06 年度大学入試センター試験解説 数学 Ⅱ B 第 問 () 8 より, 5 5 5 6 6 8 ア, イ また, 底の変換公式を用いると, log 7 log log 9 9 log 7 log ウエ, オ (), のグラフは, それぞれ = 89 = 右図のようになり, この つのグラフは 軸に関して対称 ここで, 0, のとき, と log カ のグラフが直線 に関して対称 であることから, のグラフと log のグラフは 直線 に関して対称 キ さらに, log と log は, log log log log log log log log log log log log 0より = log = -log であるから, いずれのグラフも右図のように, log のグラフと 軸に関して対称 クおよびケ - -
() log log log log log log さらに, 底の変換公式を用いると, log log log log であるから, t log とおくと, log log log log - t t t t t t 6t 7 コ, サ log のグラフより, t log で 0 の範囲を動くとき, t のとり得る値の範囲は実数全体 したがって, t 6t 7 t より, t のとき, すなわち, シ ス log より, 8 のとき, セ は最小値 をとる ソタ cos sin cos sin 0 () の左辺を整理すると, sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos であるから, は cos sin 0 sin cos と変形でき, この両辺に cos sin をかけると, sin cos cos sin 0 となる - -
これに, 倍角の公式 cos sin cos, sin cos sin を用いて を変形すると sin cos 0 すなわち, sin cos 0 チ を得る ここで, 0 において cos 0となるのは, 0 より, すなわち のときであり, このとき は成り立つ したがって, の値に関係なく, のときはつねに が成り立つ ツ また, 0 より, 0 であるから, 0 sin これより, 0 sin であるから, を満たす sin 0 のみ すなわち sin - sin 0 は, 0 すなわち 0 のときに存在し, のとき, を満たす は より, テ, ト ここで, 0 のとき, よりsin 0 のとき,sin 0より, sin これを満たす 0 は, 右図の単位円から U sin つあり, 一方は, 0 すなわち 0, 他方は, すなわち にある - これらはいずれも とは異なるので, このとき を満たす の個数は 個 ナ - -
また, のとき, より,sin であり, この は すなわち となり, これは のときの と一致する したがって, このとき を満たす の個数は 個 ニ () 5 のとき, より, であるから, cos 0 すなわち を満たす について考えればよく, 6 sin 5 より,sin 5 ヌ, ネ ここで, に注意すると, cos 0より, cos sin 9 5 5 5 ノハ, ヒ したがって, cos cos より, cos 5 すなわち cos 5 これより, cos 5 であり, cos 5 5 5 より,cos 0 であるから, フ, へ - -
第 問 () 図形 D の面積 S は, S d d ア, イ 7 ウ~キ よって, S 7 6 5 8 C : + C := D + であるから,S は で, 最小値 5 8 をとる ク ~ セ () 直線 と, C : の交点の 座標は, より, よって, より, 交点の座標は,, ソ 直線 と, C : よって, より, 交点の座標は, したがって, の交点の 座標は, - 5 - より,, タ 0 の範囲を動くとき, 正方形 R と図形 D の共通部分が 空集合にならないのは, 0 かつ すなわち, 0 チ のとき R C + C
C C C C + R + R の範囲で が増加するとき, 下図のように, が 0 から 0 に変化する様子を考える C C T T 0 0 0+ + 0 に対応する T を T 0, に対応する T を T とすると, T は T 0 に含まれるので, の範囲で が増加するとき,T は減少する ツ したがって, T が最大となる の値は, 0 の範囲にある このとき, 正方形 R の頂点, は, にあるので, 右図のようになり, C 図形 D のうち R の外側にある部分の面積 U は, U d d 6 6 U R + C - 6 -
6 6 よって, 0 において, T S U 7 6 7 6 テ, ト ナ, ニ, ヌ T T fとおくと, f' --U + -+ U - であるから, f' 0 すなわち 0 となる 0 が であることより, fの増減表は右の表のようになる これより,T は で最大値をとることがわかる 0 -+ U f-0 + 0 - f0 9 : ネ ~ ヒ - 7 -
第 問 m のとき, 分母が m である分数の項からなる数列を第 m 群と呼ぶことにする 第 m 群の分子は, から m の値をとるので, 第 m 群の項数は, m 項 (*),,,,,,,,,,, 5 5 5 5 6 第 群第 群第 群第 群 () 5 5より, 5 は第 5 群の末項 第 5 群の分母は 6 であり, 右のように並ぶので, 5 5 6 ア, イ 5,,,, 6 6 6 6 6 第 5群 また, 分母に初めて 8 が現れるのは第 7 群の初項であり, 第 群から第 6 群までの項の総数は, (*) より, 5 6 67 よって, 第 7 群の初項は, ウエ () 第 M 項は第 群の初項 () の後半と同様に, 第 群から第 群まで の項の総数は,(*) より, よって, M ( = のときも成立 ) オ~ケ また, 第 N 項は N M より, N コ~ス ここで, 0 が属する群を第 群とすると, より, M 0 N 第 ( ) 群,,,,, 第 M項 第 N項 第 M 項 N が第 群から第 群までの項の総数と 一致していることを用いて としてもよい 0 08-8 -
であるから, 5 のとき, 8 5 0 より, を満たすから, 0 は第 群の項ここで, M5 9 より, 0 は第 群の 0 9 ( 番目 ) の項であるから, 0 5 セ ~ チ () 数列 n の第 M 項から第 であるから, 分子には, から までが並ぶ よって, 第 群の分子だけの総和は, より, 求める和は N 項までの和は, 第 群の項の総和で, このとき, 分母は ツ~ ナ したがって, 初項から第 N 項までの総和は, 第 群から第 群の末項までの総和であり, より, 各群の項の総和が初項, 公差 の等差数列となっていることに注意すると, ニ ~ ノ 第 群の末項は () より 05 であるから, 第 群から第 群までの項の総和が, 05 0 n n n n であることに注意して, 0 05 0 05 n n n n 0 05 5 5 5 05 9 55 8 507 5 0 0 ハ~ホ - 9 -
第 問 () b b cos 60 c c cos 60 b c b c cos 60 A 60, s P B t Q 60, C -t より, b c, b c ア, イ PQ Q P s t b t c より, PQ s t b tcs t b tc s t b t c s t b st c t t b c これに,, b c, および を用いて となる PQ 9s t t 6s t 6st t t 9s 6s t t s t s t ウ ~ キ したがって, PQ が最小となるのは, が最小となるときであり, s 0, t 0 であるから, s 0 かつ t 0, すなわち s, t のときこのとき, より, PQ すなわち PQ となる ク ~ サ シ - 0 -
() PQ のとき,() より, s, t よって, より PQ b c A G Q C であるから, B A PQ b c b c P と より, A C G Q A PQ 0 ス B よって,A PQ より, APQ 90 セソ したがって, 三角形 APQ の面積を S とすると, AP P, PQ であるから, S AP PQ また,G は三角形 ABC の重心であり, Q b c であるから, b c G b c A Q A Q タ チ ~ ト よって,G は線分 AQ を : に内分する点 ナ 以上のことから, 三角形 GPQ の面積を T とすると, S: T AQ:GQ : より T S P よって, T S 二, ヌ A G Q - -