07 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 曲線 y= x - 4x+ を C とする 直線 l は C の接線であり, 点 P(, 0) を通るもの とする また, l の傾きは負であるとする このとき, C と l で囲まれた部分の面積 S を求めよ --
07 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 次の問いに答えよ ただし, 0.00 < log0 < 0.0 であることは用いてよい () 00 桁以下の自然数で, 以外の素因数をもたないものの個数を求めよ () 00 桁の自然数で, と 5 以外の素因数をもたないものの個数を求めよ --
07 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標空間において原点 O と点 A (0, -, ) を通る直線を l とし, 点 B(0,, ) と点 C( -,, -) を通る直線を m とする l 上の 点 P, Q と, m 上の点 R を PQR が正三角形となるようにとる このとき, PQR の面積が最小となるような P, Q, R の座標を求めよ --
07 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ p, q を自然数,, を, tan = p, tan = を満たす実数とする このとき, q 次の問いに答えよ () 次の条件 (A)tan( + ) = を満たす p, q の組 ( p, q) のうち, q であるものをすべて求めよ () 条件 (A) を満たす p, q の組 ( p, q) で, q > であるものは存在しないことを示せ -4-
07 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 5 解答解説のページへ n を 以上の自然数とする さいころを n 回振り, 出た目の最大値 M と最小値 L の差 M - Lを X とする () X = である確率を求めよ () X = 5 である確率を求めよ -5-
問題のページへ 曲線 C : y= x - 4x+ に対して y = x -4となるので, 点 (, t t - 4t+ ) における接線 l の方程式は, y -( t - 4t+ ) = (t -4)( x- t), y= (t -4) x- t + が P(, 0) を通ることより, 0= (t -4)- t + t - 9t + = 0, これより, t =-, 4 さて, l の傾きは負なので, - <-, ( t+ )(t - t+ ) = 0 となる t - 4< 0すなわち- < t < となり, + > - > -6 =.5 >. =.8 > 4 4 4 よって, を満たす t は, t =-だけであり, このときから, l : y=- x+ 4 そこで, 4 を連立すると, x -x- = 0, x - 4x+ =- x+ となり, ( x+ ) ( x- ) = 0 すると, x =-, となり, - x において C と l の上下関係は変わらないの で, C と l で囲まれた部分の面積 S は, ò - S = {( x - 4x+ ) -(- x+ )} dx ò = ( x+ ) ( x+ -) dx - 4 = é ( ) ( ) 4 x x ù êë + - + úû - ò - ò = ( x+ ) ( x-) dx - = {( x+ ) - ( x+ ) } dx = - 4 4 = 7 4 [ 解説 ] 次曲線と接線に囲まれた部分の面積を求める超頻出問題です 計算が面倒なのは, t の値を絞り込む箇所ぐらいです -- 電送数学舎 07
問題のページへ 0 () 以外の素因数をもたない自然数は, m を整数として,,,,, m と表 00 される そのうち, 00 桁以下のものは, m < 0 から, m log0 < 00, m < 00 log0 ここで, 0.00 < log0 < 0.0 から. < 00 <. となり, m log0 より, 00 桁以下で 以外の素因数をもたない自然数の個数は である () と 5 以外の素因数をもたない 00 桁の自然数は, m, n を 0 以上の整数として, 99 m n 00 0 5 < 0 (i) m nのとき m= 99 + k, n= 99 - l ( k 0, 0 l 99) とおくと, より, 99 99+ k 99-l 00 0 5 < 0, 5 < 0, k -l ここで, l = 0,,,, 99 とすると, から, k < 5, k 5 < 5, k 5 < 5,, l k+ l l+ l k l+ 5 < 5 99 k 00 5 < 5 さらに, これらの不等式を, 0 <0 と変形をすると, k k+ k+ k+ < 0, 0 < 0, 0 < 0,, 0 < 0 99 99 00 00 すると, これらの不等式を満たす k の個数の総数は, m < 0 となる m の個数に一致する すなわち, () より, その個数は である よって, を満たす ( k, l) は, m= nのとき 個, m> nのとき 個ある (ii) m nのとき m= 99- i, n= 99 + j (0 i 99, j 0) とおくと, より, 99 99- i 99+ j 00 -i j 0 5 < 0, 5 < 0, ここで, i = 0,,,, 99 とすると, から, j 5 < 5, j 5 < 5, j 5 < 5,, i j+ i i+ i j i+ 5 < 5 99 j 00 5 < 5 さらに, これらの不等式を, 0 5 <0 と変形をすると, j j+ j+ j+ 5 < 0, 0 5 < 0, 0 5 < 0,, 0 5 < 0 すると, これらの不等式を満たす j の個数の総数は, に一致する ここで, () と同様にすると, n < 00 = 00 log 5 - log そして, 0 0 0 99 99 00 00 5 n < 0 となる n の個数 4.0 < 00 < 4. から n 4 より, n の個数は 44 である - log よって, を満たす (, i j) は, m= nのとき 個, m< nのとき 4 個ある (i)(ii) より, を満たす ( m, n) の個数は, + + 4 = 476 である -- 電送数学舎 07
[ 解説 ] () はを満たす ( m, n) の個数を求めるために, まず各辺に対数をとって格子点の 個数と考えたものの, 無理そうなので方針を転換しました 次に, すぐわかることですが, ( m, n ) = (99, 99) はを満たし, その 99 から m, n の値をともに増やした ( m, n ), ともに減らした ( m, n) はを満たしません このことから, (i) として m を 増やし n を減らす, (ii) として m を減らし n を増やすと場合分けをしています そし l k+ l l+ て, 解答例のように, 不等式 を0 <0 と変形すると, () の結論がストレ ートに利用でき, 意外な展開でした -- 電送数学舎 07
問題のページへ原点 O と点 A (0, -, ) を通る直線 l 上に 点 P, Q, 点 l O P M Q A B(0,, ) と点 C( -,, -) を通る直線 m 上に点 R が ある ここで, 線分 PQ の中点を M とするとき, PQR が正三角形より, その面積は, PQR = MR MR MR = すると, PQR の面積が最小となるのは, MR が最小の場合である すなわち, MR ^ l かつ MR ^ m そこで, OA = ( 0, -, ) である, BC = (-, 0, -4 ) =-(, 0, ) なので, t, s を実数 とすると, 直線 l, m は, l :( x, y, z) = t(0, -, ), m:( x, y, z) = (0,, ) + s(, 0, ) これより, M(0, - t, t), R( s,, + s) とおけ, MR = ( s, + t, + s-t) さて, MR ^ l から MR OA = 0 となり, -- t+ + s- t= 0, - t+ s= また, MR ^ m から MR BC = 0 となり, s+ (+ s- t) = 0, - t+ 5s=- より, s =-, t =- となり, M( 0,, - ), R( -,, -) である これより, MR = ( -,, ) から, MR = + + = 6 4 4 すると, PQ = 6 = となり, OA = + = から, 点 P, Q の座標は, OM PQ OA = ( 0,, - ) ( 0, -, ) = ( 0,, - ) ( 0, -, ) よって, P( 0,, - ), Q( 0,, - ), または P(0,, - ), Q( 0,, -) である m B R C [ 解説 ] 高校数学に 代数 幾何 という科目があったころの頻出題の つです ポイントは, 正三角形の中線がねじれの位置にある l と m の共通垂線ということです なお, 最後の点 P, Q の座標を求める計算は, 単位ベクトルを利用しています -4- 電送数学舎 07
4 問題のページへ () tan = p, tan =, tan( + ) = に対して, p は自然 q 数, また q は 以下の自然数から q =,, である (i) q = のとき より, tan = から, n を整数として, = n + となり, より, 4 tan( + ) = tan( + n + ) =- =- p tan すると, より p =-となり, 不適である (ii) q = のとき より, tan = となり, tan = = 4-4 4 4 ( ) p + = - p, p = よって, p = (iii) q = のとき より, tan = となり, となり, 不適である ( ) p + 4 = - p 4, である すると, より, tan = = である すると, より, - 4 9 5 5 p = 4 よって, p = となり, 適する (i)~(iii) より, ( p, q ) = (, ) である () q が q > の自然数のとき, から, q q tan = = - - q q となり, より, q ( q + = - ) p q - p q -, ( q -q- ) p= q + 4q- q > のとき q + 4q- q -q- = q( q-) - > 0から, p = ( q -q- ) 4 q + 4q- ここで, p は自然数より, 4から ( q -q-) となり, q + 4q- ( q -q-), q -6q- 0 これより, - 0 q + 0 となり, < 0 < 4から q 7 のときは p は 自然数ではなく不適である そこで, 以下, q = 4, 5, 6 の場合について調べる -5- 電送数学舎 07
(iv) q = 4 のとき 4より, (v) q = 5 のとき 4より, p = 6 + 6- = となり不適である (6-4-) p = 5 + 0 - = となり不適である (5-5-) 9 (vi) q = 6 のとき 4より, p = 6 + 4 - = 59 となり不適である (6-6-) 58 (iv)~(vi) より, 条件 (A) を満たす ( p, q) で, q > であるものは存在しない [ 解説 ] 誘導にしたがって解答例を作りましたので, やや冗長な感じがします まず, () で一般的な関係式を導いた後, () の数値をあてはめても構いません -6- 電送数学舎 07
5 問題のページへ () さいころを n 回振り, 出た目の最大値を M, 最小値を L としたとき, M - L= となるのは, ( L, M ) = (, ), (, ), (, 4), (4, 5), (5, 6) の場合である まず, ( L, M ) = (, ) のときは, 出た目がすべて または のいずれかという 事象から, だけおよび だけという事象を除いたものより, その確率は, n n n n n ( ) -( ) -( ) = ( ) - ( ) 6 6 6 6 また, 他の場合も同様なので, M - L= である確率は, n n 5{( ) - n n ( ) } = 5( ) - 0( ) 6 6 () M - L= 5 となるのは, ( L, M ) = (, 6) の場合だけである そこで, 出た目がすべて 以上 5 以下の事象を A, 以上 6 以下の事象を B とすると, M - L= 5 である確率は, - P ( A B) = -P ( A) - P( B) + P( A B) 5 n 5 n n = - 4 ( ) -( ) + 5 n n ( ) = - ( ) + ( ) 6 6 6 6 [ 解説 ] 余事象の考え方がポイントである確率の有名問題です 頭を整理するには, 図を書くと効果的です -7- 電送数学舎 07