応用数学A

応用数学 A 米田 戸倉川月 7 限 1930~2100 西 5-109

V を :x 2 + y 2 + z 2 = 4 で囲まれる内部とする F = ye x xe y + ze z FdV = V e x e y e z F = = 2e z 2e z dv = 2e z 3 23 = 64π 3 e z y x z 4π V n Fd = 1 F nd 2 F nd

法線ベクトル n g x, y, z = x 2 + y 2 + z 2 g = 2xe x + 2ye y + 2ze z F d = D F n 1 n e z dxdy V を :x 2 + y 2 + z 2 = 4 で囲まれる内部 g = 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 = 2 x 2 + y 2 + z 2 = 4 n = g g = 1 2 (xe x + ye y + ze z ) n e z = 1 2 xe x + ye y + ze z e z = z 2 F n = e x e y e z y x z x/2 y/2 z/2 = 1 2 zx yz e x + 1 2 zx yz e y + 1 2 (x2 + y 2 )e z 1 F nd = e x 2 1 zx yz d + e y 2 1 zx yz d + e z 2 1 (x 2 + y 2 d

e x 2 zx yz d = D zx yz 1 n e z dxdy = 2 D x + y dxdy = 2 0 2π (cos θ + sin θ)dθ 0 2 r dr =0 e y 2 zx yz d = 0 e z 2 (x 2 + y 2 d = = 2 D D x 2 + y 2 1 n e z dxdy x 2 + y 2 4 x 2 y 2 dxdy = 2 0 2π dθ 0 2 r 2 4 r 2 rdr ξ = 4 r 2, = 4 dξ = 2rdr 0 4 ξ ξ dξ = 4 2ξ1/2 2 0 3 ξ3/2 4 = 16 3 =- 64 3 π 1 F d = 64 3 π e z 2 = 32π 3 e z n Fd = V FdV Gauss の発散 ( 回転 ) 定理

回転定理 n Fd = V FdV の証明 発散定理 V A dv = A n d A=B c となる B c( 任意ベクトル ) を考えると V B cdv = B c n d スカラー 3 重積 A B C=C A B c V B dv = c c( 任意ベクトル ) なので n B d V B dv = n B d

グリーンの公式 面積分と線積分を関連させる公式 xy- 平面上の単一閉曲面 C で囲まれた領域を D とする 関数 f(x,y),g(x,y) とその偏導関数が C 上および領域 D で連続であるとき 以下の式が成り立つ c fdx + gdy = D g f dxdy ただしこのとき C の向きは反時計回りとする これをグリーンの公式と呼ぶ y GEORGE GREEN D C 証明を行っていく O x

グリーンの公式の証明 Ⅰ. 図様に Y 軸に平行な直線が 2 点 A, B のみで接する場合を考える このとき図の様に接点 A から B への二つの経路 C 1 : r x, φ 1 (x) と C 2 : r x, φ 2 (x) を考える (a x b) このとき C=C 1 -C 2 であり c fdx = fdx c1 c2 一方 D = a b f dxdy= b a f(x, φ 1 (x))dx a b f(x, φ 2 (x))dx φ 2 (x) f φ 1 (x) dydx= b φ a f(x, y) 2 (x) φ1 (x) dx = a b f x, φ2 x f x, φ 1 (x) dx よって c fdx = - D f dxdy 同様にして c gdy = D g dxdy 即ち c fdx + gdy = D g f dxdy y O A a D C 1 C 2 b B x

グリーンの公式の証明 II. 図の様に各座標軸に平行な直線が 3 点以上ある場合このとき図の様に微小領域に分割することによって 各小領域ではその周囲の曲線と各座標軸に平行な直線と 2 点のみで交わるようにできる そこで各小領域で I の結果を用いて和をとることを考えるが 分割のために新たに加えた境界面での線積分は互いに相殺されるために 結果として曲線 C において c fdx + gdy = D g f dxdy が成り立つ C の方向を時計回りとしたときグリーンの公式はどうなる?

例題 曲線 C を長方形 D:0 x 3, 0 y 1 を囲む周とし グリーンの定理を用いて次の線積分の値を求めよ I = C (x 3-3x 2 y)dx + (2xy + y 2 )dy f(x,y)= x 3-3x 2 y, g(x,y)= 2xy + y 2 とすると, f =-3x2, g =2yであり グリーンの公式 c fdx + gdy = D D 2y+3x2 dxdy= 0 3 1 2y+3x2 dydx 0 3 = y2 0 +3x 2 y 1 0 dydx = 0 3 1+3x2 dx = x+x 3 0 3 =30 g f dxdyより

グリーンの定理の 3 次元表示 xy- 平面上の単一閉曲線 C を C: r = (x t, y t, 0) (α t β), C を境界とする xy- 平面上の領域 D を曲面 (: r = x, y, 0, (x, y) D ) とし の単位法線ベクトルとして z 軸方向の基本ベクトル k をとる このとき 上で定義されたベクトル場を A= A(x,y)=(f(x,y), g(x,y), 0) とすると c fdx + gdy = c A d r である ここでrot Aを考えると i j k A =, f g 0 = g, f, g f = 0, 0, g f

これにより A k = 0, 0, D g f g (0,0,1) = f g f dxdy = D A kdxdy 即ちグリーンの定理は = A kd C A d r = A kd と書くことができる

ストークスの定理 三次元の曲面とその曲面上で定義された関数に関し, 線積分と面積分を関係づける定理 グリーンの定理の 3 次元への拡張 3 次元空間内の単一閉曲線 C を境界とする曲面 : r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) に対して 上の単位法線ベクトル n を図の様にとる このときベクトル場 A とその偏導関数が を含む領域で連続であるならば 次の式が成り立つ ir George Gabriel tokes Wikipedia より C A d r = A nd

ストークスの定理の証明 右辺 = = D ここで r u =(,, ), u u u r v =( v, v, v ), A z A y, A x A z, A y A x nd r r u v =( -, -, - u v u v u v u v u v u これを用いてA x を含む成分について計算すると = D A x ( u A z A y, A x A z, A y A x v u v ) A x ( u r r u v v u dudv v ) v ) dudv

続き = D A x = D A x u u + A x v u A x v u A x v u v dudv = (A D u x ) (A v v x ) dudv グリーンの定理を用いると u = c A x du + Ax dv= u v c A x dx, (dx= u du+ dv) v A y A z でも同様であり C A d r = A x v v u dudv A nd 2 行目の変換ではA(x,y), x(u,v), y(u,v) より A = A u u + A を用いている u

グリーンの公式の証明 II. 図の様に各座標軸に平行な直線が 3 点以上ある場合このとき図の様に微小領域に分割することによって 各小領域ではその周囲の曲線と各座標軸に平行な直線と 2 点のみで交わるようにできる そこで各小領域で I の結果を用いて和をとることを考えるが 分割のために新たに加えた境界面での線積分は互いに相殺されるために 結果として曲線 C において c fdx + gdy = D g f dxdy が成り立つ C の方向を時計回りとしたときグリーンの公式はどうなる?

ストークスの定理の物理的意味 A nd この A は A の回転を表している これの面積分を取っているということは A A nd A C A d r C A d r = A nd 図は物理のかぎしっぽより

例題 曲面 :z=1-x 2 -y 2 (z 0) に対して の境界を C: r t = cost, sint, 0, 0 t 2π とする このときベクトル場 A =(-y,x,z) に対してストークスの定理 C A d r = A nd が成り立つことを示せ d r=(-sint, cost,0)dt であり C 上ではベクトル場 A=(-sint, cost t, 0) よって A d r =(sint 2 t +cos 2 t )dt=dt よって C 一方 A = A d r= 0 2π 1dt=2π i j k, y x z =(0,0,2) r t r t また法線ベクトルは = (1,0, 2x) (0,1, 2y)=(2x,2y,1) この方向は図の単位法線ベクトルと同じである よって

A nd= A d = D A r t r t dxdy = D 0,0,2 (2x, 2y, 1)dxdy = D 2dxdy = 2π (D は xy- 平面上への正射影であり面積 π)

i を電流密度ベクトル B をそれによって発生する磁場ベクトルとすると アンペールの法則は以下のように書かれる C B d r = μ 0 i nd ストークスの定理より i を B で表すと 左辺 = B nd よってμ 0 i= B

ガウスの発散定理別の方法による導出 A=(A x, A y,a z ) 図のような微小な閉じた空間を考える 矢印に垂直な面について考えると A n ΔyΔz= { A x (x,y,z)+ A x (x+δx,y,z)} ΔyΔz = A x ΔxΔyΔz = A x V 同様に他の面でも A n ΔzΔx= A y V A n ΔxΔy= A z V 空間はこれらの和によって表すことができ A nd= AdV この極限を考えれば s A nd = V AdV よってガウスの定理が成り立つ (x,y,z) (x+δx,y,z)

極座標表示復習媒介変数 r, θ, φ r r, θ, φ : x, y, z = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) e r e θ = e φ z e r e φ e θ X,Y 平面上への r の射影成分大きさは r sinθ y X= r sinθcosφ Y= r sinθsinφ x (0 θ π/2, 0 φ 2π) 半球面 (0 θ π, 0 φ 2π) 全球面

なぜ極座標必要? 例題 半球面 : r(x, y, z) x 2 +y 2 +z 2 =a 2 この面積を求めるには このとき変数を x,y,z と考えると z dxdydz D y dx,dy,dz 積分範囲分からない x

図で見る極座標表示 ヤコビアン J = = (,, ) ( r, θ, φ) r r r θ θ θ φ φ φ 図 : 岩波書店物理のための応用数学より 面積 : Ds=rdθ r sin θ dφ = r 2 sin θ dθdφ 体積 : Dsdr=dV= r 2 sin θ drdθdφ

円柱座標 r(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sin θ,z) V f(r)dv = D φ ρ, θ, z z J dρdθdz ρ r θ y θ x J = (,, ) ( ρ, θ, ) = ヤコビアン ρ ρ ρ θ θ θ 図 : 岩波書店物理のための応用数学より 図より ds=rdθdz dv=rdθdzdr

例題 半球面 : r(θ, φ) = (a sin θ cos φ, a sin θ sin φ, a cos θ) (0 θ π/2, 0 φ 2π) の面積を求めよ この時媒介変数は θ,φ r θ r φ r θ ds = D r θ r φ dθdφ = a(cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ) = a( sin θ sin φ, sin θ cos φ, 0) cos θ r icos φ sin j θ sin φ k φ = a2 cosuθ cos sin φv cosin u θsin cos vφ sin u sin sin u sin θ v sin u cos 0 v 0 = a 2 (sin 2 θ cos φ, sin 2 θ sin φ, sin θ cosθcos 2 φ+ sin θ cosθsin 2 φ) = a 2 (sin 2 θ cos φ, sin 2 θ sin φ, sin θ cosθ)

以下はおまけ

演習 (1) 以下の円柱の側面の面積を積分からもとめよ r(θ, z) = (a cos θ, a sin θ,z) (0 z b, 0 θ 2π), a, b, > 0 (2)(1) 面上でのスカラー量 cos 2 θ の面積分を求めよ r θ (1) r r = asinθ, acosθ, 0, θ = (0,0,1) = (acosθ, asin, 0) =a r f(r)ds = f(r)ds = 0 b 0 D 2π φ u, v r u adθdz = 2πab r v dudv θ または図より ds=rdθdz (2) f(r)ds = 0 b 0 2π acos 2 θdθdz = ab 0 2π 1 + cos2θ dθ 2 =ab 1 2 θ + 1 4 sin2θ 0 2π = πab

r θ r φ = a2 =a 2 =a 2 sin 4 θ cos 2 φ + sin 4 θ sin 2 φ + sin 2 θ cos 2 θ sin 4 θ + sin 2 θ cos 2 θ sin 2 θ=a 2 sin θ したがって面積は = 0 2π = 0 2π π/2 r r 0 θ φ π/2 a2 sin θ dθdφ 0 = 2πa 2 0 π/2 sin θ dθ =2πa 2 dθdφ であり (0 θ π/2, 0 φ 2π)

ガウスの発散定理 球面のようにその曲面によって空間を内側と外側を分けることができるような曲面を閉曲面と呼ぶ 閉局面 によって囲まれた立体を V とするとき 空間 V において定義されたスカラー場 φ に対し て V φdv を立体 V におけるスカラー場 φ の体 積分を表すことにすると 以下のガウスの発散定理が成り立つ Carolus Fridericus Gauss Wikipedia より の単位法線ベクトル n の向きを の外向きとする またベクトル場 A は空間 V 内で連続とする このとき s A nd = V AdV

ガウスの発散定理の証明 s A nd = AdV V 図のような空間 Vを考え上下で割った曲面 1と2を考える 1=(x,y,f 1 (x,y)), 2=(x,y,f 2 (x,y)), A=(A x, A y,a z ) Aのz 成分についてのみ考えると右辺は z 1 V A z V dv= A z V dxdydz f = 1 (x,y) A z M f2 (x,y) dzdxdy x = M A z x, y, f 1 (x, y) dxdy M A z x, y, f 2 (x, y) dxdy ここで面 1 上では dxdy=k nds, 面 2 上では dxdy= k nds 2 M k n y M A z x, y, f 1 (x, y) dxdy M A z x, y, f 2 (x, y) dxdy = 1 A z x, y, f 1 (x, y) k nds + 2 A z x, y, f 2 (x, y) k nds k n = A z x, y, z) k nd

証明続き 同様に V A xx dv= A y V dv= よって A x x, y, z) i nd A y x, y, z) j nd V A x + A y + A z dv = A x x, y, z) i n + A y x, y, z) j n + A z x, y, z) k nd 即ち s A nd = V AdV