09 入試対策 千葉大学 文系数学 998-08 過去問ライブラリー 電送数学舎
まえがき 本書には,998 年度以降に出題された千葉大学 ( 前期日程 ) の文系数学の全問題とその解答例を掲載しています 過去問の演習をスムーズに進めるために, 現行課程入試に対応した内容分類を行っています なお, 複数領域の融合問題の配置箇所は, 鍵となっている分野です また, 利便性の向上のため, 対応する問題と解答例のページにリンクを張っています 問題編の,, などの問題番号, 解答編の問題の文字がリンク元です 本書の構成について 本書は 部構成になっています 分野別問題一覧 と 分野別問題と解答例 です 標準的な活用方法については, 以下のように想定しています () 分野別問題一覧 から問題を選び, 答案をつくる () 分野別問題と解答例 で, 答案をチェックする () つの分野で,() と () を繰り返す () 完答できなかった問題だけを, 再度, 繰り返す (5) 出題の流れをウェブサイトで入試直前に確認する 注 複素数平面 は範囲外ですので除外しました 期待値 が主でない確率問題は掲載しています --
目 次 分野別問題一覧 分野別問題と解答例 関数 微分と積分 7 図形と式 8 図形と計量 58 ベクトル 68 整数と数列 80 確率 97 論証 6 --
分野別問題一覧 関数 / 微分と積分 / 図形と式 図形と計量 / ベクトル 整数と数列 / 確率 / 論証 --
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) 関数 右図のような 辺の長さ0cm の正方形 ABCD がある A D 点 P および点 Q は時刻 0 に A および B をそれぞれ出発し, 正方形 ABCD の周上を反時計回りに毎秒 cm 進む また, 点 R は時刻 0 に B を出発し, 正方形 ABCD の周上を反時計回りに毎秒 cm 進む 点 R が A に達するまでに PQR の 面積が 5cm となる時刻をすべて求めよ [0] B C を実数とする 関数 f ( ) の最小値を を用いて表せ [00] を実数とする についての方程式 が異なる実数解をち ょうど 個もつような の値の範囲を求めよ [007] 実数 に対し, 次関数 f ( ) 5 を考える () 方程式 f ( ) 0 が異なる つの実数解をもつような の範囲を求めよ () 次関数 y f ( ) のグラフが 点 (, 0 ), (, 0 ) を通り, < とな るような の範囲を求めよ [006] 5 次関数 f ( ) b cについて以下の問いに答えよ ただし, <0 とす る () f ( ) を で割った余りと で割った余りとが一致しているとする このとき, bになることを示せ () () の関数が, さらに次の (i), (ii) を満たすとき, f ( ) を求めよ (i) 曲線 y f ( ) が直線 y と接する (ii) 曲線 y f ( ) と 直線 y 0,, 0で囲まれた部分の面積は 5 6 であ る [000] --
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) 微分と積分 を正の数とし, t は 0 t< を満たす数とする 点 (,( t t- )) における曲線 y = ( -) の接線と, 軸および y 軸で囲まれた領域を D( t ) とする () 領域 D( t ) の表す図形の面積を および t を用いて表せ () 領域 D( t ) の表す図形の面積の最大値, およびそのときの t の値を を用いて表 せ () s は 0 s t を満たす数とする 領域 D( t ) と領域 D( s) を合わせてできる領域 D( t) È D( s) の表す図形の面積の最大値, およびそのときの s と t の値を を用い て表せ [08] 座標平面上の点 (, b) から曲線 y = -に引ける接線の本数を n とする () n = を満たすような点 (, b) の範囲を図示せよ () - < bかつ n を満たすように点 (, b) が動くとき, b- の最小値を求め よ [07] は 0< < を満たす定数とする 0 t を満たす実数 t に対して, 座標平面 上の 点 A( t,0), B(, t ), C( - t, ), D( 0, - t ) を考える このとき, 四角 形 ABCD の面積 S( t) が最小となるような t の値を求めよ [06] m を実数とする に関する方程式 -- - m = 0の実数解の個数を求 めよ [05] ò + 5 実数 に対し, 関数 f ( ) = t+ dt+ を考える 曲線 C : y= f ( ) が 軸と 点の共有点をもつための の範囲を求めよ またこのとき曲線 C と 軸で囲まれる部分の面積を求めよ [0] -5-
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) 6 と k を正の実数とする y のグラフを平行移動して得られる放物線 C と y のグラフを平行移動して得られる放物線 C が, ともに原点 O( 0, 0 ) で直 線 y k に接するものとする 原点 O を通り, 直線 y k に垂直な直線を l とする 放物線 C と直線 l によって囲まれる図形の面積を S, 放物線 C と直線 l によって囲 まれる図形の面積を S とおき, S S S とする 次の問いに答えよ () S を と k を用いて表せ () k とする S を最小にする の値と, そのときの S の値を求めよ [009] 7 次関数 f ( ) は, f ( ) ( ) f ( t ) dt 0 f 0 ( t ) dt を満たすとす る () f ( ) を求めよ () 関数 f ( ) の 0 における最小値を求めよ [008] 8 関数 f ( ) を次のように定義する また, f ( ) ( ) ( >) g ( ) b とする y g ( ) のグラフが y f ( ) のグラフと 点 で接するとき, 次の問いに答えよ (), b の値を求めよ () y f ( ) と y g ( ) のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ [006] 9 は実数とする つの曲線 y と y は, ある共有点で両方の曲線に共通な接線をもつ このとき を求めよ [005] 0 次関数 f ( ) および 次関数 g ( ) を, f ( ), g ( ) b c とし, y f ( ) と y g ( ) のグラフが点, で共通の接線をもつとする このとき以 8 下の問いに答えよ () b, c を を用いて表せ () f ( ) g ( ) の 0 における最小値を を用いて表せ [00] -6-
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) 実数 t に対して, f ( t ) を f ( t ) t d と定める 0 t のとき, 0 f ( t ) の最大値および最小値を求めよ [00] 実数 に対して, f ( ) とおく () 定積分 I ( ) f ( ) d を を用いて表せ () f ( ) が条件 f ( ) を満たすような の範囲を求めよ () が () の範囲を動くとき, I ( ) の最大値および最小値を求めよ [00], b を整数とする 次関数 f ( ) b が, 0<< の範囲で極大値 と極小値をもつとき,, b の値を求めよ [00] 三角形 ABC において, 辺 BC 上に点 D があり, BAD CAD 0である AB p, AC qとおく () AD の長さを p, q で表せ () pq を満たすとき, ABD の面積と ACD の面積の差の絶対値が最大にな る p の値を求めよ [000] 5 与えられた実数, b のうち, 大きくない方を min, b で表すことにする 関数 f ( ) 7 に対して g( ) min f( ), f( ) とおく () 0 のとき, y g ( ) が最大となる の値, および最小となる の値をそれ ぞれ求めよ () つのグラフ y f ( ) と y g ( ) で囲まれた部分の面積を求めよ [998] -7-
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) 図形と式 座標平面上に 5 点 A (0, 0), B( 0, ), C(, ), D(, 0), E ( 0, ) がある 点 E と点 P( s, ) (0< s < ) を通る直線をl とする 直線 y = に関して l と対称な直線を l とし, l と直線 = の交点を P とする さらに, 直線 = に関してl と対称な直線 l は, 軸と線分 AD 上で交わるとし, その交点を P とする () 直線 l が点 D を通るときの s の値を求めよ () 線分 DP の長さを s を用いて表せ () EP + PP + PP の最大値と最小値を求めよ [06] 座標平面上に, 原点を中心とする半径 の円と, その円に外接し各辺が 軸または y 軸に平行な正方形がある 円周上の点 (cos, sin ) ( ただし 0 < < ) におけ る接線と正方形の隣接する 辺がなす三角形の 辺の長さの和は一定であることを示せ また, その三角形の面積を最大にする を求めよ [0], b を実数とし, > 0 とする 放物線 y = 上に 点 A (, ), B ( b, b ) をとる 点 A における放物線の接線と法線をそれぞれ l A と n A, 点 B における放物線の接線と法線をそれぞれ l B と n B とおいたとき, la と l B が直交しているものとする つの接線 l A, lb の交点を P とし, つの法線 n A, nb の交点を Q とする () b を を用いて表せ () P, Q の座標を を用いて表せ () 長方形 AQBP の面積が最小となるような の値と, そのときの面積を求めよ [0] 放物線 y = 上の点 (, ) における接線を l とする () 直線 l が不等式 y>- + -5の表す領域に含まれるような の範囲を求めよ () が () で求めた範囲を動くとき, 直線 l が通らない点 (, y ) 全体の領域 D を図 示せよ () 連立不等式 ( y- )( y+ - + 5) 0, y( y + 5) 0 の表す領域を E とする D と E の共通部分の面積を求めよ [0] -8-
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) 5 は正の実数とし, 座標平面上の直線 l : y= と放物線 C : y= を考える C y ( 0 ) 上の点 (, ) ただし < < で l との距離を最大にする点を P( s, t) とおく また P と l との距離を d とおく 以下の問いに答えよ () d, s, t をそれぞれ の式で表せ また点 P での放物線 C の接線の傾きを求めよ () 実数 を >0 の範囲で動かしたとき, 点 P( s, t) の軌跡を求め, 図示せよ [0] 6 放物線 C : y 上の 点 A, B は, 直線 AB と C で囲まれる図形の面積が に 6 なるという条件を満たしながら C 上を動くとする このとき, 直線 AB が通りうる点の範囲を求め, 図示せよ [00] 7 座標平面上に, 中心がそれぞれ点 ( 0, ), 点 (, ) で, 同じ半径 をもつ つ の円 C とC がある 次の問いに答えよ () 円 C, C と 軸に接するように円 C を描く このとき円 C の中心の座標を 求めよ () さらに, 円 C, C と 軸に接するように円 C とは異なる円 C を描く このとき円 C の中心の座標を求めよ [00] 8 直線 y と放物線 y とで囲まれた図形を D とする () D の面積 S を求めよ () D を 軸の正の方向に m だけ平行移動して, 不等式 y の表す領域に含まれるように移す m の最小値 m を求めよ () m を () で求めた最小値とする D を 軸の正の方向に m だけ平行移動するとき, D が通過する範囲を図示し, その面積 S を求めよ [999] -9-
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) 図形と計量 右図のような 辺の長さが の立方体 ABCD- EFGH に対して, 対角線 AG と DF の交点を O とする 線分 AO 上の点 P と線分 DO 上の点 Q が OQ = AP - を満たしながら動くとき, OPQ の面積の最大値を求めよ ただし, 点 P, Q は点 O とは一致しないものとする [08] A E D B H F C G 座標平面上に 点 O(0, 0), A(, ), B(9, 0) がある 線分 OB 上に 点 P, Q を PAQ = 90となるようにとる ただし, 点 Q の 座標は点 P の 座標より大きいものとする APQ = とし, APQ の面積を S とする () S を を用いて表せ () S の最小値, およびそのときの点 P と点 Q の 座標を求めよ () S が AOB の面積の 倍となるとき, 点 P と点 Q の 座標を求めよ [07] 辺の長さ の正三角形 ABC において, BC を:に内分する点を D, CA を :に内分する点を E, AB を:に内分する点を F とし, さらに BE と CF の交点を P, CF と AD の交点を Q, AD と BE の交点を R とする このとき, PQR の面積を求めよ [05] 辺の長さが の正四面体 OABC において, 辺 BC を : に内分する点を D と する また, 辺 OC 上に点 E をとり, CE = t とする () AD の長さを求めよ () cosdae を t を用いて表せ () ADE の面積が最小になるときの t の値とそのときの面積を求めよ [0] 5 三角形 ABC の面積は +, 外接円の半径は, BAC = 60, AB>AC であ る このとき, 三角形 ABC の各辺の長さを求めよ [0] -0-
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) 6 ABC において, 頂点 A から直線 BC に下ろした垂線の長さは, 頂点 B から直線 CA に下ろした垂線の長さは, 頂点 C から直線 AB に下ろした垂線の長さは である このとき, ABC の面積と, 内接円の半径, および, 外接円の半径を求めよ [00] 7 ABC は AB AC の二等辺三角形とする A, B の大きさをそれぞれ A, B とおく A 0 のとき, 次の問いに答えよ () 頂点 A から対辺 BC に下ろした垂線を AH とする ただし, H は辺 BC 上の点である このとき AH の値を求めよ BC () sin A cos B の値を求めよ [009] 8 ABC において, AB 5, BC 5sin A, CA であるとする () 辺 BC の長さを求めよ () ABC の内接円の半径を求めよ [006] 9 辺の長さが の正三角形 ABC がある 辺 BC の中点 M を中心とする半径 r の円が辺 AB および辺 AC と共有点をもつとき, AB との共有点のうち頂点 A に近い方の点を D とし, AC との共有点のうち頂点 A に近い方の点を E とする () AD の長さが であるとき, r の値を求めよ () AD の長さを とおくとき, r を の式で表せ () DME とおくとき, cos となる r の値を求めよ [00] --
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) ベクトル n を 以上の整数とする 座標平面上で正 n 角形 AAA n は点 O を中心とす る半径 の円に内接している = OA, b = OA, c = OA, d = OA とし, k = cos とおく そして, 線分 AA と線分 AA との交点 P は線分 AA を n t :-tに内分するとする () および d を, b, c, k を用いて表せ () t を k を用いて表し, t < を示せ PAA () 不等式 > を示せ [07] A AA 座標平面上にすべての内角が80 未満の四角形 ABCD がある 原点を O とし, OA =, OB = b, OC = c, OD = d とおく k は 0 k を満たす定数とする 0 以上の実数 s, t, u が k+ s+ t+ u= を満たしながら変わるとき OP = k + sb + tc + ud で定められる点 P の存在範囲を E( k) とする () E () および E (0) を求めよ () E ( ) を求めよ () 対角線 AC, BD の交点を M とする どの ( ) E k ( k ) にも属するような点 P を考える このような点 P が存在するための必要十分条件を, 線分 AC, AM の長さを用いて答えよ [06] 三角形 ABC の外心を O, 重心を G とする () OG = OA が成り立つならば, 三角形 ABC は直角三角形であることを証明せ よ () k が k ¹ を満たす実数で, OG = koa が成り立つならば, 三角形 ABC は二等 辺三角形であることを証明せよ [0] --
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) 平面上の ABC において, 辺 AB を : に内分する点を D, 辺 BC を : に内 分する点を E とし, 線分 AE と CD の交点を O とする () AB p, AC q とするとき, ベクトル AO を p, q で表せ () 点 O が ABC の外接円の中心になるとき, 辺 AB, BC, CA の長さの 乗の比を求めよ [008] 5 平面上で AB となる 点 A, B をとる 点 A を中心とする半径 の円を S とし, 点 B を中心とする半径 の円を T とする 点 C, D は円 S 上を動き, 点 E, F は円 T 上を動く ただし, 線分 CD は点 A を通り, 線分 EF は点 B を通る このとき内積 CE DF の最大値と最小値を求めよ [007] 6 yz 空間内に点 A (,, ) と点 B( 5,, 0 ) がある 点 C が y 軸上を動くとき, 三角形 ABC の面積の最小値を求めよ [00] 7 R を平面上の凸六角形とし, その頂点を順に A, B, C, D, E, F とする AB, b BC, c CD とおく R が ED, FE = b を満たすとする () AF c であることを示せ () 三角形 ACE と三角形 BDF の重心が一致するとき,, b, c の間の関係を求め よ () R が () の条件を満たし, さらに内積に関して b, b c, c を満たすとき, R の面積を求めよ [00] 8 三辺の長さが OA, OB, AB 7 の三角形 OAB がある OA の中点を M とし, B を始点とする半直線 BM 上に BP OB b とする () OP を, bと t を用いて表せ tbm となる点 P をとり, OA, () と b の内積 bを求めよ () AP BMとなるとき t の値を求めよ [999] --
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) 9 空間に, 同一直線上にない 点 O, A, B と 点 P がある O, A, B を通る平面を とし, 点 P は 上にないとする OA, OB b, OP p とおき,, b, b, p, pb とする () ps tbが平面 に垂直になるように実数 s, t を定めよ () 平面 に関して点 P と対称な点を Q とするとき, ベクトル OQ を, b, pを用 いて表せ () 三角形 OPQ の面積が のとき, p の大きさ p を求めよ [998] 整数と数列 初項が で公差が 6 である等差数列, 7,, の第 n 項を n とし, また初項が で公差が である等差数列, 7,, の第 m 項をb m とする つの数列 { n }, { bm } に共通して現れる数すべてを小さい順に並べてできる数列を { ck } とし, つの数列 { n }, { bm } の少なくとも つの項になっている数すべてを小さい順に並べてできる数列を { dl } とする したがって c = 7 であり, また数列 { dl } のはじめの 5 項は,, 7,, となる () 数列 { ck } の一般項を求めよ () d000 および d 00 の値を求めよ [08] k, m, n を自然数とする 以下の問いに答えよ () k を 7 で割った余りが であるとする このとき, k を で割った余りは であることを示せ () m+ 5nが で割り切れるとする このとき, mn を 7 で割った余りは ではないことを示せ [05] 整数 p, q ( p q 0) に対して 項係数を 0! = とする () n, k が 0 以上の整数のとき, n+ k+ Ck+ ( ) ない値になることを示せ () m が 以上の整数のとき, 和 p C q p! = と定める なお, q!( p-q)! - を計算し, n によら C C n+ k k n+ k+ k + + + + を求めよ [0] C C C C 5 m --
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) p, q を互いに素な 以上の整数, m, n は m< nなる正の整数とする このとき, 分母が pq で, 分子が p でも q でも割り切れない分数のうち, m よりも大きく n よ りも小さいものの総数を求めよ [0] 5 より小さい正の実数 に対して, 円 C( ):( + - ) + ( y+ - ) = と 定める そのうえで, 数列 { n} を以下の方法によって定める (i) n = のときは, 円 C( ) が 軸と接するような定数 の値を とする さらに, 円 C( ) と 軸との接点を P とし, 円 C( ) の中心を Q とおく (ii) n のときは, 円 C( ) が直線 Pn-Qn-と接するような定数 の値を n とする さらに, 円 C( n ) と直線 Pn-Qn-との接点を P n とし, 円 C( n ) の中心を Q n とおく このとき, 以下の問いに答えよ () を求めよ () を求めよ () { n} の一般項を求めよ [0] 6 放物線 y と直線 y b によって囲まれる領域を D (, y ) y b とし, D の面積が 9 であるとする 座標平面上で, 座標, y 座標がともに整数である 点を格子点と呼ぶ () 0 のとき, D に含まれる格子点の個数を求めよ (), b がともに整数であるとき, D に含まれる格子点の個数は,, b の値によらず一定であることを示せ [00] 7 以下の問いに答えよ () を有理数とする 7 が整数ならば, は整数であることを示せ (), b を整数とする 7b が の倍数ならば, と b はともに偶数であることを示せ () r は整数, s は有理数とする r 7s が整数ならば, s は整数であることを示 せ [008] -5-
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) 8 n を奇数とする () n は 8 の倍数であることを証明せよ () 5 n n は の倍数であることを証明せよ () 5 n n は 0 の倍数であることを証明せよ [007] 9 数列 n とき, b () () n において,, である b は正の公比をもつ等比数列とする ( n ) nn nn 6 ( n ) nn n nn を, b, b を用いて表せ n n 56 が成り立つとき n n ( n,, ) とおく (i) 一般項 bn を求めよ (ii) 一般項 を求めよ [005] 0 数列 n n を,, () 一般項 n を求めよ n () k k k n n ( n,, n n ) で定める を求めよ [00] n 以下の問いに答えよ () n を自然数とする このとき, n を で割った余りは 0 または であることを証明せよ () つの自然数, b, c が, b c を満たしている このとき,, b の少なくとも一方は偶数であることを証明せよ [00] 数列 n は次の (i), (ii) を満たすとする Sn (i) (ii) n について, n Sn ただし, Sn nである () を求めよ () n に対して, S n を S n で表せ () S n を求めよ () n に対して, n を求めよ [000] -6-
, n 0, n Sn Sn (,,, ) ある ただし, S n は n の初項から第 n 項までの和である 千葉大学 文系分野別問題 (998~08) n で与えられる数列 n () を求めよ () S n を求めよ () n を求めよ [999] が 座標平面において, 点 P, Q をそれぞれ直線, 上の点とし, 直線 PQ が円 y に接するように動くものとする このとき, 点 P, Q の y 座標が ともに整数であるような P, Q の組をすべて求めよ [998] 確率 箱の中に n 枚のカードが入っている ただし n とする そのうち 枚は金色, 枚は銀色, 残りの ( n - ) 枚は白色である この箱からカードを 枚取り出し, その色が金なら 50 点, 銀なら 0 点, 白なら 0 点と記録し, カードを箱に戻す この操作を繰り返し, 記録した点の合計が k 回目にはじめて 00 点となる確率を P ( k ) と する () 確率 P () を求めよ () 確率 P (6) を求めよ () 確率 P () を求めよ [08] 個のさいころを 回投げて, 以下のルールで各回の得点を決める 回目は, 出た目が得点になる 回目は, 出た目が 回目と同じならば得点は 0, 異なれば出た目が得点になる 回目は, 出た目が 回目または 回目と同じならば得点は 0, どちらとも異なれば出た目が得点になる 回の得点の和を総得点とし, 総得点が n となる確率を p n とする () 総得点 n の最大値, 最小値と, それらの n に対する p n を求めよ () p6 を求めよ [07] -7-
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) 個のさいころを 回投げ, 最初に出た目を, 回目に出た目を b とする 次方程式 - + b= 0 について, 次の問いに答えよ () 実数解は存在すれば正であることを示せ () 実数解の個数が となる確率を求めよ () 実数解の個数が となる確率を求めよ [06] さいころを 5 回振るとき, 初めの 回においては 6 の目が偶数回出て, しかも最後の 回においては 6 の目がちょうど 回出る確率を求めよ ただし, 6 の目が一度も出ない場合も 6 の目が出る回数を偶数回とみなす [05] 5 A, B ふたりは, それぞれ から までの番号のついた 枚のカードを持ち, それを用いて何回かの勝負からなる次のゲームをする 初めに A, B はそれぞれ 枚のカードを自分の袋に入れ, よくかきまぜる A, B はそれぞれ自分の袋から無作為に 枚ずつカードを取り出し, そのカードを比較して 回の勝負を行う すなわち, 大きい番号のついたカードを取り出した方がこの回は勝ちとし, 番号が等しいときはこの回は引き分けとする 袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする A, B どちらかが 回勝てば, カードの取り出しはやめて, 回勝った方をゲームの勝者とする 枚すべてのカードを取り出してもいずれも 回勝たなければゲームは引き分けとする このとき, 以下の問いに答えよ () A が 0 勝 0 敗 引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ () A が 勝 敗 引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ () A がゲームの勝者になる確率を求めよ [0] 6 から 9 までの番号をつけた 9 枚のカードがある これらを無作為に 列に並べる試行を行う () 下記の条件 (A) が成り立つ確率を求めよ () 下記の条件 (B) が成り立つ確率を求めよ () 条件 (A), (B) が同時に成り立つ確率を求めよ ただし, 条件 (A), (B) は次のとおりである (A) 番号 のカードと番号 のカードは隣り合わない (B) 番号 8 のカードと番号 9 のカードの間には, ちょうど 枚のカードがある [0] -8-
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) 7 さいころを 7 回投げ, k 回目 ( k 7) に出る目を X k とする () 積 XX が 8 以下である確率を求めよ () 積 XX X7が偶数である確率を求めよ () 積 XX X7が の倍数である確率を求めよ () 積 XX X7を で割ったときの余りが である確率を求めよ [0] 8 個のさいころを 回投げる 回目に出る目を, 回目に出る目を, 回目に出る目を とし, 整数 n を, n= ( -)( -)( -) と定める () n = 0 である確率を求めよ () n = 0 である確率を求めよ [0] 9 辺の長さが の正六角形 AA AAA5A 6 を考える さいころを 回投げ, 出 た目を順に i, j, k とするとき, A i A j A k の面積を 乗した値を得点とする試行を行 う ただし, i, j, k の中に互いに等しい数があるときは, 得点は 0 であるとする () 得点が 0 となる確率を求めよ () 得点が 7 となる確率を求めよ () 得点の期待値を求めよ [00] 0 から 9 までの番号をつけた 9 枚のカードがある このなかから無作為に 枚のカードを同時に取り出し, カードに書かれた つの番号の積を X とおく () X が 5 の倍数になる確率を求めよ () X が 0 の倍数になる確率を求めよ () X が 6 の倍数になる確率を求めよ [009] n を自然数とする 個のさいころを続けて 回投げ, 回目に出た目の数を, 回目に出た目の数を y とする n y n n となる確率を P n で表すとき, 次 の問いに答えよ () P を求めよ () Pn が最大となる n を求め, そのときの P n を求めよ () P n となる n を求めよ 6 [008] -9-
千葉大学 文系分野別問題 (998~08) から 5 までの数字が書かれたカードが, それぞれ 枚ずつ, 合わせて 0 枚あ る この中からカードを 枚同時に取り出し, その数字を X, Y とする ただし, X Y とする () X Y となる確率を求めよ () X となる確率を求めよ () X の期待値を求めよ [005] n 枚のカードの表に,,, n の数をそれぞれ つずつ書く この n 枚のカー ドを裏返しにして, よくまぜ, 重ねて, 上から順に,,, n の数を書く 表と裏に 書かれた数が一致するカードが 枚もない確率を p n とする () p を求めよ () n のとき, 表と裏に書かれた数が一致するカードの枚数の期待値を求めよ () p5 を求めよ [00] 次の問いに答えよ ただし同じ色の玉は区別できないものとし, 空の箱があってもよいとする () 赤玉 0 個を区別ができない 個の箱に分ける方法は何通りあるのか求めよ () 赤玉 0 個を区別ができる 個の箱に分ける方法は何通りあるのか求めよ () 赤玉 6 個と白玉 個の合計 0 個を区別ができる 個の箱に分ける方法は何通りあるのか求めよ [00] 論証 n を自然数とするとき, 次の問いに答えよ () k を k n を満たす自然数とするとき, n k k 示せ ただし n C k は二項係数である n () 不等式 n n k () 不等式 < n k k < が成り立つことを示せ k k C n k が成り立つことを n が成り立つことを示せ [009] n -0-
分野別問題と解答例 関数 / 微分と積分 / 図形と式 図形と計量 / ベクトル 整数と数列 / 確率 / 論証 --
千葉大学 文系関数 (998~08) 問題 右図のような 辺の長さ 0cm の正方形 ABCD がある 点 P および点 Q は時刻 0 に A および B をそれぞれ出発し, 正方形 ABCD の周上を反時計回りに毎秒 cm 進む また, 点 R は時刻 0 に B を出発し, 正方形 ABCD の周上を反時計回りに毎秒 cm 進む 点 R が A に達するまでに PQR の 面積が 5cm となる時刻をすべて求めよ [0] 解答例 点 R が C, D, A に達するのは, それぞれ 5 秒後, 0 秒後, 5 秒後である そして, 出発してから t 秒後の PQR の面積を S とし, S = 5 となる t を求める (i) 0 t 5 のとき A D PB = 0 - t, QR = t- t = tより, S = t(0 - t) =-( t- 5) + 5 S 5 より, S = 5 となる場合はない (ii) 5 t 0 のとき PB = QC = 0 - t, BQ = t, CR = t -0 より, S = ( t- 0 + 0 -t) 0 -(0 - t)( t+ t- 0) = 5 50 t - t+ ここで, S = 5 とすると, 5 t 0から, t = 5+ 5 (iii) 0 t 5 のとき t - 0t+ 0 = 0 となり, PC = QD = 0 - t, CQ = t - 0, DR = t -0 より, S = ( t- 0 + 0 -t ) 0 - (0 -t )( t- 0 + t- 0) = 0 00 t - t+ ここで, S = 5 とすると, 0 t 5 から, t = 0 0 (i)~(iii) より, t = 5+ 5, コメント t - 80t+ 50 = 0 となり, 0 0 である 高校入試に出題されるようなタイプです 場合分けも難しくありません -- P B A B A P B A B P Q R R Q C D C D R C D Q C
問題 を実数とする 関数 f ( ) 千葉大学 文系関数 (998~08) の最小値を を用いて表せ [00] 解答例 関数 f ( ) に対して, f ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) (i) かつ ( ) のとき における f ( ) の最小値は f, における f ( ) の最小値は f となり, > から, f ( ) の最小値は f である (ii) かつ ( ) のとき における f ( ) の最小値は f ( ), における f ( ) の最小値 は f ( ) となり, f ( ) の最小値は f ( ) である (iii) かつ ( ) のとき における f ( ) の最小値は f ( ), における f ( ) の最小値 は f となり, ( ) ( ) 0, よって, f ( ) の最小値は f である (i)~(iii) より, f ( ) の最小値は, のとき, のとき である コメント放物線の軸 が の範囲に入っているかどうか, また が の範 囲に入っているかどうかで場合分けをしています なお, かつ のときは, の値が存在しないので, 記述を省きました --
千葉大学 文系関数 (998~08) 問題 を実数とする についての方程式 が異なる実数解をちょ うど 個もつような の値の範囲を求めよ [007] 解答例 に対して, (*) (i) 0 ( 0 8 ) のとき (*) が異なる実数解を 個もつ条件は, > >0, ( ) >0, よって, 0 <, < 8 (ii) <0 ( <0, 8< ) のとき (*) が異なる実数解を 個もつ条件は, 0 > (ii-i) 0 のとき (ii-ii) > のとき <0, 6 0< <6 0 よって,, 6 0<<0, 8< <6 0 (i)(ii) より, (*) が異なる実数解を 個もつ条件は,, 6 0<<, < <6 0 または コメントグラフをイメージしながら解いています 軸に関して折り返しのない場合が (i), ある場合が (ii) です --
千葉大学 文系関数 (998~08) 問題 実数 に対し, 次関数 f ( ) 5 を考える () 方程式 f ( ) 0 が異なる つの実数解をもつような の範囲を求めよ () 次関数 y f ( ) のグラフが 点 (, 0 ), (, 0 ) を通り, < とな るような の範囲を求めよ [006] 解答例 () f ( ) 0 すなわち 5 0 が異なる つの実数解をもつ条件は, D ( 5 ) >0 まとめると, 5 ( ) >0 より, <0, < () y f ( ) のグラフと 軸の交点, が < を満たす条件は, まず () から, <0, < また, y f ( ) のグラフの軸が なので, < < より, < <6 さらに, f ( ) 5 0 より, 0 5 5 f ( ) 9 5 0 より, 9 0 0 0 ~の共通範囲をとって, < 0 コメント解の配置の基本問題です 共通範囲をとるところでミスをしないようにしましょう -5-
千葉大学 文系関数 (998~08) 問題 次関数 f ( ) b cについて以下の問いに答えよ ただし, <0 とする () f ( ) を で割った余りと で割った余りとが一致しているとする このとき, bになることを示せ () () の関数が, さらに次の (i), (ii) を満たすとき, f ( ) を求めよ (i) 曲線 y f ( ) が直線 y と接する (ii) 曲線 y f ( ) と 直線 y 0,, 0で囲まれた部分の面積は 5 6 であ る [000] 解答例 () 剰余の定理を利用して, f( 0) f( ), c b cから, b () () より, f ( ) c ここで, 条件 (i) より, y f ( ) と y と接するので, c, ( ) c 0 D ( ) c 0 0 5 条件 (ii) より, ( c ) d 6 0 c 5 6 5 c 6, c 5 6 6 より, ( ) 5 0, 0から,, 6 6 のとき, より c となり, f ( ) のとき, より c となり, f ( ) y O c コメント () の条件から, y f ( ) の軸が であることを見抜けば, 場合分けなしに f ( ) が決定できます -6-
問題 を正の数とし, t は 0 t< 千葉大学 文系微分と積分 (998~08) を満たす数とする 点 (,( t t- )) における曲線 y = ( -) の接線と, 軸および y 軸で囲まれた領域を D( t ) とする () 領域 D( t ) の表す図形の面積を および t を用いて表せ () 領域 D( t ) の表す図形の面積の最大値, およびそのときの t の値を を用いて表 せ () s は 0 s t を満たす数とする 領域 D( t ) と領域 D( s) を合わせてできる領域 D( t) È D( s) の表す図形の面積の最大値, およびそのときの s と t の値を を用い て表せ [08] 解答例 () 曲線 y = ( -) に対し y = ( -) となり, 0 t< において, 点 (,( t t- )) における接線の方程式は, y -( t- ) = ( t-)( - t) y = ( t-) - t + すると, と y 軸との交点は (0, - t + ) となり, また 軸との交点は t+ (, 0) である O t そこで, 接線 と 軸および y 軸で囲まれた領域 D( t ) の 面積を S( t) とおくと, S( t) t+ = (- t + ) = ( -t - t + t+ ) () より, S ( t) = (-t - t+ ) =- ( t- )( t+ ) すると, 0 t< における S( t) の増減は右表 t 0 のようになる これより, S( t) は t = のとき最 S ( t) + 0 - 大となり, 最大値は, S( t ) 8 S( ) = ( - - + + ) = 7 9 7 () 0 s t< のとき, 点 ( s, ( s- ) ) における接線の方 y 程式は, より, y = ( s-) - s + さて, つの領域 D( t ) と D( s) を合わせてできる領域 D( t) È D( s) の面積を T(, t s) とすると, (i) 0 s= t< のとき T(, t s) = S( t) より, () から最大値は 8 7 である y O s t -7-
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) (ii) 0 s<t<のとき を連立すると, ( t-) - t + = ( s-) - s + から, ( t- s) = t - s, = t+ s よって, T(, t s) = S( t) + {(- s + )-(- t + )} t+ s となり, T(, t s) = (-t - t + t+ ) + ( t + st -s t- s ) ここで, t をt= t0 (0 <t0< ) で固定し, s を 0 s<t0 で動かすと考え, T( t0, s) = ( -t 0 - t0 + t0 + ) + ( t0 + t0 s-t0s - s ) T ( t 0, s) =- (s + t0s- t0 ) t0 s 0 t 0 =- ( s- t0 )( s+ t0 ) T ( t0, s) + 0 - すると, 0 s<t0 におけるT( t 0, s) の 増減は右表のようになる これより, t0 T( t0, s) は s = のとき最大となり, 最大値は, t T t t t t t t t t 0 0 0 0 ( 0, ) = ( - 0-0 + 0 + ) + ( 0 + - - ) 9 7 = 5 ( 0-0 + 0 + ) 7 t t t さらに, この状態を保ったままt 0 を 0 <t0< で動かすと考え, 変数をt 0 から t に戻し ( ) (, t U t = T t ) とおき直すと, U( t) 5 ( t t t ) U ( t) = 5 ( t - t+ ) 9 = (5 t- )( t- ) 6 すると, 0 <t< における U( t) の増減は = - + + から, 7 右表のようになる これより, U( t) はt= のとき最大となり, 最大値は, 5 U ( 5 7 9 8 ) = ( - + + ) = 5 7 5 5 5 5 (i)(ii) より, T( t, s) は, t=, s= = のとき, 最大値 8 5 5 5 5 をとる コメント T( t0, s ) t 0 5 U ( t) + 0 - U( t ) 微分と最大 最小に関する問題です () は 変数関数が対象の設問で, 文字を固定して処理しています ただ, 重複をいとわず丁寧に記述したところ, かなりの分量になってしまいました -8-
問題 千葉大学 文系微分と積分 (998~08) 座標平面上の点 (, b) から曲線 y = -に引ける接線の本数を n とする () n = を満たすような点 (, b) の範囲を図示せよ () - < bかつ n を満たすように点 (, b) が動くとき, b- の最小値を求め よ [07] 解答例 () 曲線 y = -に対して, y -( t - t) = (t -)( - t), この接線が点 (, b) を通ることより, - t + t - = b y = -となり, 点 y = (t -) - t (, t t -) t における接線は, b= (t -) -t となり, 接線が 本引ける条件は, 複接線が存在しないことより, 接点が 個すなわち の異なる実数解が 個ある条件に等しい そこで, f ( t) =- t + t - とおくと, は f ( t) = bとなり, =- + =- - f ( t) 6t 6t 6 t( t ) (i) > 0 のとき f ( t ) の増減は右表のようになり, が 個の実数解をもつ条件は, t f ( t ) - 0 0 + 0 - - < b< - f ( t ) - - (ii) = 0 のとき f ( t) =-6t 0となり, f ( t ) は単調減少するので, が 個の異なる実数解を もつことはない (iii) < 0 のとき f ( t ) の増減は右表のようになり, が 個の実数解をもつ条件は, - < b<- (i)~(iii) より, 点 (, b) の範囲を図示する そこで, 境界線 b= -に対して, b = - = ( + )( - ) すると, b の値の変化は右表のようになる t 0 f ( t ) - 0 + 0 - f ( t ) - - - b + 0-0 + b - -9-
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) 以上より, 点 (, b) の範囲は右図の網点部となる ただし, b 境界線は含まない () まず, - < bのもとで, 接線の本数が 本以下, すなわち の異なる実数解が 個以下となる (, b) の条件を求める (i) > 0 のとき - < bなので, の実数解が 個以下となる条件は, b - (ii) = 0 のとき つねにの実数解は 個となるので, - < bから, b > 0 (iii) < 0 のとき - < bのとき, の実数解は 個なので, b>- (i)~(iii) より, 点 (, b) の範囲は右図の網点部となる ただし, 境界線は > 0 の部分のみを含む さて, このときb- = k ( b= + k) が最小となるのは, 右図から, 曲線 b= -が傾き の接線をもつときなので, b = - = から, = となる すると, b = - =- から, 接点の座標は (, - ) となる 以上より, b- = kの最小値は, - - =- である - O - b - O - コメント超頻出の 次曲線の接線の本数の問題に, 領域と最大 最小の問題が付け加えられています なお, () の結果を補集合として利用すると, () の記述量はやや減少します -0-
問題 千葉大学 文系微分と積分 (998~08) は 0< < を満たす定数とする 0 t を満たす実数 t に対して, 座標平面上 の 点 A (,0) t, B(, t ), C( - t, ), D( 0, - t ) を考える このとき, 四角形 ABCD の面積 S( t) が最小となるような t の値を求めよ [06] 解答例 定数 (0< < ), および実数 t (0 t ) に対して, 点 A (,0) t, B(, t ), C( - t, ), D( 0, - t ) を頂点とす る四角形 ABCD の面積を S( t) とおく すると, S( t) = - (-t) t - (- + t)( - t ) -(-t)(- + t) -t(- t) = - {-t -( - ) t + ( + ) t} = t + ( -) t -( + ) t+ ( ) = + ( -) -( + ) となり, S ( t) 0 S t t t 右表のようになり, t = で最小となる (ii) のときこのとき S () = - 0 より, 0 S ( t) 0から S( t) は単調に減少し, t = で最小となる (i)(ii) より, S( t) が最小となるような t の値は, = を満たす正の解は, - + + + + 7 S (0) =- ( + ) < 0からt = であり, これをt = とおく (i) 0 < < のとき このとき S () = - > 0 より, < < と t 0 なる そして, 0 t における S( t) の増減は S ( t) - 0 + S( t ) < となる そして, 0 t において - + + + + 7 t = ( < < ), t = (0< ) y D - t t O t A C -t B コメント微分と最大 最小に関する標準的な問題です なお, S( t) の立式については, 位置 関係に場合分けが生じないので, 普通に正方形から つの直角三角形を除きました --
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) 問題 m を実数とする に関する方程式 -- - m = 0の実数解の個数を求めよ [05] 解答例方程式 -- - m = 0 に対して, y = -, y = - m -- - = -m から, すると, の異なる実数解の個数は, とのグラフの共有点の個数に一致する さて, より, y = - = ( + )( - ) これより, の増減は右表のようになる また, は y 0 で, 点 ( m, 0) を頂点とする折 y + - 0-0 + れ線で, その傾きは と- である ここで, 点 (, - ) において, のグラフの 接線の傾きが になるとすると, < 0 として, - =, =, =- =- すると, - = 0 = 0 となり, 9 - = - m よって, m 0 6 =- - =- 9 9 また, 点 (, - ) において, のグラフの接線の傾きが- になるとすると, < 0 として, すると, - =-, =, =- =- - = 7 = 7 6 となり, 9 よって, m 6 7 =- + 6 = 6 9 9 6 - =- + m 以上より, とのグラフの共有点の個数, すなわち方程式 の異なる実数解の個数は, 右上図から, m <- 6, 6 < m のとき 個, m =- 6, 6 のとき 個 9 9 9 9-6 < m < 6 のとき 個 9 9 コメント y - - O m αβ 初めからグラフを用いて処理をしましたが, 詰めの作業がやや煩雑です まず, 方程式 を同値変形した方がよかったかもしれません m y
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) 問題 実数 に対し, 関数 f ( ) = + t+ dt+ を考える 曲線 C : y= f ( ) が 軸 ò と 点の共有点をもつための の範囲を求めよ またこのとき曲線 C と 軸で囲まれる部分の面積を求めよ [0] 解答例 ò + f ( ) = t+ dt+ に対し, 右図は y= t+ の + グラフであり, さらに g( ) = t+ dtとおくと, (i) <- のとき g ( ) = (----) =-- (ii) - <- のとき ò ( ) g ( ) = ( -- ) + ( + ) = + + 5 = + + (iii) - のとき g ( ) = ( + + + ) = + (i)~(iii) より, y = g( ) のグラフは右図のようになる すると, 曲線 C : y= f ( ) が 軸と 点の共有点をもつ条件は, f ( ) = 0 すなわち g( ) =-が異なる 実数解 - - O をもつことに対応し, - > すなわち <- である 曲線 C と 軸で囲まれる部 分の面積 S は, y = g( ) のグラフと直線 y =-で囲まれる部分の面積に等しいので, () <- ( - <- ) のとき y = g ( ) (- -) と y =- を連立すると, + + 5 + = 0 となり, この解 = - - - を =, ( < ) とおくと, S =-ò ( -)( - ) d = ( - ) = ( - - ) 6 6 (b) - > ( <- ) のとき y = g ( ) ( <-) と y =- を連立すると = -, y = g ( ) ( >-) と y =-を連立すると =-- となり, - y O y t --
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) ( ) ( )( ù ) S = { --(- )} + é { ( )} 6 êë - - - + - - - - - - úû = + (- + )( -- ) = - 6 コメント絶対値つきの関数の定積分は, グラフを利用して, 台形や三角形の面積を対応させて計算しています --
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) 問題 と k を正の実数とする y のグラフを平行移動して得られる放物線 C と y のグラフを平行移動して得られる放物線 C が, ともに原点 O( 0, 0 ) で直線 y k に接するものとする 原点 O を通り, 直線 y k に垂直な直線を l とする 放物線 C と直線 l によって囲まれる図形の面積を S, 放物線 C と直線 l によって囲 まれる図形の面積を S とおき, S S S とする 次の問いに答えよ () S を と k を用いて表せ () k とする S を最小にする の値と, そのときの S の値を求めよ [009] 解答例 () 原点を通る放物線 C の方程式を, おくと, y y p となる y p と 条件より, 0 のとき y k から, p k となり, y k また, 同様にして, 原点を通る放物線 C の方程式を, q とおくと, y q となる 条件より, 0 のとき y k から, q k となり, y k さらに, 直線 y k に垂直な直線 l は, y である k の交点 0 は, k から, k となり, k k 0 S k d ( ) k k 6 k の交点 0 は, k から, k となり, k k S k d k 0 k 6 k よって, S S S k k 6 k k () k のとき, k より, k S 6 ( ) 6 C l α y O k k C β -5-
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) ここで, >0 より, 相加平均と相乗平均の関係を用いると, 6 6 8 なお, 等号は, 6 すなわち のときに成立し, このとき S は最小値 8 6 をとる コメント放物線とその法線で囲まれる部分の面積について, その最小値を求めるという頻出問題です -6-
問題 千葉大学 文系微分と積分 (998~08) 次関数 f ( ) は, f ( ) ( ) f ( t ) dt f ( t ) dt を満たすとする 0 0 () f ( ) を求めよ () 関数 f ( ) の 0 における最小値を求めよ [008] 解答例 () f ( ) ( ) f ( t ) dt f ( t ) dt に対し, t dt 0 0 f ( ) とおくと, 0 f ( ) ( ) f ( t ) dt 0 は 0 のとき成立し, そこで両辺を微分すると, f ( ) f ( ) ( ) f ( ), f ( ) ( ) f ( ) は 次関数なので, の両辺の定数項を比較すると, 0 である より, f ( ), f ( ) となり, C を定数として, f ( ) C すると, f ( t ) dt 0 より, C 0 となり, 0 以上より, f ( ) である () g ( ) f ( ) とおくと, g ( ) ( )( ) C 0 における g ( ) の増減は右表のようになり, 最 g である 7 小値は, 0 g ( ) - 0 + g ( ) コメント計算量を減少させるために, 数 Ⅱの範囲外ですが, 積の微分法を利用して解いています -7-
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) 問題 関数 f ( ) を次のように定義する また, f ( ) ( ) ( >) g ( ) b とする y g ( ) のグラフが y f ( ) のグラフと 点 で接するとき, 次の問いに答えよ (), b の値を求めよ () y f ( ) と y g ( ) のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ [006] 解答例 () y g ( ) のグラフが y f ( ) のグラフと 点で接す ることより, p> として, g ( ) ( p ) すると, y g ( ) のグラフと直線 y との共有点は, ( ) p, ( p ) p 0 < において接することより, D ( p ) ( p ) 0, p < より, p 0, p 5 この値は p> を満たし, しかもは < となり, 成立しているので, 5 g ( ) 5 9 6 よって, 5, b 9 6 () < における接点はより, > における接点は p 5 から, y f ( ) と y g ( ) のグラフで囲まれる部分の面積 S は, S コメント 5 5 9 d 5 9 6 5 5 5 d d 5 96 微積分の基本問題です y f ( ) のグラフが複雑ではないので, 直感に依存した 解となっています y O 6 d -8-
問題 千葉大学 文系微分と積分 (998~08) は実数とする つの曲線 y と y は, あ る共有点で両方の曲線に共通な接線をもつ このとき を求めよ [005] 解答例 y, y に対して, より y, より y ここで, t において, とが共通の接線をもつとき, t t t t t t t t より, t t t 0 より, t t 0, ( t )( t ) 0 となり, t, (i) t のとき より, 0, 5 8 08 0 7 9 ( )( 5 5 6 ) 0 よって,, 5 05 0 (ii) t のとき より, 0, 0 ( )( ) 0 は実数より, (i)(ii) より,,, 5 05 0 コメント微分法の基本問題です (i) は係数の大きい 次方程式が出現し, 計算ミスを疑ってしまいました -9-
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) 問題 次関数 f ( ) および 次関数 g ( ) を, f ( ), g ( ) b c とし, y f ( ) と y g ( ) のグラフが点, で共通の接線をもつとする このとき以 8 下の問いに答えよ () b, c を を用いて表せ () f ( ) g ( ) の 0 における最小値を を用いて表せ [00] 解答例 () f ( ) より f ( ) となり, f である また, g ( ) b c より, g( ) b となる g となるので, 8 b c, b 8 よって, b, c 8 () h( ) f ( ) g ( ) h( ) 条件より, g かつ とおくと, () より, h( ) 7 ( ) ( )( 6 ) h( ) 0 の解は,, となり, h 0, h また, h( 0 ), h から, 0 における h( ) の最小値を m とおくと, (i) <0 0 < のとき h ( ) - 0 + 右表より, m h 0 h ( ) 0 (ii) 0 < < のとき (ii-i) >0 ( < ) のとき 0 右表より, m h 0 h ( ) + 0-0 + (ii-ii) 0 ( ) のとき h ( ) 0 右表より, m h( 0 ) -0-
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) (iii) < < 9 のとき h と h( 0 ) の大小関係 0 を調べるために, 差をとり, h ( ) + 0-0 + d ( ) h h( 0 ) h ( ) 0 すると, ( ) d となり, 7 ( ) d ( 9 )( ) 9 6 このとき, < 9 において, d( ) >0 より, d ( ) d >0 8 よって, h >h( 0 ) となり, m h( 0 ) である (iv) 9 のとき 0 h( ) > h( 0 ) より, h ( ) + 0 - m h( 0 ) h ( ) 0 (i)~(iv) より, < のとき m 0, のとき m である コメントとにかく朴訥に場合分けをし, それぞれの場合について h( ) の増減を調べました 難問ではないものの, かなりの時間を要します --
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) 問題 実数 t に対して, f ( t ) を f ( t ) t d と定める 0 t のとき, f ( t ) 0 最大値および最小値を求めよ [00] の 解答例 0 t において, t ( t ) より, f ( t ) 0 t t t d t d t d 0 t t t ) d ( t ) d t 0 t ( t 0 t t t ( t ) t ( t ) t t f ( t ) t t t t 0 f ( t ) の値の増減は右表のようになるので, 最 f ( t ) - 0 + 大値は f ( 0 ), 最小値は f と 6 f ( t ) 6 6 なる コメント 0 t という条件があるために, 場合分けは必要ありません 微積分の基本問題です --
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) 問題 実数 に対して, f ( ) とおく () 定積分 I ( ) f ( ) d を を用いて表せ () f ( ) が条件 f ( ) を満たすような の範囲を求めよ () が () の範囲を動くとき, I ( ) の最大値および最小値を求めよ [00] 解答例 ( 7 () I ( ) ) d ( ) () f () なので, f ( ) より, 0, 0 I ( ) 8 9 () () より, I すると, () より 0 なので, I ( ) 8 9 である の最大値は I ( ) であり, 最小値は コメント計算がすべてという超基本レベルの問題です --
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) 問題, b を整数とする 次関数 f ( ) b が, 0<< の範囲で極大値と 極小値をもつとき,, b の値を求めよ [00] 解答例 f ( ) b より, f ( ) b 次関数 f ( ) が 0<< の範囲に極大値と極小値をもつ条件は, 次方程式 f ( ) 0 が 0<< の範囲に異なる 実数解をもつ条件に一致する まず, f ( ) 0 の判別式 D>0 より, 6b>0, y f ( ) のグラフの軸が より, 0< <, 6<<0 また, f ( 0 ) b>0 より, b>0 f ( ) b>0 より, b> 6 ~を満たす領域を図示すると, 右図の網点部となる ただし, 境界は含まない 条件より,, b は整数なので, この領域内の格子点が求める, b の値となる よって, (, b ) (, ) である b< 6 6 b O 6 コメント からまでの不等式は, 簡単に求められます しかし, この不等式を, b 平面上に図示して, 領域内の格子点をさがす過程には時間がかかります 上の解ではその記述を省略しましたが --
問題 千葉大学 文系微分と積分 (998~08) 三角形 ABC において, 辺 BC 上に点 D があり, BAD CAD 0である AB p, AC qとおく () AD の長さを p, q で表せ () pq を満たすとき, ABD の面積と ACD の面積の差の絶対値が最大にな る p の値を求めよ [000] 解答例 () AD とすると, ABD ACD ABC となるので, p sin 0 q sin 0 pq sin 60 pq p q pq, p q () S ABD ACD とおくと, () より, S psin 0 qsin 0 pq 条件より, q pなので, S p( p)( p) -5- pq ( p q ) p q ここで, 0<p< で f ( p) p( p)( p) p p pとすると, f ( p) 6p 6p f ( p ) 0 の解は, p 6 この解を p, ( <) とおくと, 0<<<となり, f ( p ) の増減は上表のようになる さて, f 0 であり, f ( p ) ( p) p( p) f ( p) より, y f ( p ) のグラフは点, 0 に関して対称となり, f( ) f( ) である すると, S p f ( ) のグラフは, 直線 p に関して対称となるので, S の最大値は f( ) f( ) である したがって, S が最大となる p は p コメント p 0 f ( p ) - 0 + 0 - f ( p ) 0 0 となる 6 S の最大値は求める必要がないので, 対称性を利用した解を書きました もし最大値を求めるのであれば, f ( p ) を f ( p ) で割った余りを利用します p B A D q C
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) 問題与えられた実数, b のうち, 大きくない方を min, b で表すことにする 関数 f ( ) 7 に対して g( ) min f( ), f( ) とおく () 0 のとき, y g ( ) が最大となる の値, および最小となる の値をそれ ぞれ求めよ () つのグラフ y f ( ) と y g ( ) で囲まれた部分の面積を求めよ [998] 解答例 () f ( ) 7, f ( ) 7 y f ( ) のグラフは y f ( ) の グラフを 軸方向に だけ平行移動したもので, y f ( ) のグラフは y f ( ) のグラフを 軸方向に だ け平行移動したものである ここで, f ( ) f ( ) とすると, ( ) 7( ) ( ) 7( ) 0, ( 0) したがって, 0 のとき, g( ) f ( ) のとき, g( ) f ( ) また, 0< < < <より, 0 における y g ( ) が最小となる は, となる 最大となる は, 0,, のいずれかである ここで, g( 0) f( ) 6, g( ) f( ) ( )( 7), g( ) f( ) 6となることより, 最大となる は, である () f ( ) f ( ) とすると, 7 ( ) 7( ) より, 6 0, ( 0) また, f ( ) f ( ) とすると, 7 ( ) 7( ) より, 6 0, ( 0) y f ( ) と y g ( ) で囲まれた部分は, の範囲だけなので, S f( ) f( ) d ( 6) d f ( ) + 0-0 + f ( ) 0-6 y -6-
千葉大学 文系微分と積分 (998~08) S f( ) f( ) d ( 6) d 7 求める面積は, S S 8 7 コメント y f ( ) のグラフを丁寧に書いて, 軸方向に, および だけ平行移動すれば, 結論は見えてきます 後はそれを計算で補うだけです -7-
千葉大学 文系図形と式 (998~08) 問題 座標平面上に 5 点 A (0, 0), B(0, ), C(, ), D(, 0), E ( 0, ) がある 点 E と点 P( s, ) (0< s < ) を通る直線を l とする 直線 y = に関して l と対称な直線を l とし, l と直線 = の交点を P とする さらに, 直線 = に関して l と対称な直線 l は, 軸と線分 AD 上で交わるとし, その交点を P とする () 直線 l が点 D を通るときの s の値を求めよ () 線分 DP の長さを s を用いて表せ () EP + PP + PP の最大値と最小値を求めよ [06] 解答例 () 点 E ( 0, ) と点 P( s, ) (0< s < ) を通る直線 l を, y = に関して対称移動した直線を l とする すると, l は P と E を y = に関して対称移動した点 Q ( 0, ) を通ることより, その傾きが- となり, s l : y=- + s l が D(, 0) を通るとき, 0 =- s + から, s = () l と 軸との交点 Q は, 0 =- + から s s = となり, Q(,0) s から, DP = DQ = s - () P は線分 AD 上にあることから, より 0 s - となり, s このとき, P は線分 CD 上にある そこで, EP = QP, PP = PQ から, F = EP + PP + PP とおくと, F = + + = ( ) QP PP PQ QQ = ( s) + 9 = s + すると, より 5 9s + となるので, F の最大値は =, 最小 6 値は 5 = 5 である 6 y Q A B E P s l P l C P D Q l コメント折れ線の長さの和に関する問題です 線対称移動がポイントですが, その誘導は問題文中に示されています -8-
千葉大学 文系図形と式 (998~08) 問題座標平面上に, 原点を中心とする半径 の円と, その円に外接し各辺が 軸または y 軸に平行な正方形がある 円周上の点 (cos, sin ) ( ただし 0 < < ) における接 線と正方形の隣接する 辺がなす三角形の 辺の長さの和は一定であることを示せ また, その三角形の面積を最大にする を求めよ [0] 解答例原点を中心とする半径 の円周上の点 (cos, sin ) ( 0 ) < < における接線の方程式は, cos + ysin = 直線 = と連立して, ysin = - cos, y = - cos sin そこで, L = AP+ PB+ BA とすると, PAB = となることを用いて, R S L = cos ( - - )( + tn + ) = sin + cos - cos + sin + sin cos sin cos (sin + cos ) - = = + sincos - = sincos sincos また, APB の面積を S とすると, S cos ( - ) (sin + cos -) = - tn = sin sin sin cos (sin + cos -) (sin + cos -) = = sincos (sin + cos ) - (*) = + = + とおくと, 0 < < より<t と なり, (*) から, ( t -) S = = t - = - t - t+ t+ よって, S が最大となるのは, t = すなわち = のときである ここで, t sin cos sin ( ) Q y O B θ P A コメント三角関数の図形への応用問題です 問題文を丁寧に読まないと, 円と正方形の位置関係について, ミスをしてしまいそうです -9-
千葉大学 文系図形と式 (998~08) 問題 y = 上に 点 A (, ), B ( b, b ), b を実数とし, > 0 とする 放物線を とる 点 A における放物線の接線と法線をそれぞれ l A と n A, 点 B における放物線の接線と法線をそれぞれ l B と n B とおいたとき, la と l B が直交しているものとする つの接線 l A, lb の交点を P とし, つの法線 n A, nb の交点を Q とする () b を を用いて表せ () P, Q の座標を を用いて表せ () 長方形 AQBP の面積が最小となるような の値と, そのときの面積を求めよ [0] 解答例 () y = より l, B ( b, b ) 線 A b である y = となり, 点 A (, ) における接 における接線 lb の傾きは, それぞれ, ここで, la と l B が直交していることより, b =-, b =- () まず, la : y- = ( -) より, y= - lb : y= b - b を連立すると, - = b - b より, ( - b) = -b となり, = + b, y = + b - = b を代入すると, = -, y =-より, P ( -, -) となる また, 四角形 AQBP は長方形なので, 対角線 AB の中点 ( + b, + b ) 線 PQ の中点が一致することより, Q(, y) とおくと, から, 8 と対角 = + b y= + b -(- ) = + 6 + = + + 8 Q, - + + となる = -, ( ) よって, ( ) B b y Q O P A -50-
千葉大学 文系図形と式 (998~08) () 長方形 AQBP の面積を S とおくと, S { ( ) }( b) = + + + = ( 6 8 )( ) ( ) 8 + + + = 8 + = + + - - - ( )( ) ここで, 相加平均と相乗平均の関係より, + = なお, 等号は, = すなわち = のとき成立する 以上より, S は = のとき最小値 8 8 = をとる コメント放物線の接線と法線を題材とした問題ですが, 長方形の性質を利用して, 計算量を減らしています -5-
千葉大学 文系図形と式 (998~08) 問題 放物線 y = 上の点 (, ) における接線を l とする () 直線 l が不等式 y>- + -5の表す領域に含まれるような の範囲を求めよ () が () で求めた範囲を動くとき, 直線 l が通らない点 (, y ) 全体の領域 D を図 示せよ () 連立不等式 ( y- )( y+ - + 5) 0, y( y + 5) 0 の表す領域を E とする D と E の共通部分の面積を求めよ [0] 解答例 () y = に対して, y = となり, 点 (, ) における接線 l の方程式は, y - = ( - ), 直線 l が不等式 に代入して, - >- + - 5, y = - y>- + - 5 の表す領域に含まれることより, を が任意の に対して成立することより, + ( -) - + 5> 0 D = ( -) -(- + 5) = ( -- ) < 0 すると, ( - )( + ) < 0 より, - < < である () 直線 l が通らない点 (, y) は, より, - + y= 0が - < < に実数解 をもたない条件として求めることができる ここで, f ( ) = - + y= ( -) - + yとおくと, (i) - のとき () f (- ) = + + y 0 より, y - - (b) f ( ) = - + y 0 より, y - (ii) - < < のとき () f ( ) =- + y>0より, y> (b) f (- ) = + + y 0, f ( ) = - + y 0 より, y - -, y - (iii) のとき () f (- ) = + + y 0 より, y - - (b) f ( ) = - + y 0 より, y - (i)~(iii) より, 点 (, y ) 全体の領域 D は右図の網点部とな る ただし, 破線の境界線のみ領域に含まない y - - - - -5-
千葉大学 文系図形と式 (998~08) () 不等式 ( y- )( y+ - + 5) 0を変形すると, >- + -5より, y - + -5 y また, y( y + 5) 0 より, O -5 y 0 5 よって, 連立不等式 5 の表す領域 E は右図の網 - 点部となる ただし, 境界は領域に含む さて, 直線 y =--と放物線 y=- + -5-5 を連立すると, -- =- + - 5, - + = 0 重解 = をもつことより, = で接する また, 直線 y = - と放物線 y=- + -5を連立すると, - =- + - 5, + + = 0 重解 =-をもつことより, =-で接する これより, 領域 D と E の共通部分を図示すると, 右図の網点部となる ただし, 境界は領域に含む そこで, この共通部分の面積を S とすると, S = ( + )(- + 5) - ( 5 5) d ò - + - + 0 = 7 - -( -) d 7 9 8 ò = - = 8 6 0 y - - - - - 5 コメント計算量の多い問題で, 時間はかなり必要です () はオーソドックスに解きましたが, 図形的に解くのが出題者の意図かもしれません -5-
千葉大学 文系図形と式 (998~08) 問題 は正の実数とし, 座標平面上の直線 l : y= と放物線 C : y= を考える C 上 y ( 0 ) の点 (, ) ただし < < で l との距離を最大にする点を P( s, t) とおく また P と l との距離を d とおく 以下の問いに答えよ () d, s, t をそれぞれ の式で表せ また点 P での放物線 C の接線の傾きを求めよ () 実数 を >0 の範囲で動かしたとき, 点 P( s, t) の軌跡を求め, 図示せよ [0] 解答例 () 直線 l : y= と放物線 C : y= の交点は, =, = 0, さて, 0<< において, C 上の点 P( s, t) と l との距 y 離が最大になるのは, P における C の接線が l と平行になるときである すなわち, C の接線の傾きが であるときより, から, =, = となり, s =, t ( ) = = - このとき, P と l との距離 d は, d = = = + (-) 8 () より, t= sとなり, >0 から s>0 である よって, 点 P の軌跡は, 半直線 y = ( >0) である また, y O P これを図示すると, 右図のようになる O コメント () は図形的に解きましたが, 問題文から推測すると, 出題者の意向に沿った解法とは言えないでしょう -5-
問題 千葉大学 文系図形と式 (998~08) 放物線 C : y 上の 点 A, B は, 直線 AB と C で囲まれる図形の面積が にな 6 るという条件を満たしながら C 上を動くとする このとき, 直線 AB が通りうる点の範囲を求め, 図示せよ [00] 解答例 A (, ), B(, ) ( < ) とおくと, 直線 AB の方程式は, y ( ), y ( ) 条件より, ( ) d, ( )( ) 6 d ( ) 6,, 6 をに代入して, y ( ) ( ) が任意の実数値をとるとき, 直線 が通過する点 (, y ) は, を についての 次方程式としてみたとき, 実数解をもつ (, y ) の条件とし て求められる から, y, ( ) y 0 D ( ) ( y ) y 0 よって, y より, 直線 AB が通りうる点の領域は 右図の網点部である ただし, 境界は領域に含む y O 6 コメント直線の通過領域を求める頻出問題です なお, で の値を固定して y の値の範囲 を考えるときは, を y ( ) と変形をし て, y を導きます -55-
千葉大学 文系図形と式 (998~08) 問題 座標平面上に, 中心がそれぞれ点 ( 0, ), 点 (, ) で, 同じ半径 をもつ つの円 C とC がある 次の問いに答えよ () 円 C, C と 軸に接するように円 C を描く このとき円 C の中心の座標を 求めよ () さらに, 円 C, C と 軸に接するように円 C とは異なる円 C を描く このとき円 C の中心の座標を求めよ [00] 解答例 () 円 C の半径を r とすると, 円 C, C は同じ半径なので, C の中心の座標は (, r ) となる y C C 円 C とC が接することより, ( r ) ( r ), r r よって, r より, 円 C の中心の座標は, O C C である () 円 C の中心の座標を ( s, t ) とおくと, 半径は t となる 円 C とC が接することより, ( t ) ( t ) s, s t C とC が接することより, t t ( s ), 円 t s s より, 8s s s, s 8s 0, ( s )( s ) 0 0<s< より s となり, よりt 9 9 よって, 円 C の中心の座標は, 9 である コメント 頻出問題です 本年度は, 名大 文系で同様な問題が出ています -56-
問題 直線 y と放物線 y とで囲まれた図形を D とする 千葉大学 文系図形と式 (998~08) () D の面積 S を求めよ () D を 軸の正の方向に m だけ平行移動して, 不等式 y の表す領域に含まれるように移す m の最小値 m を求めよ () m を () で求めた最小値とする D を 軸の正の方向に m だけ平行移動するとき, D が通過する範囲を図示し, その面積 S を求めよ [999] 解答例 () 直線 y, 放物線 y の交点は, より, 0, 0 0 ò ò S = ( - - - ) d =- ( + ) d - - 9 ( ) =- - = 6 () を 軸方向に m だけ平行移動すると, y ( m) ( m) ( m) m m と y が接するとき, ( m) m m ( m) m m 0 5 重解条件より D ( m) ( m m) 0なので, m 7 となる 5の重解は m となり, またこのときより y 0 なので, との接 点は図形 D の境界線上にある よって, m の最小値 m は, m 7 である () 図形 D が通過する範囲の面積 S は, D の面積 S に線分 AC, BD と弧 AB, CD に よって囲まれた図形の面積を加えたものである この図形 ABDC の面積は, 平行四辺形 ABDC の面積に等しいので, m ( ) 7 よって, S S 7 A y C O y O 7 B D コメント () の通過範囲の面積は, 移動距離に注目すると, 積分するまでもありません -57-
千葉大学 文系図形と計量 (998~08) 問題 右図のような 辺の長さが の立方体 ABCD-EFGH に D 対して, 対角線 AG と DF の交点を O とする 線分 AO 上の点 P と線分 DO 上の点 Q が OQ = AP -を満たし A C ながら動くとき, OPQ の面積の最大値を求めよ ただ B H し, 点 P, Q は点 O とは一致しないものとする [08] E G F 解答例 辺の長さが の立方体 ABCD-EFGH に対して, 対角線 AG と A D DF を含む断面は, 右図の長方形 AFGD である ここで, AD= FG=, AF= DG= から, P Q AG= DF= + ( ) =, OA = OD = O また, AOD = AFD であり, sin AFD = =, cos AFD = = F G これより, sin AOD = = となる さて, OP = (0< ) とおくと, 条件より, OQ = AP - = ( -)- =- + - すると, 0<- + - から - < - となり, 0< と 合わせて - < - (*) となる そこで, OPQ の面積を S とおくと, S = OP OQsin AOD = ( - + -) =- ( - - ) ( ) =- - - + ( - ) =- ( - - ) + - 6 よって, (*) から, OPQ の面積 S は = - のとき最大値 - 6 をとる コメント図形の計量に関する基本的な問題です ただ, 最後の平方完成はやや難ですが -58-
問題 座標平面上に 点 O(0, 0), A(, 千葉大学 文系図形と計量 (998~08) ), B(9, 0) がある 線分 OB 上に 点 P, Q を PAQ = 90となるようにとる ただし, 点 Q の 座標は点 P の 座標より大きいものとする APQ = とし, APQ の面積を S とする () S を を用いて表せ () S の最小値, およびそのときの点 P と点 Q の 座標を求めよ () S が AOB の面積の 倍となるとき, 点 P と点 Q の 座標を求めよ [07] 解答例 () O( 0, 0), A (, ), B(9, 0) に対し, 線分 OB y 上に点 P( p, 0), Q( q, 0) があり, PAQ = 90を A C 満たしている ただし, 0 p< <q 9 である P θ Q B O p q 9 APQ = とすると, APsin = AQsin(90 - ) =, AQcos = ここで, APQ の面積を S とすると, から, S = AP AQ = = sin cos sin () まず, () から S = である ここで, 等号が成立するのは sin =, す sin なわち は鋭角から = 5のときである このとき, APQ は直角二等辺三角形となり, C(, 0) とおくと PC = QC = から, P, Q はともに線分 OB 上にある よって, S の最小値は であり, このとき P の 座標は -, Q の 座標は + となる () まず, AOB = 9 = 9 となり, 条件より S = AOB から, 9 sin =, sin =, sincos = ここで, sin + cos = なので, と合わせると, sin + cos =, tn + =, tn - tn + = 0 sincos tn よって, tn = となる さて, PC = tn( 90 - ) =, QC = tn で, 条件から, 0 < PC, tn 0< QC 6であるので, 0< 5, 0< tn 6 6 tn -59-
千葉大学 文系図形と計量 (998~08) 5より tn, 6より 0< tn となり tn すると, から tn = + となり, このとき, PC = = - 6 +, QC = ( + ) = + 6 よって, P の 座標 -(- 6) = 6, Q の 座標 + (+ 6) = 6+ 6 である コメント三角関数の図形への応用問題で, いろいろな解法が考えられます -60-