4 次 元 ゲージ 理 論 に 隠 れた 2 次 元 共 形 対 称 性 細 道 和 夫 日 本 物 理 学 会 2011 年 秋 季 大 会 2011/09/17 @ 弘 前 大 学
M5-brane M-theory の 基 本 的 自 由 度 のひとつ (5+1) 次 元 物 体 複 数 枚 かさなると 6 次 元 の 謎 の 超 共 形 場 の 理 論 (2,0)-theory を 生 じる 複 数 のM5-brane の 系 をコンパクト 化 すると... * 低 次 元 の SUSY ゲージ 理 論 の 新 しい 洞 察 が 得 られる * その 結 果 から M5-brane の 謎 にせまる 新 しいカギが 得 られる
1. AGT 対 応 4 次 元 N=2 超 対 称 ゲージ 理 論 と 2 次 元 CFT の 間 の 双 対 性
Gaiottoの 超 共 形 ゲージ 理 論 リーマン 面 にまきついた N 枚 の M5-brane 新 しい 4 次 元 超 共 形 ゲージ 理 論 の 族 CFT(N, Σ g,n (τ), {Y 1,,Y n }) Σ g,n (τ) : 点 つきリーマン 面 τ : 形 のパラメータ 3g 3+n 個 Y 1, Y 2,, Y n :ヤング 図 ( 高 さ N 未 満 箱 の 数 N)
N=2 の 例 : SU(2) 一 般 化 quiverゲージ 理 論 パンツ 分 解 ラグランジアン パンツ 曲 線 SU (2) SU (2) 各 パンツ : 4 個 のハイパー 多 重 項 SU (2) パンツ 曲 線 Re(τ) 各 管 状 部 : SU(2) ゲージ 多 重 項 Im(τ) 管 状 部 の 数 : 3g 3+n
分 配 関 数 :Ω 背 景 Moore-Seiberg 図 形 m 1 a 2 a 6 a 4 a 10 a a 1 8 a 3 a 5 a 7 a 9 m 2 m 3 m 4 a i : クーロン 相 真 空 のパラメータ m i : 物 質 場 の 質 量 パラメータ Nekrasov 分 配 関 数 Z Nek (ϵ 1, ϵ 2, m,a, τ) ϵ 1, ϵ 2 :Ω 変 形 のパラメータ (インスタントンを 原 点 に 局 在 させる)
基 本 的 な 例 1. Nf = 4 理 論 m 1 a m 4 SU(2) SQCD with 4 fund. hypers m 2 m 3 4 点 つき 球 面 2. N = 2* 理 論 m SU(2) SQCD with 1 adjoint hyper a 1 点 つきトーラス
分 配 関 数 :4 次 元 球 面 4- 球 面 上 にSUSY 理 論 を 定 義 できる 局 所 化 原 理 分 配 関 数 の 厳 密 計 算 (Pestun, 2007) Z Nek (τ) Z Nek (τ) ただし :4- 球 面 の 半 径 球 面 の 曲 率 の 効 果 でインスタントンが 北 極 南 極 に 局 在 する
リーマン 面 m 1 a 2 a 6 a 4 a 10 a a 1 8 a a 5 a 7 a 9 3 m 2 m 3 m 4 Moore-Seiberg 図 形 正 則 関 数 da m 1 a 2 a 6 a 4 a 10 a a 1 8 a a 5 a 7 a 9 3 m 2 m 3 m 4 2 正 則 関 数 の2 乗 の 積 分 分 配 関 数 この 流 れは 2 次 元 CFT と 似 ている
Liouville CFT 演 算 子 OPE V m1 z w V m2 m 1 相 関 関 数 m 2 m 3 m 4 Virasoro Virasoro Ward 恒 等 式 τ τ の 正 則 微 分 方 程 式 の 正 則 微 分 方 程 式
共 形 ブロック 関 数 Virasoro Ward 恒 等 式 の 解 ( τ の 正 則 関 数 ) m 1 m 1 a 2 a 6 a 4 a 10 a a 1 8 m 2 m 3 m 4 a 3 a 5 a 7 a 9 m 2 m 3 m 4 Moore-Seiberg 図 形 : 線 形 独 立 な 解 の 完 全 系 相 関 関 数 a i : 解 をラベルするパラメータ ( 中 間 状 態 の Liouville 運 動 量 )
AGT 予 想 (Alday-Gaiotto-Tachikawa, 2009) SU(2) 一 般 化 quiver ゲージ 理 論 と Liouville CFT の 間 に 対 応 関 係 を 発 見 した SU(2) 一 般 化 quiver 理 論 Liouville 理 論 Ω 変 形 パラメータ Liouville 中 心 電 荷 Nekrasov 分 配 関 数 Virasoro 共 形 ブロック 関 数 丸 い 球 面 上 の 分 配 関 数 Liouville 理 論 の 相 関 関 数
その 後 の 発 展 * 対 応 は 本 当 か? Nekrasov 分 配 関 数 Virasoro 共 形 ブロックは 同 じ 漸 化 式 に 従 う (Fateev-Litvinov '0912,... ) * どこまで 対 応 するのか? - SU(N) ゲージ 理 論 は Toda CFT と 対 応 がある (Wyllard, '0907) W N 代 数 ( Virasoro 代 数 を 含 む ) - Wilsonループ 't Hooft ループの 期 待 値 = CFTのループ 演 算 子 を 含 んだ 相 関 関 数 (AGGTV '0909, DGOT '0909) - 超 共 形 でない 理 論 (Gaiotto '0908,... )
An Open Problem * なぜ 対 応 するのか? (2,0) 理 論 の 4- 球 面 へのコンパクト 化 = Liouville / Toda CFT が 言 えればもっとも 直 接 的 共 形 ブロックを それと 等 価 な 別 の 量 で 置 き 換 える - Dotsenko-Fateev 多 重 積 分? (Dijkgraav-Vafa の large N 行 列 積 分 ) - 量 子 Teichmuller 空 間 論 の 波 動 関 数? - SL(2,R) Chern-Simons 経 路 積 分?
別 方 向 の Open Problem 丸 い 球 面 上 の 分 配 関 数 Liouville 理 論 の 相 関 関 数 丸 い 球 面 は に 対 応 する 丸 い 球 面 からの 変 形 が 存 在 するはず (work in progress. (cf) Nagasaki-Yamaguchi '1106 )
2. 3 次 元 版 AGT 対 応
S-duality パンツ 分 解 のとり 方 は 一 意 でない = 同 じゲージ 理 論 を 記 述 するラグランジアンが 複 数 有 る = Virasoro Ward 恒 等 式 の 解 の 完 全 系 のとりかたが 複 数 有 る
トーラス1 点 共 形 ブロックの 例 [ SU(2) N=2* ] τ m 1/ τ m a a S-duality Kernel (Teschner '03)
SU(2) N=2* SYM のS- 双 対 性 1 点 つきトーラスのパンツ 分 解 形 と は 同 じ1 点 つきトーラスを 与 える τ 複 素 結 合 定 数 と のゲージ 理 論 は 同 じ ただし 電 場 と 磁 場 が 入 れ 替 わる ( 電 気 磁 気 双 対 性 ) 1/ τ 0 1
S-duality wall (Gaiotto-Witten '08, KH-Lee-Park '10) 左 右 の 自 由 度 を S-duality を 介 して なめらかに 接 続 する 壁 上 の 理 論 : 3D N=2* T[SU(2)] 理 論 = 3d N=2 U(1) SQED with 2 electron chirals 2 positron chirals 1 neutral chiral q 1, q 2 q 1, q 2 ϕ 特 徴 : * Coulomb, Higgs branch 真 空 があり どちらも SU(2) アイソメトリーを 持 つ * 自 分 自 身 にミラー 対 称
Wall 理 論 の 詳 細 (Kapustin-Wyllett-Yaakov '09, Jafferis '10, Hama-KH-Lee '10) 4- 球 面 を2つに 仕 切 る S-duality 壁 (3- 球 面 )を 赤 道 上 におく a a' Adjoint hyperの 質 量 : m 壁 の 左 右 の 真 空 のモジュライ: a, a ' Wall 理 論 の 特 徴 は 物 質 場 q 1 q 2 q 1 q 2 ϕ U(1) 電 荷 R 電 荷 1 1 1 1 0 1/2 1/2 1/2 1/2 1 質 量 m+2a m 2a m 2a m+2a 2 m U(1) FIパラメータ: Superpotential : a' W = 2 q i ϕ q i
Wall 理 論 の 分 配 関 数 3- 球 面 上 の N=2 SUSY ゲージ 理 論 の 分 配 関 数 の 局 所 化 公 式 を 適 用 (Kapustin-Wyllett-Yaakov '09, Jafferis '10, Hama-KH-Lee '10) (FI) (ϕ) (q 1 ) (q 2 ) ( q 1 ) ( q 2 ) 3 次 元 版 AGT 対 応 (Drukker-Gaiotto-Gomis '09, KH-Lee-Park '10) Wall 理 論 の 分 配 関 数 S-duality Kernel
一 般 化 (Hama-KH-Lee '1102) 丸 い 3- 球 面 のかわりに ellipsoid をとる S b 3 : ( 同 時 に R 対 称 性 をゲージ 化 する 非 零 の U(1) ゲージ 場 を 導 入 する) 3 次 元 版 AGT 対 応 ( 一 般 化 ) Wall 理 論 の 分 配 関 数 S-duality Kernel
3. 3 次 元 版 AGTの 一 般 化 ( 6=3+3 )
Teichmuller 空 間 Teichmuller 空 間 { n 点 つき 種 数 g のリーマン 面 全 体 } { 恒 等 変 換 に 連 続 につながった 座 標 変 換 } モジュライ 空 間 { モジュラ 変 換 } cf. 弦 理 論 = 2 次 元 重 力 理 論 の 経 路 積 分 ~ Liouville 理 論 ~ Teichmuller 空 間 論
量 子 Teichmuller 空 間 論 を 幾 何 学 的 量 子 化 する 理 論 m 1 a 2 a 6 a 4 a 10 a a 1 8 状 態 の 完 全 系 のいろいろ: a 3 a 5 a 7 a 9 1. : 正 則 座 標 τ の 固 有 状 態 m 2 m 3 m 4 2. :パンツ 曲 線 と puncture まわりの 測 地 距 離 の 同 時 固 有 状 態 Note : 任 意 の 閉 リーマン 面 は Σ=(UHP)/Γ と 書 ける Γ :SL(2,R) の 離 散 部 分 群 2cosh(2π bl) = Tr γ l : 閉 曲 線 の 長 さ γ : Γ の 元
H. Verlinde, '90 1. 量 子 Teichmuller 空 間 論 の 波 動 関 数 = Virasoro 共 形 ブロック 2. 量 子 Teichmuller 空 間 論 = SL(2,R) Chern-Simons 理 論 の 正 準 量 子 化
具 体 的 な 量 の 計 算 (g=1,n=1) 1. リーマン 面 を3 角 形 分 割 する B 2. 各 辺 に Fock 座 標 を 賦 与 し 交 換 関 係 を 定 める A 3. 処 方 箋 に 従 って z B z C z A S-duality Kernel =
言 い 換 え Wall 理 論 の 分 配 関 数 S-duality Kernel Teichmuller 波 動 関 数 の overlap SL(2,R) Chern-Simons a m m a ' I
最 近 の 進 展 3 次 元 版 AGT 対 応 3 次 元 多 様 体 M 3 上 の Ellipsoid 上 の SL(2, R) Chern-Simons 理 論 N=2 超 対 称 ゲージ 理 論 T [ M 3 ] (レベル k) S b 3 (Terashima-Yamazaki, Dimofte-Gukov, ) 3 次 元 多 様 体 の4 面 体 分 割 を 用 いて SL(2,R) Chern-Simons 理 論 が 同 様 の 有 限 次 元 量 子 力 学 に 帰 着 する
まとめ 展 望 1. AGT 対 応 は Seiberg-Witten 理 論 とCFTの 対 応 を 越 えて より 広 い 範 囲 の 数 学 と 物 理 を 関 係 づけると 期 待 される 2. 数 学 物 理 の 関 係 の 探 求 と 相 まって 新 しい 有 用 な 物 理 量 の 発 見 (e.g. 球 面 上 の 相 関 関 数 など) 非 局 所 的 な 演 算 子 の 取 扱 いの 理 解 が 進 むと 期 待 される