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1 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 4. 応力とひずみ

2 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 実際の材料の応力 - ひずみ線図 (stress-strain curve) 真破断力 引張強度 降伏点 実応力 (P / A') A': 実際の断面積 応力 (P / A) 降伏強度 最大荷重点 弾性領域 a 塑性ひずみ 弾性ひずみ 鋼の応力 - ひずみ線図 ( 模式図 )

3 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 4. ヤング率 (Young's modulus) 3

4 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 棒の直応力と応力の作用方向の直ひずみ ( 線形弾性体 ) ヤング率 ( ヤング係数 縦弾性係数 縦弾性率 ) : 軸ひずみ ( aial strain ) A A : ヤング率 単位はPa 4

5 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! いくつかの材料のヤング率 (GPa) 鋼鉄 6 超硬合金 (WC-Co イゲタロイ D タングステンカーバイド ( 炭化タングステン ) が主成分 ほこ たて でおなじみ アルミニウム 7 64 杉 7. ポリ塩化ビニル ポリエチレン ナイロン -6, 6 4.4~8.8.4~.3.~.9 花崗岩 砂岩 6 程度 程度 * 超合金 (super alloy) は85 o C 以上で使われる合金で超硬合金とは違う 5

6 超合金 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 超合金 ( ちょうごうきん ) [ 日本大百科全書 ( 小学館 ) ].super alloy 耐熱鋼やステンレス鋼においては最高 85 度 C 付近が使用温度限界であり これ以上の高温では強度が急速に低下する もっとも一般的に使用される材料の耐熱限界を超える温度領域で使用される合金を超合金またはスーパーアロイという 耐酸化性を確保するためにクロムを 5~% 添加し 高温強度を高めるためにモリブデン バナジウム チタン ジルコニウム ニオブ アルミニウムなどを添加する 約 5% 以上の鉄を含むものを鉄基超合金 コバルトの場合をコバルト基超合金 ニッケルの場合をニッケル基超合金という 鉄基およびコバルト基超合金では おもに炭化物の微細分散によって強度を向上しているが ニッケル基超合金では金属間化合物 γ 相 (Ni3Al を基本とする ) の分散による 超合金初音ミク s//4/9//inde.html 6

7 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 問題 4. ヤング率 GPa の棒を MPa の応力で引張った ひずみはいくらか. 棒の長さが m だったとすれば棒は何 cm 伸びているか cm 断面積が mm だったとすれば荷重はいくらか? kn 7

8 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 問題 4. 問題 : 天井に吊り下げられたヤング率 6 GPa 直径 mm の自重を無視できる鉄棒に kg の重りをぶら下げた このときの棒のひずみを求めよ 答 :6.6-5 天井 鉄棒 おもり 8

9 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 断面積 A の棒の自重による応力とひずみ W l A 単位体積の重量を W とすると 棒のひずみは 棒の伸び l は W W l l W ( l ) A WA WA l l l W W d W l WA WA WA 9

10 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 単位 ( 体積 ) 重量 (unit volume weight, unit weight) 単位体積あたりの重量 (weight) 単位体積あたりの質量 (mass) である密度 (density) とは違う 単位 :N/m 3 鉄の例 比重 7.86 密度 7.86 g/cm g/m kg/m 3 単位体積重量 77 N/m 3 77 kn/m 3

11 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 問題 4.3 P( 荷重 ) 問題 : 剛体プラテンを傾かないように引張ったときの組み合わせ棒の伸び量 l を荷重 P 棒の長さ l 棒 A のヤング率 断面積 A A A 棒 B のヤング率 断面積 B A B で表せ 棒 A 棒 B 剛体プラテン 答 : l A A A Pl B A B

12 Potential ( -9 J) Force ( -8 N) 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 荷重と伸び U c 7 r c A 7 n nr n r n Ae -6 Potential F U r c 7 r c A 7 n Ae r n nnr -7 ここで U は 体間ポテンシャル (J) c は真空中の光速度 ( m/s) は各イオンの電荷 A はマーデルング定数 A n n は係数 e は電気素量 (.6 9 C) r は原子の核間距離 r o は結晶の平衡状態における r -8 Force 3 4 r (m) [ - ] Na + と Cl の二体間ポテンシャル および 二体間力

13 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 外力原子引力斥力 平衡状態伸ばしたとき縮ませたとき 3

14 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 4. ポアソン比 (Poisson's ratio) 4

15 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 横ひずみ (lateral strain) d' d L d d: 直径 d d l l+ l d : 直径増加量 d d' ポアソン比 L A L A 無次元なので単位はない 5

16 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 弾性体では.5 鋼 銅 いくつかの材料のポアソン比 岩石.3 程度.3 程度.~.4 ゴム.5 程度 6

17 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! ポアソン比? B() A() A() B() 上下方向の強制圧縮を加えると A() と B() A() と B() の間にそれぞれ斥力が生じる これだけならポアソン比は 距離が縮まるので B() と B() A() と A() の間の斥力が増加 結晶の横方向のイオン間距離が増加する 7

18 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 負のポアソン比 天然材料ではクリストバライト (SiO ) だけ 人口構造物だとハニカム型の特殊構造や泡構造など ( ウイキペディア 未確認 ) J/7/7.htm 8

19 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 問題 4.4 問題 : ヤング率 6 GPa ポアソン比. 長さ 6 mm 直径 3 mm の円柱形岩石供試体を床に鉛直に立て その上に トンのおもりを載せたときの長さと直径の変化はいくらか 答 : 長さは 3.87 m 縮む 直径は.387 m 伸びる おもり 供試体 床 9

20 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 4.3 せん断弾性係数 (shear modulus) または剛性率 (modulus of rigidity)

21 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! せん断応力とせん断ひずみ G : せん断応力 G : せん断ひずみ ( 工学ひずみ ) G: せん断弾性係数 ( 剛性率 )

22 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 問題 4.5 せん断弾性係数 GPa の材料に MPa のせん断応力を負荷した せん断ひずみはいくらか 答 :. この材料の変形前に書いてあった 9 のメッシュは 変形後何度角度が変化したか 答 :.5

23 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 4.4 三次元場における応力とひずみの関係 3

24 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 全部まとめて ( 等方弾性体 isotropic elastic body の場合 ) 4 y y y y y y G G G 等方弾性体とは等方性 (isotropy) を有する弾性体のこと等方性とは物性値が方向に依存しないこと等方弾性体では応力の主軸とひずみの主軸の向きは等しい

25 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 異方性 (anisotropy) 物性値が方向によって異なること 異方性を持つ材料の例 ( 構造物は大概異方性を有する ) 木材結晶一部岩石裂けるチーズ 等方性材料の例 ガラス大抵の金属の多結晶豆腐 5

26 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 問題 4.6 成分のみが であとは の応力状態におけるヤング率 ポアソン比. の等方弾性体のひずみ成分を求めよ =, y = = -., y = y = = 6

27 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 主応力から主ひずみを求める y y y y y y G G G

28 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! ひずみで応力を表す式 はラメ (Lamé) の定数単位は当然 Pa 8 y y y y y y ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( G

29 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 主応力を主ひずみから求める 9 ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( G ) )( (

30 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 問題 4.7 成分のみが であとは の場合 ヤング率 ポアソン比. の等方弾性体の応力成分を求めよ =., y = =.78, y = y = = 3

31 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 問題 4.8 ヤング率 GPa ポアソン比.5 の材料の + を求めよ 答 : = 8 (GPa) = 8 (GPa) + = 4 (GPa) ポアソン比が.5 のとき = となり これをポアソンの条件 (Poisson condition) という 各種の理論式が圧倒的に簡単になるのでよく使われる 3

32 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 弾性定数は 4 階のテンソルだ! ij c ijkl c kl ij ijkl : 応力テンソル : 弾性定数 ( テンソル ) kl : ひずみテンソル * 総和規約 ( summationconvention ) を用いて表している ある項に同じ添字が 回以上現れたらその添え字に関して総和を取る たとえば二次元の場合 i j で k l 等方弾性体であれば c c c c c kl kl c c c c 3

33 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! テンソルを使って便利なこと 異方性への対応 プログラミングが簡単 *c(i,j,k,l), eps(k,l) は与えられているとする for i= to 3 for j= to 3 sig(i,j)=. net i net j c ij ijkl c ij ijkl kl kl * 総和規約 ( summation convention ) を用いて表している : 応力テンソル : 弾性定数 ( テンソル ) : ひずみテンソル for i= to 3 for j= to 3 for k= to 3 for l= to 3 sig(i,j)= sig(i,j) +c(i,j,k,l)*eps(k,l) net l net k net j net i 33

34 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 4.5 弾性定数間の関係 34

35 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! ヤング率 ポアソン比とせん断弾性係数 G であることを示す D D' C C' AC に関する直ひずみは より A B 35

36 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! ヤング率 ポアソン比とせん断弾性係数 D D' C C' 一方 C' AC CC' cos 45 AD cos 45 CC' AD 4 DD' AD G より G = より A B G G 36

37 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 問題 4.9 ヤング率 GPa ポアソン比.5 のときのせん断弾性係数 ( 剛性率 ) はいくらか 答 :4 (GPa) 問題 4. 問題 : ヤング率 6 GPa ポアソン比.3 の金属材料に MPa のせん断応力を加えたときいくらのせん断ひずみが生じるか 答 :

38 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! ヤング率 ポアソン比と体積弾性率 38 V を体積変化量 V を体積として体積ひずみ V は以下のように定義される 微小なひずみを対象としているので 次以上の項を省略して結局となる y y y y y V V V ) )( )( ( y V V V y

39 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 等方圧状態 すなわち y y, y のときせん断ひずみは 直ひずみはすべての方向で等しく したがって V ここで y y 3 K K 3( ) K を体積弾性率 (bulk modulus) という 単位は当然 Pa (, ) 39

40 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 等方弾性体の独立な弾性定数は つ ある応力に対する等方弾性体の変形は つの弾性定数で表すことができる ヤング率とポアソン比 ヤング率とせん断弾性係数 ラメの定数 4

41 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 問題 4. ヤング率 5 GPa ポアソン比.5 のときの体積弾性率はいくらか 答 : (GPa) 問題 4. ヤング率 GPa ポアソン比. の立方体型砂岩を周囲から MPa の圧力で圧縮したとき体積ひずみはいくらになるか 答 :

42 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 4.6 平面応力と平面ひずみ 4

43 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 平面応力状態 (plane stress condition) y y 薄板で近似できるような形状の物体中の応力状態 y 43

44 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 平面ひずみ状態 (plane strain condition) ( ) y y y y トンネルのように軸方向に長い構造物の断面の応力状態を近似するのにしばしば用いられる条件 y 44

45 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 問題 4.3 ヤング率 GPa ポアソン比.4 の弾性体に = (MPa) y = 5 (MPa) y = (MPa) が作用した 平面応力状態を仮定すると y y はいくらか 答 : =, y = 4. -3, y =.8-3 平面ひずみ状態を仮定すると y y はいくらか 答 : =.8 (MPa), = -. -3, y = 3.8-3, y =

46 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 4.7 ひずみエネルギー (strain energy) 46

47 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! ひずみエネルギー? 変形している物体が持っている 元の形状に戻ろうとするエネルギー バネのエネルギーと同じ たとえば地震波はひずみエネルギーの解放により生じる 弾性体の場合 変形に要した仕事に等しい 47

48 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 仕事の復習 物体に与えた効果 を示す作業量力が一定のとき W F u W F u 仕事 力のベクトル 変位ベクトル N の力を加えてその方向に m 移動したとき J 48

49 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 仕事要素 dw 力が一定でないとき 49 y y u F u F u F W W W d d d d d d d u F u F u du F u du dw W

50 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 単位体積あたりの仕事 dy d y d u F 方向だけを考える W F du F ddyd du 両辺を微小要素の体積で除すと単位体積あたりの仕事は F dyd du d d 5

51 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! U 単位体積あたりのひずみエネルギー 単位体積あたりの仕事は d であった 単位体積あたりのひずみエネルギー Uはこれに等しい 図の例では d d [ ] 単位は J/m (Pa 3 N/m N m/m 3 J/m 3 ) この面積が 弾性体を変形させるために要した単位体積あたりの仕事 = 単位体積あたりのひずみエネルギー 5

52 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 弾性体のひずみエネルギー 物体中でUが一定ならば U UV U: 物体全体のひずみエネルギー ( J) そうでないなら U UdV V: 物体の体積 (m 3 ) dv: 微小要素の体積 (m 3 ) 5

53 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 問題 4.4 ヤング率 GPa の弾性体に MPa の一軸応力を作用させた 単位体積あたりのひずみエネルギー (J/m 3 ) はいくらか? 答 :5 J/m 3 体積が m 3 あったとしてひずみエネルギー (J) はいくらか? 答 :5 kj 上述のエネルギーは質量 トンの自家用車が何 m 落下するときに運動エネルギーに変わると思われる位置エネルギーと同じか ( 空気抵抗とかは無視です )? 5. m 53

54 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 三次元場における単位体積あたりのひずみエネルギー 54 ) ( )} ( ) {( )} ( ) )( {( ) ( y y y y y y G U

55 目指せ 世紀の岩盤力学! 北大工岩力! 問題 4.5 ヤング率 GPa ポアソン比. 最大 中間 最小主応力がそれぞれ MPa 5 MPa MPa のときの単位体積あたりのひずみエネルギーを求めよ 答 :5 kj/m 3 55