 文 章 にさせていただきました 特 に 今 後 受 験 をされる 皆 さん にはどのように 入 試 が 変 化 しどのように

More information

Microsoft Word - 文書1.doc

Microsoft Word - 文書1.doc 有 給 休 暇 労 働 基 準 法 第 39 条 子 どもの 学 校 の 都 合 で 休 むことがあるのですが その 時 はお 給 料 が 出 ません パートには 有 給 休 暇 はな い と 会 社 からは 言 われています パートタイム 労 働 者 にも 有 給 休 暇 はあります (ただし とれない 場 合 もあります ) パートタイム 労 働 者 にも フルタイム 労 働 者 と 同 じように

More information

第 4 部 プロフェッショナルにとっての 経 済 学 問 題 1: 目 撃 者 の 証 言 はどこまで 信 頼 できるのだろうか? ある 町 で 夜 間 にタクシーによるひき 逃 げ 事 件 が 起 きた 一 人 の 目 撃 者 の 証 言 によると ひき 逃 げ 事 件 を 起 こしたのは 青 色

第 4 部 プロフェッショナルにとっての 経 済 学 問 題 1: 目 撃 者 の 証 言 はどこまで 信 頼 できるのだろうか? ある 町 で 夜 間 にタクシーによるひき 逃 げ 事 件 が 起 きた 一 人 の 目 撃 者 の 証 言 によると ひき 逃 げ 事 件 を 起 こしたのは 青 色 4-5-5 生 き 抜 くための 数 学 統 計 学 番 外 : 生 き 抜 くための 数 学 統 計 学 齊 藤 誠 数 学 や 統 計 学 を 専 門 としない 人 たちの 人 生 にとって 数 学 や 統 計 学 とはどのような 意 味 を 持 つものなのであろうか このような あいまいな 設 問 への 答 えは 人 によってさまざまであろうが 私 であれば 次 のように 答 えるであろう 古

More information

いても, 一 定 の 地 域 に 長 く 住 み 続 ける 意 思 という 主 観 的 な 要 件 と 一 定 の 地 域 に 住 む という 客 観 的 な 要 件 が 必 要 で す また, 一 定 の 地 域 に 長 く 住 み 続 ける 意 思 と 言 う 主 観 的 な 要 件 を 認 定

いても, 一 定 の 地 域 に 長 く 住 み 続 ける 意 思 という 主 観 的 な 要 件 と 一 定 の 地 域 に 住 む という 客 観 的 な 要 件 が 必 要 で す また, 一 定 の 地 域 に 長 く 住 み 続 ける 意 思 と 言 う 主 観 的 な 要 件 を 認 定 国 際 税 務 研 究 会 国 際 税 務 2012 年 2 月 号 掲 載 台 湾 税 法 における 個 人 に 対 する 課 税 所 得 の 範 囲 と 納 税 方 法 ( 下 ) 税 理 士 法 人 プライスウォーターハウスクーパース パートナー 加 藤 雅 規 マネージャー 周 泰 維 堀 越 大 三 郎 3. 居 住 者 と 非 居 住 者 に 対 する 課 税 方 法 (1) 居 住 者

More information

2-3 現 在 もハローワークに 求 人 票 を 提 出 していますが 本 事 業 を 受 託 するにあたり 改 めて 求 人 票 を 出 し 直 す 必 要 はあ るのか 必 ず 改 めて 求 人 票 を 出 していただき 求 人 票 の 備 考 欄 に 起 業 支 援 型 地 域 雇 用 創 造

2-3 現 在 もハローワークに 求 人 票 を 提 出 していますが 本 事 業 を 受 託 するにあたり 改 めて 求 人 票 を 出 し 直 す 必 要 はあ るのか 必 ず 改 めて 求 人 票 を 出 していただき 求 人 票 の 備 考 欄 に 起 業 支 援 型 地 域 雇 用 創 造 平 成 25-26 年 度 起 業 支 援 型 地 域 雇 用 創 造 事 業 介 護 雇 用 プログラム 委 託 業 務 ( 平 成 25 年 度 募 集 分 )Q&A ( 別 紙 4) ( 平 成 25.12) 番 号 質 問 回 答 1 応 募 資 格 について 1-1 応 募 は 法 人 名 と 施 設 名 どちらで 行 えばいいですか 県 内 に 複 数 施 設 を 有 している 場 合

More information

職員のための

職員のための 職 員 のための 子 育 てサポートQ&A 平 成 27 年 8 月 改 訂 総 務 政 策 局 総 務 課 総 務 政 策 局 教 職 員 課 ~ 目 次 ~ 特 定 事 業 主 行 動 計 画 P6 Q1 Q2 北 海 道 教 育 委 員 会 職 員 子 育 て 支 援 行 動 計 画 とは 職 員 に 対 して どの 様 な 休 暇 や 給 付 等 の 支 援 を 行 っていますか 女 性 職

More information

特別徴収に関するQ&A

特別徴収に関するQ&A 特 別 徴 収 に 関 するQ&A 今 後 逐 次 加 除 修 正 を 行 う 予 定 介 護 保 険 課 国 民 健 康 保 険 課 高 齢 者 医 療 制 度 施 行 準 備 室 問 1 介 護 と 国 保 又 は 介 護 と 後 期 高 齢 の 保 険 料 ( 税 ) 合 算 額 が 年 金 額 の1/2 を 超 えないかどうかの 判 定 ( 以 下 1/2 判 定 という )の 際 に 用

More information

拘 束 だから 当 然 に 議 決 無 効 を 主 張 する それが 訴 訟 になる 場 合 がある ということですね 現 在 業 界 の 注 目 を 集 めている 事 例 があります 5 月 19 日 付 けの 信 濃 毎 日 新 聞 のウェブ 版 から 引 用 しましょう 県 建 設 業 厚 生

拘 束 だから 当 然 に 議 決 無 効 を 主 張 する それが 訴 訟 になる 場 合 がある ということですね 現 在 業 界 の 注 目 を 集 めている 事 例 があります 5 月 19 日 付 けの 信 濃 毎 日 新 聞 のウェブ 版 から 引 用 しましょう 県 建 設 業 厚 生 2012 年 6 月 14 日 森 本 紀 行 資 産 運 用 コラム 厚 生 年 金 基 金 の 脱 退 と 解 散 をめぐる 社 会 問 題 前 回 は 総 合 型 厚 生 年 金 基 金 について 解 散 と 任 意 脱 退 をめぐる 解 き 得 ない 難 問 が 検 討 さ れたのでした 今 回 は 続 編 として その 難 問 が 具 体 的 な 社 会 問 題 化 していることについて

More information

Microsoft Word - ミクロ経済学02-01費用関数.doc

Microsoft Word - ミクロ経済学02-01費用関数.doc ミクロ経済学の シナリオ 講義の 3 分の 1 の時間で理解させる技術 国際派公務員養成所 第 2 章 生産者理論 生産者の利潤最大化行動について学び 供給曲線の導出プロセスを確認します 2-1. さまざまな費用曲線 (1) 総費用 (TC) 固定費用 (FC) 可変費用 (VC) 今回は さまざまな費用曲線を学んでいきましょう 費用曲線にはまず 総費用曲線があります 総費用 TC(Total Cost)

More information

Microsoft Word - SPSS_Manual.doc

Microsoft Word - SPSS_Manual.doc SPSS の 使 い 方 ( 改 訂 版 20071019) 齋 藤 雄 志 このSPSS マニュアルには 初 級 用 ( 第 Ⅰ 部 = 情 報 リテラシー 演 習 2 用 )のみが 含 まれ ています 第 Ⅱ 部 は 情 報 リテラシー 演 習 2では 使 用 しません なお 時 間 などの 関 係 で 各 クラスが 以 下 のとおりに 演 習 を 行 えない 場 合 もあります 担 当 教 員

More information

今 回 は まず 前 回 の 続 きで 意 思 表 示 2 に 関 して 勘 違 いをして 契 約 を 締 結 した 場 合 の ように 契 約 の 成 立 に 問 題 があった 場 合 の 契 約 の 取 扱 いを 勉 強 します 次 に 未 成 年 者 の ように 保 護 が 必 要 な 人 を

今 回 は まず 前 回 の 続 きで 意 思 表 示 2 に 関 して 勘 違 いをして 契 約 を 締 結 した 場 合 の ように 契 約 の 成 立 に 問 題 があった 場 合 の 契 約 の 取 扱 いを 勉 強 します 次 に 未 成 年 者 の ように 保 護 が 必 要 な 人 を 09 宅 建 スーパー 合 格 講 座 権 利 関 係 目 次 第 1 回 今 回 は 最 初 の 講 義 ですので まず 権 利 関 係 のガイダンスとしてこの 科 目 の 出 題 内 容 傾 向 勉 強 方 法 等 について 説 明 します そして 1 契 約 は どのように 成 立 するのか,2 契 約 の 内 容 が 反 社 会 的 な 場 合 ( 例 えば 殺 人 の 契 約 )はどのように

More information

Microsoft Word - Chap9

Microsoft Word - Chap9 第 9 章 オイラー 角 に 関 する 補 講 解 説 基 礎 から 学 ぶ 角 運 動 量 ( 後 編 : 前 編 の 補 講 と 応 用 ) 9. 後 編 の 目 的 私 は 年 4 月 5 日 に 解 説 基 礎 から 学 ぶ 角 運 動 量 ( 前 編 :ウィグナ - エッカルト 定 理 の 理 解 を 目 指 して)という 題 目 の 解 説 を 林 久 治 のHP に 発 表 した (

More information

原子炉の動特性

原子炉の動特性 原 子 炉 の 動 特 性 核 分 裂 連 鎖 反 応 のサイクル 世 代 と 増 倍 率 核 分 裂 で 生 まれた 中 性 子 が 再 び 核 分 裂 を 起 こして 次 の 中 性 子 を 生 み 出 すまでの 過 程 の 一 回 り を 世 代 (Geerao)と 言 う 世 代 間 の 中 性 子 の 数 の 比 を 増 倍 率 (mulplcao facor)kと 定 義 する k ある

More information

会議録

会議録 第 4 回 秦 野 市 公 立 幼 稚 園 あり 方 検 討 委 員 会 1 日 時 平 成 24 年 2 月 7 日 ( 火 ) 午 前 10 時 ~ 正 午 2 場 所 秦 野 市 役 所 本 庁 舎 3 階 3A 会 議 室 3 出 席 委 員 逢 坂 委 員 小 林 委 員 佐 藤 委 員 佐 々 木 委 員 桐 山 委 員 横 尾 委 員 大 澤 委 員 梅 原 委 員 野 々 山 委 員

More information

<接待ゴルフも仕事のうち?>

<接待ゴルフも仕事のうち?> 8 月 の 税 務 と 労 務 の 手 続 [ 提 出 先 納 付 先 ] 10 日 源 泉 徴 収 税 額 住 民 税 特 別 徴 収 税 額 の 納 付 [ 郵 便 局 または 銀 行 ] 雇 用 保 険 被 保 険 者 資 格 取 得 届 の 提 出 < 前 月 以 降 に 採 用 した 労 働 者 がいる 場 合 > [ 公 共 職 業 安 定 所 ] 労 働 保 険 一 括 有 期 事 業

More information

2 経 営 者 との 間 で 経 営 者 保 証 に 係 る 契 約 を 締 結 する 際 の 債 権 者 の 対 応 ( 適 切 な 説 明 適 切 な 保 証 金 額 の 設 定 等 ) 3 既 存 の 保 証 契 約 の 適 切 な 見 直 し( 保 証 契 約 の 解 除 申 入 れがあった

2 経 営 者 との 間 で 経 営 者 保 証 に 係 る 契 約 を 締 結 する 際 の 債 権 者 の 対 応 ( 適 切 な 説 明 適 切 な 保 証 金 額 の 設 定 等 ) 3 既 存 の 保 証 契 約 の 適 切 な 見 直 し( 保 証 契 約 の 解 除 申 入 れがあった LM ニュースレター Vol.9 平 成 26 年 8 月 経 営 者 保 証 に 関 するガイドラインを 利 用 した 保 証 債 務 整 理 日 本 商 工 会 議 所 と 一 般 社 団 法 人 全 国 銀 行 協 会 が 事 務 局 となっている 経 営 者 保 証 に 関 するガイ およ 任 ドライン 研 究 会 より 昨 年 12 月 経 営 者 保 証 に 関 するガイドライン 1 (

More information

11 12 13 JVの 場 合 の 請 負 金 額 及 びその 確 認 方 法 につい て 教 えてください 確 認 書 類 として 注 文 書 請 書 のどちらか 一 方 しか ないときの 取 扱 いについて 教 えてください 確 認 書 類 として 注 文 書 請 書 を 電 子 データでやり

11 12 13 JVの 場 合 の 請 負 金 額 及 びその 確 認 方 法 につい て 教 えてください 確 認 書 類 として 注 文 書 請 書 のどちらか 一 方 しか ないときの 取 扱 いについて 教 えてください 確 認 書 類 として 注 文 書 請 書 を 電 子 データでやり 1 全 般 経 営 事 項 審 査 の 有 効 期 間 について 教 えてくださ い 公 共 工 事 の 請 負 契 約 を 締 結 する 日 の1 年 7 月 前 の 日 の 直 後 の 事 業 年 度 終 了 の 日 以 降 に 経 営 事 項 審 査 を 受 けていなければならないことになって いま つまり 毎 決 算 期 後 7ヶ 月 の 間 に 受 審 しておかなければ いわゆる 経 審

More information

もろい石材の保管方法の最適なのはどれだろう

もろい石材の保管方法の最適なのはどれだろう 第 7 話 力 のモーメントと 曲 げモーメントを 混 同 していませんか 2008 年 4 月 0 日 作 成 萩 原 芳 彦 はりの 曲 げや 軸 のねじりにおいて 登 場 する 曲 げモーメントやねじりモーメントについて なかなか 正 しく 理 解 できない 学 生 がおり 教 える 側 としても 苦 労 するところである これ もニュートンの 第 法 則 や 第 3 法 則 の 本 質 をおろそかにして

More information

計 算 基 礎 に 重 要 な 変 動 が 生 じているかどうかの 判 定 方 法 29 未 認 識 数 理 計 算 上 の 差 異 及 び 未 認 識 過 去 勤 務 費 用 の 会 計 処 理 33 数 理 計 算 上 の 差 異 34 数 理 計 算 上 の 差 異 の 内 容 34 数 理

計 算 基 礎 に 重 要 な 変 動 が 生 じているかどうかの 判 定 方 法 29 未 認 識 数 理 計 算 上 の 差 異 及 び 未 認 識 過 去 勤 務 費 用 の 会 計 処 理 33 数 理 計 算 上 の 差 異 34 数 理 計 算 上 の 差 異 の 内 容 34 数 理 企 業 会 計 基 準 適 用 指 針 第 25 号 退 職 給 付 に 関 する 会 計 基 準 の 適 用 指 針 平 成 11 年 9 月 14 日 日 本 公 認 会 計 士 協 会 会 計 制 度 委 員 会 改 正 平 成 24 年 5 月 17 日 企 業 会 計 基 準 委 員 会 目 次 項 目 的 1 適 用 指 針 2 範 囲 2 用 語 の 定 義 3 確 定 給 付 制 度

More information

2014学びの基礎を探る.indd

2014学びの基礎を探る.indd 資 料 2 データとグラフの 基 礎 の 基 礎 試 験 の 結 果 は 自 分 の 点 数 と 平 均 点 で 見 ることが 多 い 小 学 校 から 大 学 まで 色 々な 科 目 で さまざまな 目 的 で 試 験 が 行 われま す もちろん 自 分 の 試 験 の 結 果 が 気 になりますね そして 他 の 人 の 点 数 はどうだったかしらと 気 になります そこで 先 生 方 は 今

More information

<4D6963726F736F667420576F7264202D208DC58F498A6D92E8323031363038303581468352837E8385836A8350815B8356838783938145837D836A83858341838B8D8788D38C6090AC83768389835894C52E646F63>

<4D6963726F736F667420576F7264202D208DC58F498A6D92E8323031363038303581468352837E8385836A8350815B8356838783938145837D836A83858341838B8D8788D38C6090AC83768389835894C52E646F63> 合 意 をつくるための コミュニケーション マニュアル はじめに 温 暖 化 などの 環 境 問 題 原 などのエネルギー 問 題 遺 伝 治 療 など 医 療 問 題 私 た ちの 近 にはたくさんの 問 題 があふれています このような 問 題 について 分 で 考 える だけでなく 他 の の 意 を 聞 いてみたい 他 の と 話 してみたい そう 考 えて 話 し 合 いの 場 に 参 加

More information

つかのランプがオンになっている 結 び 目 射 影 図 から,このゲームは 開 始 する.どの 領 域 を 選 択 すれば 全 てのランプをオンにできるかということを 考 える 頭 脳 ゲーム である. 結 び 目 射 影 図 は 無 限 に 多 くあり,その 射 影 図 毎 にゲームが 異 なるの

つかのランプがオンになっている 結 び 目 射 影 図 から,このゲームは 開 始 する.どの 領 域 を 選 択 すれば 全 てのランプをオンにできるかということを 考 える 頭 脳 ゲーム である. 結 び 目 射 影 図 は 無 限 に 多 くあり,その 射 影 図 毎 にゲームが 異 なるの 第 1 章 結 び 目 による 数 学 の 幼 児 教 育 の 試 みについて 1-1. 結 び 目 理 論 のゲーム 領 域 選 択 ゲーム (1) 結 び 目 理 論 のゲーム 領 域 選 択 ゲーム の 起 こり 結 び 目 理 論 とは, 絡 まりあったひも( 結 び 目 )が, 実 際 にほどけるかほどけない かを 判 定 したり, どのような 変 換 を 使 うとほどけなかった 結 び

More information

<4D F736F F D D918DDB90C596B18EC096B1837D836A B B95B681698F4090C A98E5290C5816A2E646F63>

<4D F736F F D D918DDB90C596B18EC096B1837D836A B B95B681698F4090C A98E5290C5816A2E646F63> 3 日 本 の 居 住 者 が 国 際 投 資 を 行 う 場 合 の 税 務 に 関 する 基 礎 知 識 (1) 居 住 者 と 非 居 住 者 の 区 分 の 重 要 性 個 人 が 国 際 取 引 を 行 った 場 合 海 外 と 国 内 の 課 税 を 考 える 上 で その 個 人 がわが 国 の 居 住 者 に 該 当 するのか あるいは 非 居 住 者 に 該 当 するのか 又 は

More information

1 法律の目的と法人格取得の効果

1 法律の目的と法人格取得の効果 第 1 章 認 定 NPO 法 人 制 度 について ( 問 1) 認 定 NPO 法 人 制 度 とは どのような 制 度 でしょうか ( 答 ) NPO 法 人 のうち 一 定 の 基 準 等 に 適 合 するものとして 所 轄 庁 の 認 定 又 は 仮 認 定 を 受 けた 法 人 ( 以 下 認 定 NPO 法 人 等 といいます )に 対 して 支 出 した 寄 附 について 次 のような

More information

2 年 金 実 務 3 年 金 実 務 4 年 金 実 務 5 年 金 実 務 6 年 金 実 務 7 年 金 実 務 8 年 金 実 務 9 年 金 実 務 10 年 金 実 務 11 年 金 実 務 12 年 金 実 務 13 年 金 実 務 14 年 金 実 務 15 年 金 実 務 16 年 金 実 務 17 年 金 実 務 ません 18 19 年 金 実 務 20 年 金 実 務 21 年

More information

Microsoft PowerPoint - 基礎・経済統計 4.ppt

Microsoft PowerPoint - 基礎・経済統計 4.ppt . 今 日 の 目 標 基 礎 経 済 統 計 統 計 の 初 歩 様 々な 代 表 値 を 理 解 する データの 分 布, 散 らばりを 把 握 するための データ 整 理 法 を 理 解 する 度 数 分 布,ヒストグラム. データの 中 心 の 代 表 値. 平 均 平 均 の 例 四 月 の 統 一 地 方 選 で 当 選 した 府 議 ( 百 十 二 人 )と 大 阪 市 議 ( 八 十

More information

施 設 事 業 No. 幼 保 認 家 小 事 居 事 項 質 問 頁 15 基 本 部 分 16 基 本 部 分 調 整 部 分 ( 定 員 を 恒 常 的 に 超 過 する 場 合 ) 基 本 分 単 価 に 含 まれる 教 員 のうち1 人 は 主 幹 教 諭 として 費 用 を 定 されてい

施 設 事 業 No. 幼 保 認 家 小 事 居 事 項 質 問 頁 15 基 本 部 分 16 基 本 部 分 調 整 部 分 ( 定 員 を 恒 常 的 に 超 過 する 場 合 ) 基 本 分 単 価 に 含 まれる 教 員 のうち1 人 は 主 幹 教 諭 として 費 用 を 定 されてい 公 定 価 格 に 関 す る F A Q ( よ く あ る 質 問 ) Ver.9( 平 成 27 年 6 月 17 日 時 点 版 ) このFAQは 仮 単 価 を 基 に 年 間 の 運 営 費 額 を 定 する 際 の 参 考 となるよう 現 行 の 幼 稚 園 保 育 所 等 における 取 り 扱 いを 基 に 作 成 したもので あり 今 後 詳 細 を 検 討 していく 過 程 で

More information

各種申請手続及び届出の手引きQ&A

各種申請手続及び届出の手引きQ&A 各 種 申 請 手 続 及 び 届 出 に 関 するQ&A 1 研 修 事 業 者 指 定 申 請 研 修 事 業 指 定 申 請 (Q1-1) 通 学 形 式 の 事 業 者 として 指 定 を 受 けましたが 新 たに 通 信 形 式 での 研 修 を 計 画 した 場 合 研 修 事 業 の 指 定 申 請 のみを 行 えばよいですか (A1-1) 違 います 事 業 者 指 定 された 形

More information

260305以降の原稿 疑義照会回答公表資料(一覧化).xls

260305以降の原稿 疑義照会回答公表資料(一覧化).xls 疑 義 照 会 ( ) 1. 免 除 理 由 該 当 消 滅 届 P1 1~2 2. P3 1~7 3. 納 付 猶 予 取 消 申 請 書 P7 1 4. 学 生 納 付 特 例 申 請 書 P8 1~2 5. 還 付 請 求 書 P9 1~2 疑 義 照 会 ( ) ( 案 件 ) 名 称 条 文 ) ( 内 容 ) 免 除 理 由 該 当 消 滅 届 1 生 活 保 護 による 法 定 免 除

More information

費 についての 支 出 とは 認 められず 法 第 100 条 第 14 項 及 び 条 例 第 1 条 に 反 し 違 法 である カ 札 幌 地 方 裁 判 所 平 成 26 年 7 月 11 日 判 決 ( 以 下 7 月 11 日 判 決 という )は 主 に 道 議 会 の 平 成 21

費 についての 支 出 とは 認 められず 法 第 100 条 第 14 項 及 び 条 例 第 1 条 に 反 し 違 法 である カ 札 幌 地 方 裁 判 所 平 成 26 年 7 月 11 日 判 決 ( 以 下 7 月 11 日 判 決 という )は 主 に 道 議 会 の 平 成 21 住 民 監 査 請 求 監 査 結 果 第 1 監 査 の 請 求 1 請 求 人 札 幌 市 中 央 区 南 1 条 西 10 丁 目 タイムスビル3 階 札 幌 市 民 オンブズマン 代 表 太 田 賢 二 2 請 求 書 の 提 出 年 月 日 平 成 26 年 11 月 12 日 3 請 求 の 内 容 次 の(1) 及 び(2)は 本 件 住 民 監 査 請 求 を 要 約 したものである

More information

育休代替任期付職員制度について

育休代替任期付職員制度について 市 原 市 育 休 代 替 任 期 付 職 員 制 度 の 手 引 き 1 制 度 の 趣 旨 について Q1. 育 休 代 替 任 期 付 職 員 とは どのような 職 員 ですか? A1. 育 休 代 替 任 期 付 職 員 とは 育 児 休 業 を 取 得 する 職 員 にかわって 期 間 限 定 で 勤 務 する 職 員 です もう 少 し 解 説 地 方 公 務 員 の 育 児 休 業 等

More information

Microsoft Word - ○マニュアル表紙(v4.0_.doc

Microsoft Word - ○マニュアル表紙(v4.0_.doc 利 用 者 負 担 上 限 額 管 理 事 務 マニュアル V4.0 ( 平 成 21 年 4 月 及 び 10 月 からの 上 限 額 管 理 事 務 に 関 する 一 部 制 度 変 更 の 内 容 が 盛 り 込 まれています) 平 成 21 年 10 月 神 奈 川 県 保 健 福 祉 部 障 害 福 祉 課 このマニュアルは 神 奈 川 県 における 標 準 的 な 事 務 手 続 きを

More information

運 用 受 託 機 関 従 業 員 年 金 規 約 事 業 主 資 産 管 理 運 用 契 約 掛 金 運 用 指 針 資 産 管 理 運 用 機 関 信 託 会 社 生 命 保 険 会 社 農 業 協 同 組 合 連 合 会 裁 定 裁 定 請 求 退 職 した 従 業 員 ( 受 給 権 者 )

運 用 受 託 機 関 従 業 員 年 金 規 約 事 業 主 資 産 管 理 運 用 契 約 掛 金 運 用 指 針 資 産 管 理 運 用 機 関 信 託 会 社 生 命 保 険 会 社 農 業 協 同 組 合 連 合 会 裁 定 裁 定 請 求 退 職 した 従 業 員 ( 受 給 権 者 ) シリーズ: 規 約 型 確 定 給 付 企 業 年 金 担 当 者 のための 資 産 運 用 入 門 Vol.2 年 金 資 産 運 用 のプロセス 企 業 年 金 の 担 当 者 にとって 資 産 運 用 の 責 任 とはなんでしょうか 仮 に 数 十 億 円 の 年 金 資 産 に 対 して 資 産 運 用 の 結 果 に 対 して 責 任 を 持 てと 言 われると サラリ ー マ ン で あ

More information

合弁契約の実務(その5)

合弁契約の実務(その5) ( 月 刊 国 際 法 務 戦 略 2000 年 9 月 号 掲 載 ) 中 国 ビジネス ローの 最 新 実 務 Q & A 第 8 回 合 弁 契 約 の 実 務 (その5) 黒 田 法 律 事 務 所 黒 田 健 二 黒 須 克 佳 Kenji Kuroda, Katsuyoshi Kurosu/Kuroda Law Offices 今 回 も 合 弁 契 約 に 関 する 法 律 問 題 のうち

More information

                                       

                                        定 年 退 職 者 の 退 職 共 済 年 金 のしおり 地 方 職 員 共 済 組 合 大 阪 府 支 部 福 利 厚 生 グループ( 年 金 担 当 ) 目 次 特 別 支 給 の 退 職 共 済 年 金 1 受 給 資 格 と 支 給 開 始 年 齢 1 2 厚 生 年 金 保 険 又 は 日 本 私 立 学 校 振 興 共 済 事 業 団 の 年 金 の 請 求 3 3 老 齢 基 礎 年

More information

(2)各論

(2)各論 中 小 企 業 の 会 計 に 関 する 基 本 要 領 平 成 24 年 2 月 1 日 中 小 企 業 の 会 計 に 関 する 検 討 会 目 次 Ⅰ. 総 論 1. 目 的 1 2. 本 要 領 の 利 用 が 想 定 される 会 社 1 3. 企 業 会 計 基 準 中 小 指 針 の 利 用 2 4. 複 数 ある 会 計 処 理 方 法 の 取 扱 い 2 5. 各 論 で 示 していない

More information

図 1 問 題 図 仮 定 1 ( 問 題 文 より) 図 1 を 読 み 解 いた 結 果 は 何 かしら 意 味 のある 文 字 列 ( 数 字 を 含 む)である 仮 定 2 ( 図 3 より) 個 々の 図 形 は 加 算 可 能 な 要 素 を 表 している 仮 定 3 ( 図 2 より)

図 1 問 題 図 仮 定 1 ( 問 題 文 より) 図 1 を 読 み 解 いた 結 果 は 何 かしら 意 味 のある 文 字 列 ( 数 字 を 含 む)である 仮 定 2 ( 図 3 より) 個 々の 図 形 は 加 算 可 能 な 要 素 を 表 している 仮 定 3 ( 図 2 より) The new Audi Q3 Decode Challenge: 解 答 と 解 説 上 田 * 完 概 要 The new Audi Q3 Decode Challenge の 問 題 を 解 き 解 答 を 作 成 した この 問 題 に 対 するコメントを 添 え LuaL A TEX を 用 いて PDF ドキュメントとして 作 成 公 開 する 1 問 題 及 びヒント 本 問 題 では

More information

<944692E893C192E894F1896397988A8893AE9640906C90A7937882CC8EE888F882AB8169944692E895D2816A2E786477>

<944692E893C192E894F1896397988A8893AE9640906C90A7937882CC8EE888F882AB8169944692E895D2816A2E786477> 認 定 特 定 非 営 利 活 動 法 人 制 度 の 手 引 きQ&A 163 164 第 1 章 認 定 特 定 非 営 利 活 動 法 人 制 度 の 概 要 第 2 章 認 定 NPO 法 人 制 度 について ( 問 1) 認 定 NPO 法 人 制 度 とは どのような 制 度 でしょうか ( 問 2) 認 定 等 を 受 けたいと 考 えていますが どこに 相 談 すればよいでしょうか

More information

担 当 することを 予 定 していますが このような 継 続 雇 用 制 度 でも 高 年 齢 者 雇 用 安 定 法 の 雇 用 確 保 措 置 として 認 められますか Q1 11: 有 期 契 約 労 働 者 に 関 して 就 業 規 則 等 に 一 定 の 年 齢 (60 歳 )に 達 した

担 当 することを 予 定 していますが このような 継 続 雇 用 制 度 でも 高 年 齢 者 雇 用 安 定 法 の 雇 用 確 保 措 置 として 認 められますか Q1 11: 有 期 契 約 労 働 者 に 関 して 就 業 規 則 等 に 一 定 の 年 齢 (60 歳 )に 達 した 高 年 齢 者 雇 用 安 定 法 Q&A ( 高 年 齢 者 雇 用 確 保 措 置 関 係 ) 1. 継 続 雇 用 制 度 の 導 入 Q1 1: 改 正 高 年 齢 者 雇 用 安 定 法 においては 事 業 主 が 高 年 齢 者 雇 用 確 保 措 置 として 継 続 雇 用 制 度 を 導 入 する 場 合 には 希 望 者 全 員 を 対 象 とするものに しなければならないのですか

More information

高等学校「化学Ⅰ《学習指導案

高等学校「化学Ⅰ《学習指導案 高 等 学 校 生 物 Ⅰ 学 習 指 導 案 埼 玉 県 立 所 沢 北 高 等 学 校 授 業 者 2 年 必 修 2 年 組 教 室 男 子 2 名 女 子 9 名 計 40 人 単 元 名 : 第 3 編 遺 伝 2 章 遺 伝 子 と 染 色 体 2 この 単 元 の 目 標 遺 伝 子 が 染 色 体 上 に 存 在 することを 観 察 実 験 などを 通 して 探 究 し 染 色 体

More information

平成28年(2016年)熊本地震に関するQ&A

平成28年(2016年)熊本地震に関するQ&A 目 次 Q1 年 金 生 活 者 ですが 年 金 を 担 保 にお 金 を 借 りることができると 聞 きました 貸 付 制 度 の 内 容 について 教 えてください Q2 震 災 で 家 屋 が 倒 壊 損 傷 しました 家 屋 の 建 替 資 金 補 修 資 金 のための 支 援 や 新 規 融 資 を 受 けられ ないでしょうか Q3 恩 給 共 済 年 金 担 保 貸 付 の 内 容 について

More information

情報処理実習(工基3)

情報処理実習(工基3) 情 報 ( 実 習 )( 芸 術 1 班 ) 第 10 回 エクセル 篇 3 VBA を 使 ったプログラムによる 関 数 のシミュレーション これまでの2 回 で Excel の 表 計 算 ソフトとしての 機 能 及 び 統 計 機 能 の 初 歩 を 実 習 しました Excel にはこれ 以 外 にも 大 変 有 用 な 機 能 があります 今 日 はその 中 から VBA(Visual Basic

More information

どうして2つの 決 算 があるの そもそも 決 算 ってなに 企 業 活 動 は 日 々 儲 けた 損 をした の 繰 り 返 しです 決 算 とは 一 定 期 間 内 の 企 業 活 動 の 成 果 を 取 りまとめ や 損 失 の 額 を 確 定 させることです これによって 一 事 業 年 度

どうして2つの 決 算 があるの そもそも 決 算 ってなに 企 業 活 動 は 日 々 儲 けた 損 をした の 繰 り 返 しです 決 算 とは 一 定 期 間 内 の 企 業 活 動 の 成 果 を 取 りまとめ や 損 失 の 額 を 確 定 させることです これによって 一 事 業 年 度 今 年 の 経 営 リポート は 平 成 23 年 度 の 決 算 今 年 度 の 決 算 結 果 のお 知 らせ 企 業 会 計 のお 財 布 はいくら? 企 業 の 姿 を 見 てみよう 経 営 指 標 で 企 業 を 見 る 今 年 度 の 工 事 のお 知 らせ の6 項 目 についてお 知 らせします どうして2つの 決 算 があるの そもそも 決 算 ってなに 企 業 活 動 は 日 々

More information

<4D6963726F736F667420576F7264202D208365834C83588367455843454C82C58A7782D48E738FEA82CC90948A773038303692F990B32E646F63>

<4D6963726F736F667420576F7264202D208365834C83588367455843454C82C58A7782D48E738FEA82CC90948A773038303692F990B32E646F63> 第 1 週 市 場 の 数 学 基 礎 第 1 講 収 益 計 算 の 基 礎 1-1) 引 き 算 から 割 り 算 へ 収 益 の 計 算 は 商 売 の 基 本 中 の 基 本 です 商 売 人 は 高 度 な 数 学 など 知 らなくても 儲 けの 計 算 には 長 けています そこで 第 1 講 では 商 売 の 基 本 である 収 益 計 算 について 解 説 しましょ う 100 円

More information

相関関係と因果関係

相関関係と因果関係 相 関 関 係 と 因 果 関 係 (Correlation and Causality) 相 関 係 数 の 二 つの 落 とし 穴 2002 年 7 月 27 日 明 治 大 学 阪 井 和 男 sakai@isc.meiji.ac.jp 相 関 関 係 の 有 無 と 因 果 関 係 の 有 無 とはどのような 関 係 があるのだろうか 相 関 関 係 と 因 果 関 係 の 混 同 は 現

More information

2012年5月31日 森本紀行 資産運用コラム

2012年5月31日 森本紀行 資産運用コラム 2014 年 8 月 7 日 森 本 紀 行 はこう 見 る JR 九 州 の 経 営 計 画 と 経 営 安 定 基 金 JR 九 州 は つくる 2016 JR 九 州 グループ 中 期 経 営 計 画 というものを 策 定 しています そ の 頂 点 にあるのは 株 式 上 場 です 要 は 2016 年 までに 上 場 企 業 としての 諸 条 件 を 完 備 さ せるための 経 営 計 画

More information

Microsoft PowerPoint - 発達障がいのある中・高校生への学習支援

Microsoft PowerPoint - 発達障がいのある中・高校生への学習支援 もしあなたが 流 ちょうには 使 えない 言 語 の 国 で 学 校 に 行 くことになったら どんな 支 援 が 必 要 ですか? Ф 〇 @@- @- Ф 〇 〇 Ф@ - 何 となく 話 していることがわかる 周 りの 様 子 を 見 て 何 が 起 きているのかわかる なのに うまく 説 明 できない 理 解 しているのに 読 み 書 きや 計 算 が 苦 手 で 時 間 内 に 答 えることができない

More information

Microsoft Word - NPOて何?(pdf用).doc

Microsoft Word - NPOて何?(pdf用).doc NPOって 何? 平 成 25 年 10 月 浜 松 市 市 民 部 市 民 協 働 地 域 政 策 課 目 次 Q 1 NPOって 何? 2 Q 2 非 営 利 とはどういうことですか? 2 Q 3 NGOとの 違 いは? 3 Q 4 NPOとボランティアとの 違 いは? 3 Q 5 NPOで 働 いて 給 料 をもらえますか? 4 Q 6 町 内 会 や 自 治 会 との 違 いは? 4 Q 7

More information

よる ( 補 足 説 明 ) 1 甲 案 について (1) 部 会 資 料 4からの 変 更 点 甲 案 は, 遺 留 分 減 殺 請 求 権 の 効 果 について, 遺 留 分 権 利 者 の 意 思 表 示 によ って 当 然 に 物 権 的 な 効 力 が 生 ずるとされている 点 を 改 め

よる ( 補 足 説 明 ) 1 甲 案 について (1) 部 会 資 料 4からの 変 更 点 甲 案 は, 遺 留 分 減 殺 請 求 権 の 効 果 について, 遺 留 分 権 利 者 の 意 思 表 示 によ って 当 然 に 物 権 的 な 効 力 が 生 ずるとされている 点 を 改 め 民 法 ( 相 続 関 係 ) 部 会 資 料 8 遺 留 分 制 度 の 見 直 し 第 1 遺 留 分 減 殺 請 求 権 の 法 的 性 質 についての 見 直 し 甲 案 1 遺 留 分 を 侵 害 された 者 は, 受 遺 者 又 は 受 贈 者 に 対 し, 相 当 の 期 間 を 定 めて, 遺 留 分 侵 害 額 に 相 当 する 金 銭 の 支 払 を 求 めることができる( 注

More information

第3章 教員として 

第3章 教員として  第 3 章 教 員 として 1 服 務 (1) 出 勤 簿 ( 押 ) 出 勤 日 は あらかじめ 届 け 出 た 鑑 で 毎 朝 出 勤 時 に 出 勤 簿 に 押 します 鑑 を 忘 れたときは 忘 簿 に 記 入 し 後 日 押 します 届 け の 鑑 を 紛 失 したり 改 したりしたときは 直 ちに 副 校 長 に 届 け 出 ます 出 勤 簿 への 押 は その 日 の 自 分 の 勤

More information

Microsoft Word - 18 疑義照会回答(年金給付)これ(17)に組込予定(エクセル原稿のワード版) - 黒田作業中 -

Microsoft Word - 18  疑義照会回答(年金給付)これ(17)に組込予定(エクセル原稿のワード版) - 黒田作業中 - 疑 義 照 会 ( 年 金 給 付 ) 1. 老 齢 給 付 年 金 P1 1~30 2. 障 害 基 礎 年 金 P14 1~15 3. 障 害 給 付 年 金 ( 障 害 厚 生 ) P21 1~7 4. 遺 族 基 礎 年 金 P24 1~4 5. 遺 族 給 付 年 金 ( 遺 族 厚 生 遺 族 基 礎 ) P26 1~10 6. 老 齢 年 金 ( 旧 )( 厚 生 年 金 ) P31

More information

その 他 の 計 算 基 礎 26 計 算 基 礎 に 重 要 な 変 動 が 生 じているかどうかの 判 定 方 法 29 未 認 識 数 理 計 算 上 の 差 異 及 び 未 認 識 過 去 勤 務 費 用 の 会 計 処 理 33 数 理 計 算 上 の 差 異 34 数 理 計 算 上 の

その 他 の 計 算 基 礎 26 計 算 基 礎 に 重 要 な 変 動 が 生 じているかどうかの 判 定 方 法 29 未 認 識 数 理 計 算 上 の 差 異 及 び 未 認 識 過 去 勤 務 費 用 の 会 計 処 理 33 数 理 計 算 上 の 差 異 34 数 理 計 算 上 の 企 業 会 計 基 準 適 用 指 針 第 25 号 退 職 給 付 に 関 する 会 計 基 準 の 適 用 指 針 平 成 11 年 9 月 14 日 日 本 公 認 会 計 士 協 会 会 計 制 度 委 員 会 改 正 平 成 24 年 5 月 17 日 最 終 改 正 平 成 27 年 3 月 26 日 企 業 会 計 基 準 委 員 会 目 次 項 目 的 1 適 用 指 針 2 範 囲

More information

Microsoft Word - 120406法人手引改訂確定版(クリーン)

Microsoft Word - 120406法人手引改訂確定版(クリーン) 平 成 24 年 5 月 税 理 士 法 人 の 手 引 日 本 税 理 士 会 連 合 会 目 次 一 はじめに 3 頁 二 税 理 士 法 人 制 度 の 意 義 4 1. 税 理 士 法 人 の 性 格 2. 税 理 士 法 人 の 人 的 構 成 3. 税 理 士 法 人 の 業 務 内 容 4. 税 理 士 法 人 の 業 務 執 行 5. 社 員 の 常 駐 6. 社 員 の 競 業 禁

More information

第98回行政苦情救済推進会議_付議資料

第98回行政苦情救済推進会議_付議資料 (1) 年 金 受 給 権 者 死 亡 後 に 支 給 された 年 金 の 返 納 請 求 通 知 の 改 善 ( 新 規 案 件 ) 1 相 談 内 容 私 の 母 は 多 額 の 借 金 をしていたため 同 居 している 私 は 相 続 放 棄 をし ていた 母 が 死 亡 した 際 市 町 村 に 死 亡 届 を 提 出 したが 日 本 年 金 機 構 に 対 しては このようなこともあり 母

More information

WAIS-Ⅲの 結 果 1.IQ 群 指 数 IQ( 知 能 指 数 ) 群 指 数 言 語 性 動 作 性 全 検 査 言 語 理 解 知 覚 統 合 作 動 記 憶 処 理 速 度 VIQ PIQ FIQ VC PO WM PS IQ/ 標 準 得 点 78 82 78 80 91 85 66

WAIS-Ⅲの 結 果 1.IQ 群 指 数 IQ( 知 能 指 数 ) 群 指 数 言 語 性 動 作 性 全 検 査 言 語 理 解 知 覚 統 合 作 動 記 憶 処 理 速 度 VIQ PIQ FIQ VC PO WM PS IQ/ 標 準 得 点 78 82 78 80 91 85 66 ADHD を 疑 う 20 歳 代 前 半 性 の WAIS-Ⅲの 結 果 についての 相 談 相 談 内 容 20 歳 代 前 半 の 性 です ADHD を 疑 って 2 年 前 から 精 神 科 に 通 院 しています ADHD をハッキリさせたいので 数 ヶ 月 前 に WAIS-Ⅲを 受 けました 結 果 については 少 し 説 明 をしてもらったのですが いまひとつよく 理 解 できません

More information

Microsoft Word - 連結納税のメリット_2011_09.docx

Microsoft Word - 連結納税のメリット_2011_09.docx www.pwc.com/jp/tax 連 結 納 税 のメリット- 連 結 所 得 計 算 連 結 納 税 から 最 大 限 の ベネフィットを 享 受 するた めには 連 結 納 税 の 通 算 効 果 を 十 分 に 活 用 する 必 要 があります 連 結 納 税 の 導 入 を 検 討 す るにあたり そのエッセン スである 連 結 所 得 計 算 のメカニズムをよく 理 解 し ましょう

More information

子育て世帯に対する手当等と扶養控除縮減の影響

子育て世帯に対する手当等と扶養控除縮減の影響 子 育 て 世 帯 に 対 する 手 当 等 と 扶 養 控 除 縮 減 の 影 響 ~ 最 近 の 制 度 改 変 に 伴 う 所 得 別 の 影 響 試 算 ~ 調 査 情 報 担 当 室 鈴 木 克 洋 1.はじめに 子 育 て 世 帯 に 対 する 支 援 ( 子 育 て 支 援 )の 充 実 が 政 策 課 題 の 一 つとなってい る この 子 育 て 支 援 は 次 代 の 社 会 を

More information

7 8 9 10 従 業 員 は 家 族 だけなので 特 別 徴 収 しなくていいで 従 業 員 数 の 少 ない 事 業 所 で も 特 別 徴 収 しなければなりま せんか? 毎 月 納 めるのが 面 倒 なのですが 納 期 の 特 例 を 利 用 すれ ば 住 民 税 の 毎 月 の 給 与

7 8 9 10 従 業 員 は 家 族 だけなので 特 別 徴 収 しなくていいで 従 業 員 数 の 少 ない 事 業 所 で も 特 別 徴 収 しなければなりま せんか? 毎 月 納 めるのが 面 倒 なのですが 納 期 の 特 例 を 利 用 すれ ば 住 民 税 の 毎 月 の 給 与 個 人 住 民 税 の 特 別 徴 収 に 関 するQ&A 問 質 問 回 答 1 2 3 4 5 特 別 徴 収 とはどのよう な 制 度 で 特 別 徴 収 以 外 にどのよ うな 徴 収 方 法 があるのです か? アルバイト パートの 従 業 員 を 特 別 徴 収 しなければなら ない 理 由 は 何 で アルバイト パートの 従 業 員 は 特 別 徴 収 が 困 難 なのです が? (

More information

個人の税金 Q&A

個人の税金 Q&A 1 所 得 税 の 最 高 税 率 の 引 き 上 げ 2 給 与 所 得 控 除 に 設 けられた 上 限 3 NISA の 特 例 を 有 効 活 用 する 4 不 動 産 業 に 対 する 消 費 税 の 課 税 5 住 宅 ローン 控 除 の 改 正 6 直 系 尊 属 からの 贈 与 の 税 率 改 正 7 相 続 時 精 算 課 税 制 度 の 改 正 8 相 続 税 の 基 礎 控 除

More information

回 答 Q4-1 法 人 市 民 税 の 法 人 税 割 均 等 割 はどのように 計 算 しますか? 質 問 : 法 人 市 民 税 の 法 人 税 割 均 等 割 とは 何 ですか どのように 計 算 しますか 答 : 法 人 市 民 税 の 法 人 税 割 は 法 人 の 収 益 をもとに 課

回 答 Q4-1 法 人 市 民 税 の 法 人 税 割 均 等 割 はどのように 計 算 しますか? 質 問 : 法 人 市 民 税 の 法 人 税 割 均 等 割 とは 何 ですか どのように 計 算 しますか 答 : 法 人 市 民 税 の 法 人 税 割 は 法 人 の 収 益 をもとに 課 税 に 関 するQ&A 質 問 と 回 答 4. 法 人 市 民 税 編 質 問 一 覧 Q4-1 法 人 市 民 税 の 法 人 税 割 均 等 割 はどのように 計 算 しますか? Q4-2 なぜ 法 人 市 民 税 には 均 等 割 があるのでしょうか? Q4-3 事 業 年 度 途 中 に 事 業 所 を 市 外 に 移 転 しました 法 人 市 民 税 は? Q4-4 法 人 市 民 税

More information

租税調査会研究報告第7号

租税調査会研究報告第7号 租 税 調 査 会 研 究 報 告 第 7 号 自 己 株 式 等 の 資 本 取 引 に 係 る 税 制 について 平 成 14 年 7 月 29 日 改 正 平 成 16 年 5 月 17 日 改 正 平 成 19 年 4 月 18 日 最 終 改 正 平 成 24 年 5 月 15 日 日 本 公 認 会 計 士 協 会 目 次 1.はじめに... 1 2. 資 本 取 引 の 発 生 形 態...

More information

目 次 1 個 人 住 民 税 とは 1 2 特 別 徴 収 の 義 務 1 (1) 特 別 徴 収 義 務 者 の 指 定 1 (2) 対 象 になる 方 2 (3) 給 与 支 払 報 告 書 の 提 出 2 (4) 特 別 徴 収 税 額 決 定 通 知 書 の 送 付 4 (5) 納 期 と

目 次 1 個 人 住 民 税 とは 1 2 特 別 徴 収 の 義 務 1 (1) 特 別 徴 収 義 務 者 の 指 定 1 (2) 対 象 になる 方 2 (3) 給 与 支 払 報 告 書 の 提 出 2 (4) 特 別 徴 収 税 額 決 定 通 知 書 の 送 付 4 (5) 納 期 と 個 人 住 民 税 ( 市 町 村 民 税 県 民 税 ) 特 別 徴 収 の 事 務 手 引 き 神 奈 川 県 PRキャラクター かながわキンタロウ 神 奈 川 県 と 県 内 すべての 市 町 村 は 平 成 28 年 度 から 個 人 住 民 税 の 特 別 徴 収 を 推 進 する 取 組 みを 進 めています 神 奈 川 県 県 内 33 市 町 村 (H27.9) 目 次 1 個 人

More information

農業簿記演習資料

農業簿記演習資料 農 業 経 営 講 座 ( 複 式 簿 記 )テキスト 平 成 18 年 1 月 = はじめに============================= この 講 座 では 簿 記 ソフトで 記 帳 を 始 めることを 前 提 として 複 式 簿 記 ( 以 下 簿 記 )を 学 んでいきます 簿 記 に 関 する 予 備 知 識 を 持 っていただくため 簡 単 なクイズを 用 意 しました ので

More information

250501_手引き_H23年度以降入学生用.pptx

250501_手引き_H23年度以降入学生用.pptx 阪 府 私 等 学 校 等 授 業 料 援 補 助 事 務 の 引 き 私 等 学 校 等 [ 全 日 制 課 程 ] 私 専 修 学 校 高 等 課 程 平 成 23 年 度 以 降 入 学 生 用 平 成 25 年 7 月 阪 府 府 化 部 私 学 学 課 559-8555 大 阪 市 住 之 江 区 南 港 北 1-14-16 大 阪 府 咲 洲 庁 舎 38 階 TEL (06)6941-0351(

More information

た 方 が 良 いと 思 います そのモチベーションが 色 々なところに 活 きてくること もありますので ( 他 の 生 徒 を 指 して) 将 来 どんな 職 業 に 就 きたいですか 学 生 : 法 曹 三 者 になりたいです 室 谷 先 生 :それは 何 でですか? 学 生 : 何 となくで

た 方 が 良 いと 思 います そのモチベーションが 色 々なところに 活 きてくること もありますので ( 他 の 生 徒 を 指 して) 将 来 どんな 職 業 に 就 きたいですか 学 生 : 法 曹 三 者 になりたいです 室 谷 先 生 :それは 何 でですか? 学 生 : 何 となくで 2011 年 10 月 20 日 ロイヤリング 講 義 講 師 : 弁 護 士 室 谷 光 一 郎 先 生 文 責 須 藤 勇 人 ジェンダー セクシュアリティの 法 律 問 題 世 の 中 は 法 律 だけで 動 いている 訳 ではないので 色 々なものに 目 を 向 けなけれ ばいけないと 考 えています 法 律 馬 鹿 になってしまうと 経 済 や 社 会 の 状 況 が 読 めなくなってしまいます

More information

会社法施行規則及び会社計算規則による株式会社の各種書類のひな型(改訂版)

会社法施行規則及び会社計算規則による株式会社の各種書類のひな型(改訂版) 会 社 法 施 行 規 則 及 び 会 社 計 算 規 則 による 株 式 会 社 の 各 種 書 類 のひな 型 ( 改 訂 版 ) 2010 年 12 月 17 日 社 団 法 人 日 本 経 済 団 体 連 合 会 経 済 法 規 委 員 会 企 画 部 会 会 社 法 施 行 規 則 及 び 会 社 計 算 による 株 式 会 社 の 各 種 書 類 のひな 型 ( 改 訂 版 ) 目 次

More information

平 成 2 4 年 9 月 警 察 庁 交 通 局 運 転 免 許 課 第 5 回 一 定 の 病 気 等 に 係 る 運 転 免 許 制 度 の 在 り 方 に 関 する 有 識 者 検 討 会 議 事 概 要 1 日 時 平 成 24 年 9 月 19 日 ( 水 ) 午 後 2 時 から 午

平 成 2 4 年 9 月 警 察 庁 交 通 局 運 転 免 許 課 第 5 回 一 定 の 病 気 等 に 係 る 運 転 免 許 制 度 の 在 り 方 に 関 する 有 識 者 検 討 会 議 事 概 要 1 日 時 平 成 24 年 9 月 19 日 ( 水 ) 午 後 2 時 から 午 第 6 回 一 定 の 病 気 等 に 係 る 運 転 免 許 制 度 の 在 り 方 に 関 する 有 識 者 検 討 会 参 考 資 料 第 5 回 一 定 の 病 気 等 に 係 る 運 転 免 許 制 度 の 在 り 方 に 関 する 有 識 者 検 討 会 の 議 事 概 要 平 成 2 4 年 9 月 警 察 庁 交 通 局 運 転 免 許 課 第 5 回 一 定 の 病 気 等 に 係

More information

平成27年度企業年金税制改正に関する要望.PDF

平成27年度企業年金税制改正に関する要望.PDF 平 成 27 年 度 企 業 年 金 税 制 改 正 に 関 する 要 望 平 成 26 年 8 月 8 日 企 業 年 金 連 合 会 少 子 高 齢 化 の 進 展 を 背 景 に 公 的 年 金 がスリム 化 していく 中 で 高 齢 期 における 所 得 保 障 としての 企 業 年 金 には 公 的 年 金 を 補 完 する 重 要 な 役 割 が 求 められている 企 業 年 金 連 合

More information

<4D6963726F736F667420576F7264202D208AE88F918145907D96CA82CC8B4C8DDA82CC8EE888F882AB81698C8B8D8794C5816A88F38DFC977082508D658DCF82DD30382E332E31372E646F63>

<4D6963726F736F667420576F7264202D208AE88F918145907D96CA82CC8B4C8DDA82CC8EE888F882AB81698C8B8D8794C5816A88F38DFC977082508D658DCF82DD30382E332E31372E646F63> 2. 図 面 の 記 載 の 基 本 意 匠 法 の 保 護 対 象 となる 物 品 の 形 態 は 大 半 が 立 体 状 の 形 態 をしています しかし そ の 立 体 状 の 形 態 を 意 匠 登 録 出 願 する 際 には 平 面 上 に 記 載 した 図 面 等 によって 表 す 規 定 と なっています つまり 意 匠 権 の 客 体 は 現 実 の 立 体 物 ではなく その 図

More information

6 6. 構 造 を 持 つ 合 祖 過 程 6. 地 理 的 構 造 を 持 つ 集 団 における 遺 伝 子 系 図 生 物 集 団 は 全 集 団 が 一 つの 任 意 交 配 集 団 と 見 なされることは 稀 であり 地 理 的 な 隔 た りが 交 配 のチャンスについて 制 限 を 与 え その 生 物 種 の 遺 伝 的 多 様 性 や 進 化 に 大 きな 影 響 を 与 える 遺 伝

More information

目 次 1 事 案 の 概 要 238 ⑴ 争 点 239 ⑵ 当 事 者 の 主 張 239 イ 請 求 人 の 主 張 239 ロ 原 処 分 庁 の 主 張 240 2 裁 決 の 要 旨 240 3 評 釈 240 ⑴ 源 泉 徴 収 の 法 律 関 係 と 税 法 上 の 規 定 の 概

目 次 1 事 案 の 概 要 238 ⑴ 争 点 239 ⑵ 当 事 者 の 主 張 239 イ 請 求 人 の 主 張 239 ロ 原 処 分 庁 の 主 張 240 2 裁 決 の 要 旨 240 3 評 釈 240 ⑴ 源 泉 徴 収 の 法 律 関 係 と 税 法 上 の 規 定 の 概 裁 決 評 釈 源 泉 徴 収 制 度 と 確 定 申 告 制 度 - 取 り 消 された 配 当 に 係 る 所 得 税 の 源 泉 徴 収 と 申 告 等 の 手 続 との 関 係 裁 判 上 の 和 解 により 取 り 消 された 配 当 に 係 る 源 泉 所 得 税 について 申 告 等 の 手 続 により 還 付 を 求 めることはできないとした 事 例 ( 平 成 18 年 分 の 所

More information

3 方 法 今 回 の 実 験 では アンケートによってサンプルを 収 集 し それを 回 帰 分 析 することで 仮 説 との 整 合 性 を 検 証 するという 方 法 を 採 択 した 具 体 的 には 被 説 明 変 数 に 教 育 熱 を 測 る 質 問 を 説 明 変 数 には 自 尊

3 方 法 今 回 の 実 験 では アンケートによってサンプルを 収 集 し それを 回 帰 分 析 することで 仮 説 との 整 合 性 を 検 証 するという 方 法 を 採 択 した 具 体 的 には 被 説 明 変 数 に 教 育 熱 を 測 る 質 問 を 説 明 変 数 には 自 尊 日 韓 における 自 尊 心 競 争 心 見 栄 の 度 合 いによる 親 の 子 供 に 対 する 教 育 熱 の 度 合 い 著 者 朝 緑 明 子 井 本 拓 希 宋 熹 允 山 下 裕 一 朗 所 属 先 慶 應 義 塾 大 学 経 済 学 部 1 要 約 日 本 では 昨 今 熾 烈 な 大 学 受 験 戦 争 が 起 きている しかし その 戦 争 に 勝 利 して 有 名 大 学 に

More information

1. 目 的 19 2. 強 制 適 用 事 業 所 20 3. 被 保 険 者 となる 者 及 び 適 用 除 外 となる 者 20 4. 加 入 手 続 き 21 第 3 章 社 会 保 険 担 当 部 局 が 行 う 未 加 入 事 業 所 に 対 する 指 導 第 1 健 康 保 険 及 び

1. 目 的 19 2. 強 制 適 用 事 業 所 20 3. 被 保 険 者 となる 者 及 び 適 用 除 外 となる 者 20 4. 加 入 手 続 き 21 第 3 章 社 会 保 険 担 当 部 局 が 行 う 未 加 入 事 業 所 に 対 する 指 導 第 1 健 康 保 険 及 び 建 設 業 の 社 会 保 険 加 入 と 一 人 親 方 をめぐる Q &A 目 次 第 1 章 国 土 交 通 省 による 建 設 業 の 社 会 保 険 未 加 入 対 策 第 1 建 設 業 の 社 会 保 険 加 入 促 進 の 必 然 性 2 1. 社 会 保 険 制 度 の 目 的 2 2. 社 会 保 険 等 の 加 入 状 況 2 3. 国 土 交 通 省 が 社 会 保 険 未

More information

<88F38DFC81699640906C90C59640817593FC96E581499640906C90C582CC816A>

<88F38DFC81699640906C90C59640817593FC96E581499640906C90C582CC816A> Summer Festa 2012 初 めての 税 法 科 目 体 験 セミナー - 法 人 税 法 - 入 門! 法 人 税 の 基 本 的 計 算 構 造 TAC 税 理 士 講 座 8/27( 月 )より 本 格 開 講! 先 行 クラス 8/20( 月 )~ 各 コース 初 回 講 義 を 無 料 で 体 験 受 講 できます 開 講 日 に 各 校 受 付 へ 直 接 お 越 しください(

More information

目 次 2 このレポート( 冊 子 )は 中 学 校 選 択 に 関 する 調 査 から 東 京 調 査 の 結 果 を 中 心 に 報 告 をするものです 全 国 調 査 の 結 果 を 知 りたい 方 は 同 調 査 の 報 告 書 をご 覧 下 さい 調 査 概 要 学 校 選 択 制 保 護

目 次 2 このレポート( 冊 子 )は 中 学 校 選 択 に 関 する 調 査 から 東 京 調 査 の 結 果 を 中 心 に 報 告 をするものです 全 国 調 査 の 結 果 を 知 りたい 方 は 同 調 査 の 報 告 書 をご 覧 下 さい 調 査 概 要 学 校 選 択 制 保 護 中 学 校 選 択 に 関 する 調 査 88 年 07 年 東 京 調 査 の 結 果 目 次 2 このレポート( 冊 子 )は 中 学 校 選 択 に 関 する 調 査 から 東 京 調 査 の 結 果 を 中 心 に 報 告 をするものです 全 国 調 査 の 結 果 を 知 りたい 方 は 同 調 査 の 報 告 書 をご 覧 下 さい 調 査 概 要 学 校 選 択 制 保 護 者 選 択

More information

本 書 について この 度 は 英 語 総 合 技 能 訓 練 法 をご 購 入 いただき 誠 にありがとうございます 本 書 はインタラクティブPDFファイル 形 式 による 電 子 出 版 物 です インタラクティブ PDFというのは 印 刷 よりもコンピュータ 上 での 閲 覧 を 前 提 と

本 書 について この 度 は 英 語 総 合 技 能 訓 練 法 をご 購 入 いただき 誠 にありがとうございます 本 書 はインタラクティブPDFファイル 形 式 による 電 子 出 版 物 です インタラクティブ PDFというのは 印 刷 よりもコンピュータ 上 での 閲 覧 を 前 提 と Vol. 1 英 語 学 習 全 般 について 本 書 について この 度 は 英 語 総 合 技 能 訓 練 法 をご 購 入 いただき 誠 にありがとうございます 本 書 はインタラクティブPDFファイル 形 式 による 電 子 出 版 物 です インタラクティブ PDFというのは 印 刷 よりもコンピュータ 上 での 閲 覧 を 前 提 として 作 成 された 文 書 であ り 文 字 だけでなく

More information

26 福選改 第 6 号

26 福選改 第 6 号 写 26 福 選 改 第 6 号 平 成 27 年 3 月 27 日 福 島 市 選 挙 管 理 委 員 会 委 員 長 黒 澤 勝 利 様 福 島 市 選 挙 事 務 改 善 委 員 会 委 員 長 委 員 長 職 務 代 理 者 伊 藤 宏 之 小 島 勇 人 委 員 坂 井 道 夫 委 員 宍 戸 俊 夫 福 島 市 における 選 挙 事 務 の 改 善 について( 答 申 ) 平 成 27

More information

『住宅メーカー職場シミュレーション』ワークシート

『住宅メーカー職場シミュレーション』ワークシート 1 1 ワークシート テキスト 4 5ページ 経 済 活 動 の 意 義 生 産 ( 手 段 ) 交 換 無 人 島 に 漂 着! あなたならどうする? あなたは 旅 行 中 に 事 故 に 遭 遇 し 無 人 島 に 漂 着 してしまいました 助 けが 来 るのを 待 つのか 自 力 で 脱 出 するのか いずれにして も 無 人 島 で 生 き 抜 くためのチャレンジが 始 まります それでは

More information

1. 入 学 試 験 の 全 般 的 事 項 について a. 履 修 コース( 法 学 未 修 者 法 学 既 修 者 ) Q.1-1 私 は 日 本 の 大 学 の 法 学 部 を 13 年 前 に 卒 業 して 以 後 民 間 企 業 に 勤 務 しておりま す 学 部 では 法 律 を 専 攻

1. 入 学 試 験 の 全 般 的 事 項 について a. 履 修 コース( 法 学 未 修 者 法 学 既 修 者 ) Q.1-1 私 は 日 本 の 大 学 の 法 学 部 を 13 年 前 に 卒 業 して 以 後 民 間 企 業 に 勤 務 しておりま す 学 部 では 法 律 を 専 攻 神 戸 大 学 法 科 大 学 院 入 学 試 験 FAQ 2015 年 7 月 目 次 神 戸 大 学 法 科 大 学 院 入 学 試 験 FAQ... 1 1. 入 学 試 験 の 全 般 的 事 項 について... 2 a. 履 修 コース( 法 学 未 修 者 法 学 既 修 者 )... 2 b. 併 願 について... 2 c. 面 接 について... 3 d. 入 学 者 選 考 において

More information

Microsoft Word - 2 目次&背表紙.doc

Microsoft Word - 2 目次&背表紙.doc この 章 では もしも こういう 状 況 になったら 練 馬 区 にどのよう な 影 響 を 及 ぼすのでしょうか? ということを3つのテーマでご 紹 介 します 1 もしも 練 馬 区 が 普 通 地 方 公 共 団 体 だったら? 現 在 私 たち 練 馬 区 をはじめとする 23 区 は 特 別 地 方 公 共 団 体 と 呼 ばれ 市 に 準 ずる 基 礎 的 な 地 方 公 共 団 体 として

More information

英 語 国 語 世 界 史 の3 科 目 でGMARCHを 中 心 とした 入 試 問 題 分 析 会 を 行 います 入 試 で 狙 われるポイントをお 話 します!それを 踏 まえた 予 想 問 題 の 演 習 をすることにより 目 標 と 現 状 の 学 力 の 差 を 実 感 し 夏 期 以

英 語 国 語 世 界 史 の3 科 目 でGMARCHを 中 心 とした 入 試 問 題 分 析 会 を 行 います 入 試 で 狙 われるポイントをお 話 します!それを 踏 まえた 予 想 問 題 の 演 習 をすることにより 目 標 と 現 状 の 学 力 の 差 を 実 感 し 夏 期 以 SHOZEMI 大 学 進 学 館 港 南 台 校 からのお 知 らせ こんにちはSHOZEMI 大 学 進 学 館 港 南 台 校 です SHOZEMI 大 学 進 学 館 港 南 台 校 で7 月 に 実 施 するイベントに ついてお 知 らせします 勉 強 会 では 演 習 だけでなく 普 段 の 授 業 ではなかなかお 話 することのできない 内 容 を 各 先 生 が 用 意 し ています

More information

SMILE es 人事給与 操作マニュアル 第11章 業務の流れとポイント

SMILE es 人事給与 操作マニュアル 第11章 業務の流れとポイント 人 事 給 与 管 理 システム 操 作 マニュアル 第 11 章 業 務 の 流 れとポイント 第 11 章 業 務 の 流 れとポイント では 給 与 計 算 賞 与 計 算 入 社 退 職 などの 各 業 務 の 流 れと 当 システム での 操 作 のポイントを 説 明 しています 11 1 年 間 業 務 の 流 れ 11-1 年 間 業 務 の 流 れ 11-1 毎 月 の 業 務 11-2

More information

20120501 日本年金機構編 年金相談マニュアル-10 入門編(平成24年5月改訂-第9版) 【216頁】サンプル

20120501 日本年金機構編 年金相談マニュアル-10 入門編(平成24年5月改訂-第9版) 【216頁】サンプル 年 金 相 談 マニュアル Contents 年 金 相 談 マニュアル 入 門 編 目 次 ( 入 門 編 ) 第 1 章 年 金 相 談 の 心 得... 1 1 相 談 担 当 職 員 としての 心 構 え... 3 2 一 般 的 な 相 談 の 対 応... 7 3 お 客 様 の 声 への 対 応... 17 4 個 人 情 報 保 護... 22 5 相 談 対 象 者 の 確 認...

More information

~ 講 義 録 ~ 日 中 韓 には 歴 史 認 識 に 対 する 隔 たりがある 皆 さん こんにちは 本 日 は 戦 後 70 年 の 歴 史 認 識 について 話 してみたいと 思 います ご 承 知 のように 今 年 は 第 二 次 世 界 大 戦 日 本 が 敗 戦 終 戦 を 迎 えてか

~ 講 義 録 ~ 日 中 韓 には 歴 史 認 識 に 対 する 隔 たりがある 皆 さん こんにちは 本 日 は 戦 後 70 年 の 歴 史 認 識 について 話 してみたいと 思 います ご 承 知 のように 今 年 は 第 二 次 世 界 大 戦 日 本 が 敗 戦 終 戦 を 迎 えてか 戦 後 70 年 の 歴 史 認 識 (1) 中 国 と 韓 国 との 関 係 ~ 要 旨 ~ 今 年 は 戦 後 70 年 にあたる 安 部 首 相 が 発 表 しようとしている 談 話 に 対 し 中 国 や 韓 国 からさまざまな 意 見 や 注 文 が 出 ている 確 かにどこの 国 にも 歴 史 を 解 釈 する 権 利 はあるが 公 権 力 の 厳 しい 統 制 によって 自 由 な 発

More information

JavaプログラミングⅠ

JavaプログラミングⅠ Java プログラミング Ⅰ 2 回目 ようこそ Java へ 今日の講義で学ぶ内容 画面へのメッセージの表示 文字や文字列 数値を表現するリテラル 制御コードを表すエスケープシーケンス 画面出力の基本形 ソースファイル名 : クラス名.java class クラス名 System.out.println(" ここに出力したい文字列 1 行目 "); System.out.println(" ここに出力したい文字列

More information

Microsoft Word - Stattext05.doc

Microsoft Word - Stattext05.doc 5 章 基 本 統 計 量 3.5 節 で 量 的 データの 集 計 方 法 について 簡 単 に 触 れ 前 章 でデータの 分 布 について 学 びましたが データの 特 徴 をつの 数 値 で 示 すこともよく 行 なわれます これは 統 計 量 と 呼 ばれ 主 に 分 布 の 中 心 や 拡 がりなどを 表 わします この 章 ではよく 利 用 される 分 布 の 統 計 量 を 特 徴

More information

買ってはいけない!? 外国人が大量に買った株

買ってはいけない!? 外国人が大量に買った株 Report Ⅰ 買 ってはいけない!? 外 国 人 が 大 量 に 買 った 株 金 融 研 究 部 主 任 研 究 員 井 出 真 吾 side@nli-research.co.jp 1 はじめに 日 本 の 株 式 市 場 で 外 国 人 の 存 在 感 が 増 している そのせいもあるのか 2013 年 3 月 期 の 決 算 発 表 が 本 格 化 した 頃 から 外 国 人 が 大 量

More information