7. 曲面上の積分 (1) ここでは曲面上の積分を学びます. 微分幾何とは点の周りの状態を調べる学問 ( 曲面の局部理論 ) ですが, ガウス ボンネの定理が示すように曲面全体の状況すなわち大域的な内容を研究することも大切です. 曲面の大域的な内容を扱うには当然積分が必要です. ここでは曲面上の積分について分かりやすく解説します. すなわち, 微分積分で学ぶグリーンの公式やラプラス作用素の意味を曲面上できちんと理解することが目標です. 平面上の点は, 座標軸を導入することにより, つの実数の組 (x,y) と対応する. すなわち, 座標軸を導入することにより, 平面はR と1 対 1に対応する. しかし, 平面上に直交座標を導入する方法はい くらでもあります. 今考えている性質が, つ の座標系のうち片方では成り立つがもう一方で は成り立たないことが起こってはその性質を直 交座標を用いて議論することができません. すなわち, 座標を導入することにより調べられ る性質は, 他の座標系でも成り立つ性質です. この性質を座標変換で保たれる性質といいます. このように, 微分幾何では, 座標を変えたとき 保たれる性質であるかどうかに注目することが 大切なことです. 平面ではぴんとこないかもしれませんが, 単位球面の x +y +z 1,x>0,y>0,z>0 について, いろいろな座標の設定の仕方があります.xy 平面への正射影,yz 平面へ の正射影,zx 平面への正射影の逆写像や極座標が標準的です. すなわち (x,y) (x,y, ) 1- y - z (y,z) (,y,z,) (x,z) (x,,z,) (θ,φ) ( cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ) 等いろいろありますが, どの座標でも成り立つ性質が, 微分 幾何の対象となる性質です. 1- x - y 1- x - z 以下積分の解説に入るのですが, どうしても外積と外微分の概念が必要です. テンソル 代数を学んでからのベクトル空間 V 上の交代多重線形変換と見る方法は後で扱うとして, ここでは, 必要な性質だけ学びます * Vをベクトル空間,V をVの双対ベクトル空間とします. * このとき,f,g,h V,u,v,w Vに対して f g:v V R を - 1 -
f g(u,v)det f g h(u,v,w)det によって定義する. これから扱うベクトル空間 Vの次元は3ですから, 上の 種類の外積しか出てきません. 定義よりつぎの性質が成り立ちます. 1.f g-g f,(f+g) hf h+g h f(u) f(v) g(u) g(v) f(u) f(v) f(w) g(u) g(v) g(w) h(u) h(v) h(w) 性質 1 より f f0 が成り立つことが分かります. 次に外微分です. 外微分作用素 d の定義は次の通りです. 1.f が関数のとき,df は 1 次の微分形式で dffudu+fvdv. α が 1 次の微分形式 αfdu+gdv のとき dαdf du+dg dv fvdv du+gudu dv(-fv+g u)du dv 次の命題は容易に証明できる命題 fが関数,αが1 次の微分形式とする. このとき次の式が成り立つ. 1.d(fα)df α+fdα.d(αf)dαf-α df 3.d(df)0 曲面 fの各点 Pに接ベクトル空間 T P(S) が定義されます. 通常基底として fu, fv を考えますが,T P(S) とuv 平面の接ベクトル平面とを同一視し u v fuを fvをで表す. u v さらに,, の双対基底をそれぞれ du,dv で表す. すなわち, 点 Pにおける接空間 T P(S) の双対空間 ( これを点 Pの余接空間という )TP - -
* (S) の双対基底は {du,dv} である. 以下, 曲面 (u,v) f(u,v) R について考えます. 曲面 fの第 1 基本形式を ⅠEdu +Fdudv+Gdv とします. ちなみに 1 の意味は Efu fu,ffu fv,gfv fv で E,F,G を定義し, 3 1 afu+bfv (afu+bfv)( afu+b fv) Ea +Fab+Gb となることです. 見方を変えれば, u fuとを fvとを同一視して考えれば, 曲面 fは u,v 平面上で, が u u v u u E v F v G を満たすとして考えればよいという意味です. 曲面の性質を調べるときは, これに第 基本形式も考えれば, 曲面 fの状況が完璧にu,v 平面に現れる. すなわち曲面 fとu, v 平面がまったく同じものであることを示したのが曲面の基本定理でした. しかしリーマ ンの提唱は, 第 1 基本形式だけで曲面の状況を考えようという内容です. これは曲面を外 から見ることはしないで調べようという意味です. 曲面の第 1 基本形式より得られる内容 を曲面の内在量とか内蘊 ( ないうん ) 量といいます. さて, 領域 Uで定義された関数 fの積分とは,uを細かく分割しそれを{u i} とし, U i上の1 点をPiとすれば (Uiの面積 )f(p i) の分割を小さくしていったときの極限です. したがって, 曲面上で積分するには, 曲面の 面積を調べる必要あります. v v - 3 -
u 以下 u, vと表します. つのベクトル u, vの決める平行四辺形の面積を求めましょう. u ue, u vf, v vg を利用します. 平行四辺形の面積を S とすると S u v sin θ v u v -( u v) EG-F S EG- F ここで, 次微分形式 ω を ω EG- F du dv 定義すると. u ω(, ) du dv(, ) v EG- F u v EG- F u (, の決める平行四辺形の面積 ) v ω(au+b v,cu+d v)(ad-bc)ω( u, v) が成り立つことより, つのベクトルx, yにたいしてω( x, y) はx, yの決める平行四辺形の面積 ( 符 号も含める ) であることが分かります. この 次微分形式 ω を曲面 f の面積要素といいま す. 体積要素 ωのω( x, y) は x, yの決める平行四辺形の面積であるという性質は座標 系に関係ないので,ω は座標によらないことが分かります. 3 ここで, ユウクリッド空間に積分の公式の復習をしましょう. すべて3 次元空間 R で考えます. ベクトル解析の用語から. 1. x,y,zの関数 f(x,y,z) の偏導関数 f x,f y,fzが成分であるベクト ル場 (f x,f y,f z) をfの勾配またはグラディエントといい grad fと表す. grad f(f x,f y,f z). ベクトル場 X(α,β,γ) に対して, 次のベクトル場を回転または rotation とい い rot Xとあらわす. rot X ( γ y - β z, α z - γ x, β x - α y ) - 4 -
なお, gread (,, ) x y z より外積 を用いて rot X grad X となる. 3. ベクトル場 X(α,β,γ) に対して次のスカラーを発散といい div Xで表す. div X α x + β y + γ z gread (,, ) x y z の記号を用いれば内積 をつかい となる. div X grad X 4. 関数 fに対して grad と div の合成を で表しラプラス作用素という. f div 〇 grad f f +f +f xx yy zz 以上の関数やベクトル場に関する作用素で, div 〇 rot 0 となることは簡単な計算でできる. 以上の作用素が, 微分形式の外微分の中でどのような形で現れるかを知ることは大切な ことです. ωαdx+βdy+γdz ηpdy dz+qdz dx+rdx dy ω,η をそれぞれ外微分すると d ω ( γ y - β z )dy dz+( α z - γ x )dz dx+( β x - α y )dx dy dη( P x+ Q y+ R z)dx dy dz このように, rot, div は外微分の係数として現れる. この性質は積分の stokes の公式, gauss の公式で利用される. 次の R の積分について考える. まず, D 上の重積分は D f(x,y)dxdy と書くが, ここの dxdy は dx dy と書いた方がわかりやすい. xx(u,v ),yy(u,v) - 5 -
のとき, より, dxxudu+xvdv dyyudu+yvdv dx dy(xudu+xvdv) (yudu+yvdv) (xuyv-xvyu)du dv du dv となり, 積分の変数変換で現れるヤコビ行列式が自然に現れる. さらに, 次元のユークリッド空間 R におけるグリーンの定理は 3 3 次元のユークリッド空間 R におけるストークスの定理, ガウスの定理は + (x,y) (u,v) D Pdx+Qdy D Pdx+Qdy+Rdz D ( Q x - P y )dx dy D ( R y - Q x )dy dz+ ( P z - R x )dz dx ( Q x - P y )dx dy において, グリーンの公式は ストークスの公式は ガウスの公式は とおけば D Pdy dz+qdz dx+rdx dy D ( P x + Q y + R z )dx dy dz ωpdx+qdy ωpdx+qdy+rdz ωpdy dz+qdz dx+rdx dy D ω D d ω または D ω D d ω - 6 -
と表せる. 曲面 f 上の積分は D ω D d ω が使われる. ガウスの公式のP,Q,Rをそれそれvxu,vyu,vzuで置き換えると, Px+Qy+Rz (vxx+vyy+v zz)+vxux+vyuy+vzuz v+vxux+vyuy+vzuz よりガウスの公式は 1 で u と v を入れ替え辺々引けば D v udx dy dz+ vu D xdy dz+vu ydz dx+vu zdx dy D (v u- u v)dx dy dz D (v xu x +v y u y +v z u z )dx dy dz はラプラス作用素であり, この等式もグリーンの公式と呼ばれる 1 D (vu x-uv x )dy dz+(vu y -uv y )dz dx+(vu z -uv z )dx dy - 7 -