回転.rtf

Size: px

Start display at page:

Download "回転.rtf"

まいえちづ
5 years ago
Views:

1 ベクトルの回転の定義は A A rot A ΔS 0 n ΔS (5.) : ounter dl 図 5. ベクトルの回転であり, 回転量を調べる演算子である. ローテーションA, カールA,Aの回転とも読む. 図 5.のように, 閉曲線に沿ってベクトル Aの線積分を行うものとする. 線積分はベクトル Aと線素 dl の内積だから, ある大きさ ( スカラー量 ) が得られる. その大きさをもち, 面と垂直の方向に向くベクトルが A である. 物理的なイメージは渦巻きを想像するとよい. 渦巻きの周方向にベクトル Aが回っているとする ( ベクトル Aを速度と考える ) と, A は渦の軸方向のベクトルに対応する. 速度が速いほど渦の深さは大きくなる. その方向 n は, 閉曲線に沿ってベクトルを左回りに線積分したとき, 右ネジの進む向きになる. A0 ) A0 A 0 ) ) (a) (b) () 図 5. ベクトル Aとその回転成分もし, 図 5.(a) のようにベクトル Aがまっすぐに向き, 場所によって変化がないならば, 閉曲線に沿った線積は全体として0となることが直観的に理解されよう. その結果, A は0となり, 渦を巻いている成分は無いことになる. また, (b) では場所によってベクトルの大きさが違うので, 線積分全体としては値をもち, A は0にならない. 速度で言えば, 速い方から遅い方に流れ込んでくるので, 渦が発生する. 海流によってできる鳴戸のうず潮, 洗濯機の渦などを想像するとよい. () では湧き出しがある場合で, ベクトル Aの向きと閉曲線の線素が互いに直交しているため線積分は0となり, A は0となる. 泉のように湧き出しはあるが, その流れが閉曲線と直交しているような場合, 渦は無いことになる. 以上のように A は渦があるか無いかを調べる基準でもある. /0

2 閉曲線の形はどのような形でもよい. A は閉曲線を限りなく小さくした極限として定義されている. ここでは, 直角座標, 円筒座標, 球座標系における A の表現式を導く. まず, 最も基本的な直角座標系から出発する. 図 5.のようにx - y 平面に辺の長さが Δx, Δyの微小方形ループ ( 閉曲線 ) を作り, 回転の定義にしたがってベクトルの線積分を行ってみよう. z P (x 0, y 0, z 0 ) x x 0 y 0 x y y A z dl x y 図 5. 直角座標系 x-y 面における回転微小方形ループの中心の座標 Pを (x 0, y 0, z 0 ) とし, その位置におけるベクトルを A A (x 0, y 0, z 0 )a x A x a y A y a z A z A x A x (x 0, y 0, z 0 ) A y A y (x 0, y 0, z 0 ) A z A z (x 0, y 0, z 0 ) (5..) とする. 周回積分は各辺の積分に分解できる. (5..) 辺 - についての線積分において, 辺の長さyは微小であり, その線素 dl は dl a y dy ( Δy a y dl dy ) (5..) /0

3 とおける. したがって内積演算では, ベクトルの A y 成分だけを考慮すればよい. なお, A y 成分に関して, ループの中心 P で A y A y (x 0, y 0, z 0 ) であるが, 辺 - では位置が x x 0 x なので A y (x 0, y 0, z 0 ) をそのまま使うわけには行かない. そのため, x 0 位置におけるテイラー展開を利用する. 一次近似でから x だけ移動した A y (x 0 x, y 0, z 0 ) A y (x 0, y 0, z 0 ) A y x x A y A y x x (5..) と置くことができる. したがって, 積分は次のようになる. A y (x 0 Δx, y 0, z 0 ) Δy A y (x 0, y 0, z 0 ) y A y x x y A y y A y x 辺 -における積分で, 線素は dl a x dx x y (5..5) また, ベクトルは A x 成分が対象となる.A x を辺 -(y y 0 y ) 上でテイラー展開すると A x (x 0, y 0 y, z 0) A x (x 0, y 0, z 0 ) A x y したがって, 積分は次のようになる. y A x (x 0, y 0 Δy, z 0) Δx A x (x 0, y 0, z 0 ) x A x y 辺 -では, dl a y dy x y (5..6) A y (x 0 x, y 0, z 0 ) A y (x 0, y 0, z 0 ) A y x x 辺 - では, dl a x dx A y (x 0 Δx, y 0, z 0 ) Δy A y (x 0, y 0, z 0 ) y A y x xy (5..7) A x (x 0, y 0 y, z 0) A x (x 0, y 0, z 0 ) A x y y A x (x 0, y 0 Δy, z 0) Δx A x (x 0, y 0, z 0 ) x A x y x y (5..8) それゆえ, 一周にわたる線積分は (5..5)-(5..8) を加え合わせ, 全体として /0

4 となる. 以上により, 定義式 (5.) の周回積分が得られた. A y x A x y Δx Δy (5..9) 次に (5.) の単位ベクトルの方向であるが, 積分経路に対して右ネジの向きをとるので, 正の z 方向となる ( n a z ). この微小ループ (x-y 平面 ) に対する A の z 方向成分は, A z ΔS 0 n a z ΔS S 0 S A y x A x y x y A y x A x y である. 微小ループがy-z 面内にある場合, 同様な計算を行って, 次の結果が得られる. S ns a x y (5..0) n a A x x ΔS 0 ΔS S 0 S A z y A y 微小ループが z-x 面内にある場合も同様である. y A z y A y (5..) S ns a y x n a y A y ΔS 0 ΔS S 0 したがって, 各成分を加え合わせると S A x A z x x A x A z x (5..) A a x A z y A y A a x y A z x A y a z x A x y (5..) が得られる. これが直角座標系における回転の表現式である. これを覚えることは難しいが, 次のような行列式で書くことができる. A z A a x a y a z x y A A y A x A y A z A x 注意すべき点はベクトル A にを施すと, その結果もまたベクトルになることである. その意味で演算子もベクトルのような性質を持っているといえる. /0

5 次に, 円筒座標系での表現を見てみよう. A z A A rot A ΔS 0 n ΔS P a z dz a d a d A 図 5. 円筒座標における線素と回転の成分まず, 方向の成分 A を調べる. 図 5. のように方向の面を構成する線素 dl はa dとa z dzであり, この面の周回積分は a z dz P a d A A d A z A z d dz A A dz d A z dz A z A d dz となる. したがって, 方向の成分は A S 0 n a S A dl S 0 S A z A d dz A z A A A z A 同様に, 方向を向く面に対して, 線素は dl a d, dl a z dz であり, 周回積分は (5..) A P a d a z dz 5/0

6 A d A z A z d dz A A dz d A z dz A z A d dz となる. この場合, 線積分を行った閉曲線に対して面ベクトルの方向が n a ( 逆向き ) 方向だから, 方向の成分は n a A S 0 S A dl A z A (5..) また, z 方向を向く面に対して,dl a d, dl a d を考慮して積分は次式となる. A z A d A A d d d P a d a d A A d d A d したがって,z 方向の成分は A A A d d d A z A A A d A A d A A d となる. 各成分を加え合わせると円筒座標系における回転の表現式は次のようになる. (5..) A a A z A A a A z a z A A d (5..) A a a a z (5..5) A A A z 6/0

7 最後に, 球座標系での表現を調べる.r 方向の面を構成する線素は a r sin d と a rd である. 周回積分は内積を考慮して r sin d rd dr A rd A A r rd r sin (d) d A A r sin r sin d rd A A r sin d r sin r sin d >> d より sin (d)sin osd os sindsin os d (5..) r sin (d) d r sin d r os d d A に関してまとめると A に関しては A r sin r sin d d A r os d d A r r sin d d Od Od os A r sin A r r sin d d Od Od ここで Od などの項は, 次以上の高次項で, 極限をとった際に消滅するものである. また, os A r sin A r r sin os A sin A r sin sin A となるから, ds r sin d d を考慮して r sinθ θ sinθ A ϕ A θ ϕ ds となる. したがって, 半径方向の成分は A r r sin sin A A (5..) 同様に, 円周方向 ( 経度方向 ) を向く面に対してその周囲の線積分は, 7/0

8 A θ rdθ A r A r r θ rdθ dr A θ A θ r dr ( r dr ) dθ A r A r r dr dr A r r rddr A r rddr A ddr O (5..) となる.dS rddr であるが, 逆向きの面ベクトルをとっているので, 内積では - がでてくる. これをまとめると A r A r A r r ds O r したがって, 方向の成分は次式となる. r ra A r ds O A r r ra A r (5..) また, 方向 ( 北極から測った緯度方向 ) を向く面に対しては A dl A r dr A A r dr (rdr) sin d A r A r r sin d dr r sin A A r sin d r sin d r sin A r A r A r r sin rdrsin d O( ) (5..5) ds rdrsin d であるが, 逆向きの面ベクトルをとっているので, 内積では - がでてくる. これより θ 方向の成分は次式となる. A A r r sin A r A r r sin A r r r sin A (5..6) 各成分を加え合わせると球座標系における回転の表現式は次のようになる. 8/0

9 A a r r sin sin A a r r ra A r A a r sin A r r r sin A (5..7) A r sin a r r a r sin a r (5..8) A r ra r sin A 以上で各座標系における表現が導出できた. 一旦, 自分で公式を導き出してみれば, どうしてそのような形になるのか理解できるし, 回転の考え方も十分理解できると思われる. そのために, 一旦は必ず自分の手で導いてみることが必要である. その後は, 覚えておくことは難しいので, 具体的な式が必要になった場合, 公式を参照しても良いのではなかろうか. Problems 5. Can you explain how to define the rotation of a vetor funtion? 5. Can you explain the physial meaning of the rotation of a vetor funtion? 5. If r x a x y a y z a z is the position vetor, find r. 5. If f and g are two vetor funtions, show that ( f g ) f g 5.5 If is a salar funtion with ontinous seond partial derivatives, then show the rotation of the gradient is the zero vetor Show that the divergene of the rotation of a vetor f is zero. f 0 9/0

10 ベクトル場 Aにおいて, ある閉曲線 ( ループ )Cについての周回積分を考えよう. このループをつのループに分割する. 共有する辺の積分は互いに向きが逆となる. 線積分の和をとると, 共有する線積分は互いに打ち消し合って0となり, 結局, ループ外側の周回積分になる. 数式で書くと C C C C C C が成り立つ. さらにこのような分割を繰り返し, ループCを微小なループ C C i ( i,,, n ), 面積 S にすき間無く分割していく. 分割の場合と同様に, 隣り合う微小ループは必ず互いの辺を共有している. その共有している辺の線積分の向きは逆なので, 積分を合計すると共有部分は打ち消し合い, 一番外側の周回積分のみが残る. 分割を無限に細かくした極限でも成り立つので, 次の式が成立する. lim n n Σi ΔC i C 一方, 各微小ループについて回転の定義から ΔC i A ΔS i が成り立ち, また, 面積分の定義から, lim n n Σi A ΔS i A ds S なので, これらより, C A ds S が成り立つ. これをストークス (Stokes Theorem) の定理という. また, ベクトルの面積積分と線積分を相互に変換する公式としても知られている. 0/0

発散.rtf

発散.rtf 4 章発散発散は重要なベクトル演算の一つであり, 定義は A =diva = lim Δv 0 Δv A d (4.) である.Divergence( ダイバージェンス ) ともいう. この意味は, 微小体積 vを取り囲む全表面 ( 閉曲面という ) 上で, 外向きのベクトル法線成分をすべて加えあわせ, 全体としての量を調べるものである. ベクトルAはどのような向きでもかまわないが, 面ベクトルとの内積