統 計 学 第 回 講 義 標 本 平 均 の 分 布 0 年 7 ( ) 3 限 担 当 教 員 : 唐 渡 広 志 (からと こうじ) 研 究 室 : 経 済 学 研 究 棟 4 階 43 号 室 emal: kkarato@eco.u-toyama.ac.j webste: htt://www3.u-toyama.ac.j/kkarato/
講 義 の 目 的 中 極 限 定 理 を 利 すると, 標 本 平 均 の 分 布 は 正 規 分 布 に 近 似 して 考 えることができる,ということを 理 解 します keywords: 項 分 布, 中 極 限 定 理, 標 本 平 均 の 分 布 教 科 書 : 砂.7 35 居.39 44 屋.3 5
復 習 中 心 極 限 定 理 平 均, 分 散 の 確 率 分 布 にしたがう 同 の 確 率 変 数 の 和 をとるときの 数 を 増 やしていくと, 確 率 変 数 の 和 は に 近 づいていく 正 規 分 布 (, ) 平 均, 分 散 の 確 率 分 布 にしたがう 同 の 確 率 変 数 の 平 均 をとるときの 数 を 増 やしていく と, 確 率 変 数 の 平 均 値 / は に 近 づいていく 正 規 分 布 (, /) 3
例 の 確 率 変 数 であるとする,, はそれぞれ 互 いに 独 立 な 同 一 の 確 率 分 布 にしたがうものとし 0 4 和 の 分 布 の 分 布 : 0 0 4 40 平 均 値 の 分 布 の 分 布 : 0 0 4 4 4
例 の 確 率 変 数 ものとする ここで であるとする,, はそれぞれ 互 いに 独 立 な 同 一 の 二 項 分 布,0., 0. であり 0. 0. 0. 0.9 0.09 和 の 分 布 の 分 布 : 0. 0.09 5. 4 にしたがう 平 均 値 の 分 布 の 分 布 : 0. 0. 5.4 5.4 5
二 項 分 布 (, 0.) の 和 の 分 布 0 個 の 和 30 個 の 和 個 の 和 robablty 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 robablty 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 robablty 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 成 功 回 数 の 分 布 0 4 8 0 0 5 0 5 0 5 30 0 0 0 30 40 0 個 の 平 均 値 30 個 の 平 均 値 個 の 平 均 値 robablty robablty robablty 成 功 割 合 の 分 布 0.0 0. 0.4 0. 0.8.0 0.0 0. 0.4 0. 0.8.0 0.0 0. 0.4 0. 0.8.0 xbar xbar xbar
二 項 分 布 と 正 規 分 布 () 例.サイコロを = 回 投 げるときが 出 る 回 数 の 分 布 例. の 二 項 分 布 ~, 5 3 確 率 0.0 0. 0.4 0. 0.8.0 が 回 も 出 ない が 回 出 る 二 項 分 布 ~, にしたがう 互 いに 独 立 な 確 率 変 数 A,,の 和 はどのような 分 布 になるか? -.0-0.5 0.0 0.5.0.5.0 x 7
二 項 分 布 と 正 規 分 布 () の 二 項 分 布 ~, 3 0 3 の 二 項 分 布, に 従 う 確 率 変 数 A, の 和 A A 5 3 A A 3 5 3 0 3 確 率 0.0 0. 0.4 0. 0.8 = の 項 分 布 と = の 項 分 布 に 従 うつ の 確 率 変 数 の 和 の 分 布 は 全 く 同 じ 分 布 である - 0 3 4 5 実 現 値 8
二 項 分 布 と 正 規 分 布 (3) 3 の 二 項 分 布 3 ~ 3, 3 3 5 3 の 二 項 分 布, 確 率 変 数,, A A C C A 5 3 A A C 5 3 に 従 う の 和 5 3 5 3 C C 確 率 0.0 0. 0.4 0. 0.8 = 3 の 項 分 布 と = の 項 分 布 に 従 う3つ の 確 率 変 数 の 和 の 分 布 は 全 く 同 じ 分 布 である - 0 3 4 5 実 現 値 9
二 項 分 布 と 正 規 分 布 (4) 確 率 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 5, A または C D 確 率 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0, または 0 j j = 5 = 0 0 5 0 5 0 5 30 実 現 値 0 5 0 5 0 5 30 実 現 値 確 率 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0, または 0 j j 確 率 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 30, または 30 j j = 0 = 30 正 規 分 布 に 近 づいていく 0 5 0 5 0 5 30 実 現 値 0 5 0 5 0 5 30 実 現 値 が きくなるときの 分 布 に 注 0
二 項 分 布 と 正 規 分 布 (5) の 分 布 に 等 しい 個 の 確 率 変 数 の 和 互 いに 独 立 な にしたがう の 二 項 分 布 は の 二 項 分 布,, ~,,, : :, ~ 分 散 期 待 値 の 分 布 : : 分 散 期 待 値 の 分 布 : :, ~ 分 散 期 待 値 の 分 布 重 要 和 の 分 布 は 正 規 分 布 に 近 づくので, が きくなると, 項 分 布 (,)も 正 規 分 布 に 近 づく
例 3,0.5, 0.5, 0. 5 ~, の 分 布 0.5 0.5 5 個 0.5 0.5 個.5, ~,0.5 0.5 5 0.5 0.5. 5
練 習 問 題 (),0. にしたがう 互 いに 独 立 な個 の 確 率 変 数 の 期 待 値 と 分 散 を 求 め なさい,, について ~,0.の 期 待 値 と 分 散 を 求 めなさい 3
二 項 分 布 と 正 規 分 布 () 4 個 の 確 率 変 数 の 平 均 の 分 布 に 等 しい にしたがう 互 いに 独 立 な の 二 項 分 布 の 分 布 は, 値 で 割 った を にしたがう 確 率 変 数 の 二 項 分 布,, : : 分 散 期 待 値 の 分 布 の 分 布 : 成 功 確 率
平 均 値 ()/ の 分 布 : () ~ (,/) 確 率 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 または 5 5 5 5 確 率 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0 0 0 または 0 0.0 0. 0.4 0. 0.8.0 0.0 0. 0.4 0. 0.8.0 平 均 値 平 均 値 確 率 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0 0 0 または 0 確 率 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 30 30 30 または 30 正 規 分 布 に 近 づいていく 0.0 0. 0.4 0. 0.8.0 0.0 0. 0.4 0. 0.8.0 平 均 値 平 均 値 5
平 均 値 ()/ の 分 布 ~, のときの の 期 待 値 と 分 散 は 成 功 回 数, は 試 行 回 数 なので 期 待 値 分 散 (-)/ 5 0.7 0.0778 0 0.7 0.0389 0 0.7 0.0094 30 0.7 0.0043 0.7 0.0078 00 0.7 0.0039 00 0.7 0.0009 000 0.7 0.0004 は 成 功 比 率 を 表 している 平 均 値 をとるときの 数 を き くしていくと, 分 散 が さくな る(より 平 均 の 近 くに 分 布 する ようになる) 正 規 分 布 に 近 づく ~,
例 4,0.5, 0.5, 0. 5 ~, の 分 布 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.005, の 分 布 ~,0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0. 005 7
練 習 問 題 (),0. にしたがう 互 いに 独 立 な 個 の 確 率 変 数 の 期 待 値 と 分 散 を 求 め なさい,, について ~, 0. について の 期 待 値 と 分 散 を 求 めなさい 8
例 5. (, /) ~, は の 分 布, 5 で 近 似 0.0035 0.0483, 5 確 率 0.00 0.04 0.08 0. Pr 0. 4 8 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.0 0. 0. 0.3 0.4 実 現 値 は 正 規 分 布 で 近 似 する ことができる 9
正 規 分 布 近 似 の 正 確 さ 5 ~, は, Pr 0. 0. 以 上 である 確 率 で 近 似 項 分 布 [] 正 規 分 布 [] 誤 差 []-[] 30 0.349 0.303-0.088 0.0370 0.3544-0.0 00 0.58878 0.85547-0.0337 00 0.089448 0.095-0.035 0 0.044 0.07-0.00 000 0.004875 0.003389 0.000 000 0.00004 0.000037 0.0000 4000 0.000000049 0.0000000077 0.0000 0
例 国 内 で 登 録 されている 両 (83 万 台 )のうち,およそ37%が 軽 動 であるとい う 分 の 運 転 する が に000 台 の とすれ 違 うとき,その が 軽 動 で ある 割 合 はどのような 正 規 分 布 にしたがうと 考 えられるか? 000, 0.37と 考 えて ~ 0.37 0.3 000 000, 0.37より ~ 0.37, 分 散 0.00033 標 準 偏 差 0.057 標 準 偏 差 0.0305353 0.37 0.03の 範 囲 ( 平 均 標 準 偏 差 ) 0.33 0.40 0.30 0.3 0.34 0.3 0.38 0.40 0.4 0.44 /
練 習 問 題 (3) HK 朝 の 連 続 テレビ 説 の 過 去 5 年 間 の 平 均 的 な 視 聴 率 は0%ぐらいである ある 調 査 会 社 が0 世 帯 を 対 象 にこの 番 組 を ているかどうかを 調 べるとき, 次 の 新 番 組 の 視 聴 率 はどのような 正 規 分 布 にしたがうと 予 想 できるか? また, 平 均 ± 標 準 偏 差 の 範 囲 は?
標 本 平 均 の 分 布 と 正 規 分 布 標 本 平 均 の 例,798 万 円 : 世 帯 当 たり 貯 蓄 現 在 総 務 省 家 計 調 査 04 年, 約 8,000 世 帯 の 平 均 値 70.4 時 間 : 製 造 業 労 働 者 の 間 労 働 時 間 ( 平 均 値 ) 厚 労 働 省 毎 勤 労 統 計 調 査 04 年 3, 約,000 事 業 所 の 平 均 値.%:HKドラマ あさが 来 た 視 聴 率 HK 全 国 個 視 聴 率 調 査 05 年,,40 の 平 均 値,9 円 : 学 ( 下 宿 )の 額 費 本 学 援 機 構 学 活 調 査 0 年, 約 40,000 の 平 均 値 3
母 集 団 と 標 本 観 測 データから 計 算 できる 標 本 平 均 はたった つ しかしながら, 標 本 は 集 団 から 抽 出 する 度 に, 中 ( 観 測 データの 内 容 )が 異 なってくる すなわち, 標 本 平 均 も いろい ろな 値 をとる 可 能 性 をもっていると 考 えることができる このことをもって 標 本 平 均 は 分 布 する と 表 現 する では,どんな 分 布 か? 中 極 限 定 理 により, 平 均 が 集 団 の 平 均, 分 散 が 集 団 の 分 散 を で 割 った 値 の 正 規 分 布 にしたがう ( 合 計 値 を 割 る 値 = 観 測 データの 数 )が きくなると, 標 本 平 均 の 分 散 はどんどん さくなる 重 要 標 本 平 均 ~, 4
標 本 抽 出 (4 月 9 日 の 演 習 問 題 #) 集 団 平 均 : 358.0 分 散 : 3997.3 標 本 演 習 問 題 #の 提 出 者 は 39 復 元 抽 出 ある が 抽 出 した 標 本 s x 389.0 49.0 = 4 の 標 本 平 均 が 39 セット 計 算 できた (サンプルサイズ 4,サンプル 数 39) 5
= 4 の 標 本 平 均 の 分 布 提 出 者 番 号 3 4 400 5 343 3 338.5 3 4 3 33 373.0 39 30 333 7 484 349.8 平 均 33.0 35.0 3. 3.7 359.8 分 散 440. 47.7 4454. 457.4 73.9 39 個 の 39個 の の 平 均 39個 の の 分 散 確 率 0.000 0.005 0.00 0.05 - 標 本 平 均 ( = 4) - 集 団 = 4 の 標 本 平 均 の 平 均 は 集 団 の 平 均 に 近 い 値 をとり,か つ 分 散 が 集 団 の 分 散 よりも さくなっている 00 300 400 0 0 年 収
= 4, 8, の 標 本 平 均 の 分 布 0.000 0.00 0.00 0.030 の39個 の 分 布 8 の39個 の 分 布 4 の39個 の 分 布 母 集 団 分 布 00 00 300 400 0 0 700 標 本 平 均 を 計 算 するときのサンプルサイズを 増 やしていくと, 標 本 平 均 の 平 均 は 平 均 に 致 し, 分 散 はより さくなり, 左 右 対 称 な 正 規 分 布 に 近 づく (39 個 という 数 は, 多 いに 越 したことはないが 本 質 的 には 意 味 はない) 7
標 本 平 均 の 分 布 の 特 徴 サンプルサイズ を 増 やしていくときの 標 本 平 均 の 分 布 の 特 徴 中 極 限 定 理 の 考 え を 応 サンプルサイズ が 分 に きいとき, 標 本 平 均 の 分 布 は 正 規 分 布 に 近 似 することができる 与 えられたデータセットを 利 して 計 算 できる 標 本 平 均 は つしかないが,その 標 本 平 均 は 上 記 の 正 規 分 布 から 偶 然 発 した 実 現 値 の つと なすことができる 集 団 の 情 報 平 均 : 358.0 分 散 : 3997.3 標 本 平 均 の 平 均 標 本 平 均 の 分 散 4 359.8 73.9 5 35.0 95. 354.8 590.3 7 357.7 54.0 8 358. 439. 9 355.0 379.8 0 35.4 348.0 357. 37.9 358. 84.8 8
応 用 例 例. ある 国 の 成 男 性 の は 平 均 70 cm, 標 準 偏 差 cmの 集 団 分 布 にしたがうという ランダムに30 の 成 を 選 び 平 均 を 測 るとき, その 平 均 はどのような 分 布 に 近 似 できるか 成 人 男 性 の 身 長 30人 の 平 均 身 長 ~ 平 均 70, 分 散 ~ 70, 30 の 母 集 団 分 布 例. 正 確 なコインを 投 げて, 表 が 出 たら 点, 裏 が 出 たら + 点 とな るゲームを 考 える 00 回 コインを 投 げたときの 平 均 得 点 はどのような 分 布 に 近 似 できるか コイン 投 げの 得 点 ~ 平 均 00回 投 げたときの 平 均 得 点 0.5, 分 散.5 ~ 0.5, 00.5の 母 集 団 分 布 9
練 習 問 題 (4) [] ある 地 域 の 中 学 の 睡 眠 時 間 は 平 均 7.5 時 間, 標 準 偏 差. 時 間 であると いう この 地 域 の 中 学 をランダムに 選 び, 睡 眠 時 間 を 調 べるとき, その 平 均 睡 眠 時 間 はどのような 分 布 で 近 似 できるか [] 現 内 閣 の 持 率 は%であるという 0の 有 権 者 を 対 象 に 現 内 閣 を 持 するか 否 かを 調 査 するとき, 持 率 はどのような 分 布 で 近 似 できるか 30
まとめ 試 回 数 の 項 分 布 は, 試 回 数 回 の 項 分 布 の 個 の 和 の 分 布 に 等 しい 試 回 数 の 項 分 布 に 従 う 確 率 変 数 を 試 回 数 で 割 った 成 功 率 / の 分 布 は, 試 回 数 回 の 項 分 布 の 個 の 平 均 値 の 分 布 に 等 しい 中 極 限 定 理 から, 成 功 率 / は 正 規 分 布 (, (-)/) で 近 似 できる 平 均, 分 散 の 集 団 分 布 から 分 に きいサンプルサイズ を 抽 出 するとき,その 標 本 平 均 は 平 均, 分 散 / の 正 規 分 布 に 近 似 で きる サンプルサイズ が きくなると, 標 本 平 均 の 分 散 はどんどん さくなる (より 精 度 の い 平 均 の 予 測 値 になる) 与 えられたデータセットを 利 して 計 算 できる 標 本 平 均 は つしかないが, その 標 本 平 均 は 上 記 の 正 規 分 布 から 偶 然 発 した 実 現 値 の つと なすこ とができる 3