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1 第 5 章リアルなイメージ生成 - 高度な形状の利用 - 第 2 章において, 基本的な立体とそれらからCSGを用いてより複雑な立体を構成する方法を説明しました. 本章では,CG 作成によく用いられ, また, 実際によく見かける 立体 の利用法を説明します. また, 様々な形をその表面の形から表現するための 面 の使用法を説明します. これにより, より現実的なCGイメージの作成ができるようになります. 第 5 章高度な形状の利用 1

2 5 1 様々な形状 POV-Ray で扱える形状は, 立体 ( 体積がある ) と面 ( 体積がない ) の大きく2つに分類されます. さらに, 面は内側と外側が明確になっているものとないものがあります. 立体: 球 (sphere), 立方体 (box), 円錐台 (cone), 円柱 (cylinder), トーラス (torus) など 面: 内外が明確なもの : 平面 (plane) など内外が明確でないもの : 多面体曲面 (polygon) など立体として定義されるものは, 立体の内側と外側が明確なためCSGで利用できます. 面のうち, 内外が明確なものはCSGなどに利用できますが, そうでないものは一般的には利用できません. 例えば,2 章で扱った平面は, 法線ベクトルの方向が外側, 反対側が内側と定義できます. 本章では, 扉で書きましたように, 現実的に良く見る形で自由度の高い ( いろいろと細工できる ) 立体や面を扱います.5 1 節および5 2 節は立体,5 3 節は面です スプライン形状 - スプラインとは 本節では, 曲線に基づいて構成される立体をいくつか扱います. これらの曲線の定義において スプライン が利用されます. まず, はじめに POV-Ray でのスプラインについてまとめて説明することにします. スプライン (spline) とは, 元来, ピアノ線のような弾性のある鋼線を言います. この鋼線を, 拘束を付けて曲げると様々な滑らかな曲線形状が作れます. このようにして作られる曲線は, 広い意味でスプライン曲線と呼ばれています. この曲線や曲線から構成された曲面は, 実際の工業製品の外形形状にも多く利用されているため, 利用法のみならず数学的手法による理論的研究も多くなされてきました. POV-Ray では, 次の4 種類のスプライン曲線を利用することができます. 曲線自体は, 制御点と呼ばれるいくつかの座標値で, 曲線形状が定まります. 各々のスプライン曲線の形状は, 数式を用いて厳密に数学的に定義されています. ここでは, 数学的な定義はここでは行いませんが, 制御点と生成される曲線の例を示します. 各図では, 青の 4 点が制御点で左から順に定義されているものとします. また, 赤い曲線が生成される曲線です. 説明では, 制御点を定義する順に P(1),P(2),,P(n) と書くことにします. (a)linear_spline 鋼線の弾性が0の場合に相当し, 与えられた制御点列を順に直線で結んだ形状です. 与えられた制御点の数より1 少ない線分が作られる. 最初と最後の制御点を一致させることで, すなわち,P(1)=P(n) と配置することで, 閉じた図形が定義できます. 図 5 1 linear_spline 形状 第 5 章高度な形状の利用 2

3 (b)quadratic_spline 曲線としては最も単純な 2 次の曲線で定義されます. POV-Ray での 2 次スプラインは曲線の始まりの傾きを制御できますが, 曲線の終わりの部分の傾きは制御できません. したがって, これらの曲線を滑らかにつなぐことはできません. 最初の制御点は, 曲線の始めの接線を決めるためにのみ使われます. したがって, 最初から2 番目の制御点の間の曲線は定義されません. 閉じた曲線は,P(2)=P(n) とすることにより, また, その点で滑らかにするためには, 加えて,P(n-1)=P(1) とします. (c)cubic_spline CGで良く利用される曲線です, 曲線の始まりと終わりの傾きが制御できます. したがって, 滑らかにいくつもの曲線とつなぐことができます. そのため, 最初と最後に指定した制御点は傾きを決定するための制御点です. 閉じた曲線は,P(n-1)= P(2) とすることにより, また, その点で, 滑らかにするてめには, 加えて P(n) = P(3),P(n-2) = P(1) とします. (d) b_spline バーンスタイン関数と呼ばれる関数で定義される曲線で,CAD/CAMや数学的な扱いする曲線として良く用いられます. これまでの違い, 作られる曲線は与えた制御点は通りません. 閉じた曲線やその点で滑らかにするには,(c)cubic_spline と同じ条件で制御点を配置します. (e)bicubic_spline bicubic_spline は,CGの曲線表現で最も利用される双三次 Bezier 曲線のことです. 双三次ベジェ曲線は,4 つの制御点で決定され, 最初と最後の制御点を通る 曲線の始まりの傾きは,P(2)-P(1) で決定される 曲線の終わりの傾きは.P(4)-P(3) で決定されるという性質があります. 図 5 2 quadratic_spline 形状 図 5 3 cubic_spline 形状 図 5 4 b_spline 形状 図 5 5 bicubic_spline 形状 第 5 章高度な形状の利用 3

4 5 1 2 回転体 (lathe) カップ, 食器や花瓶などはCG イメー時の中に良く利用されます. 回転体とは, 平面曲線を回転させた立体のことです. まず回転体として立体を構成し, それに細工を施してできた製品は, 身の回りにたくさんあります. 回転体 lathe は,2 次元平面の曲線をある軸の周りで回転させて作る立体です. 立体の基になる曲線は, いくつかの点列で定義され, それらの間を linear, quadratic, cubic または bezier spline で結んだ曲線として定義されます. 最初の, スプラインの種類は, 省略すると lathe 構文 cubic_spline が指定されたものとみなされま lathe す. 続いて, 制御点の数とその数分の2 次元座 { 標の列が続きます. 最初と最後の点を一致させ [ スプラインの種類 ] 制御点の数, ると, 閉じた曲線が定義されます. その後には, < 点 _1> アフィン変換などの座標変換や表面の属性が記 < 点 _2> 述されます. これらは, 第 2 章で述べた基本立 : 体と同じです. < 点 _n> 生成例を示します. 図 5 6は, 基本曲線を [ 幾何 属性情報など ] 直線とした回転体です. lathe { linear_spline 5,<0,0>, <1,1>, <3,2>, <2,3>, <2,4> pigment { Red finish { ambient.1 phong.75 図 5 6 lathe(linear_spline) 立体図 5 7 は, 図 5 6 の直線を曲線 (quadratic_spline) としたものです lathe { linear_spline 6,< 1,0>,<0,0>, <1,1>, <3,2>, <2,3>, <2,4> pigment { Red finish { ambient.1 phong.75 図 5 7 lathe(quadratic_spline) 立体 第 5 章高度な形状の利用 4

5 lathe 立体は, 基本的には 中身の詰まっていない 立体です. 基本曲線の閉曲線とすることで, 中身の詰まった立体が定義されます. lathe { linear_spline 5, <1,1>,<2,1>, <2,2>, <1,2>, <1,1> pigment { Red finish { ambient.1 phong.75 図 5 8 lathe(linear_spline) 立体 簡易回転体 (sor) 簡易回転体は, 前に説明した lathe 立体の基本曲線を cubic_spline に限定して構成される立体で, 特に指定しない限り, 中の詰まった立体となります. 最初に制御点の数とその数分の2 次元座標の列が続きます. 最初と最後の点を一致させると, 閉じた曲線が定義されます. この点列を元に3 次関数で滑らかな曲線が作られます. その後には,open は, 中身の詰まったものか否かを指定します. 以下の例は,POV-Ray のヘルプファイルにある sor 立体の例です. sor 構文 sor { 制御点の数 < 点 _1> : < 点 _n> [ open ] [ 幾何 属性情報など ] 図 5 9 sor 立体 sor { 8, <0.0, 0.5>, <3.0, 0.0>, <1.0, 0.2>, <0.5, 0.4>, <0.5, 4.0>, <1.0, 5.0>, <3.0, 10.0>, <4.0, 11.0> open texture { T_Gold_1B 第 5 章高度な形状の利用 5

6 この立体を構成する曲線と制御点の関係を, 図 5 10に示します.P0 から P7 は, この順の定義された制御点です. その点列から生成された曲線が, 実線で描かれています. sor 立体での制御点の定義は,y 座標の値が, 小さい順に定義する必要があります. 図 5 10 断面線 プリズム (prism) プリズム立体は, ひとつまたはそれ以上の xz 平面内の閉じた2 次元曲線を y 軸方向に走査してできる立体です. この2 次元曲線は, いくつかの点列で定義され, それらの間を spline で結んだ曲線となります. 最初のスプラインの種類は, linear_spline, prism 構文 quadratic_spline, cubic_spine または prism bezier_spline のいずれかにより, 曲線の構成 { 法を指定します. 省略すると,cubic_spline [ スプラインの種類 ] [ 移動の方法 ] が指定されたものとみなされます. 次は, 移動高さ1, 高さ2, 法を linear_sweep または cunic_sweep で指制御点の数定します.linear_sweep は,y 軸方向に平行 < 点 _1> に移動することを, また,conic_sweep は, 円 : 錐のように曲線を縮小しながら移動します. こ < 点 _n> の移動では,y= 高さ1から y= 高さ2 にかけて, [ open ] 高さに応じて scale y と変化させながら移動し [ 幾何 属性情報など ] ます. 立体は, この間で定義され, 高さ1 と高 さ2 の間で切り取られます. したがって,xy 平面での断面線は,linear_sweep は縦方向平行に,conic_sweep は原点からの放射線状となります. 続いて, 底面 ( 移動開始 ) の y 座標, 上面 ( 移動終了 ) の座標を指定します. その後は, これまでと同様に制御点の数, その数分の座標値が続きます. 閉曲線 ( 直線 ) が複数ある場合は, 外側からみで, 偶数番目の曲線と次の曲線の間は穴となります. 図 5 11は, 滑らかな曲線で定義した曲線を平行移動した例である 節の述べたように開始と終了の2 制御点を配置し, その点でも滑らかな曲線が生成されています. 第 5 章高度な形状の利用 6

7 prism { cubic_spline 0, 1, 6, < 3, 5>, < 3, 5>, < 5, 0>, < 3, 5>, < 3, 5>, < 5, 0> pigment { Green 図 5 11 prism 立体次の例は,3 つの閉曲線を定義した例です. 先に説明した通り,2 番目の閉曲線と3 番目の閉曲線の間が穴となっています. prism { linear_sweep cubic_spline 0, 1, 18, <3, 5>, <3,5>, < 5,0>, <3, 5>, <3,5>, < 5,0>, // #1 <2, 4>, <2,4>, < 4,0>, <2, 4>, <2,4>, < 4,0>, // #2 <1, 3>, <1,3>, < 3,0>, <1, 3>, <1,3>, < 3,0> // #3 pigment { Green 図 5 12 prism 立体 次に conic_sweep の例を示します 第 5 章高度な形状の利用 7

8 図 5 13 prism 立体この例では, 同じ断面を持つ 2つのプリズムですが, 高さが変わっています. 高さと scale の変化の関係がわかります. さらに,2 番目の立体は,open を指定し, 中身のない形状を生成しています. prism { conic_sweep linear_spline 0, 1, 5, < 1, 1>, < 1,1>, <1,1>, <1, 1>, < 1, 1> pigment { Green prism { conic_sweep linear_spline 2, 3, 5, < 1, 1>, < 1,1>, <1,1>, <1, 1>, < 1, 1> open pigment { Yellow 球移動 (sphere_sweep) sphere_sweep 立体は, 球が移動してできる包絡面により形成される立体です. 球の移動方法はこれまでと同様にスプライン曲線として定義されます. また, 移動する球の半径を, 移動に伴い滑らかに変えることができます. 初めの曲線構成法は,linear_spline, b_spline または cubic_spline が指定できます. 次は, 制御点の数です. これに続き, 制御点とその位置での球の半径を指定します.tolerance は, 輝度計算や CSG 操作における計算精度に対応し, 指定しないときは 10-6 です. 最も単純な例として,linear_sweep の例を示します. sphere_sweep 構文 sphere_sweep { 曲線構成法制御点の数, < 点 _1>,< 半径 _1> : < 点 _n>,< 半径 _n> [tolerancedepth_tolerance] [ 幾何 属性情報など ] 第 5 章高度な形状の利用 8

9 sphere_sweep{ linear_spline 5, <0,0,0>,0.3 <0,3,0>,0.3 <1.5,1.5,0>,0.3 <3,3,0>,0.3 <3,0,0>,0.3 pigment{ color Red 図 5 14 sphere_sweep(linear_spine) 立体 移動する球の半径は徐変する例 ( 図 5.15) およびスプラインの例 ( 図 5 16) を示します. sphere_sweep{ linear_spline 5, <0,0,0>,0.3 <0,3,0>,0.2 <1.5,1.5,0>,0.1 <3,3,0>,0.2 <3,0,0>,0.3 pigment{ color Red 図 5 15 sphere_sweep( 徐変球 ) 立体 Cubic_spline の例 書き始めの方向の違い図 5 16 sphere_sweep(cubic_spline) 立体 sphere_sweep{ cubic_spline 7, < 5,0,0>,0.3 <0,0,0>,0.3 <0,3,0>,0.2 <1.5,1.5,0>,0.1 <3,3,0>,0.2 <3,0,0>,0.3 <4,0,0>,0.3 pigment{ color Red 第 5 章高度な形状の利用 9

10 5.1.6 ブロブ (blob) ブロブとは, 球やまたは円柱を滑らかに結合したような滑らかな形状を表現するものです. メタボールとも呼ばれています. ブロブは, 複数の球または円柱の中心点から放射されているエネルギーの和が, 指定された値となる blob{ 所を結んでできる形状です. threshold 1 構文は, 次のようになります. sphere{ sphere の形状 テクスチャの設定, 強さ または threshold( 閾値 ) は, エネル cylinder{ cylinder の形状 テクスチャの設定, 強さ ギ 強度の和がこの値の形状 となります. 省略すると 1.0 [ hierarchy on off ] が指定されているとみなされ [ sturm ] ます.threshold の設定には, [ 幾何変換 属性情報 ] 以下の4つの注意が必要です. 1. 閾値は0 以上の正の値でなければなりません. 2. 閾値がプロブの強度よりも大きい場合, 物体は表示されません. 3. 閾値を大きいほど, 表示されている物体は中心に近付きます. 4. 閾値が小さいほど, 表示されている物体は本来の物体の表面に近付きます. 図 5 17 にブロブの構成を示します. threshold と等しくなる点 元の球 強度 図 5 17 ブロブの構成 blob には sphere と cylinder を使用します. 通常の sphere と cylinder の定義と同じように幾何情報とテクスチャが設定できます. 強さの部分には, 物体中心部から放射されるエネルギーの強さを指定します. この値は, 正でも負でも問題ありません. hierarchy は階層バウンディングのスイッチであり, 省略した場合は on が指定されたとみなされます.sturm はブロブの形状を正確に計算するかどうかの指定です. 指定すると大幅に計算時間がかかりますが, 細かい点まで正しく計算されます. 省略時は off です. 例として, 図 5 18 に2つの球からなる単純なブロブを,3つの球からなるブロブを図 5 19 示します. 第 5 章高度な形状の利用 10

11 blob{ threshold 0.65 sphere{ <0.5,0,0>, 0.8, 1 pigment { Blue sphere{ < 0.5,0,0>, 0.8, 1 pigment { Red finish { phong 1 図 5 18 単純なブロブ1 blob { threshold 0.6 sphere { <0.75, 0, 0>, 1, 1 sphere { < 0.375, , 0>, 1, 1 sphere { < 0.375, , 0>, 1, 1 pigment{color rgb<1,0.8,0.3> scale 2 図 5 19 単純なブロブ 2 ブロブを使って少し複雑な形状として, 図 5 2 0に示す手を作成してみます. 定義を以下にしまします. 図 5 20 複雑な形状 第 5 章高度な形状の利用 11

12 sphere{< 0.65,0.28, 0.05>, 0.26, 1 //counteract pinky knucklebulge sphere{< 0.65, 0.28,0>, 0.26, 1 //counteract pinky palm bulge sphere{< 0.3,0.44, 0.05>, 0.26, 1 //counteract ring knuckle bulge sphere{< 0.3, 0.28,0>, 0.26, 1 //counteract ring palm bulge sphere{<0.05,0.49, 0.05>, 0.26, 1 //counteract middle knuckle bulge sphere{<0.05, 0.28,0>, 0.26, 1 //counteract middle palm bulge sphere{<0.4,0.512, 0.05>, 0.26, 1 //counteract index knuckle bulge sphere{<0.4, 0.4,0>, 0.26, 1 //counteract index palm bulge sphere{<0.85, 0.68, 0.05>, 0.25, 1 //counteract thumb knuckle bulge sphere{<0.41, 0.7,0>, 0.25, 0.89 //counteract thumb heel bulge 第 5 章高度な形状の利用 12

13 5 2 特殊な立体 本節では, これまでと性質が少しことなる立体の利用法を説明します 次元テキスト text は奥行きのあるブロック字体の立体を作成します 現時点で利用できる書体は TrueType フォント (ttf) と TrueType コレクション (ttc) だけです. ここで, fontname.ttf や fontname.ttc は TrueType text 構文 フォントファイルの名前です これは, 二重引用符でく text { くられた文字列で指定します. 文字列の値を持つ変数で ttf "fontname.ttf ttc あってもかまいません. 続く文字は, 実際に立体となる文字列文字の列を指定します. これも, 引用符で囲まれた文字厚さ, オフセット列か文字列の値を持つ文字列式です. [OBJECT_MODIFIERS...] 実際のテキスト立体は最初の文字の左下手前を原点に 始まり x 軸正の方向へ伸びます テキストのベースラインは,x 軸と一致します. 文字の前面は xy 平面であり 奥行きは z 軸方向です. 厚さ は, 奥行き方向の厚さを指定します. スケールを指定しないと, 文字の高さはおおよそ 0.5~0.75 です. オフセット は, 文字と文字の間に入れる量をベクトルで指定します. 例えば, 0.1*x を指定すると各々の文字の間にスペース 0.1 が追加されます. text { ttf "timrom.ttf" "POV Ray 3.6" 1, 0 translate< 3,0,0> pigment { Red 図 5 21 テキスト立体 図 5 21で平行移動するのは, 文字立体を中央に移動するためです. オフセットを指定した例を図 5 22に示します. 文字間の y 軸方向に文字高さの10% が追加されています. text { ttf "timrom.ttf" "POV Ray 3.6" 1, <0,0.1,0> translate< 3,0,0> pigment { Red 図 5 22 テキスト立体 ( オフセット付き ) 第 5 章高度な形状の利用 13

14 5 2 2 ハイトフィールドハイトフィールドは, 非常に多くの小さな三角形によって凹凸を付けた面です. この面の凹凸は, 二次元濃淡画像を与え, その濃淡を高さに対応付けし, 表面の凹凸を表現しています. まず, 与えた二次元濃淡画像を xz 平面に,1 x 1 の大きさで投影します. 次いで, 画像の濃淡を 0~1 の高さデータに変換します. すなわち, 画素の値が白の場合, 対応する部分の高さ (y の値 ) を1に, 黒の場合を 0 とします. ハイトフィールドの滑らかさは, 使用する画像フォーマットと解像度に依存します. 二次元濃淡画像は, もちろん市販の画像処理ソフトウェアなどで作成したものを使うこともできます. これにより, 文字通りリアルな山や地形などを作ることができます. 構文最初の項目は, 使用する二次元濃淡画像の height_field 構文 ファイル形式を指定します.gif, tga, pot, png, height_field{ pgm, ppm, jpeg, tiff, sys のいずれかが利用ファイルタイプ 画像ファイル名 できます. それに続き, 実際の画像ファイル名を [ smooth ] 指定します. 画像ファイルが, シーンファイルと [ hierarchy on off ] 同じフォルダにある場合は, ファイル名のみで, [ water_level 0 ] 他のドライブやフォルダにある場合は, そのパス [ 属性情報 ] も同時に指定します. 例えばD ドライブのMypovfi フォルダにある image.gif ファイルを指定する場合は, 次のようにします. height_field { gif d: Mypov image.gif smooth を指定すると凹凸を滑らかにします. これを指定すると, 多くのレンダリング時間が必要となります. 省略時は off です.hierarchy は階層バウンディングのスイッチです. デフォルトは on になっています.water_level は指定した高さ以下の部分を削除します. 値は 0~1 の間で設定することができ, デフォルト値は 0 です. height_field として作成した山岳形状の例を示します. まず, 図 5 23の濃淡画像を使用します. この画像は, 以下のような POV Ray のテクスチャを用いて作成してあります. plane { <0,0,1>, 10 pigment { wrinkles color_map { [0 0.3*White] [1 White] この濃淡画像に基づいて山岳形状を生成した例が図図 5 23 利用する濃淡画像 5 24です. 第 5 章高度な形状の利用 14

15 height_field { sys "hf_image.bmp" smooth pigment { White translate < 0.5, 0.5, 0.5> scale <17, 1.75, 17> 図 5 24 hight_field 立体 超 2 次曲面 超 2 次曲面は, 超楕円球とも呼ばれ,2 次曲面 ( 球 ) を拡張したものです. これまでに説明したいくつかの立体に近い形を作ることができます. 数学的には以下の方程式で与えられます. 立体形状は,e と n の値で定まります.e および n の値は, 楕円球の2つの軸方向の指数を指定します. 両者は 0 以上である必要があります. また, 値が小さすぎると正確に計算されない場合があります. 最初の <e, n> は, 作成する物体の角の丸みを決定 superellipsoid 構文 します. 通常は 0~1 の実数値で指定します. 値が大 superellipsoid { きいほど角が丸くなります.1 より大きい値を使う <e,n> と角の部分が中心に向かってくぼんだ形状になりま [ 属性情報 ] す. この立体は常に原点を中心にして作られます. e と n の値と立体形状の関係は以下の通りです. e=1, 0<n<1 : 角の丸い円柱 e=n, 0<e<1, 0<n<1: 角の丸いボックス e=1, n=1 : 球 第 5 章高度な形状の利用 15

16 図 5 25 および図 5 26 に, それぞれ <e, n> の値を変えた作成例を示します. 図 5 25 超 2 次曲面の例 (1) superellipsoid { <0.25, 3> pigment { checker Red White scale 1.5 translate < 3,0,0> superellipsoid { <0.25, 0.25> pigment { checker Green White scale 1.5 superellipsoid { <3, 0.25> pigment { checker Blue White scale 1.5 translate <3,0,0> 図 5 26 超 2 次曲面の例 (2) superellipsoid { <1, 0.25> pigment { checker Magenta White scale 1.5 rotate x*90 translate < 3,0,0> superellipsoid { <0.25, 0.25> pigment { checker Green White scale 1.5 superellipsoid { <1, 1> pigment { checker Coral White scale 1.5 translate <3,0,0> 第 5 章高度な形状の利用 16

17 5 2 4 アイソ曲面等値面 (isosurface) は, 数学的に定義される曲面です. 範囲を指定するので構成されるものは立体です.3 次元空間に定義された関数 f(x,y,z) と, ある閾値 d を定め, 閾値以下 (f(x,y,z)<d) の部分を立体内部, 閾値以上 (f(x,y,z)>d) の部分を立体外部と定義します. 従って, その立体の表面はその閾値と等しい (f(x,y,z)=d) 曲面 ( 一般的には ) として定義されます. 関数の値が等しい面との意味で, 等値面と呼ばれています. isosurface 構文で, 最初の3つが形状を決 isosurface { める要因となります. 最初の function{ は, function { 関数 等値面を定義する関数を指定します. 次の, [contained_by { SPHERE BOX ] contained_by には等値面を生成する範囲を [threshold 0 ] sphere または box で指定します. 形状の記述 [accuracy ] は第 2 章の通りです. 省略特は box{ 1,1 が設 [max_gradient 1.1 ] 定されます.threshold は, 等値面を生成する [evaluate V0, V1, V2 ] ための閾値 ( 関数の値 ) を指定します. 省略時 [open ] 値は 0 です. [max_trace INT all_intersections ] function で指定した関数の値が threshold [ 属性情報 ] 値と等しいところに isosurface の面が定義さ れます. その続く3つの項目は, この曲面に対して様々な計算を行うときに利用する値です. これらの値は関数により異なります. 実際には, 省略時値で表示し, 不具合があったら値を設定することで十分です.accurcy は様々な計算における再帰分割の繰り返しの最小値で, 省略時値は です. この値が小さいほど精密な表面を作り出すことができますが, 計算量が増え, レンダリングに必要な時間が長くなります.max_gradient とevaluate は関数の勾配を指定します.max_gradient はその最大値であり, 省略時は 1.1 です. この値が大きすぎるとレンダリングに時間を要しますが, 小さすぎると曲面上に誤差が生じ, 等値面上に穴が開くことがあります. open はcontained_by で指定された物体の形状を生成しない場合に指定します. つまり等値面のみの生成になり,isosurface の内側を見ることができます. max_trace は,CSG における交差面の #include "colors.inc" チェック回数を指定します.CSG にお camera { ける交差面を全てチェックする場合 location <0,4, 8> には all_intersections を指定しま look_at <0,0,0> す. rotate y*180 // behind 以下で,POV Ray のヘルプファイ rotate y*20 ル内にある例を利用し特徴を説明し ていきます. 各シーンファイルの light_source { <5,5,10> color White*1.5 camera や light_source の設定は右 light_source { <0,10,0> color White parallel のように統一します. shadowless background { rgb <0.3,0.4,1.2> 第 5 章高度な形状の利用 17

18 (a) 簡単な関数第 2 章で平面 (plane) を扱いましたが, 原点と通り法線ベクトルが <1,1,1> の平面は, 関数としては x+y+z=0 を満たす平面となります.isosurface としてこれを定めると, 関数は function{ x+y+z となり,threshold は 0 です. これは無限平面ですが,contained_by により,box { < 2, 2, 2>, <2, 2, 2> と指定すると, この範囲のみとなります. したがって, 立方体を平面で切削した立体が生成されます. 分かり易さにため, xyz 軸を赤緑青の棒で示します. isosurface{ function{ x+y+z threshold 0 contained_by{ box { 2,2 max_gradient 4 pigment{rgb<0.8,0.75,0.55> 図 5 27 function { x + y + z (b) 非線形関数非線形関数で定義される曲面も描くことができます. 平方関数を指定すると放物線形状の面を持つ物体を生成することができます. 図 5 23は,x 2 +y=0 で放物面です. 非線形関数を用いて滑らかな曲面を生成する場合には, 必要に応じて max_gradient の値を調整する必要があります. isosurface{ function{ pow(x,2) + y threshold 0 contained_by { box { 2,2 max_gradient 4 pigment { rgb <0.8,0.75,0.55> 図 5 28 function { x^2 + y open を指定すると, 図 5 29のように生成範囲と交差する面がなくなり, 指定された範囲の等値面のみが生成されます. 図 5 29 open の指定 第 5 章高度な形状の利用 18

19 (c) 関数の合成関数 fn_a(x,y,z)=0 と fn_b(x,y,z)=0 で定義される2つの曲面があるとする. ここで, 引数の最小値をその値とする min 関数を用いて min(fn_a,fn_b) なる関数と構成すると, この関数で定義される立体は,CSG の union で作られる立体を同じになります. 一方, 最大値を取る関数 max を用いて max(fn_a,fn_b) とすると,intersection と同じ形状となります. 以下の二つの関数を用意します (#declare は, 第 6 章で説明 ). #declare fn_a = function { sqrt(pow(y,2) + pow(z,2)) 0.8 #declare fn_b = function { abs(x)+abs(y) 1 isosurface { function { min(fn_a(x,y,z),fn_b(x,y,z)) contained_by { box { 2, 2 max_gradient 4 pigment{color rgb<0.8,0.75,0.55> 図 5 30 合成関数の形状 (d) 内部関数と Noise functions.inc にある内部関数が利用できます. そのため,#include functions.inc をシーンファイルの最初に書き加えます. そのなかの一つ noise3d 関数を使った特徴的な等値面を紹介します. f_noise3d を他の関数と加減算することで,height_field に似た物体を生成することができます. 図 5 31に結果を示します. isosurface { function{ y + f_noise3d(x,0,z) contained_by { box { 2, 2 max_gradient 4 pigment{color rgb<0.8,0.75,0.55> 図 5 31 y+f_noise3d(x,0,z) 第 5 章高度な形状の利用 19

20 5.3 多辺形とメッシュ 多辺形とは, 三角形や長方形など3 つ以上の辺を持つ平面図形を言います. また, メッシュとは, 同じ多辺形を規則正しく並べたものをさします. ネット (net) とも呼ばれます. 本節では, これらを用いた面の使用法を説明します 多辺形 (polygon) POV-Ray では,polygon として定義します. 最初に, 多辺形を描くために必要な点の総数を指定します.1つの多辺形の頂点の数を n とすると, 閉じた形状とするために, 最初の頂点と最後の頂点を同じとした n+1 個の頂点を指定します. すなわち,< 座標 A_1> から < 座標 A_n> までを指定し, 最後にもう一度 < 座標 A_1> を指定します. 一つの多辺形を表す座標列が終了すると, すなわち, 最初と同じ座標が現れると, 次の多辺形の座標列が始まるとみなされます. また, 一つの多辺形の点は3 次元空間中で同一平面上にある必要ばあります. 通常は2 次元座標を用います. この場合,z の値を 0 と置いた xy 平面上での点を指定することになります. Polygon で, 複数の多辺形を重ねると偶数番目から次の多辺形までの間は穴の開いた状態になります. polygon 構文 polygon{ 多辺形を描く点の総数, < 座標 A_1>, < 座標 A_2>, < 座標 A_3>,, < 座標 A_n>, < 座標 A_1> < 座標 B_1>, < 座標 B_2>, < 座標 B_3>,, < 座標 B_n>, < 座標 B_1> < 座標 C_1>, < 座標 C_2>, < 座標 C_3>,, < 座標 C_n>, < 座標 C_1> [ 属性情報 ] 図 5 32に,1 つの polygon を使って POV という文字を表す平面の例を示します. 多辺形は, xy 平面上に定義します.2つの polygon が重なっている部分は穴となるので, 文字 P やO の穴の部分が表現できます. 第 5 章高度な形状の利用 20

21 polygon { 30, < 0.8, 0.0>, < 0.8, 1.0>, // Letter "P" < 0.3, 1.0>, < 0.3, 0.5>, // outer shape < 0.7, 0.5>, < 0.7, 0.0>, < 0.8, 0.0>, < 0.7, 0.6>, < 0.7, 0.9>, // hole < 0.4, 0.9>, < 0.4, 0.6>, < 0.7, 0.6> < 0.25, 0.0>, < 0.25, 1.0>, // Letter "O" < 0.25, 1.0>, < 0.25, 0.0>, // outer shape < 0.25, 0.0>, < 0.15, 0.1>, < 0.15, 0.9>, // hole < 0.15, 0.9>, < 0.15, 0.1>, < 0.15, 0.1>, <0.45, 0.0>, <0.30, 1.0>, // Letter "V" <0.40, 1.0>, <0.55, 0.1>, <0.70, 1.0>, <0.80, 1.0>, <0.65, 0.0>, <0.45, 0.0> pigment { color rgb <1, 0, 0> 図 5 32 polygon の例 第 5 章高度な形状の利用 21

22 5.3.2 メッシュメッシュ (mesh) は, たくさんの三角形を合わせて複雑な形状を作ります. メッシュでは任意の数の三辺形 (triangle) や滑らかに三辺形 (smooth_triangle) を使用します. 個々の三辺形に個別にテクスチャを指定することができます.POV-Ray には,mesh2 面もあります. 自由度が高く様々な項目や組合せが可能ですが, それだけ詳細に記述する必要があり, 手で利用するのは困難です. mesh の構文は左のようになります. mesh 構文 triangle または smooth_triangle で mesh{ mesh に使用する三辺形を指定します. triangle{ triangle では, 三辺形の頂点を指定しま < 頂点 1>,< 頂点 2>,< 頂点 3> す.Smoon_triangle では, 各々の頂点を [ 属性情報 ] 指定すると同時に, その頂点での法線ベク トルが指定できます. レンダリングじにお smooth_triangle{ は, その三辺形のなかで滑らか法線が補間 < 頂点 1>,< 法線ベクトル 1>, されます.inside_vector は, このメッシ < 頂点 2>,< 法線ベクトル 2>, ュの内側の方向を指定します.CSG 演算と < 頂点 3>,< 法線ベクトル 3> うで使用されます hierarchy は階層バウ [ 属性情報 ] ンディングのスイッチであり, 省略時は on です. 図 5 33にメッシュの例を示します. inside_vesctor < 方向 > それぞれの面に別々のテクスチャを指定し hierarchy on off ています. [ 属性情報 ] mesh{ triangle{x,y,z texture{rust triangle{y, x,z texture{cork triangle{ x, y,z texture{dmfwood6 triangle{ y,x,z texture{yellow_pine scale z*0.5 rotate x*30 translate z*0.5 図 5 33 mesh の例 第 5 章高度な形状の利用 22

23 5 3 3 ベジェ曲面 (bicubic_patch) bicubic_patch は,bicubic_spline 曲線の考え方を曲面に展開させたものです. 容易に様々な曲面が直観的に作れるため便利な曲面表現です.3 次元空間に配置された制御点が, 曲面パッチの形状を定めます. 一般に n m 次ベジェ曲面は,(n+1) (m+1) 個の制御点で定義されます.POV-Ray で利用できるパッチは,CGなどで良く用いられる双 3 次ベジェ曲面です. これは, 縦横 4 4に配置された 16 個の制御点で曲面が定義されます. 数学的には, 制御点と特殊なバーンシュタイン関数と呼ばれる関数を用いて と定義されます. 制御点は, 図 5 3 4のように配置されます. これを制御網 (control net) と言います. ベジェ曲面は, 制御網に滑らかにした形となります. また, 制御点のうち,4 隅の制御点 P00,P03,P30,P33 の 4 個は, 曲面の四隅と一致します. また, 曲面の境界線は, 制御網の境界となる 4 制御点から構成されるベジェ曲線となります. ベジェ曲面の標準的なものとしてこれまでに良く参照されたものが, 図 5 35に示した ティーポット です. 約 40 枚の 3 次ベジェ曲面から成り立っていいます. これは, ユタ大学 CG 研究グループが実測し, 実物は, ボストンの Computer Museum に展示されていいます, 図 5 34 制御ネット 図 5 35 標準形状のように利用されるティ ポット 第 5 章高度な形状の利用 23

24 bicubic_patch 構文で, 始めの パッチの型 は, 0または1により曲面を内部でどのように扱うかを表します.0 を指定すると, メモリの消費は少なくすみますが, レンダリングが遅くなります. 逆に,1 を指定すると, メモリ消費が多くなるかわりに, レンダリングの速度は速くなります. 次の flatness は, 曲面の滑らかさを 0~1 で指定します 値を大きくすると曲率の大きい部分 すなわち曲がりが激しい部分 ほど滑らかになり そうでない部分は簡易的に描かれます. u_step,v_step は, 曲面の各々の方向の分割数の最小値を指定し, 通常は 4 以下を指定します. これに続き,16 個の制御点を記述します. 制御網の P00,P01,P02,P03,P10, P33 を順に指定します. それに続く [ 幾何情報 属性情報 ] は, これまでと同様です. 曲面の例を図 5 36 示します. bicubic_patch 構文 bicubic_patch { パッチの型 flatness 実数値 u_step 整数 v_step 整数 <P_00>,<P_01>,<P_02>,<P_03>, <P_10>,<P_11>,<P_12>,<P_13>, <P_20>,<P_21>,<P_22>,<P_23>, <P_30>,<P_31>,<P_32>,<P_33> [ 幾何変換 属性情報 ] 図 5 36 bicubic_patch の例 bicubic_patch { type 0 flatness 0.01 u_steps 4 v_steps 4 <0, 0, 0>, <0, 1, 2.5>, <0, 2, 1>, <0, 3,0>, <1, 0 0.7>, <1, 1, 2.6>, <1, 2, 0.9>, <1, 3, 1.3>, <2, 0, 0.9>, <2, 1, 1.7>, <2, 2, 1.3>, <2, 3, 1>, <3, 0, 0>, <3, 1, 1>, <3, 2, 1>, <3, 3, 0> pigment{ color Red finish{ specular 0.5 第 5 章高度な形状の利用 24

25 この曲面を定義する制御網と共に示したものを以下の図 5 37 に示します, 図 5 37 曲面と制御ネット 第 5 章高度な形状の利用 25