1 4 4.1 1922 1929 1947 1965 2.726 K WMAP 2003 1. > 100Mpc 2. 10 5 3. 1. : v = ȧ(t) = Ha [ ] dr 2. : ds 2 = c 2 dt 2 a(t) 2 2 1 kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) a(t) H k = +1 k *1) k = 0 k = 1 dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dr 2 + r 2 [dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ] (4.1) 3 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 (x,y,z,u) R r 2 +u 2 = R 2 u 2 r 2 = R 2 dl 2 = du 2 + dr 2 + r 2 [dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ] (4.2)
4 2 4.1: =, >, < π dθ = dφ = 0 3 4 K = 1/R 2 rdr + udu = 0 dr 2 + du 2 = dr 2 + r2 1 R 2 r 2 dr2 = 1 r 2 /R 2 = 1 1 Kr 2 (4.3) u iu,r ir K = 1/R 2 r Rr, a(t) a(t)r 4.2 4.2 O,P,Q P(Q) O r 1, r 2 V 1, V 2 4.2: V 1 = v(r 1 ), V 2 = v(r 2 ) (4.4) P Q r 1 r 2 V 1 V 2 V 1 V 2 = v(r 1 r 2 ) v(r 1 ) v(r 2 ) = v(r 1 r 2 ) (4.5) v(r) r V i = H i j r j v = Hr (t = t 0 ) H 0 1/H 0
4 3 (r,θ,φ) (Comoving coordinate) a(t) H 0 = H(t = ) = 100h km/sec/mpc, H0 1 = 9.77813/h Gyr 132 h 0.74 ± 0.03, 1Mpc = 100 1pc = 3.26 D = c H 0 132 (4.7) 4.2.1 4.3 ( 30Mpc) Ia (z 1, or 2000Mpc) 4.5 4.3: ( ) ( )
4 4 4.4: ) SNIa Si Ia 4.5: H 0 = 72km/sec/Mpc (ASTROPHYS.J. 553(2001)47-72
4 5 4.2.2 dη(t) = dt a(t), l(r) = Z r 0 dr 1 kr 2 η (conformal time) ds 2 = 0 (4.8) η(t 0 ) η(t) = l(r) (4.9) r = r t t + δt r = 0 t 0 t 0 + δt 0 (4.9) δη(t 0 ) = δη(t) δt 0 a(t 0 ) = δt a(t) (4.10) λ ν δt 1/ν νa(t) = ν 0 a(t 0 ) ν 0 a 0 (4.11) ν = λ 0 ν 0 λ = 1 + z = a 0 (4.12) a(t) (peculiar velocity) (λ 0 > λ) (1+z) ( ) 4.3 µ T µν = 0 (4.13) R µν 1 2 Rg µν Λg µν = 8πG c 3 T µν (4.14) 3 H 2 = 8π Gρ kc2 + Λc2 3c 2 a 2 3 (4.15) d(ρv ) + PdV = 0 (4.16) ä a = 4πG 3c 2 (ρ + 3P) + Λc2 3 (4.17) H=ȧ/a G ρ = ρ M + ρ r Λ (4.15) (4.15)(4.17) (4.16) 3 ( )
4 6 (4.17) (4.15) (4.16) ρ Λ Λc4 8πG (4.18) ρ = ρ m + ρ r + ρ Λ (4.19) (P = ρ Λ ) Λ (4.17) 4.1. (P = ρ Λ ) P R v = HR P R M = (4π/3)ρ m R 3 1 2 (HR)2 4π 3 Gρ mr 3 R = E (4.20) E > 0 E < 0 R a r R = ar 4.6: R H 2 = 8π 3 Gρ m + 2E/r2 a 2 (4.21) ρ c 3H2 8πG *2) 2E/r 2 = k (4.17) E = 0(k = 0) ρ ρ c ( ) *3) (4.22) * 2) * 3)
4 7 1.88 10 29 h 2 g/cm 3 ρ c = = 1.05 10 5 h 2 GeV /cm 3 = 2.78 10 11 h 2 M Mpc 3 M = (4.23) 1 Ω = ρ/ρ c (4.17) Ω m + Ω r + Ω Λ = 1 Ω k, Ω k k H 2 a 2 (4.24) q = 1 ( 1 + 3 P ) Ω m Ω Λ q 2 ρ ä/ȧ ȧ/a = ä ah 2 (4.25) q (4.24) k = ±1,0 ±1/R 2 *4) k = a 2 0H 2 0 (1 Ω m0 Ω r0 Ω Λ ) (4.26) r Rr a 0 = 1 k 1/R 2 K = k R 2 = H2 0 (1 Ω m0 Ω r0 Ω Λ ) (4.28) t = t 0 H 0, ρ m0, ρ r0, q 0 (K) ( Λ) q 0 < 0, Ω 0 (Ω m + Ω r ) 0 = 0.26, Ω Λ = 0.74 Ω O(1) R 1/H 0 132 Ω k = k/r 2 H 2 0 R 4.3.1 WMAP CMB 4.1 180 180 180 ( 4.7 ) * 4) [ R R = 6 R + Ṙ2 R 2 + k ] R 2 (4.27) R = 6 R
第4講 宇宙の幾何学 8 図 4.7: (a) 空間幾何学を決めるには ３角形の内角の和が 180 であることを言う ガウスはドイツの３ つの山で３角測量をした 現代の３角測量は D として晴れ上がり当時の (音波) 地平線 ( 40 万光年) Ｌとして晴れ上がりまでの距離 137 億光年を使う 宇宙距離の正確な定義については後述 D は温度 ゆらぎのフーリエ解析より求める 現代の方法は 長さ D の基線とそこまでの距離が判っている宇宙サイズの物体の視角を測定し ユー クリッド幾何学の示す公式 θ D/2 tan = (4.29) 2 L に従うかどうかを見る 晴れ上がりまでは 宇宙は電子と陽子とフォトンによるプラズマ状態であり 音波が生じている 音速 p V = dp/dρ = c/ 3 で与えられる D として晴れ上がり時の音波の到達最大距離 (音波の地平線) を使 い L として晴れ上がり時から現在の地球まで光が走った距離 すなわち宇宙年齢 (-40 万年) に光速を 掛けた距離を採用する (図 4.7 右) ただし 膨張による補正を入れる必要がある (晴れ上がり時の赤方遷 移 z=1100 分だけ小さくなる) 晴れ上がりは時刻 tdc 40 万年であるから D = V 4 105 yr 従って視 角はおおよそ D c/ 3 4 105 yr θ 0.018 (4.30) L c 137 108 yr/1100 程度となる 音波は粗密波であり エネルギー密度のゆらぎは温度のゆらぎとなる したがって D の 大きさは 背景輻射温度ゆらぎをフーリエ分解して得られる最大波長の 1/2 として得られる これは TV の箱のサイズがチャネル間のノイズのフーリエ成分の最大波長の 1/2 で与えられるのと同じ理屈であ る (図 4.8) ただし 宇宙マイクロ波は 平面から放射されるのではなく 球面上の全天から来るので フーリエ展開の代わりに調和関数展開を使う 2003 年に WMAP による背景輻射 (CMBR) の温度ゆらぎの精密な解析結果が得られた 温度ゆらぎの強 度は調和関数で展開して与えられ 調和関数の次数 l の関数として与えられる (図 4.9 左) 調和関数で展 開した場合 角度スケール θ と調和関数の次数 ℓ とは π/ℓ の関係がある l 200 θ 0.016 に最 大波長に対応する山があり 平坦宇宙の予想と一致した 図 4.9 右は 歴史的に WMAP に先行した気球 観測によるブーメラン実験の結果を示したもので 宇宙の幾何学構造の違いによる温度ゆらぎ予想値と 実際の温度ゆらぎを比較し 平坦宇宙を結論づけている
第4講 宇宙の幾何学 9 図 4.8: 音波地平線の 2 倍を 2D として 音波は λ = 2D, 2D/2, 2D/3 の波長を持つ ノイズ分布をフー リエ解析すれば波長分布が判る TV のノイズ分布より TV 画面サイズが判る 図 4.9: 左) 宇宙マイクロ波強度の調和関数分解 波長に対応するのが 見込み角 θ π/ℓ である 最初 の頂上の位置は平坦宇宙の予想と一致した 右図は ゆらぎの分布をより視覚的に表したブーメランの 測定 歴史的にはこちらが先行した
4 10 ( ) I ν dν = 4π hν3 dν e hν/kt 1 (4.31) ( 4.10) n = (θ,φ) T (n) T (n) = T 0 [1 + β n + T 0 = 1 Z 4π l l=2 m= l a l,m Y l,m (θ,φ)] T (θ,φ)sinθdθdφ = 2.725 ± 0.001K (4.32a) (4.32b) ( β) *5) Anisotropy) φ δt T 0 (n) = T (n) T 0 T 0 (4.33) < a l,m a l,m >= δ ll δ mm < a l 2 > (4.34) < > n 1 n 2 cosθ = n 1 n 2 ( ) C(θ) = 1 T (n 1 ) T (n 2 ) 2 δt 2 = (n 1 ) δt (n 2 ) (4.35) T 0 T 0 T 0 (4.32)(4.34) C(θ) = 1 4π l=0 (2l + 1)C l P l (cosθ), C l = a l 2 (4.36) P l 1 cosθ 1 l C l C l 180 /l + 1 T 1 = T 0 β = 3.346 ± 0.017 10 3 K v = cβ = 369.19 ± 19km (4.37a) (4.37b) ( 4.10 ) (l 2) (δt ) 2 = 1.1 10 5 (4.38) T * 5) β << 1 ν ν = ν(1 + β) ν ν T T (1 + β) n β n T T (1 + β n)
4 11 4.10: 10 3 10 5 30µK (v 30km/s) (v 220km/s) (v 80km/s) v = 630km ± 20km/s = 0.0021c Proof4.1: S V E = ρ V V F x E = ρ V xs ( ) P P = F S = E x = ρ V (4.39) ( ) 2 2 2 2 ( )
4 12 4.11: ( ) ( ) : a y b x 5
4 13 4.4 (ȧ ) 2 H 2 = = 8πG a 3 ρ k a 2 (4.40) ( ) ρ c = 3H0 2/8πG, Ω Λ = k/a 2 0 H2 0 ( ) 1 da 2 ( a0 ) ( a0 ) ( ) ] 2 a 2 +U(a) = Ω k, U(a) = [ Ω m0 + Ω r0 + ΩΛ (4.41) dt a a a 0 a 2 0 H2 0 dτ = H 0 dt, x = a/a 0 1 ( ) dx 2 +U(x) = Ω k, U(x) = Ω m0 dτ x Ω r0 x 2 Ω Λx 2, Ω k = 1 Ω m0 Ω r0 Ω Λ (4.42) a/a 0 a (Ω Λ < 0) a a = 0 ( 4.12 ) 4.12: Ω Λ < 0 Ω Λ 0 ( ) (Ω Λ = 0) a U 0 k > 0 1:1 (Ω Λ > 0) a 0, a = a s U = U s ( 4.12 ) Ω k > U s
4 14 k 0 Ω k > U s ȧ > 0 a > a s 4.13: (E-L ) Ω k < U s U = 1 Ω m Ω Λ Ω Λ λ 1 > λ 2 a = (Ω Λ > λ 1 ) a = 0 (Ω Λ < λ 2 ) Ω k = U s (a) a = 0 a a s a s (b) a = a s (c) a = a s (c) a a s a a s a = 1 Ω Λ = Ω r0 + Ω m0 /2 Ω k = 0 Ω r0 = 0 a s = (Ω m0 /2Ω Λ ) 1/3 a t 2/3 1 a s = 1 + z s = ( t0 t s ) 2/3, t s = t 0 Ωm0 2Ω Λ 137 0.42 = 57.4 z s = 0.79 (4.43)