名城論叢 2006 年 3 13 平均可変費 と平均費 を最 にする 産量の関係 尾崎雄 郎 ミクロ経済学において完全競争下の企業や独占企業の利潤最 化 動など多くの問題が短期の総費 曲線や平均費 曲線, 限界費 曲線などを いて分析される. 短期の総費 曲線は, 産量の増加関数で, 通常 分に湾曲し, 滑らかで, 逆 S 字型をしていて, 正の総固定費 を伴うと想定される. ミクロ経済学の多くの教科書においてこのような形状の総費 曲線から平均費 曲線, 平均可変費 曲線, 限界費 曲線などを導出する 法や導出されたこれらの曲線がU 字型になることなどが説明されている. このとき, 平均可変費 を最 にする 産量より平均費 を最 にする 産量のほうが きいことを す図や数値例が得られるにも拘らず, 極く少数の例 (Ferguson and Maurice [1], p. 220, Gill [2], p. 56, Hadar [3], p. 23, Henderson and Quandt [4], p. 72, Quirk [7], pp. 176-177) を除けば, この事実を明瞭に認識し, 指摘しているものはない.Gill [2] がこの事実の証明を試みているけれども, 厳密ではない. その後, 尾崎 [5],[6] によってこの事実がいろいろな 法で証明された. 本論 においても, 逆 S 字型の, 分に湾曲した総費 曲線の下で, 平均可変費 曲線が最 になる 産量よりも平均費 が最 になる 産量のほうが きいことを以前とは異なった微分による 法と幾何学的な 法で証明する. ある企業の 産量を, 短期における滑らかで, 分に湾曲していて, 逆 S 字型をしている総費 曲線を TCp, さらに総可変費 を VCp, 総固定費 を, 平均費 を ACp, 平均可変費 を AVCp, 平均固定費 を Ap, 限界費 を MCp と表す. これらの曲線はすべて微分可能であるとする. そして, 平均可変費 を最 にする唯 つの 産量を 1, 平均費 を最 にする唯 つの 産量を 2 とする. 我々の 的は, 記号で表せば, p1 1? 2 を証明することである. 総費 は, 産量が変化するにつれて変化する総可変費 と, 産量が変化しても変化しない総固定費 に分けられるから, p2 TCp / VCp + と表される. 平均費, 平均可変費, 平均固定費 は各々 p3 ACp / TCp,AVCp / VCp,Ap / と定義されるので,p2 と p3 より p4 ACp / AVCp + Ap という関係をえる.p4 を で微分すると, p5 dacp d / davcp d + dap d
14 第 6 巻 第 3 号 となる. 他,p3 より正の に対して常に p6 dap d /, 2? 0 が成 する. 仮定により AVCp は唯 つの 産量 1 のところで最 になるから, / 1 において p7 davcp d / 0 が成 する. よって,p5,p6,p7 より, / 1 において p8 dacp d / dap d となる.p7とp8 は AVCp が最 になる / 1 のところで ACp は最 ではなく, 第 1 図におけるようになお下降中であることがわかる.ACp は U 字型をしているので, このことは AVCp が最 になる 産量 1 のところよりも きい 産量 2 のところで ACp が最 になること, すなわち p1 が証明された. 同様に,ACp は仮定により唯 つの 産量 2 のところで最 になるから, / 2 において p9 dacp d が成 する.p5,p6,p9 より, / 2 において p10 davcp d / 0 /, dap d? 0 > 0 ACp AVCp MCp dacp d? 0 MCp ACp AVCp dacp d = 0 davcp d = 0 davcp d > 0 O 1 2 第 1 図
平均可変費 と平均費 を最 にする 産量の関係 ( 尾崎 ) 15 が成 する.p9 と p10 は第 1 図におけるように ACp が最 になる / 2 のところで U 字型をしている AVC() は上昇中で既に最 値を通過していることを している. このことはやはり p1 が成 することを意味する. 次に, 幾何学的 法で p1 が成 することを明らかにする. 第 2 図において逆 S 字型をした総費 曲線 TCp と縦軸との交点の きさが総固定費 を表す.p2 より総可変費 VCp は TCp と の差であるから, ある 産量に対する平均可変費 AVCp は点 G とその 産量に対する TCp 上の点とを結んでできる直線の傾きで表される. したがって, 点 G と TCp 上の点を結んでできる直線が TCp の接線になるところで AVCp は最 になる. それ故, 接点 H に対応する 産量 1 のところで AVCp は最 になり, その最 値は接線 a の傾きで表される. 平均費 ACp は原点 O とある 産量に対応する TCp 上の点とを結んでできる直線の傾きで表されるから, 1 に対する平均費 は原点 O と点 H を結んでできる直線 b の傾きで表される. 直線 a が点 H で TCp に接するとき, 直線 b が TCp に接することはない. 直線 b は 1 に対応する TCp 上の点 H と 1 よりも きい 産量に対応する TCp 上の点 K で交わり, 直線 b に対する ACp は最 ではない.ACp が最 になるのは原点 O と TCp 上の点とを結んでできる直線が TCp の接線となる 産量のところである. 直線 は 1 より きい点 J に対応する 産量 2 のと TCp K b a J TCp H G 0 1 2 第 2 図
16 第 6 巻 第 3 号 TCp TCp g J a I H G O 1 2 第 3 図 ころで TCp に接し,ACp はそこで最 になり,ACp の最 値は接線 の傾きで表される. 以上により p1 が された. さらに, 別の幾何学的 法で p1 を す. 第 3 図において原点 O と TCp 上の点とを結んでできる直線が TCp に接する点 J, すなわち 2 に対応するところで ACp は最 になり, その最 値は接線 の傾きで表される. 産量 2 に対する AVCp は直線 g の傾きで表される. 直線 g の傾きは接線 の傾きより さく, 点 J において TCp に接することはない. 直線 g は点 J とこれよりも左下の点 I で TCp と交わるから,AVCp が最 になるのは点 J より左下の点 H のところ, すなわち 2 より さい 1 のところであり, このとき点 H で接する直線 a の傾きが最 の AVCp を表す. 以上によりやはり p1 が された. 参考 献 [1] Ferguson, C. E., and Maurice, S. C., Economic Analysis, Revised Edition. Homewood, Illinois : Richard D. Irwin, 1974. [2] Gill, R. T., Economics and the Private Interest : An Introduction to Microeconomics, Second Edition. Pacific Palisades, California : Goodyear Publishing Co., 1976.
平均可変費 と平均費 を最 にする 産量の関係 ( 尾崎 ) 17 [3] Hadar, J., Elementary Theory of Microeconomic Behavior, Second Edition. Reading, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing Co., 1974. [4] Henderson, J. M., and Quandt, R. E., Microeconomic Theory : A Mathematical Approach, Second Edition. New York : McGraw-Hill Book Co., 1971. [5] 尾崎雄 郎, 短期の費 曲線について, 名城商学, 第 33 巻, 第 3 号 (1984 年 ),pp. 9-12. [6] 尾崎雄 郎, 短期における平均費 と平均可変費 を最 にする 産量の関係, 名城商学, 第 45 巻, 第 4 号 (1996 年 ),pp. 1-7. [7] Quirk, J. P., Intermediate Microeconomics, Third Edition. Chicago, Illinois : Science Research Associates, 1987.