平均値 () 次のデータは, ある高校生 7 人が ヵ月にカレーライスを食べた回数 x を調べたものである 0,8,4,6,9,5,7 ( 回 ) このデータの平均値 x を求めよ () 右の表から, テレビをみた時間 x の平均値を求めよ 階級 ( 分 ) 階級値度数 x( 分 ) f( 人 )
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- ほだか かつま
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1 データの分析 データの整理右の度数分布表は,A 高校の 0 人について, 日にみたテレビの時間を記入したものである 次の問いに答えよ () テレビをみた時間が 85 分未満の生徒は何人いるか () テレビをみた時間が 95 分以上の生徒は全体の何 % であるか (3) 右の度数分布表をもとにして, ヒストグラムをかけ 階級 ( 分 ) 階級値度数相対 ( 分 ) ( 人 ) 度数 55 以上 ~65 未満 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 合計 0.00 要点ある集団を構成する人や物の特性を表す数量を変量といい, 変量の個々の値や, その集まりのことをデータという データを整理するとき, 設定した各区間を階級といい, 各階級の中央の値をその階級の階級値という また, 各階級に入る値の個数をその階級の度数といい, 各階級に度数を対応させた表を度数分布表という データ全体に対する各階級の度数の割合を, その階級の相対度数という 縦軸に度数, 横軸に階級をとったグラフをヒストグラムという () ++3=7( 人 ) () =0.45 (3) したがって 45% 度数 ( 人 ) テレビをみた時間 ( 分 )
2 平均値 () 次のデータは, ある高校生 7 人が ヵ月にカレーライスを食べた回数 x を調べたものである 0,8,4,6,9,5,7 ( 回 ) このデータの平均値 x を求めよ () 右の表から, テレビをみた時間 x の平均値を求めよ 階級 ( 分 ) 階級値度数 x( 分 ) f( 人 ) 55 以上 ~65 未満 ~ ~ ~ ~ ~5 0 5 ~5 0 合計 0 要点平均値変量 x の 個の値 x,x,,x からなるデータについて, 値の合計を個数 で割った値を平均値といい, 記号 x で表す 変量の値の合計 平均値 =, x = (x+x + +x ) 変量の値の個数 度数分布表からの平均値 右の度数分布表では,x が f 個,x が f 個,,x r が f r 個あるとみて平均値を計算する ( 階級値 度数 ) の合計平均値 = 変量の値の個数 階級値 x 度数 f x f x f x = (xf +x f + +x r f r) ただし =f +f + +f r x r 合計 f r () x = 7 ( )= 7 49 =7( 回 ) () x = ( ) 0 = 800=90( 分 ) 0
3 3 中央値, 最頻値次のデータは, ある高校生 8 人が ヵ月に読んだ本の冊数である ただし, 教科書, 参考書, 雑誌, 漫画は除く 3,,0,,3,,, ( 冊 ) () このデータの中央値を求めよ () このデータの最頻値を求めよ 要点中央値データの値を大きさの順に並べたとき, 中央の順位にくる値を中央値またはメジアンという データの値の個数が偶数のときは, 中央に並ぶ つの値の平均値を中央値とする 最頻値データに最も多く現れる値を最頻値またはモードという () 小さい方から順に並べると 0,,,,,,3,3 これより, 中央値は () 最頻値は ( 冊 ) + =.5( 冊 ) 4 範囲, 四分位数, 四分位範囲, 四分位偏差次のデータは,A 社の従業員 人の年収を調べたものである 490,470,540,50,500,480,490,550,460,470,530 ( 万円 ) 次の問いに答えよ () このデータの範囲を求めよ () このデータの四分位数 Q,Q,Q 3 を求めよ (3) このデータの四分位範囲と四分位偏差を求めよ 3
4 要点範囲データの最大値から最小値を引いた値を範囲という 範囲 = 最大値 - 最小値四分位数データの値を小さい方から順に並べ, 中央値によって前半部分と後半部分の つに分ける データの値の個数が奇数のときは, 中央値を つ除いてから, 前半部分と後半部分を考える 最小値を含む前半部分の中央値を第 四分位数, データ全体の中央値を第 四分位数, 最大値を含む後半部分の中央値を第 3 四分位数といい, それぞれ Q,Q,Q 3 で表す これらをまとめて四分位数という データの個数が奇数のとき前半部分後半部分 データの個数が偶数のとき前半部分後半部分 Q Q Q 3 Q Q Q 3 四分位範囲, 四分位偏差 第 3 四分位数 Q 3 から第 四分位数 Q を引いた値を四分位範囲という また, 四分位範囲を で割った値を四分位偏差という Q 3-Q 四分位範囲 = Q 3-Q, 四分位偏差 = () 最大値は 550 万円, 最小値は 460 万円であるから, 範囲は =90( 万円 ) () 小さい方から順に並べると 460,470,470,480,490,490,500,50,530,540,550 中央値から Q =490( 万円 ) 前半部分の中央値から Q =470( 万円 ) 後半部分の中央値から Q 3=530( 万円 ) (3) Q =470,Q 3=530 であるから 四分位範囲は =60( 万円 ) 60 四分位偏差は =30( 万円 ) Q Q Q 3 4
5 5 箱ひげ図次のデータは,A 社の従業員 人,B 社の従業員 9 人の年収を調べたものである それぞれの箱ひげ図をかき, 散らばりの度合いを比較せよ A 社 : 490,470,540,50,500,480,490,550,460,470,530 ( 万円 ) B 社 : 390,350,370,360,680,900,400,350,700 ( 万円 ) 要 点 箱ひげ図 最小値, 第 四分位数, 中央値 ( 第 四分位数 ), 第 3 四分位数, 最大値を, 中央値で仕切られた 長方形の箱と, その両端から伸びるひげのような線で表した図を箱ひげ図という 最小値 第 四分位数 中央値 第 3 四分位数 最大値 箱ひげ図から, 範囲や四分位範囲を読み取ること 四分位範囲 もできる 注意 範囲や四分位範囲が小さいほど, データの値 範囲 は中央値の近くに集中し, 散らばりの度合い は小さいと考えられる A 社の最小値,Q,Q,Q 3, 最大値は,4 から 460,470,490,530,550 ( 万円 ) B 社の最小値,Q,Q,Q 3, 最大値を求める 小さい方から順に並べると 350,350,360,370,390,400,680,700,900 これから, 最小値, 最大値は 350,900 ( 万円 ) また Q =390 ( 万円 ) Q = =355 ( 万円 ) Q 3= =690 ( 万円 ) 以上から,A 社と B 社の箱ひげ図は次のようになる A 社 B 社 ( 万円 ) 箱ひげ図から読み取れる範囲や四分位範囲から,B 社よりも A 社の方が散らばりの度合いが小さい 5
6 6 分散次のデータは, ある高校生 7 人が ヵ月にカレーライスを食べた回数 x を調べたものである 0,8,4,6,9,5,7 ( 回 ) このデータの分散 s を求めよ 要点分散変量 x の 個の値 x,x,,x の平均値を x とするとき,x - x,x - x,,x - x をそれぞれの値の偏差という 偏差の 乗の平均値を, 変量 x の分散といい,s で表す 分散 = ( 偏差 ) の平均値, s = {(x- x ) +(x - x ) + +(x - x ) } 注意 x の平均値を x で表すとき, 分散 s は次のようにも表される 分散 = (x の平均値 ) - (x の平均値 ), s = x - x このことは, x =m とおいて, 次のように確かめることができる s = {(x-m) +(x -m) + +(x -m) } = {(x -x m+m )+(x -x m+m )+ +(x -x m+m )} = (x +x + +x -x m-x m- -x m+m +m + +m ) = {(x +x + +x )-m(x +x + +x )+ m } = (x +x + +x )-m (x+x + +x )+m = (x +x + +x )-m m+m = (x +x + +x )-m 49 平均値は x = ( )= =7( 回 ) 7 7 偏差は 3,,-3,-,,-,0 ( 回 ) 8 よって, 分散は s = {3 + +(-3) +(-) + +(-) +0 }= =4 7 7 別解平均値は x =7( 回 ) 37 x = ( )= = したがって s =53-7 =4 6
7 7 標準偏差次のデータは, ある高校生 7 人が ヵ月に読んだ本の冊数 x である ただし, 教科書, 参考書, 雑誌, 漫画は除く 4,,,,4,,0 ( 冊 ) このデータの標準偏差 s を求めよ ただし, =.4 とする 要点標準偏差分散の正の平方根を標準偏差といい, s で表す 標準偏差 = 分散, s= {( x x) ( x x) ( x x) } 注意 x の平均値を x で表すとき, 標準偏差 s は次のようにも表される 標準偏差 = ( の平均値 )- ( xの平均値 ) x, s= x - x 4 平均値は x = ( )= =( 冊 ) 7 7 偏差は,0,-,-,,0,- ( 冊 ) よって, 標準偏差は s= 4 { ( ) +- ( ) ( ) } = = =.4( 冊 ) 7 7 別解平均値は x =( 冊 ) 4 x = ( )= =6 7 7 したがって s= 6- = =.4( 冊 ) 8 散布図右のデータは, ある高校生 7 人が高校生 A B C D E F G ヵ月にカレーライスを食べた回数 x カレーライス ( 回 ) と, ヵ月に読んだ本の冊数 y を調べ本 ( 冊 ) たものである ただし,y は教科書, 参考書, 雑誌, 漫画を除く カレーライスを食べた回数 x を横軸, 読んだ本の冊数 y を縦軸として散布図をかけ また,x と y の間には, どのような相関関係があるといえるか 7
8 要点散布図 つの変量の値の組を座標平面上の点で表したものを散布図という 散布図と相関関係 つの変量 x,y について, 一方の値が大きくなると他方の値も大きくなる傾向があるとき,x と y の間には正の相関関係があるという 一方の値が大きくなると他方の値は小さくなる傾向があるとき,x と y の間には負の相関関係があるという 正, 負いずれの相関関係も見られないとき, x と y の間には相関関係がないという 散布図は右のようになる 右の散布図から,x と y の間には 正の相関関係があるといえる 9 相関係数右のデータは, ある高校生 7 人が ヵ月にカレーライスを食べた回数 x と, ヵ月に読んだ本の冊数 y を調べたものである ただし,y は教科書, 参考書, 雑誌, 漫画を除く x と y の相関係数 r を求めよ ただし, あるといえるか 高校生 A B C D E F G カレーライス ( 回 ) 本 ( 冊 ) =.4 とする また,x と y の間には, どのような相関関係が 8
9 要 点 共分散 偏差の積 (x- x )(y- y ) の平均値を,x と y の共分散といい, s xy で表す 共分散 = 偏差の積の平均値 相関係数 s xy= {(x- x )(y - y )+(x - x )(y - y )+ +(x - x )(y - y )} x の標準偏差 s x と y の標準偏差 s y の積 s xs y で, 共分散 s xy を割った値を相関係数といい, r で表す xとyの共分散相関係数 = ( xの標準偏差 ) ( yの標準偏差 ) s xy, r= s s x y 分母と分子に を掛けると, 次の式が得られる 相関係数 = ( x-x) ( x-x)( y-y) の合計 の合計 ( y-y) の合計 r= ( x -x)( y -y) + +( x -x)( y -y) ( x -x) + +( x -x) ( y -y) + +( y -y) 相関係数 r のとり得る値の範囲は - r であることが知られている r の値から, つの変量には 次のような相関関係があるといえる r が正のとき, 正の相関関係がある r が に近い値であるほど, 正の相関関係が強い r が負のとき, 負の相関関係がある r が- に近い値であるほど, 負の相関関係が強い r が 0 に近い値であるほど, 相関関係が弱い r 0.73 r -0.8 r 0.4 9
10 49 4 x = ( )= =7, y = ( )= = から, 次のような表を 作る 高校生 x y x- x y- y (x- x ) (y- y ) (x- x )(y- y ) A B C D E F G 合計 したがって r= = = =0.7 このことから,x と y の間には強い正の相関関係があるといえる 0
学力スタンダード(様式1)
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5 章基本統計量 3.5 節で量的データの集計方法について簡単に触れ 前章でデータの分布について学びましたが データの特徴をつの数値で示すこともよく行なわれます これは統計量と呼ばれ 主に分布の中心や拡がりなどを表わします この章ではよく利用される分布の統計量を特徴で分類して説明します 数式表示を統一的に行なうために データの個数を 個とし それらを,,, と表わすことにします ここで学ぶ統計量は統計分析の基礎となっており
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第 4 章データの分析 No.01 ( 中学校での履修事項 ) 1 年生 : 資料の整理 1 階級 階級の幅 度数 度数分布表 ヒストグラム ( 柱状グラフ ) 度数折れ線 相対度数 2 範囲 代表値 ( 平均値 中央値 最頻値 ) 3 近似値 誤差 有効数字 3 年生 : 標本調査 1 標本 母集団 標本調査 全数調査 無作為抽出を学んだそうですね? ( なぜ データの分析 を学ぶのか?) 社会活動で
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講義で使用するので テキスト ( 地域診断のすすめ方 ) を必ず持参すること 5 4 統計処理のすすめ方 ( テキスト P. 134 136) 1. 6つのステップ 分布を知る ( 度数分布表 ヒストグラム ) 基礎統計量を求める Ø 代表値 Ø バラツキ : 範囲 ( 最大値 最小値 四分位偏位 ) 分散 標準偏差 標準誤差 集計する ( 単純集計 クロス集計 ) 母集団の情報を推定する ( 母平均
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07 年度大学入試センター試験解説 数学 Ⅰ A 第 問 9 のとき, 9 アイ 0 より, 0 であるから, 次に, 解答記号ウを含む等式の右辺を a とおくと, a a a 8 a a a 8 a これが 8 と等しいとき,( 部 ) 0 より, a 0 よって, a ウ ( 注 ) このとき, 8 9 (, より ) 7 エ, オカ また,より, これより, 9 であるから, 6 8 8 すなわち,
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