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1 v3.9 Ma ベクトル解析が必要な理由 2 ベクトル解析の基礎 - 内積と外積 回転と発散 - 1 st 2011/04/01 L st 2018/05/06 1. 電磁場 ( 電界と磁界 ) がベクトル量 ( 大きさだけでなく方向を有する物理量 ) であるため 2. 電磁界は自然法則 = マクスウェルの方程式で記述されるため 方程式を解くための計算において 重ね合わせや微分積分が出てくる これをベクトル量のまま扱うのがベクトルの和 ( 差 ) ベクトルの積 ( 商 ) ベクトルの微分 ( 積分 ) である () 内は逆操作という意味で同じことである 3. 従来のスカラーの和 ( 差 ) スカラーの微分 ( 積分 ) を単に四則演算とか微分積分と呼んでいただけ 4. ベクトルの積 ( 商 ) には 内積と外積があり ベクトルの微分 ( 積分 ) には 発散と回転がある ベクトルとは? 3 スカラー ベクトル テンソル 4 スカラー ベクトル 速さ温度質量エネルギー電荷 速度 力 テンソル誘電率透磁率 電界 ( 電場 ) 磁界 ( 磁場 ) スカラーとは, 大きさ ( あるいは, 強さ ) によって特徴づけられる物理量の数学的な表現 ベクトルとは, 大きさ ( あるいは, 強さ ) と向きによって特徴づけられる物理量の数学的な表現 テンソルとは, 大きさ ( あるいは, 強さ ) と複数の向きによって特徴づけられる物理量の数学的な表現 ダニエル フライシュ, 河辺哲次訳, `` 物理のためのベクトルとテンソル, p.1, 岩波書店, 2013 ( あるいは, 強さ ) によって特徴づけられる物理量の数学的表現 A A Aˆ ˆ A A ˆ A A A A, A, A A A 成分表記 A A ˆˆ ˆˆ A A ˆˆ A ˆˆ ˆˆ ˆˆ A A A ˆˆ A ˆˆ A ˆˆ A A A A A A A A A A 成分表記 本間, 五十嵐, 川口, 数値電磁力学 基礎と応用 -, p.49, 森北出版, 階のテンソル場 ( ランク0のテンソル ) ( 例 ) 速さ, 質量 1 階のテンソル場 ( ランク1のテンソル ) ( あるいは, 強さ ) とによって特徴づけられる物理量の数学的な表現 ( 例 ) 速度 2 階のテンソル場 ( ランク 2 のテンソル ) ( あるいは, 強さ ) とによって特徴づけられる物理量の数学的な表現 ( 例 ) 誘電率 透磁率 ダニエル フライシュ, 河辺哲次訳, `` 物理のためのベクトルとテンソル, p.1, 岩波書店, 2013

2 単位ベクトルの表記方法,, e, e, e e1, e2, e3,, e, e, e e, e, e ˆ, ˆ, ˆ 単位ベクトルとは, 大きさ 1 で方向だけを有するベクトル 電気系では 交流の電流や電圧と混同して間違う可能性があるため使用を避ける傾向がある ( リスクは避ける ) 電磁気学で最もよく使われるタイプ ハット, ハット, ハットと読む 5 A, A, Α ベクトルの表記方法 A Aˆ Aˆ A A, A A A A A 2 2 ベクトル A の記号 ベクトル表記 成分表記 ベクトル A の大きさ 6 ˆ 1 A ŷ ベクトルと大きさ ˆ ˆ 1 A A A ˆ A ˆ A A A 次元, 平面上の任意ベクトル A の様子 A はベクトル A の 成分 ( 方向の大きさ ) を表し,A はベクトル A の 成分 ( 方向の大きさ ) を表す さらに, ハットは 方向の単位ベクトルを表し ハットは 方向の単位ベクトルを表す 7 ベクトル A の 軸への投影 ベクトルの和と差 B A B B A A A B A B ベクトルAの 軸への投影 2 次元, 平面上の任意ベクトルAとベクトルBの和と差 A B( A ) ˆ ( ) ˆ B A B A B( A B ) ˆ( A B ) ˆ 8

3 ベクトルの投影 ( 射影 ) ベクトル B の A と直行する方向への投影 (A との非類似成分 ) Bsn B B cos ベクトル B のベクトル A への投影 ( 射影 ) とベクトル B のベクトル A の垂直方向への投影 A ベクトル B の A 方向への投影 (A との類似成分 ) 9 定義 Bsn B A 物理的な意味 B cos 内積と外積 AB A B cos ABcos AB A B sn ABsn BA B Asn ABsn 内積( スカラー積 ) を取るということは, ベクトルAとベクトルBの類似成分 ( 同相成分 ) がどれくらいかを示す指標 外積( ベクトル積 ) を取るということは, ベクトルAとベクトルBの非類似成分 ( 直交成分 ) がどれくらいかを示す指標 内積を取って 1= 外積を取ったら 0 内積を取って 0= 外積を取ったら 1 例えば, 交流電力の式 P Icos I I 交流電圧と電流の内積は, 電圧と電流の同相成分がどれくらいあるかを計算している 10 ẑ ˆ 外積の方向 = 右ねじの法則 ẑ ˆ ŷ ẑ ˆ ˆ ˆ 3 次元,, 空間の単位ベクトル一例として, ハットと ハットの外積は 右ねじの法則 から ハットとなる ˆ ˆ 11 座標系のルール ( デカルト座標 ) 循環ルール 二つの軸 ( 面 ) が決まれば, 最後の軸の (1) 右ねじの法則方向は右ねじの法則で自動的に決まる (2) アルファベット順 12

4 13 14 単位ベクトルの内積と外積単位ベクトルの内積と外積 ( 答え ) 3 次元デカルト座標における単位ベクトル 演習 次の計算をせよ ẑ ˆ ŷ 内積 ˆ ˆ ˆ ˆ cos9011cos900 ˆˆ ˆ ˆ cos9011cos900 ˆ ˆ ˆ ˆ cos9011cos900 ˆ ˆ 11cos90 0 ˆ ˆ 11cos90 0 ˆˆ 11cos90 0 ˆ ˆ 11cos90 0 ˆˆ 11cos0 1 ˆ ˆ 11sn90 ˆ ˆ ˆ ˆ 11sn90( ˆ ) ˆ ˆˆ 11sn90 ˆ ˆ ˆˆ 11sn90 ˆ ˆ ˆˆ 11sn0 0 外積 ˆˆ ˆ ˆ sn 90ˆ 11sn 90ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ sn 90ˆ 11sn 90ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ sn 90ˆ 11sn 90ˆ ˆ ˆˆ 11cos0 1 ˆ ( ˆ ) 1 1 cos90 0 ( ˆ) ˆ 11cos0 1 ˆˆ 11sn0 0 ˆ ( ˆ) 1 1 sn90 ˆ ˆ ( ˆ) ˆ 11sn0 0 0, 0, 0, 0,1,1, 0, 1 ˆ, ˆ, ˆ, ˆ,0,0, ˆ,0 内積と外積の演習 演習 次のベクトル計算をせよ 平面上に2つのベクトル, がある (1) =A(^), =B(^) とするとき, との内積, との内積, との外積, との外積を計算せよ ただし外積は方向も示すこと A Aˆ B Bˆ AB AˆBˆ ABˆ ˆ AB 00 B A BˆAˆ BAˆ ˆ BA00 AB AˆBˆ ABˆˆ AB( ˆ) B A Bˆ Aˆ BAˆ ˆ BAˆ 15 内積と外積の演習 ( 答え ) 演習 次のベクトル計算をせよ ベクトルA=2(^)+3(^) B=-(^)-3(^) のとき,A B A Bを計算せよ AB (2ˆ3 ˆ) ( ˆ3 ˆ) 2 ˆ( ˆ) 2 ˆ( 3 ˆ) 3 ˆ( ˆ) 3 ˆ( 3 ˆ) 2ˆˆ6ˆ ˆ3ˆ ˆ9ˆ ˆ AB (2ˆ3 ˆ) ( ˆ3 ˆ) 2 ˆ( ˆ) 2 ˆ( 3 ˆ) 3 ˆ( ˆ) 3 ˆ( 3 ˆ) 2ˆ ˆ 6ˆ ˆ 3ˆ ˆ 9ˆ ˆ 6ˆ 3( ˆ) 6ˆ 3ˆ 3ˆ 16 ヒント : ベクトル演算でも四則演算 ( 加減乗除 ) の分配則は成立する 交換則は内積のみ成立し, 外積はアルファベットの循環則に反するので G -11, -3(^)

5 内積と外積の確認テスト 1. ベクトルA=(3,2) の 成分, 成分および, 大きさを求めよ 2. 電磁気学で単位ベクトルにeやを使うことを推奨しない理由は? 3. 単位ベクトル同士の内積と外積計算について次の計算をせよ ^ ^, ^ ^, ^ ^, ^ ^, ^ ^, ^ ^ 4. A=3^+2^, B=-^-2^のとき,A B, A Bを計算せよ (1) 3, 2, 13 (2) 電圧や電流と混同するリスクを避ける ( 虚数 でなはい 虚数 jは電気ではと混同するからjにしている 交流電圧 e, 交流電流 と混同を避けるが正しい 電子 eも間違いではないのでok) (3) 1, 0, 0, ^, ^, 0 (4) -7, -4^ A 3ˆ 2 ˆ, B ˆ2ˆ (3ˆ 2 ˆ ) ( ˆ 2 ˆ ) 3ˆ ˆ 6ˆ ˆ 2ˆ ˆ 4ˆ ˆ 347 (3ˆ 2 ˆ ) ( ˆ2 ˆ) 3ˆˆ6 ˆ ˆ2 ˆˆ4 ˆˆ 6ˆ 2( ˆ ) 6ˆ 2ˆ 4ˆ (1) 3, 2, 13 (2) 略 (3) 1, 0, 0, ^, ^, 0 (4) -7, -4^ 17 場 (Feld) 3 次元 2 次元 特定のルール = 秩序 法則 ) が適用される時空間 畑 陸 海 場と界 (Feld) とは? 山 交通学校社会空 サッカー場 サッカールール サッカーボール 11 人制 前後半制 ハンド オフサイド PK K ゴールポスト 野球場 野球ルール 野球ボール 9 人制 9 回表裏制 デッドボール フォアボール スリーアウト 観戦マナー 観戦マナー問 : ルールを知らなかったり, 破ったりしたらどうなりますか? TPO (Tme, Place, Occason) : 時と場所と場合 ( 条件 ) を弁える, 郷に入れば郷に従え, とは? 18 芸能界 電場 磁場 電磁場はベクトル場 19 ベクトル場の表示例 20 電場 ( または電界 ) 磁場 ( または磁界 ) 電磁場 ( または電磁界 ) E B 0 D 0 I H I D E B D Q B D B Q 静電場のルール 静電荷 時間変化なし 保存場の性質 ガウスの法則 観測マナー 静磁場のルール 磁石 ( ループ電流 ) 時間変化なし アンペアの法則 磁場ガウスの法則 観測マナー 電磁場のルール 変動電荷 交流電流 時間変化あり マクスウェル方程式 観測マナー 電荷が作る電場 電流が作る磁場 湧き出し ( 発散 ) 渦 ( 回転 )

6 d d, ˆ ベクトル微分演算子 ˆ ˆ t t: tangental ˆ ˆ ˆ 常微分演算子 ( 独立変数が 1 つのみの場合 ) 偏微分演算子 ( 独立変数が 2 つ以上の場合 ) ベクトル偏微分演算子 (1 次元 ) ベクトル偏微分演算子 (3 次元 ) ただし, ˆ, ˆ, ˆ : 方向, 方向, 方向の単位ベクトル ベクトル偏微分演算子 (2 次元断面 ) 奥行き 方向に対して d 21 は積分演算子 ベクトルの微分 (2 次元の例 ) 勾配 ( 実際はスカラーの偏微分に単位ベクトルを付加しただけ ) A A ˆ ˆ ˆ ˆ t A A ベクトルの微分 ( 発散 ) ˆ ˆ ˆ ˆ A A t A A A ベクトルの微分 ( 回転 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A ˆ A ˆ A A ta A A ラプラシアン ( ベクトル演算子どうしの内積 ) 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ t t 循環という物理量 線路 が閉じていることを示す記号 線路 が閉じていない ( 開いている ) ことを示す記号 線路 ベクトルの線積分 A 循環という物理量 A dl 線素 dl に平行で の方向を示す 微小線素内積記号線路 上にあるベクトル量 dl 線素 dl に平行で の方向を示す 微小線素内積記号線路 上にあるベクトル量 線路 計算結果は ベクトルFの単位 [ ] と長さ [m] との積になる 微小線素 dl リングを構成する線分 1つあたりの長さ 方向右回り or 左回りどちらでもよい 微小線素 dl ミミズを構成する消化管 1つあたりの長さ 消化した土が排泄される方向ミミズの進行方向 ( 逆向き ) でもよい サーカスリング 全線路長 = dl ミミズ 方向 全線路長 = dl 23 流束という物理量 面 が閉じていることを示す記号 面 が閉じていない ( 開いている ) ことを示す記号 表面積 ベクトルの面積分 A 流束という物理量 表面積 A 微小面積 ds に垂直で外向きを示す ds 微小面積内積記号 面 上のベクトル量 微小面積 ds に垂直で外向きを示す ds 微小面積内積記号面 上のベクトル量 計算結果は ベクトル F の単位 [ ] と面積 [m 2 ] との積になる 微小面積 ds ミラーボールを構成する鏡 1 枚の面積 図では赤道上は大きく見えるが 実際は無限小の大きさ 微小面積 ds パズルを構成するピース1 枚の面積 内側は表面ではなく裏面として考えるので 表面積 に含まない ミラーボール 全表面積 = ds 風船と熱気球の違いでもよい 全表面積 = ds 24

7 の物理的意味 F dl : ベクトル F の循環 物理量 25 の物理的意味 ds F : ベクトル F の流束 物理量 26 rot F または F = 単位面積当たりの循環の極限値 F dl rot F F lm 0 dv F または F = 単位体積当たりの流束の極限値 F ds dv F F lm 0 バークレー物理学コース電磁気飯田 ( 訳 ),pp.89-93, 丸善出版, 2013 バークレー物理学コース電磁気飯田 ( 訳 ),pp.73-76, 丸善出版, 2013 ストークスの定理 空間 2 次元を 1 次元に下げる定理 ( 面積分 線積分 ) ベクトルAの回転, ローテーション, 単位面積あたりの循環ベクトルAの循環 A ds Adl :tokes's theorem 右辺の線路 の内側にある開いた面 (2 次元 ) 線路 に沿って閉じたループ (1 次元 ) 次元を上げる ( 積分する ) のは一般に難解だが 次をげる微分する般簡単 微小線素 dl リングを構成する線分 1つあたりの長さ 線路 の内側の面積 = ds サーカスリング 27 方向右回り or 左回りどちらでもよい 全線路長 = dl ストークスの定理の証明 F dl 中央で積分路を分割すると Fdl Fdl 1 2 さらに分割すると Fdl Fdl Fdl Fdl 細分化を繰り返す Fdl ベクトル F の循環 分割した部分は互いに打ち消しあう 1 1 バークレー物理学コース電磁気飯田 ( 訳 ),pp.89-93, 丸善出版,

8 ストークスの定理の証明 2 Fdl lm lm 0 0 ˆn ˆ (curl ) (rot ) ˆ F n F n( F) n ˆ 方向は面に垂直で右ねじを正とする Fdl 上式の極限をとると, 1 1 lm lm Fdl lm lm ( F) ds したがって, 最終的に次式が得られる Fdl ( F) ds 単位面積当たりの循環の極限値を記号を使って と定義する もともとの閉路 に関する循環の式に戻ると 最初の定義 バークレー物理学コース電磁気飯田 ( 訳 ),pp.89-93, 丸善出版, ガウスの発散定理 ( ガウスの定理 ) 30 空間 3 次元を 2 次元に下げる定理 ( 体積分 面積分 ) ベクトルAの発散, ダイバージェンス, 単位体積あたりの流束ベクトルAの流束 Adv Ads 右辺の面 の内側にある体積 (3 次元 ) 閉面 の面積 (2 次元 ) 次元を上げる ( 積分する ) のは一般に難解次元を下げる ( 微分する ) のは一般に簡単 :Gauss'stheorem 微小面積 ds ミラーボールを構成する鏡 1 枚の面積 図では赤道上は大きく見えるが 実際は無限小の大きさミラーボール 面 の内側の体積 = dv 全表面積 = ds ガウスの定理の証明 便宜上,2 次元平面的に書いているが本当は体積 と表面積 の風船 Fds ベクトル F の流束 中央で積分面を分割すると Fds Fds 1 2 さらに分割すると Fds Fds Fds Fds 細分化を繰り返す Fds 分割した部分は互いに打ち消しあう 1 1 バークレー物理学コース電磁気飯田 ( 訳 ),pp.73-76, 丸善出版, は体積 を包む表面積 ガウスの定理の証明 2 Fds lm lm dv F F 0 0 Fds 上式の極限をとると, 1 1 Fdl Fdv lm lm lm lm したがって, 最終的に次式が得られる Fds Fdv 単位体積当たりの流束の極限値を記号を使って と定義する もともとの閉面 に関する流束の式に戻ると 最初の定義 バークレー物理学コース電磁気飯田 ( 訳 ),pp.73-76, 丸善出版,

9 ベクトルの発散 を英語で B B B B,, ( B, B, B) The dvergence of the vector B s defned to be the nner product of the vector nabla and the vector B, equals the nner product of the vector wth the components the partal wth respect to, the partal wth respect to, the partal wth respect to and the vector wth components B sub, B sub, B sub, equals the partal of B sub wth respect to plus the partal of B sub wth respect to plus the partal of B sub wth respect to. 33 ベクトルの回転 を英語で B B B B B B B,, ( B, B, B),, The rotaton of the vector B s defned to be the vector product of the vector nabla and the vector B, equals the vector product of the vector wth the components the partal wth respect to, the partal wth respect to, the partal wth respect to and the vector wth components B sub, B sub, B sub, equals the vector wth components the partal of B sub wth respect to mnus the partal of B sub wth respect to, the partal of B sub wth respect to mnus the partal of B sub wth respect to, the partal of B sub wth respect to mnus the partal of B sub wth respect to. 34 保江 数学版これを英語で言えますか? p.256, BLUE BAK 保江 数学版これを英語で言えますか? p.256, BLUE BAK