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1 v4. F.9 微分の表記方法 ライプニッツラグランジュニュートン 必要最低限の数学 - 高専電磁気学のために - st. 7/4/ L st. 9// 次導関数 次導関数 次導関数 d d d df ( ), d f( ) f( ), d f( ) f( ),, ( ), ( ), ( ) 京極一樹, `` 図解入門物理数学, pp.4, アーク出版, 4 d, ˆ ˆ ˆ t ベクトル微分演算子 t: tgtil ˆ ˆ ˆ 常微分演算子 ( 独立変数が つのみの場合 ) 偏微分演算子 ( 独立変数が つ以上の場合 ) ベクトル偏微分演算子 ( 次元 ) ベクトル偏微分演算子 ( 次元 ) ただし, ˆ, ˆ, ˆ : 方向, 方向, 方向の単位ベクトル ベクトル偏微分演算子 ( 次元断面 ) 奥行き 方向に対して は積分演算子 次方程式の解の公式 平方完成 4 4 両辺同じものを足す

2 平方根, 根号, 絶対値 の平方根 ( 乗したら になるような数 : squ oot) を求めよ, の根号またはルート ( ) を求めよ ( ) ( ) 次の絶対値を求めよ () 5 5 ( 5) () () (4) ( ) ( ) 5 j 5 4 又は ( ) ( ) ( ) ( ) 5 d d lim 村上雅人, なるほど微分積分,pp.5-6, 海鳴社 指数関数の定義 を満たす定数 を求めよ ( ) lim lim ( ) lim lim lim ( ) / lim ( ) ( 微分の定義 ) /Δ = とおけば lim l C を証明せよ l log log l () とおくと () これをで微分すると d () 両辺逆数をとると d (4) 対数 指数関数.76 l 7 電磁気でよく使う積分公式 wh p p p C p os sic si os C C log C l C 8 村上雅人, なるほど微分積分,pp.7-8, 海鳴社 川村清, キーポイント微分積分,p. 8, 岩波書店

3 関数の和 差 積 商の微分 d df ( f ) d ( f g) df dg d ( fg) g df f dg df dg g f d f g g 大村平, 数学公式のはなし楽しく学ぶ先人の知恵,p.48, 日科技連 9 関数の場合分け () 同軸線路内部の磁界分布を表す関数は次式で与えられる これをグラフに示せ I () H, l I () H,, I () H, (4) H4, H I I H I ( ) I I ( ) H は二つの関数 /と関数 の重ね合わせ 関数の場合分け () 半径 透磁率 μ の無限長円柱磁性体に一様電流が流れている場合の磁界と磁場は次式で与えられる これをグラフに示せ C I J [A/m ] < のとき I H ˆ I B H ˆ >のとき I H ˆ I B ˆ H I I I H B 関数の極大と極小 変数 を少しだけ動かしての値の変化を調べ,の極値( 極大 極小 ) を調べる谷底山頂 f ( ) f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) 大村平, 数学公式のはなし楽しく学ぶ先人の知恵,p.6, 日科技連

4 dl ˆd ˆd ˆ dv dd d ˆ ẑ d dl ŷ,, デカルト座標 Ctsi oodit または, 直角座標 tgul oodit 直交座標系 dl d ˆ dˆ d ˆ dv ddd ẑ d dl d ˆ ˆ d,, 円筒座標 lidil oodit dl d ˆ d ˆ sidˆ dv si ddd ˆ d dl ˆ d ˆ sid 球座標 sphil oodit,, 三平方の定理 ( ピタゴラスの定理 ) 正方形の面積 ( ) 4 大村平, 数学公式のはなし,p.48, 日科技連 4 os si t os si si t os 三角関数 t si os si 大村平, 数学公式のはなし,p.8, 日科技連 os t 5 ベクトルの投影 ( 射影 ) ベクトル B の A と直行する方向への投影 (A との非類似成分 ) Bsi B B os ベクトル B のベクトル A への投影 ( 射影 ) とベクトル B のベクトル A の垂直方向への投影 A ベクトル B の A 方向への投影 (A との類似成分 ) 6

5 ベクトル B の A 方向への投影 (A との類似成分 ) ベクトルの投影 ( 射影 ) Bsi 抗力 傾斜角度 θ の斜面上で静止している質量 m [kg] の物体 A 摩擦力 B B os 重力 mg( ˆ ) ベクトル B の A と直行する方向への投影 (A との非類似成分 ) 力学の問題では, 力の釣合いを考えるときにベクトルを直角三角形を使って成分に分解する 電磁気も電気力, 磁気力という力学なので同じ方法をとる 7 内積 ( スカラー積 ) と外積 ( ベクトル積 ) 定義 Bsi B A 物理的な意味 B os AB A B os ABos AB A B si ABsi BA B Asi ABsi 内積 を取るということは, ベクトルAとベクトルBの類似成分 ( 同相成分 ) がどれくらいかを示す指標 外積 を取るということは, ベクトルAとベクトルBの非類似成分 ( 直交成分 ) がどれくらいかを示す指標例えば, 交流電力の式 内積を取って = 外積を取ったら 内積を取って = 外積を取ったら P VI os V I V I 交流電圧と電流の内積は, 電圧と電流の同相成分がどれくらいあるかを計算している 8 外積の方向は右ねじの法則 9 ベクトルと大きさ ẑ ˆ ẑ ŷ ˆ ẑ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A ŷ ˆ ˆ A A A ˆ A ˆ A A A 次元,, 空間の単位ベクトル一例として, ハットと ハットの外積は 右ねじの法則 から ハットとなる 次元, 平面上の任意ベクトル A の様子 A はベクトル A の 成分 ( 方向の大きさ ) を表し,A はベクトル A の 成分 ( 方向の大きさ ) を表す さらに, ハットは 方向の単位ベクトルを表し ハットは 方向の単位ベクトルを表す

6 ベクトル A の 軸への投影 ベクトルの和と差 B A B B A A A B A B ベクトルAの 軸への投影 次元, 平面上の任意ベクトルAとベクトルBの和と差 A B( A ) ˆ ( ) ˆ B A B A B( A B ) ˆ( A B ) ˆ B 余弦定理 ( 第 余弦法則 ) A 大村平, 数学公式のはなし,p., 日科技連 C osb osa osc os A 図のような補助線を引けば A B C si A os si A A osa os A si A os A (os Asi A) osa 加法定理の導出 () 余弦定理より P PQ os( ) (, ) ( si ) 三平方の定理より (, ) PQ ( ) ( ) Q ( si ) ( os os ) ( si si ) (os osos si ) (si sisi si ) O ( os ) ( os ) ( osos sisi ) (osos sisi ) 大村平, 数学公式のはなし,p.8, 日科技連 余弦定理と三平方の定理の結果を比較して os( ) osos sisi si( ) os os( ) os os 加法定理の導出 () si si si os si si os 上図より明らかに os( ) os os sisi () 前野, 今度こそ納得する物理 数学再入門,p.9, 技術評論社 () 式の加法定理で α θ+π/ とすれば os os os si si () ここで 三角関数の性質 os si, 一方 三角関数の性質 si os を使えば () 式の左辺は () lft os si も使えば () 式の右辺は () ight si os ossi 左辺 = 右辺より si sios ossi () 4

7 オイラーの公式より j j ( ) 加法定理の導出 () os jsi () os sios si j j( ) j j j j os os si si si os os si os( ) os os si si ()() の虚部を比較して os( ) jsi( ) ()() の実部を比較して si( ) si os os si 安部實電気数学ベクトルと複素数 p.94, 共立出版 () () 5 加法定理の利用例 () Asi t f LO =.75 GH Bsi t とすると と の積 は ABsi tsi t ABsisi t ただし t ここで 三角関数の加法定理より sisi os os 例 ) f =.7 GH (RF) f =.75 GH (LO) f =. GH (RF) f =.75 GH (LO) AB os os t t t t AB os tos t 出力 に入力 とローカル の差の周波数が現れる 即ち f =f -f が成り立つ IN f = 95 MH (IF) f =45 MH (IF) 6 増幅器 (LNA) ミキサ IF アンプ フィルタ (RF) (IF) OUT (LO) 局部発振器 LNB 衛星放送用の受信回路 加法定理の利用例 () 7 複素数の計算 8 加法定理の応用例 () si5 を関数電卓を使わずに求めよ si5 si(45 ) si 45 os os 45 si ( ).44(.7) j os jsi 半角の式 j j j os jsi 倍角の式 j j os jsi Im si j os j R j j j (os si ) Im os, si 半角の式 j j 4 j R 大村平, 数学公式のはなし,p.8, 日科技連 4 os jsi

8 分母の有理化 j のときを有理化して 実部と虚部を求めよ ( j) ( ) j ( j) ( ) j ( ) j( ) j ( ) j ( ) j ( ) j ( ) j ( ) ( )( ) j( ) j( ) ( ) j j j j j ( ) ( ) R, Im ( ) ( ) 9 オイラーの公式と絶対値の応用 負荷における複素反射係数を Γ とするとき 伝送線路上の電圧は次式で与えられる 線路上の電圧の包絡線 ( 最大値 ) を求めよ V() に以下の関係を代入すると j l, j( t) j( t) Vl () j( tl) j( tl) jt jl jt jl jt jl ( jl ) jt jl j( l) 従って j Vl () l l jl 入射波 Z, l 反射波 os( l) j si( l) os( l) si( l) Z L 吸収 所で, 導出した V(l) にオイラーの公式を使えば, os( l) j si( l) j os( l) 双曲線関数 osh sih sih th osh osh sih 双曲線関数 osh - sih - th -4-5 三角関数 os si j j j si t os j j os si 倍 O L 単位円 L : Lを半径 の円に投影した線分 L : Lを半径 の円に投影した線分 L 平面角 [d]: L 平面角と立体角 L L 任意の線分 半径 の円 倍 O S 単位球 S 任意の面 S 半径 の球 S : Sを半径 の球に投影した面積 S : Sを半径 の球に投影した面積 S 立体角 [S]:S 京極, 図解入門物理数学,p.8, アーク出版, 4 伊藤 : 図でわかる電磁気学, p., 講談社サイエンティフィク

9 . 半径 の円周の長さ L l v ˆ L. 半径 の円弧の長さ l. 円運動の速度 v 4. 円運動の加速度 兵藤, 福岡, 高木 `` 高等学校物理 Ⅱ 改訂版 p.6-9, 啓林館 φ ハットは円の接線方向で左回りの単位ベクトル 円運動 ハットは円の中心 Oから 外に向かう単位ベクトル dv vv u v ˆv dt t t t v 5. 円運動の周期 ˆ ˆ T f O v v まとめて u v v u v v v v v v v 拡大 一次近似の式 f ( ) f ( ) f ( ) f f( ) f( ) f( ) 変数関数も同様にして 一次近似の式は 関数の一次近似 f(, ) f(, ) f(, ) f (, ) f f(, ) f(, ) f(, ) f(, ) f f f f f f? f, f,? 4 f(, ) f(, ) 常微分方程式 5 偏微分 6 d d d C d d d d d d d d d C d C d C d C CC si os

10 置換による ( 偏 ) 微分 7 テイラー級数の導出 () 8 Q 4 を求めよ f( ) このとき, 各係数,,,,, を求めよ. に展開できるとする. f( ) f ( X) X とおくと X X df ( ) df ( ) dx dx において df ( ) df ( ) dx X dx ( ) この問題は半径 の円環電荷が中心から 離れた P 点に作る電界を求める際に出てくる / dl O P 手順. 手順. 手順. f( ) に を代入すると, f() f() f ( ) を代入すると, f() f() f ( ) 4 ( ) 4 を代入すると, f( ) f() テイラー級数の導出 () () 手順 4. f () 4 4 ( )( ) を代入すると, () () f ( ) f ()! 手順 5. f () ( )( )( ) を代入すると, (4) (4) f () f () 4! (4) 4 あとは類推して, ( ) f() f() f() f () f ( ) f()!!!! 9 f ( ) si f ( ) os テイラー展開 次の関数を = の近傍でテイラー展開 ( これをマクローリン展開とも呼ぶ ) せよ さらに << のとき,t = で近似できることを示せ f() f() f( ) f() f()!! si 6 os si t 6 os 4

11 近似式 ( テイラー展開の利用例 ) 4 手計算の工夫 ( 入力ミス軽減 ) 4, のとき () () () (4) (5) (6) (7) / si os t 光速の計算 9 v 波動インピーダンスの計算 Z w Z w 波数の計算 f k f f 8 f f k f 次の定積分を求めよ S d 置換積分 置換積分を行うために t と置くと dt d となるから d dt dt t dt t t t t t t 従って D. K. Chg, Fild d Wv Eltomgtis d d., p.98, Addiso Wsl この問題は半径 の円板状一様電荷が中心から 離れた P 点に作る電位を求める際に出てくる S d ds dd d ds R P O Q s [C/m ],, 4 積の積分 ( 部分積分 ) f ( g ) ( ) f( g ) ( ) f( g ) ( ) f ( ), g( ) とおくと 4 従って 最終的に を積分せよ 4 大村, 数学公式のはなし,pp. 7-7, 日科技連 ここに部分積分をもう一度適用して 44

12 積の積分 ( 部分積分 ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) si st I t dt を求めよ f () t si t, g() t st st sit os t dt s s si st os st t t dt ここに部分積分をもう一度適用 s s st f () t os t, g() t st st st si t ost sit dt s s s s s si st os st si st t t t dt s s s si st os st I t t I s s s 最終的に I s 森, 演習で学ぶ基礎制御工学,p.7, 森北出版 st とおくと 45 次元次元4次元次元次元4 次元平面上の円 次元空間上の球面次元直線 円 球面 平面の方程式 直線の方程式 u 4 4 円 球の方程式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u ) 平面の方程式 d d 元等価 次元次元4次 4 d u 4 d 村上 `` ベクトル解析 pp.5-7, 海鳴社 (, ) (, ) (,, ) (,, ) (, ) (,, ) 次元平面上の直線 次元空間上の直線 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 4 次元空間の直線は図示できない 46 (,, ) (,, ) 4 次元空間の球 ( 超球 ) は図示できない (,, ) (,, ) (,, ) 次元平面上の直線 ( 軸方向に一様な面 ) 次元空間上の平面 4 次元空間の平面は図示できない 9.6 C m 9. kg 9.の災害 F/m 7 4 H/m 8 m/s J/g K wt 物理定数と単位 m m.6/9 は鏡像 ( 金属表面の自由電子が見えている ) 9 4 m m m m m m Z W N R Z C Q H 大学数学の基礎定義 自然数全体 実数全体 整数全体 複素数全体 有理数全体 4 元数全体 酒井文雄, `` 大学数学の基礎, pp.4-5, 共立出版, Q.E.D Quod t dmostdum 以上が証明すべきことであった.g. t. i.. s.t. mpli gti = fo mpl 例えば t t など id st = tht is 即ち suh tht 以下のことが成り立つような w..t. with spt to ~に関して 48