線形弾性体 線形弾性体 応力テンソル とひずみテンソルソル の各成分が線形関係を有する固体. kl 応力テンソル O kl ひずみテンソル
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1 Constitutive equation of elasti solid Hooke s law λδ μ kk Lame s onstant λ μ ( )( ) ( ) linear elasti solid kl kl Copyright is reserved. No part of this doument may be reprodued for profit.
2 線形弾性体 線形弾性体 応力テンソル とひずみテンソルソル の各成分が線形関係を有する固体. kl 応力テンソル O kl ひずみテンソル
3 線形弾性体の構成式 指標表現 kl kl 弾性係数テンソル シンボリック表現 : O O : 9 成分 8 成分 9 成分
4 弾性係数テンソルの階数 指標表現 シンボリック表現 kl kl : テンソルの商法則により は 4 階のテンソルであることがわかる. 4 階のテンソル 階のテンソル テンソル積 kl mn 6(4) 階のテンソル 縮約 ( k m ) 縮約 kl kn ( l n ) kl kl 4(6-) 階のテンソル (4-) 階のテンソル
5 弾性係数テンソル内の独立成分 応力テンソル 9 成分 9 成分 角運動量保存則 6 成分 ( 対称テンソル ) 応力とひずみの対称性 ひずみエネルギー密度関数の存在の仮定 等方性 8 成分 6 成分 成分 kl kl jikl lk kl kl 任意の座標変換において不変 成分 ( 直交異方性であれば 9 成分 ) ひずみテンソル ひずみの定義式 6 成分 ( 対称テンソル )
6 一般化フックの法則 ( ひずみから応力を計算 ) 一般化フックの法則 ( ひずみから応力を計算 ) tr I kk δ 指標表現シンボリック表現展開表現 ( )( ) ( ) ( ) { } L L L L ( ) Ε と が独立な 成分縦弾性係数ポアソン比等方線形弾性体の構成式
7 一般化フックの法則と弾性係数テンソルの対応 弾性係数テンソル 一般化フックの法則 δ kk kl kl kl kl ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) L L これら以外の成分は. kl と 以外の成分は. kl 一般化フックの法則の式 ( 左上 ) では に対する ji 成分 ( この例では に対する ) の項がすでに消去されている.
8 弾性コンプライアンス係数テンソル 指標表現 シンボリック表現 Ckl kl C : 弾性コンプライアンス係数テンソル 弾性係数テンソル と同様に弾性コンプライアンス係数テンソル C も 4 階のテンソルである. kl C kl O kl O kl
9 弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの 関係 ( そのその) 弾性コンプライアンス係数テンソル C C C L C L kl kl 弾性係数テンソル L L kl kl C kl kl kl C kl O kl O kl
10 弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの 関係 ( そのその) C kl kl の関係は 以下の a と b の関係と同じである. の関係は 以下の a と b の関係と同じである. 例えば a b a a a a a y ax ax x by b y y ax ax a x by b y b y y a a a a x x x x a a a a a a a a y y
11 一般化フックの法則 ( 応力からひずみを計算 ) 一般化フックの法則 ( 応力からひずみを計算 ) tr I kk δ 指標表現シンボリック表現展開表現 ( ) { } L L L L ( ) Ε と が独立な 成分等方線形弾性体の構成式縦弾性係数ポアソン比
12 一般化フックの法則と弾性コンプライアンス係数テンソルの対応 弾性コンプライアンス係数テンソル 一般化フックの法則 kk δ Ckl kl C kl C kl C C C C C C C C C C C C C C C C C C ( ) C C C C C C C C これら以外の成分は. kl C L C と C 以外の成分は. C C C L C kl
13 一般化フックの法則の偏差応力と偏差ひずみを用いた表現一般化フックの法則の偏差応力と偏差ひずみを用いた表現 G 指標表現シンボリック表現展開表現 G G m m m m m m G kk δ kk δ I tr I tr 偏差応力偏差ひずみ平均垂直ひずみ平均垂直応力
14 ラメ (Lamé) の定数ラメ (Lamé) の定数 指標表現 シンボリック表現 λ δ μ kk λ tr I μ λ ( )( ) ラメの定数 μ ( ) G λ ( ) μ 展開表現 λ( ) λ( ) λ( ) μ μ μ μ μ μ λ と μ が独立な 成分
15 体積弾性係数 体積弾性係数 K ( ) 材料を単位の体積ひずみだけ変形させるのに要する平均応力 体積ひずみ v kk 平均応力と体積ひずみの関係式 m K v m VdV m 平均応力 m kk ( ) m m V m v dv/v m
16 弾性係数間の関係 等方弾性体における各弾性係数間の関係 G K μ λ G and K G K and ( ) ( ) μ and λ μ λ μ μ 9GK G K K G ( G K ) ( λ μ ) λ μ λ λ ( μ ) G ( ) μ K G ( )( ) λ 等方弾性体では独立な弾性係数は つ
17 構成式の行列表現 指標表現 kl kl シンボリック表現 : 4 階のテンソルである弾性係数テンソルは 本来であれば行列で表現することはできないが 応力テンソルとひずみテンソルを列行列の形に並べ替えることにより行列表現が可能となる. 行列表現 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kl kl
18 Voigt の表記 Voigt の表記 ( ) sym. 行列表現 ( ) ( ) sym. sym. 行列表現 (Voigt の表記 ) Voigt の表記に基づく添字の変更 i (i 4 ~ 6): 工学せん断ひずみ (γ yz γ zx γ xy ) と同じ
19 物体の対称性 物体物体 ( 結晶結晶 格子格子 ) をある軸周りに回転させたとき π/n π/n[rad] で元と重なるとき その物体は n n 回の回転対称であると言い またまた その回転軸を軸をn 回対称軸と言う. 回回転対称 回回転対称 Axis of rotation (n6) 4 回回転対称 6 回回転対称
20 独立な弾性係数の個数 ( その ) 独立な弾性係数の個数 ( その ) ( ) sym. 一般の線形弾性体独立な成分は 個 ( ) sym. 直交異方線形弾性体 ( 斜方晶系単結晶体 ) 独立な成分は 9 個互いに直交する 本の 回対称軸を有する.
21 独立な弾性係数の個数 ( その ) 独立な弾性係数の個数 ( その ) 立方対称線形弾性体 ( 立方晶系単結晶体 ) 独立な成分は 個六方対称線形弾性体 ( 六方晶系単結晶体 ) 独立な成分は 5 個 ( ) sym. ( ) sym. 互いに直交する 本の 4 回対称軸を有する. 6 回対称軸を有する. 等方線形弾性体独立な成分は 個 ( ) sym.
22 構成式の行列表現 ( 工学的表記 ひずみから応力を計算 ) 構成式の行列表現 ( 工学的表記 ひずみから応力を計算 ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xy zx yz z y x xy zx yz z y x G G G γ γ γ τ τ τ 行列表現 ( 工学的表記 ) xy zx yz z y x τ τ τ zx yz xy z y x γ γ γ ひずみ ( 応力 ) テンソルの各成分と工学ひずみ ( 応力 ) の関係 ( ) G Ε と G と のうち独立なのは つ横弾性係数と縦弾性係数 ポアソン比の関係
23 構成式の行列表現 ( 工学的表記 応力からひずみを計算 ) 構成式の行列表現 ( 工学的表記 応力からひずみを計算 ) xy zx yz z y x xy zx yz z y x G G G τ τ τ γ γ γ 行列表現 ( 工学的表記 ) xy zx yz z y x τ τ τ zx yz xy z y x γ γ γ ひずみ ( 応力 ) テンソルの各成分と工学ひずみ ( 応力 ) の関係 ( ) G Ε と G と のうち独立なのは つ横弾性係数と縦弾性係数 ポアソン比の関係
24 各種等方材料の縦弾性係数とポアソン比 物質名 縦弾性係数 (GPa) ポアソン比 アルミニウム (Al) 金 (Au) 銅 (Cu) 鉄 ( 軟鉄 Fe).4.9 白金 (Pt) チタン (Ti) 5.7. ジュラルミン ガラス ( フリント ) 8..7 ジュラルミン :Al-Cu- Mg 系アルミニウム合金 ゴム ( 弾性 ) ポリエチレン ポリスチレン
25 金属材料の代表的な結晶格子 ( 結晶系 ) と座標系金属材料の代表的な結晶格子 ( 結晶系 ) と座標系 面心立方格子 ( 立方晶系 ) x f 体心立方格子 ( 立方晶系 ) x x 最密六方格子 ( 六方晶系 ) x hp x x
26 各種単結晶金属材料の弾性係数 独立な成分は 個 物質名 アルミニウム (Al) 金 (Au) 銅 (Cu) マグネシウム (Mg) チタン (Ti) 結晶系 温度 T (K) (GPa) (GPa) 44 (GPa) 66 (GPa) (GPa) (GPa) 立方晶 6.8 ( ) 8. ( 44 ) 6.7 ( ) 立方晶 9. ( ) 4. ( 44 ) 6. ( ) 立方晶 68.4 ( ) 75.4 ( 44 ).4 ( ) 六方晶 (( )/) 6..7 六方晶 (( )/) 独立な成分は 5 個
27 等方線形熱弾性体の構成式 ( ひずみと温度変化幅からひずみを計算 ) 等方線形熱弾性体の構成式 ( ひずみと温度変化幅からひずみを計算 ) ( 応力 ) ( 力学的ひずみによって生じる応力 ) ( 熱ひずみによって生じる応力 ) 指標表現 kk δ β ΔT δ 温度変化幅 λ kk δ μ β ΔT δ ( ラメの定数を用いた表現 ) シンボリック表現 tr I β ΔT I λ tr I μ β ΔT I ( ラメの定数を用いた表現 )
28 等方線形熱弾性体の構成式 ( 応力と温度変化幅からひずみを計算 ) 等方線形熱弾性体の構成式 ( 応力と温度変化幅からひずみを計算 ) ( ひずみ ) ( 力学的応力によって生じるひずみ ) ( 熱によって生じるひずみ ) 指標表現 kk δ α ΔT δ 温度変化幅 シンボリック表現 tr I α ΔT I 線膨張係数 α β λ μ 物体の温度が K 上昇したときに生じるひずみ l α dl dt
29 各種材料の線膨張係数 物質名 線膨張係数 α ( -6 K - ) アルミニウム (Al). 金 (Au) 4. 銅 (Cu) 6.5 鉄 (Fe).8 白金 (Pt) 8.8 チタン (Ti) 8.6 ジュラルミン.6 ガラス ( フリント ) 8 9 ゴム ( 弾性 ) 77 ポリエチレン ポリスチレン 4
30 熱応力 ( 軸拘束 ) 熱応力 ( 軸拘束 ) 軸拘束 Rigid body Constraint diretion Δ α ΔT Δ ΔT :K の温度変動によって生じる熱応力 Heat α ( ΔT ) α ( ΔT ) ΔT が正 ( 温度上昇 ) のときに発生する応力は負 ( 圧縮 )
31 熱応力 ( 軸拘束 ) 熱応力 ( 軸拘束 ) 軸拘束 Δ α ΔT α ( ΔT ) ( ) α ( ΔT ) Constraint diretion Rigid body Heat Constraint diretion
32 熱応力 ( 軸拘束 ) 熱応力 ( 軸拘束 ) 軸拘束 Δ α ΔT α ( ΔT ) ( ) α ( ΔT ) Constraint diretion Heat Rigid body Constraint diretion Constraint diretion
33 線膨張係数と縦弾性係数の関係 -6 - onstant Higher thermal stress 等しい熱応力を生じさせる α- 関係 P PS Al Au Cu Ti Pt Lower thermal stress...
テンソル ( その ) テンソル ( その ) スカラー ( 階のテンソル ) スカラー ( 階のテンソル ) 階数 ベクトル ( 階のテンソル ) ベクトル ( 階のテンソル ) 行列表現 シンボリック表現 [ ]
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