微分積分学２

ver. 6 8 8

f f G f fx df x fx dx fx, y f G f x, y, z z fx, y G f fx, y fx, y fx, y x a y ψy fa, y y b x φx fx, b x φx fx, y f x, b x y ψy fx, y f a, y y fx, y R x, y a x b, c y d fx, y G f xy R f x, y, z z fx, y, x, y R i

fx, y dxdy R G f x, y, fx, y T C T T f f + x, y + x, y dxdy x y R C S A A n ds V V S A S A diva V A n ds diva dxdydz S V S Ω Ω C X X C X rotx Stokes X t C ds rotx n ds C Green R 3 Ω S ii

C ω C ω Ω Ω C ω C Green Green S S V V ω dω Stokes z fx, y Gnuplot c Thomas Williams, Collin Kelley and many others. Mathematica c Wolfram Research, Inc. OPTION 6 4 iii

iv

4 4.... 4.... 6 4.3... 3 4.4... 6 4.5... 4.6... 8 4.7... 34 4.8... 38 4.9... 43 4.... 49 4.... 5 5 55 5.... 55 5.... 66 5.3... 69 5.4... 7 5.5... 83 5.6... 86 5.7... 9 5.8... 98 5.9... 6 3 6.... 3 6. ivergence Theorem... 7 6.3... 3 6.4 Green... 7 6.5 Green... 4 6.6 Stokes... 6 6.7... 3 6.8... 35 4 83 v

84 85 86 vi

...3.4.5.6.7.8.9 ɛ δ.. 3. 3. 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9,, 3. 3. 3. Gamma Beta 3.3 3.4 3.5...3 3.6.4.5.6.7.8.9....3 vii

viii

4 4. A. R fx, y fx, y Γ f a, Γ f b, fa, b R 3 a, b. fx fx, y fx, y y 3 x, y R 3 <x<3, 3 <y<3 x yz z y 3 z z y x x y fx, y x y x + y fx, y x x, y R

y fx xy x y + z fx. x a + y x b x a + y + z b. x 4az x z x 4az z x + y 4az z 3 x a y x y b. x a y + z b x + z a y b. x y.

3 B. R fx, y α C α a, b fa, b α - - -3 C α α -3 - - 3 fx, y x 3 + y 3 3xy 4.8 B. R 3 fx, y, z α S α a, b, c fa, b, c α S α α fx, y, z x + y + z α a, b, c fa, b, c α α C. R 3 x, y, z R x, y z x r cos θ, y r sin θ, z r, θ R, z R y z r θ x 3

Helicoid x r cos θ y r sin θ z θ Helix x 4cosθ y 4sinθ z θ r 4, π θ π. π θ π.. R 3 γ γ xt, yt, zt R 3 a t b, xt, yt, zt a t b Helix S S xu, v, yu, v, zu, v R 3 u, v, xu, v, yu, v, zu, v u, v x u cos v y u sin v z cosv <u, <v<. R S : x + y z x.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 - S z x z x + y.5 O,, -.5 - - -.5.5 4

x a + y b z c x a cos u + vasin u y b sin u vbcos u <u,v< z cv x a y b z x u y bv bu a <u,v< z v + vu a fx, y, z x + y + z +3 6x + y T x, y, z R 3 x + y + z +3 6x + y x + y + z +3 4 x + y x + y + z. T x, y, z, R 3 C x, y, R 3 x + y 4 C yz- y +z z.5 -.5 - - -.5 - -.5.5.5.5.5 -.5 - -.5 -.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 - -3 - - 3-3 - - 3.. 5

4. R fx, y A. lim fx, y x,y a,b x, y a, b a, b a, b x, y a, b fx, y α lim fx, y α lim fx, y α fx, y α x, y a, b x,y a,b x a,y b α x, y a, b fx, y lim x,y a,b lim x,y a,b lim fx, y α, lim x,y a,b fx, y +gx, y γfx, y gx, y β 4. x,y a,b α + β γα γ 3 lim x,y a,b 4 lim x,y a,b fx, y gx, y αβ fx, y gx, y α β β. a, b fx, y R fx, y lim x,y a,b a, b fx, y fa, b lim fx, y fa, b x,y a,b lim x,y a,b fx, y fa, b lim x,y a,b fx, y a, b. fx, y fx, y R x, y fx, y fx, y fx, y fx, y fx, y y x x, y R x 6

lim fx, y lim y x,y +,y x,y +,y x lim fx, y lim y x,y,y x,y,y x y > y < y > y < lim fx, y x,y,y z y/x z y fx, y y // x fx, y x y x + y x, y R x + y R \, x, y r cos θ, r sin θ, lim fx, y lim x,y, x,y, x y x + y r 4 cos θ sin θ lim lim r cos θ sin θ r r r lim fx, y x,y, fx, y, fx, y R fx, y x, y, fx, y x, y,, lim fx, y f, x,y, z x y x + y // z y x R fx, y, gx, y fx, y+gx, y, fx, y gx, y, fx, ygx, y fx, y gx, y x, y gx, y fx, y R fx, y fx, y x, y R I φt I φfx, y. pt qt R J t J pt, qt fpt, qt J. 7

4. fx, y x y x + y O, R. fx, y tan y x R 3 R 3 z cos θ r B. R x n,y n n,, R x, y xn x +y n y. lim n R K K x n,y n n,, R x,y x,y K. [a, b] [c, d] [a, b] [c, d] x n,y n n,, R x,y x n,y n [a, b] [c, d] a x n b, c y n d n,, a x b, c y d n,, x,y [a, b] [c, d] // y. R a, b a, b r r a, b x, y R x a +y b r a, b r a, b x n,y n n,, R x,y x ra, b x a +y b x x n +y y n + x n a +y n b x n x +y n y + r r n x a +y b r x,y r a, b // 8

4. 5.,. R K fx, y K K x,y K x, y fx, y fx,y fx, y fx,y x, y K. K x, y K x, y fx, y fx,y fx, y fx,y x, y K. R O O x,y x,y r r x,y x, y x x +y y <r O. R x,y r r x,y x, y x x +y y <r R R a, b c, d y tx,y x,y rx,y x,y r x,y x,y x s x x +y y <r x, y t < r s t x,y x, y x x +y y <t x, y x x +y y x x +y y + x x +y y <t+ s<r t x,y x, y x x +y y <t r x,y. y R r x,y x 9

R R a, b c, d R Ω Ω x, y, x,y x,y, x,y Ω γ : [, ] Ω, γ x,y γ x,y. ɛ δ R x n,y n n,, R x, y lim xn x +y n y n ɛ N n n N x n x +y n y < ɛ x n,y n x, y ɛ N n n N x n x +y n y ɛ n fx, y x, y fx, y x,y ɛ δ x, y x x +y y < δ fx, y fx,y < ɛ ɛ δ x δ,y δ xδ x +y δ y < δ fx δ,y δ fx,y ɛ.

R K fx, y K ɛ δ x, y, x,y K x x +y y < δ fx, y fx,y < ɛ R fx, y x, y, a, b fa, b >. : δ> : x a +y b fa, b <δ fx, y. δ x a +y b fa, b <δ fx, y 3 R R R p, q, p,q fp, q, fp,q R... Bolzano-Weierstrass R K x n,y n n x nk, y nk k K fx, y K fx, y K n fx n,y n >n x n,y n K x n,y n K n x nk,y nk k lim k x n k,y nk x,y K fx,y lim fx n k,y nk <fx,y < k fx, y K V fx, y x, y K R.. sup V fxn,y n V n x n,y n n K

K x nk,y nk k fx, y sup V V lim x n k,y nk x, y K k fx, y lim k fx n k,y nk lim n fx n,y n sup V fx, y fx,y x, y K. max fx, y fx,y supv x,y K x,y K fx, y K //. R K fx, y K ɛ n K x n,y n, x n,y n xn x n +y n y n < n fx n,y n fx n,y n ɛ n,, Bolzano-Weierstrass x n,y n, x n,y n n x nk,y nk, x n k,y n k x k,y k, x k,y k k x k x k +y k y k < k K fx k,y k fx k,y k ɛ k,, lim x k,y k x,y, lim k k x k,y kx,y lim x k x k k +y k y k x x +y y x,y x,y lim fx n,y n fx n,y n fx,y fx,y ɛ> k K fx, y K //

4.3 A. z fx, y a, b R fa + h, b fa, b lim h h fx, y a, b x a, b x f x a, b fa, b + h fa, b lim h h fx, y a, b y a, b y f y a, b fx, y R a, b x f x a, b f x x, y f x x, y fx, y x fx, y R a, b y f y a, b f y x, y f y x, y fx, y y fx, y x y 3 + x +5y, gx, y e xy +sinx +y f x x, y xy 3 +, f y x, y 3x y +5 g x x, y ye xy +cosx +y, g y x, y xe xy +cosx + y B. fx, y, gx, y x 4. fx, y+gx, y fx, y+ gx, y x x x αfx, y α fx, y α x x 3 fx, y gx, y x 4 gx, y x fx, y gx, y+fx, y gx, y x fx, y x fx, y gx, y fx, y xgx, y. x gx, y gx, y 3

fx, y, gx, y y fx, y f x x, y x f xx x, y fx, y. x f x x, y y f xy x, y fx, y. y x f y x, y x f yx x, y fx, y. x y f y x, y y f yy x, y fx, y. y f xx x, y x f xxx x, y 3 fx, y. x3 f xx x, y y f xxy x, y 3 fx, y. y x 4.3 fx, y x 3 3xy + y 3 fx, y xy x + y 3 fx, y exy e x + e y 4 fx, y logx + y 5 fx, y x y 6 fx, y tan y x x> 7 fx, y cos x y> 8 fx, y x + y x +y x + y fx, y x y 3 + x +5y, gx, y e xy +sinx +y 3 fx, y, z fx,x,,x n fx, y, z f x a, b, c, f y a, b, c, f z a, b, c, fx, y, z αx + βy + γz +λxy +μyz +νzx C. z fx, y S S Pa, b, fa, b R 3 π a : x a π b : y b S π b S π b x t y b z ft, b t R R 3 4

π b : y b x t C b : z ft, b t R π b C b Pa, b, fa, b π b fx, y y y b fx, b x ϕx fx, b C b Pa, b, fa, b z ϕx fx, b x a ϕ a a, b fx, y x fa + h, b fa, b f x a, b lim ϕ a. h h C b Pa, b, fa, b, R 3 x t y b z f x a, bt a+fa, b t R S π a S π a R 3 x a y t z fa, t t R π a : x a y t C a : z fa, t t R π a C a Pa, b, fa, b π a fx, y x x a fa, y y ψy fa, y C a Pa, b, fa, b z ψy fa, y y b ψ b a, b fx, y y fa, b + h fa, b f y a, b lim ψ b h h C a Pa, b, fa, b, R 3 x a y t z f y a, bt b+fa, b t R 5

4.4 A. R 3 a, b, c R 3 ax + by + cz d x,y,z x x + ta : y y + tb t R. z z + tc abc : x x a y y b z z c R 3 a, b, c,, x,y,z ax x +by y +cz z, ax + by + cz ax + by + cz. r> x + y + z r x,y,z Hint. x,y,z 3 R 3 O x + y + z 6,, x + y + z 6,,,, : x + y +z 6. 6

B. fx, y R C f x x, y, f y x, y c fa, b, α f x a, b, β f y a, b a, b z fx, y Pa, b, c Pa, b, c P h a + h, b, fa + h, b P k a, b + k, fa, b + k hk P, P h, P k π h,k π h,k : z c fa + h, b fa, b x a+ h fa, b + k fa, b y b. k h, k P h, P k P π h,k T P T P : z c f x a, bx a +f y a, by b T p T P z fx, y Pa, b, c z fx, y x a T P : y b +s +t s, t R z c α β π h,k lp z fx, y Pa, b, c z fx, y l P l P : x a tf x a, b y b tf y a, b z c t t R. z fx, y Pa, b, c l P x a α α l P : y b + t β t R, N P β z c N P f x a, bf y a, b l P l P : x a f x a, b y b f y a, b z c. 7

R 3 O x + y + z 6,,,, z 6 x y,, x z x x, y 6 x y, z y yx, y 6 x y z x,, z y,.,, z x y, z x y +3. // z 4 z x + y,, z x x, y x, z y x, y y, z x,, z y,. x y z x + y,, : z x +y, z z x +y. // 5 gx, y e x y 3 z gx, y a, b, ga, b a, b,.6 z e -x -y 3 y C. R 3 γ γt xt, yt, zt R 3 a t b, xt, yt, zt a t b C x γ γt, γt + h l h X x, y, z R 3 h l h : X γt+s γt + h γt h γt + h γt h <s< R 3 h 8

γ γt + h γt t lim h h xt + h xt yt + h yt zt + h zt lim, lim, lim h h h h h h x t, y t, z t R 3 γ t γ γt T T γ γt l T : X x, y, z R 3 x xt+sx t y yt+sy t s R z zt+sz t l T : X γt +st s R, T γ t x t, y t, z t. 4.3 C. 6 x +y +z tan δ x+z Px, y, z <δ < π P xy Q O P δ POQ δx, y, z P T P xt,yt,zt xy P δ POQ δt x <, y, z > x z O P Q y. R 3 Aa,a,a 3, Bb,b,b 3 R 3 θ A B a b + a b + a 3 b 3 A B cos θ, A B a b 3 a 3 b, a 3 b a b 3, a b a b R 3. A B A a a b 3 a 3 b +a a 3 b a b 3 +a 3 a b a b A B B b a b 3 a 3 b +b a 3 b a b 3 +b 3 a b a b 9

A B A, B π sa+tb s, t R A B π π Xx, y, z A B X A B Cc,c,c 3 π π C sa+tb+c s, t R π C Xx, y, z A B X C S R 3 S Xu, v xu, v, yu, v, zu, v R 3 u, v, xu, v, yu, v, zu, v u, v R C S Xu,v xu,v, yu,v, zu,v R 3 u,v T : S x xu,v +sx u u,v +tx v u,v y yu,v +sy u u,v +ty v u,v z zu,v +sz u u,v +tz v u,v s, t R. X u u,v x u u,v,y u u,v,z u u,v R 3 X v u,v x v u,v,y v u,v,z v u,v R 3 T : X Xu,v +sx u u,v +tx v u,v s, t R. T S fx, y z fx, y - 4.4 3 S γt S Xu, v xu, v, yu, v, zu, v R 3 u, v γt Xu + at, v + bt R 3 t< ɛ γ γ γ d dt Xu + at, v + bt t ax u u,v +bx v u,v,ay u u,v +by v u,v, az u u,v +bz v u, v ax u u,v +bx u u, v R 3.

γ γ l T : X γ + tγ Xu,v +tax u u, v +tbx u u,v t R. γ γ l T T T S T S S Xu,v xu,v, yu,v, zu,v R 3 u,v T : X Xu,v +sx u u,v +tx v u,v s, t R N X u u,v X v u,v y u u,v y v u,v z u u,v z v u,v, z u u,v z v u,v x u u,v x v u,v, x u u,v x v u,v y u u,v y v u,v l N : X Xu,v +t N t R 4.4. 4. C. x u cos v Helicoid y u sin v z v u, <v< fx, y R C z fx, y Xx, y x, y, fx, y R 3 x, y B. S : z fx, y x, y. S : Xx, y x, y, fx, y R 3 x, y

4.5 A. qx, y Ax +Bxy+Cy A, B, C a, b, ϕt qat, bt t R ϕ t, ϕ t B. z - fa,b α h + β k fx, y R C f x x, y, f y x, y α f x a, b, β f y a, b a, b a,b,fa,b z fx, y ɛh, k fa + h, b + k fa, b αh βk h + k h, k, fa + h, b + k fa, b+αh + βk + h + k ɛh, k lim ɛh, k h,k, fx, y a, b a, b fx, y a, b, fa, b fx, y fa, b z fa, b f x a, bx a+f y a, by b dz f x a, bdx + f y a, bdy df f x x, ydx + f y x, ydy fx, y fx, y C xt, yt d dt fxt,yt f xxt,ytx t+f y xt,yty t fxt,yt 3 z fx, y C x ϕu, v y ψu, v

z fϕu, v,ψu, v z u z x x u + z y y u z v z x x v + z y y v, z u z x z v z x fϕu, v,ψu, v u fϕu, v,ψu, v v x u + z y x v + z y y u y v. f v ϕu, v,ψu, v ϕu, + f v ϕu, v,ψu, v ψu, x u y u f v ϕu, v,ψu, v ϕu, + f v ϕu, v,ψu, v ψu, x v y v. // x ϕu, v y ψu, v u, v- x, y- T T :u, v x, y ϕu, v, ψu, v. T x ϕu, v y ψu, v ϕu, v u ψu, v u Jacobian, ϕu, v v ψu, v v ϕ, ψ u, v x, y u, v J T u, v 4 F :r, s u, v λr, s, μr, s G :u, v x, y ϕu, v, ψu, v G F : r, s x, y ϕλr, s,μr, s, ψλr, s,μr, s x, y r, s x, y u, v u, v r, s, J G F J G J F 3 ϕ r ϕ u λ r + ϕ v μ r ϕ s ϕ u λ s + ϕ v μ s ψ r ψ u λ r + ψ v μ r ψ s ψ u λ s + ψ v μ s ϕ r ψ r ϕ s ψ s ϕ u ψ u ϕ v ψ v λ r μ r λ s μ s // 3

C. z fx, y C x r cos θ, y r sin θ z zr, θ zr cos θ, y r sin θ z r z x x r + z y y r z x cos θ + z y sin θ z θ z x x θ + z y y θ z x r sin θ+z y r cos θ. z r z θ cos θ r sin θ z x cos θ sin θ r sin θ rcos θ z y z x z y z r z θ sin θ rcos θ z x z r r x + z θ θ x z y z r r y + z θ θ y, r x r y θ x θ y z x z y cos θ sin θ z r z θ sin θ r cos θ r r x cosθ, r y sinθ θ x sin θ, θ y cos θ r r r tan y x > x x + y θ π +tan y x x< r x x x + y x r cosθ, r y y x + y y r sinθ z r z θ. θ x y x + y x y x + y y r sin θ r, θ y x + y x x x + y x r cos θ r //. z x +z y z r + r z θ z x +z y z r cos θ z θ sin θ + z r sin θ + z θ cos θ zr + r r r z θ. 4

. fx, y C h, k,, Δf fx + h, y + k fx, y Δf fx + h, y + k fx, y + k+fx, y + k fx, y y + k x ϕx fx, y + k fx + h, y + k fx, y + k ϕx + h ϕx ϕ x + θ hh hf x x + θ h, y + k x y ψy fx, y fx, y + k fx, y ψy + k ψy ψ y + θ kk kf y x, y + θ k Δf fx + h, y + k fx, y + k+fx, y + k fx, y hf x x + θ h, y + k+kf y x, y + θ k < θ, θ < ɛ f x x + θ h, y + k f x x, y ɛ f y x, y + θ k f y x, y Δf hf x x, y+kf y x, y+hɛ + kɛ. Cauchy-Schwarz dz f x x,y dx + f y x,y dy x,y,fx,y hɛ + kɛ h + k ɛ + ɛ f x x, y f y x, y lim ɛ lim ɛ h,k, h,k, lim h,k, ɛ + ɛ, hɛ + kɛ lim h,k, h + k a b α f x a, b β f y a, b // fa + h, b + k fa, b αh βk h + k h, k, 5

fx, y C xt, yt ϕt fxt,yt x xt, y yt h xt + δ xt, k yt + δ yt α f x x, y, β f y x, y ϕt + δ ϕt fxt + δ,yt + δ fxt,yt fx + h, y + k fx, y ϕt + δ ϕt αh βk δ xt, yt h lim δ δ x t fx + h, y + k fx, y αh βk h + k h + k δ k lim δ δ y t h + k lim x δ δ t + y t <. ϕt + δ ϕt αh βk lim δ δ // fx + h, y + k fx, y αh βk lim δ h + k ϕt + δ ϕt αh βk lim δ δ ϕt + δ ϕt h lim α lim δ δ δ δ β lim k δ δ ϕt + δ ϕt lim αx t βy t δ δ ϕ ϕt + δ ϕt t lim αx t+βy t δ δ. n n fx,x,,x n C n x t, x t,,x n t d dt fx t,x t,,x n t n f xi x t,x t,,x n t x it. i 6

4.5 fx, y C f y x, y fx, y ϕx fx, y x fx, y C xf x x, y yf y x, y xy z fx, y xy u Hint. u xy, v y uv zu, v f v,v 3 fx, y C xf y x, y yf x x, y x, y, z fx, y r x + y 4 ux, y C u xy x, y ux, y fx+gy 5 t> ftx ty t m fx, y fx, y m fx, y, R C fx, y m xf x x, y+yf y x, y mfx, y af x a, b+bf y a, b mfa, b a, b R 6 x + y xy x + y 3 x y 4 x + y 3 e y x x + y 7 xy x, y, fx, y x + y x, y, R, y z x z fx, y 8 fx, y x y x + y 4. R C 7

4.6 A. fx, y f x x, y, f y x, y, f xy x, y, f yx x, y f xy x, y f yx x, y f xyx x, y f yxx x, y f xxy x, y 4 f x y 4 f x x y y 4 f x y x y 4 f x y y x 4 f y x y x 4 f y y x x 4 f y x. fx, y n n k k n fx, y C n fx, y fx, y C 4.5 B. n n n x i fx, y n i y y n i fx, y i,,,n i x B. fx, y e x cos y f xx x, y, f yy x, y z e x cos y z y Δfx, y f xx x, y+f yy x, y x Δ x + y Laplacian z Δfx, y fx, y x x + y, ex cos y, e x sin y, tan y x, log x + y. y x z log p x.5 +y.5 +log p x.75 +y.7 +log p x.75 +y.9. 8

z fx, y C x r cos θ, y r sin θ z xx + z yy z rr + z r r + z θθ r. x z x z r r z θ 4.5 C. y z y z r r + z θ y r x r z xx z rr r x + z rθ θ x x r + z y r r 3 z θrr x + z θθ θ x y r z xy θ r 4 x z rr r z xy rθ r 3 + z y θθ r 4 + z y r r 3 + z xy θ r 4 z yy z rr r y + z rθ θ y y r + z r r 3 +z θrr y + z θθ θ y x r + z θ y z rr r +z xy rθ r 3 + z x θθ r 4 + z x r r 3 z xy θ r 4. x z xx + z yy z rr r + z y rr r + z y θθ r 4 + z x θθ r 4 + z y r r 3 + z r x xy r 4 x r 3 z rr + z r r + z θθ r. // C. u fx, y, z C x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ, z z <ρ, ϕ<π, <z< 4.5 C. u x + u y + u z u uϕ +u ρ + ρ z. u xx + u yy + u zz u ρρ + u ρ ρ + u ϕϕ ρ + u zz. 3 u fx, y, z C x r sin θ cos ϕ, y r sin θ sin ϕ, z r cos θ <r, θ π, ϕ<π z, θ ϕ u x +u y +u z u r + uθ + uϕ. r r sin θ y r x 9

u xx + u yy + u zz u rr + u θθ r + u ϕϕ r sin θ +u r r +cotθ u θ r r r ru + r sin θ u + sin θ θ θ r r r u r + r sin θ θ sin θ u θ u ϕ r sin θ + r sin θ u ϕ. r x + y + z, θ cos z r, ϕ cos x x + y r x x r, r y y r, r z z r xz θ x r x + y, θ yz y r x + y, ϕ x y x + y, ϕ x y x + y, ϕ z. θ z x + y x u x u r r + u xz θ r x + y u y ϕ x + y, y u y u r r + u yz θ r x + y + u x ϕ x + y, z u z u r r u x + y θ r u x + u y + u z u r + uθ + uϕ. ϕ r r sin θ r ϕ π y x x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ, z z <ρ, ϕ<π, <z< uρ, ϕ, z u xx + u yy + u zz u ρρ + u ρ ρ + u ϕϕ ρ + u zz. ρ r sin θ, z r cos θ, ϕ ϕ <r, <θ<π, ϕ<π ur, θ, ϕ u ρρ + u zz u rr + u r r + u θθ r u ρ ρ cos θ u r sin θ + u θ r sin θ r u xx + u yy + u zz u rr + u r r + u θθ r + u r r +cotθ u θ r + u ϕϕ r sin θ u rr + u r r + u θθ r +cotθ u θ r + u ϕϕ r sin θ r r ru + r sin θ r r r u r θ + r sin θ 3 sin θ u θ θ sin θ u θ + r sin θ + r sin θ u r r +cotθ u θ r u ϕ u ϕ. //

Δ x + y + z fx, y, z. Laplacian Δfx, y, z, sin 3x sin 4y sinh 5z. x + y + z. fx, y f xy x, y, f yx x, y x,y h, k,, Δfx + h, y + k fx + h, y fx,y + k+fx,y y, y + k ϕx fx, y + k fx, y ϕx Δϕx + h ϕx ϕ x f x x, y + k f x x, y Δ ϕ x + θ h h f x x + θ h, y + k f x x + θ h, y h < θ < f xy x, y y ψy f x x + θ h, y ψ y f xy x + θ h, y Δψy + k ψy h ψ y + θ k kh f xy x + θh, y + θ k hk < θ < Δ f xy x, y lim h,k, hk f xyx,y x,x + h ϕy fx + h, y fx,y Δ ϕy + k ϕy ϕ y + θ k k f y x + h, y + θ k f yx,y + θ k k < θ < x ψx f y x, y + θ k ψ x f yx x, y + θ k Δ ψx + h ψx k ψ x + θ h hk f yx x + θ h, y + θ k hk < θ < f yx x, y lim h,k, Δ hk f yxx,y // f xy x,y lim h,k, Δ hk f yxx,y 3

4.6 z xx, z xy,z yx,z yy : z R x y α z tan x + y t fx, t A coskx + ωt+bcoskx ωt A, B, k, ω R z f xx + k f x z cosx +4t+3cosx 4t 3 C fζ gζ c k ux, t fkx + ct+gkx ct u xx c u tt * ft ϕx, y fϕx,y fϕx,y x f ϕx, y ϕx, y, x fϕx,y y f ϕx, y ϕx, y. y 4 u xx c u tt C ux, t Hint: ξ x + ct, η x ct z ux, t z ξη 5 ux, y, t x +y 4πkt e 4kt k z ux, y, t t u t kδu r z r e 4t 4πt 3

6 r x + y + z x r, y r, Δ r z r x + y + z r 7 F x, y, z r x + y + z fr F x, y, z fr ΔF x, y, z Δfr f r+ r f r fr r α α R, log r Δfr 8 fx C ux, y, z, t f x + y + z ct x + y + z z t c ux, y, z, t u t c Δu u c cosr t z r <r<π, π <t<π r 9 C fζ gζ c λ, μ, ν λ + μ + ν ux, y, z, t fλx + μy + νz + ct+gλx + μy + νz ct u t c Δu u λ, μ λ + μ ux, y cosλx + μy Δu u k, λ, μ λ + μ z cosx + y z y ux, y, t e kt cosλx + μy u t kδu x 33

4.7 B. Taylor Maclaurin fx, y R C n 4.6 A <p n p p fx, y p fx, y x p, x p y,, p fx, y x p i y i,, p fx, y x y p, p fx, y y p p h, k p pc i h p i k i p fx, y x p i y i h x + k pfx, y a, b y i h x + k pfa, b h y x + k pfx, p [ y y xa, pc i h p i k i p f ] yb x p i y i a, b p C i p! i!p i! i fx, y R C n a, b, x, y fx, y fa, b+ x a x +y b fa, b+ x a y! x +y b fa, b+ y + x a n! x y +y b n fa, b+rn R n x a n! x +y b nfa + θx a,b+ θy b < θ< y T n x, y n p x a p! x +y b pfa, b fx, y a, b n y Taylor fx, y T n x, y R n a, b x, y a+θx a,b+θy b < θ< Lagrange fx, y, R C n,, x, y fx, y f, + x x + y f, + x y! x + y f, + y + x n! x + y n f, + Rn y R n x n! x + y nfθx, θy < θ < y 34

fx, y x, y a, b C R n lim R n fx, y a, b, n fx, y x a n! x +y b nfa, b. y n fx, y h x + k fx, y hf x x, y+kf y x, y, y h x y + k fx, y h f xx x, y+hkf xy x, y+k f yy x, y, h x y + k 3fx, y h 3 f xx x, y+3h kf xxy x, y+3hk f xyy x, y+k 3 f yyy x, y,. fx, y x + y xy x, y, Taylor f x x, y x y, f y x, y y x f xx x, y, f xy x, y, f yy x, y f xxx x, y f xxy x, y f xyy x, y f yyy x, y fx, y +x + y + x x y + y! +x + y + x x y + y, R.. fx, y e x+y x, y, Taylor e x+y +x + y + x + y! + + x + yn n! + θx + θyn n! p+q fx, y fx, y e x+y x p y q p, q,,, x k! x + y kf, x + y k y k! k,,. fx, y +x + y+! x + x + y yn + + + R n n! θx + θyn R n < θ <. n! C. fx, y a, b C n t F t fa+ht, b+kt F t C n 35

F p t h x + k pfa + ht, b + kt p,,,n y p F p t h x + k y pfx, ip y i pc i h p i k i p fx, y x p i y i x a + ht, y b + kt F p t h x + k pfx, y y xa+ht, h yb+kt x y + k pfa + ht, b + kt F t fa + ht, b + kt F t hf x a + ht, b + kt+kf y a + ht, b + kt d h dt F t x + k fx, y y 4.5 xa+ht, yb+kt p F p t h x + k y pfx, y xa+ht, yb+kt F p+ t d dt F p t h x + k h y x y + k pfx, y xa+ht, yb+kt h x y + k p+fx, xa+ht, y yb+kt //. Taylor fx, y C n a, b h, k,, t F t fa + th, b + tk t F t Taylor F t F + F t + F t + + F n! n! tn + F n θt t n < θ < n! 36

F p F F + F + F! F n θ F p t fa + h, b + k fa, b+ + + F n n! h x + k pfa + ht, b + kt y + F n θ n! h x + k pfa, b p,,,n y h x + k nfa + θh, b + θk y t F h + n! h x + k y fa, b+! x + k y n fa, b+ n! h h x + k y x + k fa, b+ y nfa + θh, b + θk < θ < x, y a + h, b + k h x a, k y b fx, y fa, b+ x a x +y b fa, b+ x a y! x +y b fa, b+ y + x a n! x +y b n fa, b+rn y R n x a n! x +y b nfa + θx a,b+ θy b < θ < y 4.7 fx, y x 3 + y 3 3xy x,y 3 Taylor fx, y e x cos y x,y Taylor 3 fx, y e ax sin by a, b x,y π Taylor 4 ϕx x a C n, ψy y b C n fx, y ϕxψy a, b C n h x + k pfx, p y pc i h p i k i ϕ p i xψ i y y i 37

4.8 A. A fx, y x, y x,y δ x x +y y <δ, x, y A fx,y fx, y A fx, y x, y x,y δ x x +y y <δ, x, y A fx,y fx, y O fx, y fx, y A fx, y x, y x,y fx, y x, y x,y fx, y e x y fx, y e r z z e x y r x + y y fx, y x, y, f, x fx, y x + y + 8+ 6 x + y + fx, y z fx, y gx, y 6 x + y +x + y 3 38

z fx, y z y z y x x z gx, y B. z qx, y αx +βxy + γy α qx, y α x + β α y αγ β + α α>, β αγ < qx, y, α<, β αγ < qx, y, α, β αγ > q, y y x β αγ > α > qx, αx > x q βy, αy αy αγ β < y, qx, y qx, x +xy +3y q, fx, y x,y R ϕx fx, y x x ψy fx,y y y f x x,y f y x,y x,y fx, y fx, y f xx x, y f xy x, y Hx, y fx, y Hesse f yx x, y f yy x, y, fx, y C x,y R fx, y f x x,y f y x,y 39

f xy x,y f xx x,y f yy x,y Hx,y f xx x,y >, < fx,y f xx x,y <, < fx,y 3 > fx,y 4 fx, y x 3 + y 3 3xy z z x 3 + y 3 3xy f x x, y f y x, y x, y f xx x, y, f xy x, y, f yy x, y 3 fx, y f x x, y 3x y f y x, y 3y x x, y,,,. f xx 6x, f xy 3, f yy 6y. y x 3 fxy f xxf yy 9 36xy x, y, 9> f, x, y, 9 36 7 <, f x, 6 > f, 4.8 fx, y xy + a x + a y a> z z y y x x z x 4 + y 4 +x y x +y z xy + a x + a y 4

z x 4 + y 4 +x y x +y 3 z x 3 +3xy 3x 3y +4 4 fx, y xy e x y 5 fx, y cosx + y +sinx +siny x, y <π 6 z x +4xy + y z 3x y z π 4 fx, y x +4xy + y. fx, y, xt, yt C ϕt fxt,yt ϕ t f x xt,ytx t+f y xt,yty t ϕ t f xx xt,ytx t +f xy xt,ytx ty t+f yy xt,yty t + f x xt,ytx t+f y xt,yty t x xt, y yt f x x,y f y x,y f xx x,y f xy x,y f xx x,y f yy z,y < x t,y t, ϕ f x x,y x + f y x,y y ϕ f xx x,y x +f xy x,y x y + f yy x,y y B. ϕt t t a, b, ϕt fx + at, y + bt t fx, y C x,y R f x x,y f y x,y f xy x,y f xx x,y f yy x,y fx, y C x, y f xy x, y f xx x, yf yy x, y f xx x, y 4

x,y f xy x,y f xx x,y f yy x,y f xx x,y x, y x,y x, y f xx x,y δ x,y > x,y < f xx x,y > fxx x,y < x x +y y <δ x, y >, x x +y y <δ x, y <, x x +y y <δ f xx x, y >. x x +y y <δ f xx x, y <. x, y x + a, y + b < x x +y y a + b <δ ϕt fx + at, y + bt t x,y < f xx x,y > ϕ f x x,y a + f y x,y b ϕ t f xx x + at, y + bt a +f xy x + at, y + bt ab +f yy x + at, y + bt b > t ϕ t t ϕt t fx, y ϕ ϕ fx,y fx,y x,y < f xx x,y < fx,y x,y > f xx x,y > α f xx x,y >, β f xy x,y, γ f yy x,y B. ϕt fx + αt, y t ϕ f x x,y α ϕ α α > ϕ t t t x,y fx, y > x, y ϕt fx βt, y + αt ϕ f x x,y β +f y x,y α ϕ α β +β βα + γα α β + αγ < ϕ t t t x,y fx, y < x, y fx,y // 4

4.9 A. fx, y R ϕx fx, ϕx 4.5 f y x, ϕx d dx fx, ϕx f xx, ϕx + f y x, ϕxϕ x ϕ x f xx, ϕx f y x, ϕx fx, y x + y fx, y y x y x f xx, y f y x, y x y x. x yx fx, y x + yx d x + yx x +yy dx y x y x y x x fx, y R C fa, b, f y a, b a, b a I R ϕx,, 3 b ϕa fx, ϕx and f y x, ϕx x I 3 ϕx C, ϕ x f xx, ϕx f y x, ϕx x I. zf x,y z z fx, y z y ϕx 4 fx, y C p ϕx C p 43

fx, y, z R 3 C fa, b, c, f z a, b, c a, b, c a, b R R ϕx, y,, 3 c ϕa, b fx, y, ϕx, y and f z x, y, ϕx, y x, y R 3 ϕx, y C, ϕ x x, y f xx, y, ϕx, y f z x, y, ϕx, y, ϕ yx, y f yx, y, ϕx, y f z x, y, ϕx, y x, y R. 4 fx, y C p ϕx, y C p fx, y C fx, y, f y x, y y ϕx y f xxfy f xy f x f y + f yy fx fy 3 ϕ x ϕ x f xxx, ϕx f y x, ϕx. B. C fx, y fx,y f x x,y f y x,y x,y y ϕx C ϕx ϕ x ϕ x f xxx,y f y x,y ϕ x f xx x,y x ϕ x ϕx ϕ x y ϕx 44

fx, y x 3 + y 3 3xy, f y x, y y ϕx ϕ x x, y ϕx ϕ x x 3 ϕ x x,y ϕx 4 ϕx escarte x 3 + y 3 3xy - - 3 - - f x x, y 3x 3y 3x y, f y x, y 3y 3x 3y x, f xx x, y 6x ϕ x f xx, ϕx f y x, ϕx ϕx x ϕx x ϕx x x ϕx y x f x x, y fx, y y ϕx y x x 6 x 3 x 3 x 3 f x x, y x, 3 x y, f y x,y x 3,y x 3 4. 3 f xx x, y 6x ϕ x f xxx,y f y x,y 6x 3y 3x x 3. 4 x 3 f y 3, 3 4 3 3 6 3 >, ϕ 3 < ϕx x y 3 4 y ϕx. // escarte x 3t +t 3, y 3t t +t3 C. R 3 C fx, y, z Px,y,z fx,y,z α α S α a, b, c fa, b, c α f z x,y,z x,y,z fx, y, ϕx, y C z φx, y φx, φ y, f x, f y, f x,f y,f z f z f z f z 45

S α Px,y,z T P x x f x x,y,z +y y f y x,y,z +z z f z x,y,z. l P x x tf x x,y,z l P : y y tf y x,y,z t R z z tf z x,y,z 4.9 x + y x y Bernoulli Lemniscate.4...5.5...4 fx, y x + y x y, f y x, y y ϕx ϕ x x, y ϕx ϕ x x 3 ϕ x x, y ϕx 4 ϕx a> 4x 4-4a x +a y y fx, y 4x 4 4a x + a y, f y x, y y ϕx ϕx x 3 fx, y x x xy +y, f y x, y y ϕx ϕx 4 x a + y b + z c Px,y,z T P l P 46

. fx, y R C fa, b, f y a, b a, b fx, y z fx, y a, b y- a, b K x, y a δ x a + δ, b ɛ y b + ɛ δ, ɛ > a [a δ, a + δ] y fa,y [b ɛ, b + ɛ] fa,y [b ɛ, b + ɛ] x [a δ, a + δ] y fx, y [b ɛ, b + ɛ] y ϕx fx, y a, b K z fx, y z y ϕx f y a, b > f y x, y η ɛ f y x, y > a η x a + η, b ɛ y b + ɛ x a fa, y d dy fa, y f ya, y >. fa, y [b ɛ, b+ɛ] fa, b ɛ <fa, b <fa, b + ɛ y f x, y b+ε b K b-ε a-η a-δ a a+δ a+η x fx, y δ< η fx, b ɛ <, fx, b + ɛ > a δ x a + δ δ ɛ a, b K x, y a δ x a + δ, b ɛ y b + ɛ δ, ɛ > x a δ, a + δ y fx, y d dy fx, y f yx, y > 47

fx, y [ b ɛ, b + ɛ] fx, b ɛ < <fx, b + ɛ fx, y y b ɛ, b+ɛ y ϕx a I a δ, a + δ ϕx, b ϕa fx, ϕx and f y x, ϕx x I. ϕx x a ϕx ɛ δ ϕa ɛ<ϕx <ϕa+ɛ a δ<x<a+ δ ϕx a a δ, a + δ a b ϕa ϕx a,b 3 ϕx 4.7 B. Taylor fx + h, y + k fx, y+hf x x + θh, y + θk+kf y x + θh, y + θk < θ < y ϕx, y+ k ϕx + h fx + h, ϕx + h fx, ϕx + hf x x + θh, y + θk+kf y x + θh, y + θk < θ < ϕx + h ϕx h k h f xx + θh, y + θk f y x + θh, y + θk f xx, y f y x, y h 4 y ϕx ϕ x f xx, ϕx f y x, ϕx fx, y C f xx, ϕx f y x, ϕx C ϕ x f xxx, ϕxf y x, ϕx f xy x, ϕxf x x, ϕxf y x, ϕx + f yy x, ϕxf x x, ϕx f y x, ϕx 3 4.9 A. ϕx C fx, y C p ϕx C p // 48

4. C. fx, y, gx, y C gx, y fx, y gx,y x,y fx,y g y x,y x y ϕx y ϕx gx, ϕx ϕ x g xx, ϕx g y x, ϕx x,y gx, y x, y y ϕx fx,y z fx, ϕx z fx, ϕx dz dx f xx, ϕx f y x, ϕx g xx, ϕx g y x, ϕx f x x,y g y x,y f y x,y g x x,y λ f yx,y g y x,y f xx,y λg x x,y f y x,x,y y λg y x,y λ Lagrange Lagrange fx, y, gx, y C gx, y fx, y λ x, y f x x, y λg x x, y f y x, y λg y x, y g y x, y x,y y ϕx C ϕx d dx fx, ϕx xx f x x,y f y x,y g xx,y g y x,y g y x, y x, y fx, y x,y fx,y 49

x + y fx, y x + y Lagrange gx, y x + y. gx, y f x x, y λg x x, y f y x, y λg y x, y, x + y 4λx λy - -.5.5 - + 4λ λ 3 λ ± x 4λ ± 6 y λ ± 6 x 4λx+y λy x + y λx + y x + y λ fx, y x + y x, y 6, 6 λ 3 x, y 6, 6 λ 3 // - x 4. a + y fx, y x + y b 8x + y fx, y x + y 3 x + y xy x y + fx, y xy 4 6 5 4 3 x + y xy x y + x + y x y 4 + + 4.5.5.5 3 5

4 ϕx, y x xy + y, z x + y x xy + y x + y + 3 x + y.5 - -.5.5 -.5-5 sin x +siny π 6 x, y 7π 6 3 z x + y.. C. 3. fx, y, z, gx, y, z C gx, y, z fx, y, z λ x, y, z f x x, y, z λg x x, y, z f y x, y, z λg y x, y, z f z x, y, z λg z x, y, z g z x, y, z x,y,z z ϕx,y C ϕx, y x fx, y, ϕx, y f x x,y,z f z x,y,z xx,yy g xx,y g z x,y y fx, y, ϕx, y f y x,y,z f z x,y,z xx,yy g yx,y,z g z x,y,z g z x, y, z x, y, z fx, y, z fx,y,z x,y,z x a + y b + z a, b, c >, xyz c 5

4.. V ΦU U u,v x Φ,y Φu,v u,v x,yφu,v uv- C Φ: x xu, v, y yu, v x, y Ju, v u, v u, v u,v x,y Φu,v u,v U x,y V Φ U V Φ : V U C Ju, v Ju, v u,v x,y Φu,v u,v r r u,v r u,v r u,v u, v u u +v v r. Ju, v Ju, v r u,v m m min Ju, v u, v r u,v >. r u,v M > x u u, v M, x v u, v M, y u u, v M, y v u, v M u, v r u,v r u,v m ɛ ɛ M δ u, v, u,v r u,v max u u, v v <δ x u u, v x u u,v < ɛ M, x vu, v x v u,v < ɛ M y u u, v y u u,v < ɛ M, y vu, v y v u,v < ɛ M r u,v r u,v R 4 C xu, v, yu, v Ku,v,u,v x u u,v y v u,v x v u,v y u u,v max u u, v v <δ Ku,v,u,v Ju,v <ɛ. 5

max u u, v v <δ Ku,v,u,v Ju,v xu u,v y v u,v x v u,v y u u,v x u u,v y v u,v x v u,v y u u,v x u u,v x u u,v y v u,v x v u,v x v u,v y u u,v M x u u,v x u u,v + M x v u,v x v u,v < M ɛ M + M ɛ M ɛ u,v, u,v r u,v Ku,v,u,v Ju,v <ɛ<m Ku,v,u,v > Ju,v ɛ>ju,v m> r u,v r u,v Ku,v,u,v > Φ r u,v r u,v u, v, u,v Φu, v Φu,v x, y u,v, u,v r u,v xu,v xu, v x u u,v u u+x v u,v v v yu,v yu, v y u u,v u u+y v u,v v v u u, v v x u u,v y v u,v x v u,v y u u,v Ku,v,u,v > u,vu, v Φ r u,v U r u,v V ΦU Φ : V U V x,y Φ U r u,v u,v U x,y Φu,v ρ min xu, v x +yu, v y u, v U > U r u,v u,v r x,y ρ ρ x,y ρ x,y x,y ρ x,y x,y Φ U μu, v xu, v x +yu, v y u, v U U μ μu,v <ρ u,v U x u u,v xu,v x +y u u,v yu,v y x v u,v xu,v x +y v u,v yu,v y x u u,v y v u,v x v u,v y u u,v Ju,v > xu,v x yu,v y Φu,v x,y x,y V ρ x,y V ΦU V ΦU // Φ Φ C 53

54

5 5. A. R [a, b] [c, d] x, y R a x b, c y d fx, y fx, y M R x, y fx, y M M fx, y M R [a, b] [c, d] n m a a <a <a < <a m <a m b Δ : c c <c <c < <c n <c n d. R i,j [a i,a i ] [c j,c j ] ξ ij,η ij : a i ξ ij a i μ : b j η ij b j i,,,m, j,,,n. Δ μ RΔ,μ fξ ij,η ij a i a i c j c j i m, j n R i,j R RΔ,μ fξ ij,η ij a i a i c j c j Mb ad c i m, j n Δ Δ Δ max δ i,j δ i,j a i a i +c j c j i,j Δ Δ RΔ,μ fx, y dxdy lim RΔ,μ fx, y R R Δ fx, y R fx, y > x, y R fx, y dxdy z fx, y R. R 55

fx, y R [a, b] [c, d] f fx, y x, y x, y x, y f x, y dxdy R f x, y R f x, y dxdy R fx, y dxdy f x, y dxdy R. fx, y x, y χ x, y x, y χ x, y dxdy R χ x, y dxdy R X X R [a, b] [c, d] R i,j Δ Δ : a a <a <a < <a m <a m b c c <c <c < <c n <c n d, R i,j [a i,a i ] [c j,c j ]. X R i,j bδ a i a i c j c j X R i,j R, lim bδ Δ fx, y R [a, b] [c, d] fx, y R B. fx, y, gx, y E 56

3 fx, y+gx, y dxdy αfx, y dxdy α fx, y dxdy fx, y dxdy + gx, y dxdy. fx, y dxdy α. fx, y dxdy. 4 E E E fx, y dxdy fx, y dxdy + fx, y dxdy. E E fx, y R [a, b] [c, d] y [c, d] x fx, y [a, b] y R b a fx, y dxdy fx, y dx [c, d] d c b a fx, y dx dy. 3 ϕ x ϕ x a x b x, y R a x b, ϕ x y ϕ x fx, y ϕx ϕ x fx, y dy a x b [a, b] fx, y dxdy b ϕx a ϕ x fx, y dy dx y y ϕ x y ϕ x a b x 3 α y α y c y d x, y R c y d, α y x α y fx, y d y x α y x α y αy α y fx, y dx c y d [c, d] fx, y dxdy d αy c α y fx, y dx dy c x 57

fx, y R d b b d fx, y dxdy fx, y dx dy R c a a c fx, y dy dx. fx, y R [a, b] [c, d] f fx, y x, y x, y x, y f x, y R R Δ Δ Δ f x, y RΔ,μ lim RΔ,μ Δ lim RΔ,μ RΔ,μ Δ Cauchy ɛ δ Δ, Δ <δ RΔ,μ RΔ,μ <ɛ lim RΔ,μ Δ, Δ RΔ,μ. Δ,μ R K fx, y K R K fx, y K ɛ δ x, y, x,y K x x +y y < δ fx, y fx,y < ɛ 4. 58

M max x, y fx, y max x, y R f x, y < R [a, b] [c, d] mn R ij [a i,a i ] [c j,c j ] a a <a <a < <a m <a m b Δ : c c <c <c < <c n <c n d. R b ad c R, R ij a i a i c j c j R ij i,j R i,j R R ij s ij,t ij a i s ij a i μ : c j t ij c j i,,,m, j,,,n. RΔ,μ f s ij,t ij a i a i c j c j i,j i,j f s ij,t ij R ij, R i,j R i,j RΔ,μ i,j f s ij,t ij R ij M R ij M R. i,j R [a, b] [c, d] f x, y RΔ,μ I R ij [a i,a i ] [c j,c j ] s ij, t ij : a i s ij a i μ : c j t ij c j i,,,m, j,,,n. Δ μ RΔ, μ i,j f s ij, t ij R ij RΔ, μ RΔ,μ i,j A f s ij, t ij f s ij,t ij R ij f s ij, t ij f s ij,t ij R ij + B f s ij, t ij f s ij,t ij R ij. 59

A f s ij, t ij f s ij,t ij R ij R ij f s ij, t ij f s ij,t ij R ij B R ij fx, y ɛ < M δ x, y, x, ỹ x x +y ỹ < δ fx, y f x, ỹ < ɛ Δ Δ <δ fx, y f x, y f x, y f s ij, t ij f s ij,t ij <ɛ R ij R ij M s ij, t ij, s ij,t ij R \ s ij, t ij R \, s ij,t ij f s ij, t ij f s ij,t ij M f s ij, t ij f s ij,t ij R ij < ɛ R ij R ɛ. B B f s ij, t ij f s ij,t ij R ij A R ij R ij A R i,j f s ij, t ij f s ij,t ij M A a i a i c j c j bδ f s ij, t ij f s ij,t ij R ij M A R ij MbΔ. RΔ, μ RΔ,μ f s ij, t ij f s ij,t ij R ij < MbΔ + R ɛ. i,j II, [a, b] [c, d] Δ Δ Δ Δ 6

Δ : a ã < ã < ã < < ã p < ã p b c c < c < c < < c q < c q d, Δ Δ <δ. R k,l [ã k, ã k ] [ c l, c l ] s kl, t kl : ã i s ij ã i μ : c j t ij c j i,,,p, j,,,q. R k,l ã k ã k c l c l R kl Δ μ R Δ, μ f s kl, t kl R kl k,l R [a, b] [c, d] Δ Δ RΔ,μ Δ Δ RΔ,μ f s ij,t ij a i a i c j c j f s ij,t ij ã k ã k c l c l i,j i,j a i <ã k a i,c j < c l c j Δ R ij R Δ, μ RΔ,μ i,j a i <ã k a i,c j < c l c j A a i <ã k a i,c j < c l c j + B f s kl, t kl f s ij,t ij R kl f s kl, t kl f s ij,t ij R kl f s kl, t kl f s ij,t ij R kl. A a i <ã k a i,c j < c l c j R ij R ij B Δ Δ <δ fx, y f x, y R kl R ij f s kl, t kl f s ij,t ij <ɛ f s kl, t kl f s ij,t ij Rkl < ɛ R ij R ɛ. B a i <ã k a i,c j < c l c j R ij R kl R ij. I Δ Δ <δ R ij R kl f s kl, t kl f s ij,t ij M f s kl, t kl f s ij,t ij R kl A a i <ã k a i,c j < c l c j M A M A a i <ã k a i,c j < c l c j R ij Mb Δ. Rkl B 6

R Δ, μ RΔ,μ i,j f s ij, t ij R ij k,l f s kl, t kl R kl < MbΔ + R ɛ. III R [a, b] [c, d] Δ Δ Δ, Δ <δ R Δ Δ R Δ Δ μ c j c l c l c j y RΔ,μ a i a i x R Δ,μ, Δ,μ RΔ,μ, RΔ,μ I II RΔ,μ RΔ,μ RΔ,μ RΔ,μ + RΔ,μ RΔ,μ MbΔ+MbΔ + R ɛ. R ij R ij a i a i c j c j bδ Δ A R i,j I, II II lim bδ lim Δ Δ bδ ɛ // lim RΔ,μ Δ, Δ RΔ,μ ã k ã k y b a fx, y dx [c, d] [c, d] Δ y t j Δ y : c c <c <c < <c n <c n d, c j t j c j j,,,n fx, y dxdy b fx, t j dx c j c j [a,b] [c,d] j a R [a, b] [c, d] Δ Δ RΔ,μ [c, d] Δ y t j a a <a <a < <a m <a m b Δ : c c <c <c < <c n <c n d 6

R i,j [a i,a i ] [c j,c j ] s i,t j a i s i a i μ : c j t j c j i,,,m, j,,,n. RΔ,μ i,j fs i,t j a i a i c j c j fx, y R ɛ δ Δ <δ fx, y dxdy RΔ,μ < ɛ R Δ Δ <δ RΔ,μ i,j j j fs i,t j a i a i c j c j b a + j b a fx, t j dx c j c j fs i,t j a i a i i fx, t j dx c j c j + j b a R j fx, t j dx c j c j b a fx, t j dx c j c j, R j i fs i,t j a i a i. fx, y dxdy b fx, t j dx c j c j R j a fx, y dxdy RΔ,μ+ b R j R j a fx, y dxdy RΔ,μ + b R j R < ɛ + R j j b a fx, t j dx c j c j j a fx, t j dx fx, t j dx c j c j c j c j [c, d] Δ y Δ y maxc j c j < δ j Δ x maxa i a i R j fs i,t j a i a i [a, b] i i fx, t j ɛ δ x < δ Δ x <δ x R j b a fx, t j dx < ɛ d c [a, b] [c, d] Δ Δ max a i a i +c j c j < δx + δ i,j 4 <δ 63

Δ y < δ fx, y dxdy b fx, t j dx c j c j R j a < ɛ + b R j fx, t j dx c j c j < ɛ j a + j ɛ d c c j c j ɛ ϕy R fx, y dxdy // lim Δ y j b a b a fx, y dx c y d [c, d] fx, t j dx c j c j d c b a fx, y dx dy ϕ x ϕ x a x b x, y R a x b, ϕ x y ϕ x fx, y C,C L a, L b C x, y R y ϕ x, C x, y R y ϕ x L a a, y ϕ a y ϕ a,l b b, y ϕ b y ϕ b [a, b] ϕ x, ϕ x d max a x b ϕ x c min a x b ϕ x R [a, b] [c, d], C C L a L b. ϕ x ϕ x [a, b] ɛ δ [a, b] x, x x x < δ ϕ x ϕ x < ɛ ɛ δ [a, b] x x < δ ϕ x ϕ x < ɛ δ minδ,δ [a, b] x, x x x < δ ϕ x ϕ x, ϕ x ϕ x < ɛ 64

R [a, b] [c, d] R i,j Δ Δ : a a <a <a < <a m <a m b c c <c <c < <c n <c n d, R i,j [a i,a i ] [c j,c j ]. R i,j bδ R i,j a i a i c j c j Δ ɛ Δ <δmin δ, y C L a L b R ij a i a i c j c j δd c. R i,j L a L b ɛ a i a i C x i R ij C R ij C R ij ɛ +δ, a i x a i a i a i <δ δ ϕ x ϕ a i <ɛ. x, ϕ x ai x a i [ ϕ a i ɛ, ϕ a i +ɛ ]. ɛ [a i,a i ] [ϕ a i ɛ, ϕ a i +ɛ] δ R i,j ɛ +δ i R ij C R ij ɛ +δ a i a i c j c j b a4ɛ +4δ 6b aɛ δ ɛ R i,j C C ɛ δ Δ <δ bδ a i a i c j c j δd c+6b aɛ 6b a+d c ɛ R i,j ɛ lim bδ Δ f x, y R b d fx, y dxdy f x, y dy dx a c b a ϕ x ϕ x fx, y dy dx. // 3 ϕx ϕx ϕ x fx, y dy a x b 65

5. A. : b a dx qx px fx, y dy b qx a px fx, y dy dx b qx a px fx, y dydx b a qx px fx, y dy dx, d c dy sy ry fx, y dx d c sy ry fx, y dx dy d sy c ry fx, y dxdy d c sy ry fx, y dx dy. px, qx a x b, ry, sy c y c. b a xy dxdy. z y b a b a b [ x y ] a xy dxdy xy dx dy dy b b a y [ a y ] b dy a b 4. // a x x,y,z,x + y + z z V V x y dxdy, x, y x, y, x + y.. y x y dxdy x y dxdy [ yx x y y y dy dy [ y 3 ] 6 3 6 5 3. // x ] y dy y 66

3 a, b > b a x + y dxdy xy dxdy, x, y x a, y bx a 3 xy dxdy, x, y bx x a, y b a 4 x x x + ydydx [ ] x x + ydydx 3 x + y 3 dx x 3 3 x dx 3 3 3 [ x ] dx 3 3 5 x 5 3 5 4 5. // y, x B... x x, y x, y x fx, y dy dx fx, y dx dy y x fx, y dydx fx, y dydx y fx, y dxdy. y e x3 dxdy π sin x e cos y dydx. e x3 dxdy y x e x3 dydx [ e x x 3 e x3 dx 3 ] [ye x3] x dx e. 3 π sin x e cos y dydx π π sin y e cos y dxdy π [xe cos y] sin y dy [ ] π sin ye cos y dy e cos y e. 67

3 x + ye y dxdy,. x + ye y dxdy x, y x, x y. x x + ye y dy dx x te t x dt dx [te t x] x x t x + y e t x dt dx y x x [e t x] x dx [ x x +e x dx x e x] e. //, 5. x dx x fx, ydy ft t R x ds s ftdt x ftx tdt x R x dx fx, ydy x t x, x x s 3 F x, y [a, b] [c, d] C fx, y F x, y x y d b c a fx, y dxdy F b, d F b, c F a, d+f a, c 4 R K x, y a x a, b y b R x a y dxdy b x, y, z z x a y b, x, y R z y x 68

5.3 A. C x xu, v, y yu, v uv- K xy : xu, v, yu, v R u, v K. fx, y fx, y dxdy fxu, v,yu, v x, y y v K u, v dudv x, y u, v K x u a b ad bc x au + bv, y cu + dv uv- c d K u, v R u, v xy a b abs. ad bc c d dxdy x, y u, v dudv ad bc dudv ad bc K K xr, θ r cos θ, yr, θ r sin θ r >, θ R x, y r, θ x r y r x θ y θ cos θ sin θ r sin θ rcos θ r. B. xy dxdy x, y R x + y 4, x, y. y x r cos θ, r sin θ R r, θ π π θ r xy dxdy π [ r 4 4 ] [ 3 sin θ r cos θ 4 drdθ ] π 5 8. π r 3 dr sin θ dθ 69

3 x, y R x, y, x + y e x y dxdy xu, v uv, yu, v u v u, v R uv, u v R u, v e x y dxdy x, y u, v dv x u y u x v y v e u x, y u, v dudv [ e u udu e u u y v u v u ] x e u ududv u. e u du e + [ e u] v u e. 4 <a< : a x + y α dxdy x + y α α dxdy x + y α π a π a x + y α [ r r α α ] drdθ π α [ ] r drdθ π log r a dxdy. a π a α α π log a.. 5 fx, y 4x +4xy +4y 4x 4y + x, y, z R 3 fx, y z V x HINT. fx, y 6 + y + x y 3 3.6.5.4.3.....3.4.5.6 7

π <α<β π C C : r fθ α θ β r cos θ, r sin θ R : r fθ, α θ β y θ β C θ α β fθ dθ. α xy rθ- K r, θ R r fθ, α θ β x dxdy rdrdθ β fθ rdrdθ β K α α [ r ] fθ dθ β α fθ dθ. // 5.3 fx x C x +y f x +y dxdy π f f Cardioid r a + cos θ θ π 3 Lemniscate x + y a x y a> x + y a x y 4 Rhodonea n N, a > r a sin nθ θ< π n r sin5θ 5 : x + y a 4 a x y dxdy. 7

5.4. C Φ: x xu, v, y yu, v uv- K xy K Ju, v ; xu, v, yu, v R u, v K. fx, y fx, y dxdy fxu, v,yu, v x, y u, v dudv. K x, y u, v K R [a, b] [c, d]. xu, v yu, v R L xu, v <L, yu, v <L u, v R L L + E [ L, L] [ L, L] E E. ΦR R Φ Φ:R C R R Φ R 4...3 α R α [a + α, b α] [c + α, d α] R R α α ΦR α α Φ R α ρ α α ρ α min x x +y y : x, y, x,y α > a M > x u u, v M, x v u, v M, y u u, v M, y v u, v M u, v R..4 R R [a,b ] [c,d ] R b a d c R k < d c b a <k ΦR 4M K R K k + k 7

.4 K k + k δ b a +d c b a d c + d c b a R K R ΦR u, v, u,v R xu,v xu, v xu,v xu, v +xu, v xu, v x u ξ, v u u+x v u, ηv v ξ, v, u, η R x u ξ, v u u + x v u, ηv v M u u +v v M δ max xu, v min u,v R xu, v M δ. u,v R u, v, u,v R i,j yu,v yu, v M δ max yu, v min u,v R yu, v M δ. u,v R ΦR M δ δ K R ΦR 4M K R //.5 R R α [a + α, b α] [c + α, d α] R α> \ α ΦR \ ΦR α ΦR \ R α M R R α.5 R\R α R A [a, a+α] [c, d], B[b α, b] [c, d], C [a + α, b α] [c, c + α], [a + α, b α] [d α, d] R \ R α A B C A < < A i A A A na.4 ΦA i 4M 5 A i M A i ΦA M A B, C, ΦR \ R α M R \ R α // R b ad c R, R α b a αd c α R α.5 R \ R α R R α αb a + d c α R \ R α αb a + d c α α 73

\ α ΦR \ R α α Φ R ΦR \ R α.6 ΦR fx, y fx, y E f fx, y x, y x, y x, y. E fx, y dxdy f x, y dxdy E 5. A. R Δ : a a <a < <a m b c c <c < <c n d. Δ P i,j a i,c j i,,,m, j,,,n Δ Δ max δ i,j, δ i,j a i a i +c j c j i,j R i,j [a i,a i ] [c j,c j ] : R Δ i,j P i,j, P i,j, P i,j R i,j P i,j, P i,j, P i,j R i,j R Δ i,j R i,j. Q i,j ΦP i,j xa i,c j,ya i,c j Φ R R Δ i,j,r i,j R R Δ i,j R i,j ΦR ΦR Δ i,j i,j i,j i,j i,j ΦR i,j. Q i-,j Qi,j P i-,j P i-,j- P i,j P i,j- Φ Q i-,j- Q i,j- Q i,j ΦP i,j Q i,j, Q i,j, Q i,j Q i-,j Q i,j T Δ i,j Q i,j, Q i,j, Q i,j T i,j Δ T i,j Ti,j T Δ Ti,j Δ Ti,j i,j i,j Q i-,j- Q i,j- 74

T Δ i,j ΦΔ i,j RΔ i,j x xa i,c j + xa i,c j xa i,c j a i a i u a i + xa i,c j xa i,c j c j c j v c j y ya i,c j + ya i,c j ya i,c j u a i + ya i,c j ya i,c j v c j. a i a i c j c j R Δ i,j u, v a i u a i,c j v c j + c j c j u a i a i a i T i,j Φ i,j R i,j x xa i,c j + xa i,c j xa i,c j a i a i u a i + xa i,c j xa i,c j c j c j v c j y ya i,c j + ya i,c j ya i,c j u a i + ya i,c j ya i,c j v c j. a i a i c j c j R i,j u, v a i u a i,c j v c j + c j c j u a i a i a i Φ Δ i,j xa i,c j xa i,c j x u ξ i,j,c j, a i a i ya i,c j ya i,c j y u ξ a i a i,j,c j, i Φ Δ i,j Φ Δ i,j : xa i,c j xa i,c j c j c j x v a i,η i,j ya i,c j ya i,c j y v a i,η c j c i,j j ξ i,j,ξ i,j a i,a i, η i,j,η i,j c j,c j x xa i,c j +x u ξ i,j,c j u a i + x v a i,η i,j v c j y ya i,c j +y u ξ i,j,c j u a i + y v a i,η i,j v c j Φ i,j Φ i,j : x xa i,c j +x u μ i,j,c j u a i + x v a i,ν i,j v c j y ya i,c j +y u μ i,j,c ju a i + y v a i,ν i,j v c j μ i,j,μ i,j a i,a i, ν i,j,ν i,j c j,c j R i,j a i a i c j c j R i,j R b ad c R i,j R i,j R i,j R i,j R Δ i,j RΔ i,j R i,j Ti,j Δ Δ Ti,j, T i,j Ti,j, R i,j fx, y R fu, v fxu, v,yu, v fai,c j fxa i,c j,ya i,c j. 75

lim fai,c j Ja i,c j R Δ i,j + fa i,c j Ja i,c j Ri,j Δ i,j fxu, v,yu, v Ju, v dudv, R lim fai,c j Ti,j Δ + fa i,c j Ti,j Δ i,j lim fai,c j Ja i,c j R Δ i,j + fa i,c j Ja i,c j R i,j Δ i,j 3 fx, y lim Δ i,j fai,c j T Δ i,j + fa i,c j T i,j,, 3 fx, y dxdy. fu, v Ju, v R R 5., 4.. ɛ δ 3 fa i,c j Ja i,c j R Δ i,j + fa i,c j Ja i,c j R i,j fa i,c j Ja i,c j + fa i,c j Ja i,c j R i,j fp i,j,q i,j Jp i,j,q i,j R i,j p i,j,q i,j R i,j fai,c j Ja i,c j R Δ i,j + fa i,c j Ja i,c j Ri,j lim Δ i,j lim Δ i,j fp i,j,q i,j Jp i,j,q i,j R i,j R fxu, v,yu, v Ju, v dudv. Ti,j, Δ Ti,j Φxu, v,yu, v R C b R ɛ ɛ 4M δ u, v, u,v R max u u, v v <δ x u u, v x u u,v < ɛ 4M, x vu, v x v u,v < ɛ 4M y u u, v y u u,v < ɛ 4M, y vu, v y v u,v < ɛ 4M R C xu, v, yu, v Ju, u,u,v,v,v x u u,vy v u, v x v u, v y u u,v u, u,u,v,v,v R [a, b] [a, b] [a, b] [c, d] [c, d] [c, d] R 6 max u u, u u, v v, v v <δ Ju, u,u,v,v,v Ju, u, u, v, v, v <ɛ. 76

a b max u u, u u, v v, v v <δ Ju, u,u,v,v,v Ju, u, u, v, v, v Ju, u,u,v,v,v Ju, v x u u,vy v u, v x v u, v y u u,v x u u, vy v u, v x v u, vy u u, v x u u,vy v u, v x u u, vy v u, v x v u, v y u u,v x v u, vy u u, v x u u,v y v u, v y v u, v + x u u,v x u u, v y v u, v x v u, v y u u,v y u u, v + x v u, v x v u, v y u u, v M y v u, v y v u, v + M x u u,v x u u, v +M y u u,v y u u, v + M x v u, v x v u, v < M ɛ 4M + M ɛ 4M + M ɛ 4M + M ɛ ɛ // 4M Ju, v R Ju, v Ju, v R Ju, v > u, v R Ju, v < u, v R Ju, v R m m min Ju, v >. u,v R ɛ ɛ < m ɛ b δ c max u u, u u, v v, v v <δ Ju, u,u,v,v,v Ju, u, u, v, v, v <ɛ Ju, u,u,v,v,v >. max u u, u u, v v, v v <δ Ju, u,u,v,v,v Ju, u, u, v, v, v > ɛ m Ju, u,u,v,v,v > Ju, u, u, v, v, v m Ju, v m. R Δ Δ <δ< x i,j, y i,j Q i,j ΦP i,j xa i,c j,ya i,c j Φ Δ i,j T i,j Δ Δ Ti,j : T Δ i,j x i,j x i,j y i,j y i,j x i,j x i,j y i,j y i,j x uξ i,j,c j y v a i,η i,j x v a i,η i,j y u ξ i,j,c j a i a i c j c j x u ξ i,j,c j y v a i,η i,j x va i,η i,j y u ξ i,j,c j R Δ i,j c Ja i,ξ i,j,ξ i,j,c j,η i,j,η i,j R Δ i,j. ɛ Δ i,j Ja i,ξ i,j,ξ i,j,c j,η i,j,η i,j Ja i,c j 77

Ti,j Δ Ja i,c j +ɛ Δ i,j R Δ i,j Ti,j Ti,j x i,j x i,j y i,j y i,j x i,j x i,j y i,j y i,j x uμ i,j,c j y v a i,ν i,j x va i,ν i,j y u μ i,j,c j a i a i c j c j xu μ i,j,c j y v a i,ν i,j x va i,ν i,j y u μ i,j,c j a i a i c j c j Ja i,μ i,j,μ i,j,c j,ν i,j,ν i,j R i,j Ja i,c j +ɛ i,j R i,j ɛ i,j Ja i,μ i,j,μ i,j,c j,ν i,j,ν i,j Ja i,c j. ɛ Δ i,j a i,ξ i,j,ξ i,j [a i,a i ],c j,η i,j,η i,j [c j,c j ] c ɛ Δ i,j Ja i,ξ i,j,ξ i,j,c j,η i,j,η i,j Ja i,c j Ja i,ξ i,j,ξ i,j,c j,η i,j,η i,j Ja i,a i,a i,c j,c j,c j <ɛ T i,j ɛ i,j <ɛ. d fx, y ΦR V fai,c j Ti,j Δ + fa i,c j Ti,j i,j V max fx, y < x,y + fai,c j ɛ Δ i,j R Δ i,j + fa i,c j ɛ i,j R i,j i,j fai,c j Ja i,c j R Δ i,j + fa i,c j Ja i,c j R i,j i,j fai,c j ɛ Δ i,j R Δ i,j + fa i,c j ɛ i,j Ri,j V ɛ Δ i,j R Δ i,j + V ɛ i,j R i,j i,j i,j < Vɛ i,j R Δ i,j + R i,j V R ɛ ɛ> V R ɛ lim fai,c j Ti,j Δ + fa i,c j Ti,j Δ i,j lim fai,c j Ja i,c j R Δ i,j + fa i,c j Ja i,c j R i,j Δ i,j 3.6 fx, y dxdy f x, y dxdy lim fai,c j Ti,j Δ + fa i,c j Ti,j E Δ i,j 78

f x, y dxdy E E T Δ Ti,j Δ Ti,j i,j i,j ΦR ΦR Δ i,j ΦR i,j i,j i,j Φ:R C Ti,j, Δ Ti,j i,j ΦR \ ΦR \ R <i<m, <j<n P i,j R \ R Q i,j ΦP i,j xa i,c j,ya i,c j \. R A,, A,, A,, A,,, 3 A, A, A, A, A, A, A, A, p,q, A, A, p,q A, A, r,s, A, A, r,s p q p q > r s r s > A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, p,q, A, A, p,q, p q p q > A, A, A, A, A, 3 A, A, A, A, A, A, A, A, p,q, A, A, p,q, p q p q > A, A, A, A, A, A, A, r,s p, q, A, A, r,s r s r s > A,A, A, A, A, r,s, A, A, r,s p, q r s r s > A,A, A, 79

Δ <δ Ju, u,u,v,v,v > max u u, u u, v v, v v < Δ c Ti,j Δ Ja i,ξ i,j,ξ i,j,c j,η i,j,η i,j R Δ i,j xi,j x i,j y i,j y i,j x i,j x i,j y i,j y i,j > T i,j Ja i,μ i,j,μ i,j,c j,ν i,j,ν i,j R i,j xi,j x i,j y i,j y i,j x i,j x i,j y i,j y i,j > 3 T Δ Ti,j Δ Ti,j T Δ Ti,j Δ + Ti,j i,j i,j i,j T Δ T Δ P, P, P m, P m, P m,n P m,n P,n P,n P, Ti,j Δ T i,j T Δ T Δ \ T Δ <i<m, <j<n T Δ T Δ Φ R ΦR i, ΦR m,j ΦR i,n ΦR,j i,,m j,,n i,,m j,,n Φ R x, y R R R i,j u, v R i,j R Φu, v xu, v,yu, v x, y u, v R Δ i,j R u, v R i,j R x,y Φ Δ i,ju, v T Δ x,y Φ i,ju, v T Δ u, v R Δ i,j R Φu, v xu, v,yu, v x, y r i,j,r i,j a i,a i s i,j s i,j c j,c j x xu, v xa i,c j +x u r i,j,s i,j u a i +x v r i,j,s i,j v c j y yu, v ya i,c j +y u r i,j,s i,j u a i +y v r i,j,s i,j v c j Φu, v Φ Δ x x i,ju, v y y x u r i,j,s i,j x u ξ i,j,c j x v r i,j,s i,j x v a i,η i,j u a i y u r i,j,s i,j y uξ i,j,c j y v r i,j,s i,j y va i,η i,j v c j 8

b Δ <δ x x +y y < ɛ u a i 4M +v c j ɛ 4M δ ɛ Δ i,j. 4M ɛ< T Δ Δ <δ< E T Δ E \ T Δ α δ δ<ρ α.3 R α [a+α, b+α] [c α, d α] R α ΦR α α Φ R α ρ α T Δ T Δ α α T Δ \ T Δ \ α \ T Δ \ α ΦR \ R α lim Δ \ α lim \ T Δ. Δ E \ T Δ E Δ E s E T Δ E \ T Δ s E s. E s E s E s x s,y s E s s f x s,y s E s f x s,y s E s + s i,j fai,c j Ti,j Δ + fa i,c j Ti,j f x, y E f x, y E \ \ TΔ lim Δ E lim Δ f x s,y s E s s f x, y dxdy lim f x s,y s E s + Δ s i,j lim fai,c j T Δ Δ i,j fai,c j Ti,j Δ + fa i,c j Ti,j i,j + fa i,c j T i,j K ΦK C Φ K K Ω C Φ Ω K Ω Ω. 8

M > x u u, v M, x v u, v M, y u u, v M, y v u, v M u, v Ω. Ω A [p, q] [r, s] q ps r A.4 A k < s r <k ΦA q p 4M K A K k + k K K K R [a, b] [c, d] R i,j a a <a <a < <a m <a m b Δ : c c <c <c < <c n <c n d, R i,j [a i,a i ] [c j,c j ] bδ K R i,j a i a i c j c j lim bδ Δ R R Φ Φ R K R i,j ΦR i,j < c j c j a i a i < i m, j n M bδ fx, y E f fx, y x, y x, y x, y. E E f x, y dxdy i,j ΦR i,j i m, j n i,j i,j fx, y dxdy. fx, y dxdy lim fx, y dxdy + fx, y dxdy Δ i,j i,j i,j i,j lim fxu, v,yu, v x, y Δ R i,j K R i,j u, v dudv fxu, v,yu, v x, y u, v dudv // K 8

5.5 n n n,, n n 5.5 C. x + y x + y dxdy, n x, y <x, y x. x, y n x, y x y z /n n,, x n,, n n x + y n x + y dxdy dx n n n+ x x x + y + y dy. x + y n n x x x x + y dy x x dy y + x dt +t tan π 4, y [ ] x x + y dy logx + y log. n x + y x + y dxdy x + y x dxdy lim + y n n π 4 + log dx ɛ π 4 + log. n x + y π x dxdy lim + y n 4 + n log π n 4 + log. // I a <a I I a x + y dxdy, a : a x + y y I 3 a I a x + y dxdy, : <x + y 3 x + y dxdy 3 a a x π a r 3 rdrdθπ [ 3 4 r 4 3 ] a 3π a 4 3. 83

I dxdy lim 3 x + y a I a 3π lim a a 4 3π 3. //. Technics y dxdy R e x n x, y x, y, x + y n y dxdy n e x x ɛ > n ɛ x, y x, y, ɛ x + y n n e x R e x y dxdy lim ɛ π lim ɛ y dxdy lim n e x y dxdy lim n ɛ ] n [ e r x +y n e x lim π ɛ ɛ ɛ π n ɛ z n e r rdrdθ lim e ɛ e n π 4 e n. y dxdy lim 4 n n e x ɛ π dθ n ɛ y e r rdr y dxdy lim π. n π e n E n x, y x n, y n y dxdy n e dx x. E n e x n n E n e x y dxdy e x e y dxdy n n n 3 e x y dxdy e y n e x dx dy π e x y dxdy lim R n lim 4 e x y dxdy lim n E n n R n z e y dy n e x dx π x, y n n e x y dxdy n x n. e x dx e dx x e x dx e x dx R y 84

4 σ> μ R log x +y μ πx + y σ e σ R dxdy z log x +y πx + y e <x<, <y< Gamma Beta Gamma Beta t u, Γx t cos θ, Bx, y e t t x dt ΓxΓy Γx + y Bx, y. dt udu Γ Γx e u u x du dt cosθ sin θ Beta Bx, y t x t y dt π cos x θ sin y θdθ n E n ΓxΓy 4 e u u x du e v v y dv 4 lim e u v u x v y dudv n E n 4 e u v u x v y dudv u, v 4 lim e r r x+y cos x θ sin y θdrdθ n n π 4 cos x θ sin x θdθ e r r x+y dr Bx, yγx + y. // 5.5 Gamma Beta Γ π π e x dx 3 x e ax dx π 4 a 3 a> n n n,, n n n n i n 85

n i n i n n n+ i, n i i. n fx, y lim n fx, y dxdy n 5.6 A. 5. R 3 V fx, y, z fx, y, z dxdydz dxdy R 3 V V dxdydz V V V B x, y R 3 x + y + z B dxdydz x x x y x y dxdydz x x y dz dy dx x x y π x dx 4π 3. R 3 z c c R c x, y R x, y, c z Az V dxdydz b a z a c b dxdy a z b z dxdy dz b c <a<b< a Az dz. B. K x, y, z x 3 + y 3 + z 3 a 3 a > 86

z [, a] xy x 3 + y 3 a 3 z 3 3. x 3 +y 3 a 3 z 3 K V a V dxdydz K z a sin 3 t 3π 4 π 9π 4 a3 π dxdy 3 8 π a 3 3 z 3 x 3 +y 3 a 3 z 3 a 3 a 3 sin t 3 3a sin t cos t dt 9π π 4 a3 a 3 dxdy dz 8 π a 3 3 z 3 dz cos 7 t sin tdt π cos 7 tdt cos 9 tdt 9π 4 a3 4 6 3 5 7 4 6 8 3 5 7 9 4 35 πa3. // xy y fx a x b x V V π b a fx dx. 3 xy x +y a R a>r> x V y a+ R x R x R x y a R x R x R x V π R R R a + R x R dx π a R x dx 4πa R x dx R [ 4πa x R x + R sin x ] R R C. R 4πa πr π R a. n n C Φ : x x u,u,u 3,x x u,u,u 3, x 3 x 3 u,u,u 3 R 3 K R 3 x u,u,u 3,x u,u,u 3,x 3 u,u,u 3 R 3 u,u,u 3 K R 87

fx,x,x 3 dx dx dx 3 K fu,u,u 3 x,x,x 3 u,u,u 3 du du du 3 fu,u,u 3 fx u,u,u 3, x u,u,u 3, x 3 u,u,u 3 x,x,x 3 u,u,u 3 x x x u u u 3 x x x u u u 3 x 3 x 3 x 3 u u u 3 Φ Jacobian, 3 x, y, z r, θ, ϕ x r sin θ cos ϕ, y r sin θ sin ϕ, z r cos θ x, y, z r, θ, ϕ x r x θ x ϕ y r y θ y ϕ z r z θ z ϕ r sin θ r >, θ [, π], ϕ R. sin θ cos ϕ rcos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ sin ϕ sin θ sin ϕ rcos θ sin ϕ rsin θ cos ϕ r sin θ sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ cos θ r sin θ cos θ sin θ r sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ sin ϕ cos θ sin θ cos ϕ sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ cos θ sin θ r sin θ sin ϕ +cos ϕ r sin θ. x, y R 3 x + y + z 4, x, y, z xdxdydz π π π r 3 dr [ r 4 ] [ cos θ 4 r sin θ cos ϕr sin θdrdθdϕ π sin θdθ ] π [ sin ϕ cos ϕdϕ ] π 4 π 4 π. 5.6 a > x + y a y + z a 88

a x + y ax a > 3 z x + y x y a a > z 4 z x + y x + y ax a > z 5 z x + y x + y ax a > z 6 Cardioid r a + cos θ π θ π x x +y +z 7 p > p dxdydz 4 x + y + z + p 5 R x +y +z dxdy 3 x + y + z p dxdydz 5 R 3 e R3 p 8 R> a R x a x +y +z R a x + y + z dxdydz 3 9 R 3 r, θ, z θ u x + y + z + p 5 x +y +z dxdydz x + y + z p dxdydz 4πR3 3 a R a 4πa 3 r a a<r. + z b r, θ, z,u, τ u S u<π S S R 3 xyz x +acos ρ cos θ b sin ρ sin θ cos θ y +acos ρ cos θ b sin ρ sin θ sin θ z a cos ρ sin θ + b sin ρ cos θ θ<π, ρ<π. x + y z θ τ y <a<b<a+ b< S Ω x 89

5.7 A. R 3 xy R 3 π : ax + by + cz d c T T AT xy K AK AT cosγ AK γ π xy π N a, b, c π xy γ π z N z ν,, c γ < π cos γ N ν N ν c N x π ax+byd T K γ N N a + b + c AT AK cos γ N AK. c y c π : z d a c x b y T AT xy c K a + b + c dxdy zx c + zy +dxdy K K AK dxdy K R 3 A a,a,a 3, B b,b,b 3 R 3 Cc,c,c 3 R 3 π X x, y, z x a u + b v + c, y a u + b v + c, z a 3 u + b 3 v + c 3 u, v R. π N A B a b 3 a 3 b,a 3 b a b 3,a b a b a b π a 3 b 3 x c a b a 3 b 3 y c + a b a b z c 3. π A B a b a b π T T Xu, v ua + vb + C a u b, c v d 9

T xy K ua + vb + c,ua + vb + c a u b, c v d x a u + b v, y a u + b v R [a, b] [c, d] R K ua + vb,ua + vb a u b, c v d AK K AK a b a b R R b ad c R. 5.3 A. π N N X u X v A B a b 3 a 3 b,a 3 b a b 3,a b a b AT A B AK A B R a b a b R X u X v dudv. R 3 S Φ Φu, v xu, v, yu, v, zu, v R 3 u, v, xu, v, yu, v, zu, v u, v R C y u y v Φ u u, v Φ v u, v, z u z v, x u x v. z u z v S T R T ΦR T AT Φ u u, v Φ v u, v dudv Φ u u, v Φ v u, v y u u, v y v u, v z u u, v z v u, v R x u x v y u y v z u u, v z v u, v + x u u, v x v u, v x u u, v x v u, v + y u u, v y v u, v z fx, y R R C Φx, y, fx, y x, y S : z fx, y Φ x x, y Φ y x, y f x x, y + f y x, y + S T AT xy K AT f x x, y + f y x, y +dxdy K. 9

B. z a x y S x, y x + y a S 4 x z x a x y, z y y a x y fx x, y + f y x, y + S a S x +y a π π a a a x y S π a a x y dxdy [ a r ] a dθ a π π π a a x y dxdy π π [ a r ] a dθ a π π π a dθ πa. π a a a r rdrdθ a a r rdrdθ 3 dθ 3πa. // C. z a x y x, y x + y ax x z x a x y,z y y y a x y fx x, y + f y x, y a + a x y θ r cos θ, r sin θ π <θ π,r acos θ a x S a π π a π π a a x y dxdy [ a r ] a cos θ π a cos θ dθ a π π sin θ dθ π a. // a a r rdrdθ sin θ dθ 3 z x + y x, y x + y fx x, y + f y x, y + +4x +4y S π S +4x +4y dxdy +4r rdrdθ π π dθ +4r rdr π[ +4r 3 ] 3 8 π 6 5 5. // π 9

. S Φu, v xu, v, yu, v, zu, v R 3 u, v T R [a, b] [c, d] T ΦR R R i,j [a i,a i ] [c j,c j ] Δ: a a <a < <a m b c c <c < <c n d P i,j a i,c j R : R Δ i,j P i,j, P i,j, P i,j R i,j P i,j, P i,j, P i,j R i,j R Δ i,j R i,j R R i,j. i,j T Q i,j Φa i,c j T Δ i,j Q i,j, Q i,j, Q i,j T i,j Q i,j, Q i,j, Q i,j R i,j a i a i c j c j R i,j R R i,j R 3 Ti,j Δ Δ ATi,j, R i,j R Δ i,j RΔ i,j R i,j R i,j R i,j T i,j ATi,j S Φ T Δ i,j T i,j AT Δ i,j > AT i,j > T Δ i,j T i,j. T Δ i,j T Δ i,j i,j T i,j AT Δ AT Δ ATi,j Δ +AT i,j i,j Ti,j Δ x, y, z ΦΔ i,j u, v RΔ i,j Φ Δ i,ju, v Φa i,c j + Φa i,c j Φa i,c j a i a i u a i + Φa i,c j Φa i,c j c j c j v c j. x xa i,c j + xa i,c j xa i,c j u a i + xa i,c j xa i,c j v c j a i a i c j c j y ya i,c j + ya i,c j ya i,c j u a i + ya i,c j ya i,c j v c j a i a i c j c j z za i,c j + za i,c j za i,c j a i a i u a i + za i,c j za i,c j c j c j v c j. 93