Microsoft PowerPoint - 第9回電磁気学

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1 017 年 1 月 04 日 ( 月 ) 13:00-14:30 C13 平成 9 年度工 V 系 ( 社会環境工学科 ) 第 9 回電磁気学 Ⅰ 天野浩 mno@nuee.ngoy-u.c.jp 9 1 月 04 日 第 5 章 電流の間に働く力 磁場 微分形で表したア ンペールの法則 ビオ サバールの法則 第 5 章電流の作る場 1/3

2 地磁気に関する最近の話題 /3

3 地磁気に関する最近の話題 新生代後期 ( 鮮新世以降 ) の地磁気極性 黒い箇所は現在と同じ極性 白い部分は現在と逆の極性 Age の M は百万年 (Wikipei) 3/3

4 地磁気に関する最近の話題 地質年代表に 千葉 有力 地球の磁場が最後に逆転した証拠 確認 4/3

5 アンペアの右ねじの法則 電流 右ねじの進行方向に電流が流れると その周りにねじの回転方向に磁界が生じる 磁界 磁界 磁界 電流 電流 5/3

6 電流の周りの磁界 エルステッド (ns Chistin Oeeste) 6/3

7 電流の周りの磁界 アンペア (Ane Mie Ampee) アンペアの法則 力 電流 1m 1[m: メートル ] 間隔の平行な 本の電線に どちらにも同じ大きさの電流が同じ方向に流れているとき 引き付け合う力が電線 1[m] あたり 10-7 [N: ニュートン ] のときの電流が 1[A: アンペア ] 1[A] の電流が 1[s: 秒 ] に運ぶ電気量を 1[C: クーロン ] と呼ぶ S 単位系での [A] の定義 7/3

8 ローレンツ力でアンペアの実験を考える 1 電荷 q[c] 速度 v[m/s] アンペアの法則より 電流 1 によって [m] 離れた点に作る磁界は 1 [ A/ m] 空気中ならば 透磁率はほぼ 0 1[C] の電荷が速度 1[m/s] で運動している時の電流が1[A] 電荷 q[c] 速度 v[m/s] ならば =q v 加わる力は f qv B 0 1[ N] 8/3

9 電流の周りの磁界 ビオとサバール (Biot, Jen Bptiste+Fėlix Svt) ビオ サバールの法則 Biot, Jen-Bptiste Félix Svt s /3 3

10 磁束密度 B の定義 速度 v で運動する電荷 q に対して F=qv B の力 ( ローレンツ力 ) を与える磁気的な場を表す 単位 =[T]( テスラ )=[Wb/m ] [Wb] ウェーバー : 磁束の単位 単磁荷は存在しない B 0 ガウスの定理 V ( B) V B S S 0 10/3

11 Q:Wb T A ( ヘンリー ) それぞれの関係を求めなさい 磁束密度の単位テスラ T と磁束の単位 Wb は B= 従って Wb [ T ] [ ] m また の単位は ヘンリーをつかうと [ ] [ Wb ] A A T m m m m [ Wb] [ A] m 11/3

12 電流が作る磁界の正確な公式化 ビオ サバールの法則 s B [ T ] sin B 0 4 s[ T ] s [ A/ m] 4 3 B の向きは s および に垂直方向 1/3

13 Q: 無限の直線状導体を流れる電流 [A] が 導体から [m] だけ離れた点 P に作る磁界 を求めなさい P ] / [ sin 4 sin 4 sin 4 sin 4 sin m A s s l s sin sin sin s s 積分で常に最初に気をつけるのは微小量 ] / [ 4 3 m A s ビオサバールの法則注意! 13/3

14 S アンペアの周回積分の法則 電流密度 j との関係 電流 が流れている無限の直線状導体が 距離 [m] の点に作る磁界 [A/m] は [ A/ m] 逆に考えると 半径 上の磁界の強さはすべて同じなので j S 電流が複数の場合 磁界を周回積分すると その中を流れる電流に等しい [A] 14/3

15 鎖交電流が積分路を何回通過するか 何回鎖交するか? 3 15/3

16 Q: 無限の直線状導体を流れる電流 [A] が 導体から [m] だけ離れた点 P に作る磁界 を求めなさい P l s ] / [ 0 m A 16/3

17 Q: 下の図のように半径 [m] の円電流 が 距離 [m] 離れた中心軸上に作る磁界 を求めなさい s [ A/ m] 4 3 s 17/3

18 s の先端の軌跡 s こちらは無くなる こちらは無くならない 二つの方向の成分に分けて考えると 面に垂直方向の成分は無くならないが 面に平行方向の成分は 1 周積分すると無くなる 18/3

19 ] / [ ) ( 4 4 sin m A s この場合 中心軸方向以外の成分は 積分するとゼロになるので 赤い線と中心軸上の線とのなす角度を とすると s こちらは無くならない 19/3

20 0/3

21 A B C 三つの導線の断面図 Q: 左図のように 3 本の無限平行導線 A,B,C が AC=BC=[m] C=90 となるように配置されている 電流 [A] が 図のように同方向に流れるとすると 各導線に単位長さ当たりに働く力を求めなさい f 0 1 [ N] 1/3

22 A B ] / [ m N f f B A 導線 A と B に加わる力は同じ導線 C は ] / [ 0 0 m N f C C ] [ 1 0 N f /3

23 Q: 巻き数が単位長さ当たりn 回のコイルに 電流 [A] が流れている時の磁界 を求めなさい コイルの導線アンペールの法則 筒 断面図 3/3

24 Q: 巻き数が単位長さ当たり n 回の無限コイルに 電流 [A] が流れている時の磁界 を求めなさい 1 この図では 上下方向の磁界は零 out 1. コイル内部の積分路の場合 積分路に鎖交する電流はないので 0 コイル内部の磁界は一定. コイル外部の積分路の場合 無限コイルの場合 外部に磁界は漏れない out =0 1 = 4/3

25 Q: 巻き数が単位長さ当たり n 回の無限コイルに 電流 [A] が流れている時の磁界 を求めなさい 1 上記のように 導線にまたがる積分路の場合 n コイル内部の磁界は n[a/m] 1 n[ A/ m] 5/3

26 Q: 図のような合計巻数が N の環状ソレノイドのソレノイド内部の磁界を求めなさい 問題 1-3 において 単位長さ当たり n 回の場合 =n だったので N [ A/ m] 6/3

27 磁束は [Wb] 磁束密度は B[T=Wb/m ] 磁界は =B/[A/m] Q: 図のように同一平面上に無限直線導線と長方形のコイルがある 長方形のコイルに鎖交する全磁束 [Wb] を求めなさい [A] [m] [m] b[m] 無限直線導体電流による長方形コイル内磁界は 1 [ A/ m] 微分磁束は 鎖交する全磁束は b1 0 b1 b1 0 0 ln( )[ Wb] 7/3

28 S アンペアの周回積分の法則 電流密度 j との関係 電流 が流れている無限の直線状導体が 距離 [m] の点に作る磁界 [A/m] は [ A/ m] 逆に考えると 半径 上の磁界の強さはすべて同じなので j 電流が複数の場合 磁界を周回積分すると その中を流れる電流に等しい S [A] 8/3

29 アンペアの周回積分の法則の微分形 C S A S A ストークスの定理 S C S S J S J ゆえに定常電流密度 J による静磁界の基本方程式 B B J 0 S j 9/3

30 S ストークスの定理 A S A ある空間にベクトル場とその回転場がある場合, 任意の局面 Sを貫く A の流束 A S を加え合わせたものは,Sの外周 l 上でベクトル場 A について, A を加え合わせたものに等しい A A 30/30

31 ストークスの定理の説明 ),, ( ),, ( ),, ( y x x z z y z y x z y x z y x ota A ベクトルの回転 S O n A S A n A S ) ( lim ) ( 0 l A S n A ) ( ) ( 31/3

32 ストークスの定理の説明 A ( ) ns A( ) 左図の様に任意の大きさの面積を持つ曲面 Sに対して n 個の微小面積に分けると それぞれに上式が成り立つので n n A( ) n S A( ) lim n i1 n i1 i i i A( ) n i i S i i1 i lim n n i1 i A( ) O S i 境界線部分では A() は同じで が逆向きになるため打ち消しあい 元の曲面 S の外周 l の寄与のみ残る S AS A n l i S 3/3