３章 度数分布とヒストグラム

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1 3 章度数分布とヒストグラム データの中の分析 ( 記述統計 ) であれ データの外への推論 ( 推測統計 ) であれ まず データの持つ基本的特性を把握することが重要である 1

2 分析の流れ データの分布 ( 散らばり ) を 度数分布表にまとめ グラフ化する 3 章 グラフに 平均値や分散など 分布の特徴を示す客観的な数値を加える 章 データが母集団からのランダムサンプルならば 母集団についての推測を行う 7 章以降

3 度数分布とヒストグラムの作成 データを昇 ( 降 ) 順に並べ替える 階級を設定し 各階級に属するデータの個数をカウントする 各階級の相対度数 累積度数 及び 累積相対度数を計算する 度数分布表をもとに ヒストグラムを作成する 3

4 もとのデータと並べ替え もとのデータを, x 1, x, x 3,, x n とする それを昇順に並べ直したものを x (1), x (), x (3),, x n と書くものとしよう データが与えられたら, それを昇順に並べ替えると都合がよい. 43,0,18,38,3,33,91,9,1,6,41,53,5,65, 9,37,36,43,33,57 9,1,18,0,5,6,9, 3,33,33,36,37,38,41,43,43,53,57,65,91 4

5 エクセルを用いた並べ替え 昇順 降順 5

6 数直線上にプロットする これだけでも データの分布の様子が見て取れる しかし データ数が増えるに従い 分布の形を読み取ることは難しい 6

7 表 3-1 得点の度数分布表を完成させよう 階級 度数 相対度数 累積度数 累積相対度数 0 以上 10 未満 1 10~0 0~ ~ ~ ~60 60~ ~ ~ ~ ~ 0 合計 0 7

8 表 3-1 得点の度数分布表を完成させよう 階級度数相対度数累積度数累積相対度数 0 以上 10 未満 1 10~0 0~ ~ ~ ~60 60~ ~ ~ ~ ~ 0 合計 = =

9 表 3-1 得点の度数分布表 階級度数相対度数累積度数累積相対度数 0 以上 10 未満 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 合計 = = 16 9

10 表 3-1 得点の度数分布表 階級度数相対度数累積度数累積相対度数 0 以上 10 未満 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 合計 = = = =

11 表 3-1 得点の度数分布表 階級 度数 相対度数 累積度数 累積相対度数 0 以上 10 未満 n 1 10~0 n 0~30 n 3 30~40 n 4 40~50 n 5 50~60 n 6 60~70 n 7 70~80 n 8 80~90 n 9 90~100 n 10 合計 11

12 表 3-1 得点の度数分布表 階級度数相対度数累積度数累積相対度数 0 以上 10 未満 n 1 p 1 = n 1 n R 1 = n 1 r 1 = p 1 10~0 n p = n n R r = p 1 + p = n1 + n 0~30 n 3 p 3 = n 3 n R r 3 = p 1 + p + p 3 = n1 + n + n3 3 30~40 n 4 p 4 = n 4 n R r 4 = r 3 + p 4 4 = R3 + n4 40~50 n 5 p 5 = n 5 n R r 5 = r 4 + p 5 = R4 + n5 5 50~60 n 6 p 6 = n 6 n R r 6 = r 5 + p 6 = R5 + n6 6 60~70 n 7 p 7 = n 7 n R 7 = R6 + n7 r 7 = r 6 + p 7 70~80 n p 8 8 = n 8 n R r 8 = r 7 + p 8 = R7 + n8 8 80~90 n p 9 9 = n 9 n R r 9 = r 8 + p 9 9 = R8 + n9 90~100 n 10 p 10 = n 10 n R = R + r = r + p 1 合計 10 n = i = 1 ni p 1 + p + + p10 = n = 1

13 表 3- を完成させよ 表 3- サイコロを 100 回投げたときに出た目の度数分布表 サイコロの目度数相対度数累積度数累積相対度数 合計 注 : 度数は各目が出る確率が等しいという条件で,Excel の乱数の関数を用いて擬似的に発生させた 13

14 表 3- を完成させよ ( 解答 ) 表 3- サイコロを 100 回投げたときに出た目の度数分布表 サイコロの目度数相対度数累積度数累積相対度数 合計 注 : 度数は各目が出る確率が等しいという条件で,Excel の乱数の関数を用いて擬似的に発生させた 14

15 グラフの作成 度数 (a) 度数によるヒストグラム 人数を見たいなら 相対度数 (b) 相対度数によるヒストグラム 点 割合を見たいなら 点 15

16 累積相対度数のグラフ 累積相対度数 図 3-3 得点の累積相対度数 40 点以下の割合を知りたいなら 55 点以下の割合を知りたいなら 点 16

17 累積相対度数のグラフ 累積相対度数 約 85% 65% 図 3-3 得点の累積相対度数 40 点以下の割合を知りたいなら 55 点以下の割合を知りたいなら 5 5 点 17

18 コピーExcel を使うとき =D4/D$15 =D4 =F4+D5 コピーコピー=F4/F$15 =SUM(D4:D14) 18

19 ヒストグラムを作るとき 1. 階級を決める. 各階級の度数をカウントする 3. 相対度数 累積度数 累積相対度数を計算する 4. グラフ化する 階級を決めることは 意外に難しい ( 教科書に一般論はあるが グラフで何を示したいか を考えるとよい ) 19

20 級の幅を 倍にすると 表 3-3. 得点の度数分布表 ( 階級幅 0) 階級 度数 相対度累積度累積相対度数数数 0 点以上 ~ 0 点未満 ~ ~ ~ ~ ~ 合計 度数 点 0

21 女子学生の身長の例 並べ替えにより 最大値 最小値 メディアン ( 中位数 ) が分かる 最大値 最小値 メディアン x (5) x (6) = 158 1

22 身長の度数分布表を完成させよう 級の区間代表値度数累積度数相対度数累積相対度数 合計

23 身長の度数分布表を完成させよう 級の区間代表値度数累積度数相対度数累積相対度数 合計

24 身長の度数分布表を完成させよう 級の区間代表値度数累積度数相対度数累積相対度数 合計 = = =

25 身長の度数分布表を完成させよう 級の区間代表値度数累積度数相対度数累積相対度数 合計

26 グラフの作成 身長の度数 人数を見たいなら 身長の相対度数 割合を見たいなら

27 グラフの作成 身長の度数 人数を見たいなら 身長の相対度数 割合を見たいなら

28 累積相対度数のグラフ 1 累積相対度数のグラフ

29 累積相対度数のグラフ 約 80% 累積相対度数のグラフ 164cm 以下の割合を知りたいなら 約 44% cm 以下の割合を知りたいなら

30 例題 3.1 年間収入の場合 経済データは 度数分布の形で提供される場合が多い 収入データは 他の経済データと同様に 高額データの取り扱いが難しい 試験データや身長データでは さほど極端な値がないので 取り扱いが比較的楽である 30

31 006 年度年間収入 ( 農林漁家を除く全世帯 ) 年間収入階級階級値度数 ( 世帯数 ) 00 万円未満 万円以上 ~ 50 万円未満 ~ ~ ~ 世帯の平均が 157 万円 階級幅が一定ではない 700 ~ ~ ~ ~ ~ 150 1, ~ , 万円以上 1, 合計 10,000 年収 1500 万円超の世帯が数多く存在していることが分かる最高額は不明 31

32 階級幅の差を考慮せずにグラフに すれば ~00 00~ 50 階級幅が異なっている 3

33 表 3 4 の作成 1/ 年間収入以上未満 階級値 世帯数 階級幅 度数階級幅 50 ~ ~

34 x + 00 = 157 x =114 最低収入が不明 表 3 4 の作成 1/ 年間収入以上未満 階級値 世帯数 階級幅 度数階級幅 50 x ~ ~ = = = = 368 これをヒストグラムの棒の高さとする : 級幅の違いを考慮に入れてやる 階級幅が広いほど, 棒は低くなる 34

35 表 3 4 の作成 / 年間収入以上未満 階級値 世帯数 階級幅世帯数 階級幅 50= 棒の高さ 150~ ~

36 x = 1985 x = 470 表 3 4 の作成 / 年間収入以上未満 階級値 世帯数 150~ 階級幅世帯数 階級幅 50= 棒の高さ = = 56 x 1500~ = = 17 最高収入が不明 棒の面積と世帯数とが比例する 36

37 階級幅を変えてグラフ化すると 度数 ( 世帯数 ) 図 3-5 年間収入のヒストグラム 柱の面積が世帯数と比例する 表 3-4 より作成 年間収入 ( 万円 ) 37

38 クロス集計 ( 男女別に ) 分類するときもある 表 3-5 男女別の得点の度数分布表度数相対度数階級男女男女 0 点以上 ~ 10 点未満 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 合計 注 : 丸め誤差のため合計は 1 になっていない 男 女 38

39 参考 : 階級数と階級幅の決め方 階級数は データの数に応じて決める log n + 1 に近い数で データの性質を加味して決める 階級の幅は 最初と最後を除いて 同じ幅にする 階級の端点は出来るだけ簡単な数字にする 39

40 対数関数 log log a b = c 言い換えれば b = a c log = 1 log 4 = log 8 = 3 log log 16 3 = = 4 5 データの数が 3 個なら 級の数を 6 くらい設定するとよい 40

41 プロ野球選手 : 身長の分布 010 年

42 プロ野球選手 : 体重の分布 010 年

43 対数関数 log 10 log a b = c 言い換えれば b = a c log = 1 log = log = 3 log = 4 log = 5 43

44 プロ野球選手 : 年棒の分布 010 年

45 プロ野球選手 : 対数年俸の分布 010 年

46 累積相対度数分布とローレンツ曲線 累積相対度数の応用例として 格差を表すローレンツ曲線とジニ係数について学ぶ 000 年において, 世界人口の貧しい方から 50% の収入は 世界全体の富の 1% に過ぎない ( 国連調査 ) といった表現を より充実させるものである 46

47 遺産相続の例 ( 分配 1) 相続者 相続額 長男 1000 次男 男 男 400 左表では, 明らかに, 相続額が不平等である. 最も平等な配分は? 最も不平等な配分は? 5 男

48 遺産相続の例 ( 分配 1) 並べ替えー貧しい方から金持ちへ 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 48

49 遺産相続の例 ( 分配 1) 並べ替えー貧しい方から金持ちへ 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 4 男 男 次男 長男 男 Σ ーー 49

50 遺産相続の例 ( 分配 1) 並べ替えー貧しい方から金持ちへ 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 4 男 男 = = 0.15 次男 長男 男 Σ ーー 50

51 遺産相続の例 ( 分配 1) 人数 金額 比率 4 男 累積比率 人数金額人数金額 男 次男 長男 男 Σ

52 遺産相続の例 ( 分配 1) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 4 男 男 次男 長男 男 Σ ーー 5

53 遺産相続の例 金額の累積比率 図 3-7 遺産配分の例のローレンツ曲線 人数の累積比率 53

54 ローレンツ曲線 遺産相続の例 ( 分配 1) 累積比率 金額の累積比率 図 3-7 遺産配分の例のローレンツ曲線 人数 金額 4 男 男 次男 長男 男 Σ ー ー 人数の累積比率 54

55 遺産相続の例 ( 分配 ) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 4 男 男 次男 長男 男 Σ

56 遺産相続の例 ( 分配 ) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 金額の累積比率 図 3-8 つの分配方法のローレンツ曲線 4 男 男 分配 1 分配 次男 長男 男 Σ ーー 人数の累積比率 56

57 遺産相続の例 ( 分配 ) ( 数式 ) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 4 男 男 次男 長男 男 Σ ーー 57

58 P 4 = p 1 + p + p 3 + p 4 = P 3 + p 4 遺産相続の例 ( 分配 ) ( 数式 ) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 n 1 n x 1 4 男 x 3 男 n 3 x 3 次男 n 4 n 5 x 4 長男 x 5 5 男 p 1 p p 3 p 4 p 5 Σ = n x 5 i=1 i 4000 p i 1 i i=1 i 1.0 i= ーー 58 q 1 q q 3 q 4 q 5 qi P 1 P P 3 P 4 P 5 Q 1 Q Q 3 Q 4 Q 5

59 遺産相続の例 ( 均等分布 ) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 4 男 男 次男 長男 男 Σ

60 遺産相続の例 ( 均等分布 ) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 金額の累積比率 図 3-8 つの分配方法のローレンツ曲線 4 男 男 分配 1 均等分布線 分配 次男 長男 男 Σ ーー 人数の累積比率 60

61 ジニ係数とは? 61

62 ジニ係数とは? 右の図の 黒い線で囲まれた面積の 倍を ジニ係数と呼ぶ ジニ係数は 0 と 1 の間の数で 1 に近いとき不平等度が高くなります. 6

63 ジニ係数とは? 63

64 ジニ係数とは? 右の線で囲まれた面積のことをジニ係数と呼ぶ 64

65 ジニ係数 : 実際の計算方法 累積比率 人数 金額 4 男 男 次男 長男 男 ジニ係数 ジニ係数計算欄 65

66 ジニ係数 : 実際の計算方法 人数 累積比率 金額 ジニ係数計算欄 4 男 男 次男 長男 = = = 男 = 0.1 ジニ係数 0. 66

67 ジニ係数の求め方 順位 累積人数比 累積金額比 1 P 1 Q 1 P Q 3 P 3 Q 3 4 P 4 Q 4 5 P 5 Q 5 67

68 ジニ係数の求め方 順位 累積人数比 累積金額比 1 P 1 Q 1 P Q 3 P 3 Q 3 4 P 4 Q 4 5 P 5 Q 5 68

69 累積人数比 ジニ係数の求め方 ( 式 ) 累積金額比 三角形か台形の面積 ジニ係数は 1 ( ) P 1 Q 1 P Q P 3 Q 3 P 4 Q 4 P 5 Q 5 ( ) 69

70 累積人数比 ジニ係数の求め方 ( 式 ) 累積金額比 三角形か台形の面積 ジニ係数は 1 ( ) P 1 Q 1 P Q P 3 Q 3 P 4 Q 4 P 5 Q 5 P 1 Q 1 (P P 1 )(Q + Q 1 ) (P 3 P )(Q 3 + Q ) (P 4 P 3 )(Q 4 + Q 3 ) (P 5 P 4 )(Q 5 + Q 4 ) ( ) 70

71 71 ジニ係数の公式を求める )} )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( { Q Q P P Q Q P P Q Q P P Q Q P P PQ ジニ係数

72 7 ジニ係数の公式を求める )} )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( { Q Q P P Q Q P P Q Q P P Q Q P P PQ ジニ係数 )} { P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q PQ PQ P Q P Q PQ =

73 ジニ係数の求め方 ( 公式 ) 累積人数比 累積金額比 三角形か楕円の面積 ジニ係数 P 1 Q 1 P Q P 3 Q 3 P 4 Q 4 P 5 Q 5 ジニ係数 73

74 ジニ係数の求め方 ( 公式 ) 累積人数比 累積金額比 三角形か楕円の面積 ( PQ 1 ( P Q ( P Q ジニ係数 P Q P Q P Q ) + 4 ) + ) ( P Q 3 4 P Q 4 3 ) + P 1 Q 1 P Q P 3 Q 3 P 1 Q P Q 1 P Q 3 P 3 Q P 4 Q 4 P 3 Q 4 P 4 Q 3 P 5 Q 5 P 4 Q 5 P 5 Q 4 ジニ係数 74

75 表 3-7 世帯と年間収入の累積比率等 (006 年 農林漁家世帯を除く全世帯 ) 年間収入階級 階級値 度数 ( 世帯数 ) = 総収入 ( 階級値 度数 ) 比率 累積比率 世帯収入世帯収入 00 万円未満 , 万円以上 ~ 50 万円未満 = 8, ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ 150 1, , ~ , , 万円以上 1, , 合計 10,000 6,396,

76 ローレンツ曲線と均等分布線 年間収入階級 累積比率世帯収入 00 万円未満 万円以上 ~ 50 万円未満 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 万円以上 合計 年間収入の累積比率 表 3-7 より作成 図 3-9 年間収入のローレンツ曲線 ローレンツ曲線均等分布線 世帯の累積比率 76

77 ジニ係数の計算 年間収入階級 世帯 累積比率 収入 ジニ係数計算欄 00 万円未満 万円以上 ~ 50 万円未満 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 万円以上 合計 計算不要 ジニ係数 77