平成 3 0 年度前期選抜学力検査 数学 ( 1 0 時 ~ 1 0 時 4 5 分, 4 5 分間 ) 問題用紙 注 意 1. 開始 の合図があるまで開いてはいけません 2. 答えは, すべて解答用紙に書きなさい 3. 問題は, からまでで, 6 ページにわたって印刷してあります 4. 開始 の合図で, 解答用紙の決められた欄に受検番号を書きなさい 5. 問題を読むとき, 声を出してはいけません 6. 終了 の合図で, すぐに筆記用具を置きなさい
あとの各問いに答えなさい (18 点 ) ⑴ - 9-2 4 を計算しなさい 3 ⑵ ( 6 x y - 27 y 2 ) ( - y ) を計算しなさい 4 ⑶ x = 3, y =- 7 のとき, 5 ( x + 2 y )- 4 ( 2 x + 3 y ) の値を求めなさい 3 ⑷ 一次関数 y = x + 1 について, x の増加量が 5 のときの y の増加量を求めなさい 2 ⑸ 8 3-54 4 を計算しなさい ⑹ 二次方程式 ( 2 x - 1 ) 2 = 3 ( x - 1 )( x + 2 )+ 25 を解きなさい - 1 -
⑺ 一の位の数が 4 である 2 けたの自然数 A が,A の各位の数の和の 7 倍に等しいとき, 自然数 A を求めなさい ⑻ 右の図のように, 3 点 A,B,Cは円 Oの周上にあり, BAC=58 である 点 Cをふくまない側にあるAB 上に,AD=DB となるように A 58 E 点 D をとり, 点 B をふくまない側にある CA 上 に,CE=EA となるように点 E をとる 点 A をふくまない側にある BC 上に点 F をとるとき, D O DFE の大きさを求めなさい B F C ⑼ 次の図で, ABCの ABCの二等分線上にある点 Dと, 頂点 B,Cを結んでできる 三角形のうち, DBC= 1 2 ABC となる DBCを, 定規とコンパスを用いて作図し なさい なお, 作図に用いた線は消さずに残しておきなさい A B C - 2 - 次のページへ
あとの各問いに答えなさい ( 8 点 ) ⑴ 次の各問いに答えなさい 1 2 7-3 の整数の部分はいくつになるか, 求めなさい 2 2 7-3 の小数の部分を a とするとき, a 2 + 5 a の値を求めなさい ⑵ 右の表は,A 中学校の生徒 表 40 人とB 中学校の生徒 160 人について, ある日の睡眠時間を調べ, その結果を度数分布表に整理したものである このとき, 次の各問いに答えなさい 1 表の ( あ ) ~ ( う ) に, それぞれあてはまる数を書き入れなさい 階級 ( 時間 ) A 中学校 B 中学校 度数 相対 度数 相対 以上 未満 ( 人 ) 度数 ( 人 ) 度数 0 ~ 5 0 0.00 0 0.00 5 ~ 6 2 0.05 8 0.05 6 ~ 7 ( あ ) 0.25 36 0.23 7 ~ 8 ( い ) ( う ) 47 0.29 8 ~ 9 8 0.20 59 0.37 9 ~ 10 2 0.05 10 0.06 10 ~ 0 0.00 0 0.00 計 40 1.00 160 1.00 2 右の図は, 表をもとにして,A 中 図 学校の生徒とB 中学校の生徒の, ある日の睡眠時間の相対度数を度数分 ( 相対度数 ) 0.50 布多角形 ( 度数折れ線 ) に表したも 0.40 A 中学校 B 中学校 のである 表と図から読み取れることがらとして, 次のア~エから適切なものをすべて選び, その記号を書きなさい 0.30 0.20 0.10 0 5 6 7 8 9 10 ( 時間 ) ア.A 中学校の生徒とB 中学校の生徒の, 睡眠時間の中央値は同じ階級にある イ.A 中学校の生徒とB 中学校の生徒の, 睡眠時間の最頻値は等しい ウ.B 中学校の生徒の半数以上は, 睡眠時間が 8 時間以上である エ.A 中学校は,B 中学校より, 睡眠時間が 8 時間未満の生徒の相対度数の合計が大きい - 3 -
3 次の図 1 のように,BC= 9 cm,cd= 4 cm,da= 5 cm, C= D=90 の四角形 ABCD の 2 点 B,C と,PQ= 3 cm,sp= 7 cm の長方形 PQRS の 2 点 Q,R は直線 l 上にあり, 点 B と点 Rは重なっている 図 2 のように, 四角形 ABCDを固定し, 長方形 PQRSを矢印の方向に秒速 1 cmで, 点 Qが点 Bと重なるまで平行移動させる 図 1 の位置にある長方形 PQRSが動き始めてから x 秒後の, 長方形 PQRSが四角形 ABCDと重なる部分の面積を y cm 2 とするとき, あとの各問いに答えなさい ( 9 点 ) 図 1 図 2 5 cm 7 cm A D P S 4 cm 3 cm P S A D l Q B (R) 9 cm C l Q B R y cm 2 C ⑴ x = 1 のとき, y の値を求めなさい ⑵ 0 x 3 のとき, y を x の式で表しなさい ⑶ 3 x 7 のとき, y を x の式で表しなさい ⑷ 0 x 7 のとき, x と y の関係を表したグラフはどのようになるか, 次のア ~ エから最も 適切なものを 1 つ選び, その記号を書きなさい ア y イ y ウ y エ y ( cm2 ) ( cm2 ) ( cm2 ) ( cm2 ) 10 10 10 10 x x x x 0 3 7( 秒 ) 0 3 7( 秒 ) 0 3 7( 秒 ) 0 3 7( 秒 ) ⑸ 長方形 PQRS が四角形 ABCD と重なる部分の面積と, 四角形 ABCD の面積の比が 1 : 4 のとき, x の値を求めなさい - 4 - 次のページへ
⑴ あとの各問いに答えなさい ( 5 点 ) 右の図のように, 正四角すい OABCD の辺 OA, OB,OC,ODの中点をそれぞれE,F,G,Hとし, 正四角すいOABCDから正四角すいOEFGH O を切り取って立体 K をつくる 立体 K の体積は, 正四角すい OABCD の体積の何 倍になるか, 求めなさい E H F G 立体 K D C A B ⑵ 右の図 1 のように, 片方の面は白, もう片 図 1 方の面は黒のカードがある このカード 5 枚 裏返す を, 図 2 のように,[ 1 ],[ 2 ],[ 3 ],[ 4 ], 片方の面 もう片方の面 [ 5 ] の下に, 1 枚ずつ白, 黒, 白, 黒, 白の面が見えるように並べる 1 個のさいころを 図 2 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 1 回投げるごとに, 次の ルール にしたがって, カードを裏返す このとき, 次の各問いに答えなさい ただし, さいころの目の出方は, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の 6 通りであり, どの目が出るこ とも同様に確からしいものとする ルール さいころの出た目の数が, 1 のときは [ 1 ], 2 のときは [ 2 ], 3 のときは [ 3 ], 4 のときは [ 4 ], 5 のときは [ 5 ] の下にあるカードを裏返す さいころの出た目の数が 6 のときは, 5 枚のカードすべてを裏返す 1 さいころを 1 回投げたとき,[ 3 ] の下にあるカードの見える面が黒になる確率を求めなさ い 2 さいころを 2 回投げたとき, 黒の面が見えるカードの枚数が, 白の面が見えるカードの枚 数より多くなる確率を求めなさい - 5 -
5 次の図のように,AB=AC の二等辺三角形 ABC があり, ABC の二等分線と辺 AC との 交点を D とする 点 A から辺 BC に平行な直線をひき, 直線 BD との交点を E とし, 辺 BC を C の方に延長した直線上に BD=DF となる点 F をとる 線分 DF と線分 CE の交点を G, 線分 AF と線分 BE の交点を H とする このとき, あとの各問いに答えなさい (10 点 ) A E H D G B C F ⑴ CDG CFG であることを証明しなさい ⑵ AB= 8 cm,bc= 4 cm のとき, 次の各問いに答えなさい 1 線分 CF の長さを求めなさい 2 線分 CG と線分 GE の長さの比を, 最も簡単な整数の比で表しなさい 3 ADH と CFG の面積の比を, 最も簡単な整数の比で表しなさい - 6 - - おわり -
受検番号得点 番 4 5 ⑴ 倍 ⑵ 1 2 ⑴ < 証明 > 1 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ x = ⑺ ⑻ DFE= ⑼ A B C 2 ⑴ 1 2 ⑵ 1 ( あ ) ( い ) ( う ) 2 3 ⑴ y = ⑵ y = ⑶ y = ⑷ ⑵ 1 CF = cm 2 CG:GE = : ⑸ x = 3 ADH: CFG = :
( 数学 ) 前期選抜採点基準 採点基準 で処理できない場合は, 各校の統一見解で採点されたい 問題配点正答例備考 ⑴ 1 点 -17 18 点 ⑵ 2 点 -8 x +36 y ⑶ 2 点 5 ⑷ ⑸ 2 点 2 点 15 2-6 12 ⑹ 2 点 x = -2,9 ⑺ 2 点 84 ⑻ 2 点 DFE = 61 ⑼ 3 点 A * 数学的な推論をもとに, 作図され D ていればよい 1 * 部分点可 1 が示せて,1 点 2 2 が示せて,1 点 B C ⑴ 1 1 点 2 8 点 2 2 点 28-10 7 ⑵ 1 1 点 ( あ ) 10 1 点 ( い ) 18 1 点 ( う ) 0.45 2 2 点ア, エ * すべて正答の場合のみ,2 点 1 ⑴ 1 点 y = 2 1 9 点 ⑵ 2 点 y = x 2 2 9 ⑶ 2 点 y = 3 x - 2 * 順不同 ⑷ 2 点イ 23 ⑸ 2 点 x = 6 ( 裏面へ続く )
7 ⑴ 1 点倍 8 5 点 ⑵ 1 2 点 2 2 点 1 3 5 18 ⑴ 4 点 < 証明 > * 数学的な推論の過程が, 的確に表 CDG と CFG において, 現されていればよい 10 点共通な辺だから, CG=CG 1 * 部分点可 線分 BE は ABC の二等分線だから, 1 の証明ができて,1 点 ABD= CBD 2 6 の証明ができて,1 点 AE BF より, 錯角は等しいから, 10 の証明ができて,1 点 2,3 より, CBD= AED ABD= AED よって, ABE は二等辺三角形だから, このことと仮定より, AB=AE AC=AE よって, ACE は二等辺三角形だから, DCG= AEG AE BF より, 錯角は等しいから, AEG= FCG 3 4 5 4,5 より, DCG= FCG 6 ABC が二等辺三角形であることと,2 より, BDF は二等辺三角形だから, DCB=2 CBD CBD= CFG 7 8 三角形の 1 つの外角は, そのとなりにない 2 つの内角の 和に等しいから, 7,8,9 より, DCB= CDG+ CFG CDG= CFG よって, CDF は二等辺三角形だから, 1,6,10 より, 8 ⑵ 1 2 点 CF = cm 3 CD=CF 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので, 2 2 点 CG:GE = 1 :5 CDG CFG 9 10 3 2 点 ADH: CFG = 24:11 合計 50 点