YouTube の 映 像 を 使 ったブランコ 運 動 の 解 析 1 YouTube の 映 像 を 使 ったブランコ 運 動 の 解 析 ~ Python による 非 線 形 大 振 幅 運 動 シミュレーション 山 本 郁 夫 横 浜 国 立 大 学 教 育 人 間 科 学 部 Large Amplitude Pumping of a Swing Ikuo YAMAMOTO 論 文 要 旨 系 の 非 線 形 性 を 考 慮 した 数 値 シミュレーションにより,ブランコの 大 振 幅 励 起 運 動 を 調 べた 実 際 の 運 動 と 比 較 するために,YouTube の 映 像 を 用 いた 視 覚 化 支 援 ライブラリモジュールである VPython を 組 み 込 んだ Python を 使 って 数 値 解 析 を 行 うことによって, 漕 ぎ 手 の 運 動 とブランコの 振 幅 の 変 化 との 関 係 を 視 覚 的 に 理 解 することができた 1.はじめに YouTube では,あらゆる 種 類 のビデオ 映 像 を 見 ることができる それらの 中 には, 非 常 に 面 白 い 科 学 的 な 映 像 もかなり 存 在 している 米 国 物 理 教 育 学 会 誌 では,9 年 から 数 年 間, 興 味 有 る 映 像 を 提 供 しているウェブサイトを 紹 介 する YouTube Physics というコラムを 設 けたほどである 1) ) ビデオ 映 像 の 物 理 教 育 的 な 利 用 の 仕 方 として, 力 学 運 動 の 解 析 がある これは,インターネッ ト 環 境 とコンピューターさえあれば 可 能 である 映 像 素 材 としては, 演 習 として 学 生 が 自 宅 で 解 析 できるようなものから, 高 度 な 解 析 方 法 を 必 要 とするようなものまで 様 々である また,ビデ オ 素 材 の 中 には, extreme catapult 3) や Massive 36 degree swing! 4) のような 過 激 な 挑 戦 を 撮 した 映 像 もある 前 者 の 人 間 カタパルト は, 明 らかに 細 工 を 施 した 虚 偽 映 像 である が, 後 者 の 36 度 回 転 するブランコの 運 動 は 驚 異 的 な 映 像 である これらの 映 像 の 真 偽 を, 力 学 の 法 則 を 使 って 明 らかにすることは, 力 学 の 演 習 問 題 を 解 く 以 上 の 教 育 的 効 果 を 持 っていると 考 えられる 本 論 文 では,ブランコに 乗 った 人 が 支 点 の 周 りに1 回 転 する YouTube の 映 像, Massive 36 degree swing! を 使 い, 有 限 な 振 れ 幅 のブランコの 運 動 を 調 べた 5) 6) ブランコの 運 動 を 扱 った 教 科 書 や 多 くの 文 献 などでは, 教 育 的 な 目 的,あるいは, 励 起 機 構 の 本 質 的 な 面 に 焦 点 をあてるという 観 点 から,ほとんどの 場 合, 振 れ 幅 が 小 さいと 仮 定 して 運 動 方 程 式 は 線 形 化 される 一 方, 単 振 り 子 やブランコの 周 期 は 振 幅 に 依 存 して 変 化 するので,ブラ ンコが 支 点 の 周 りに1 回 転 するまで 励 振 するような 極 端 な 場 合 については,より 複 雑 な 取 り 扱 い が 必 要 となり,あまり 報 告 がない -1-
山 本 郁 夫 本 研 究 では, 系 の 非 線 形 性 を 考 慮 した 数 値 シミュレーションにより,ブランコの 励 起 運 動 を 調 べ, Massive 36 degree swing! に 見 られるような 運 動 の 可 能 性 を 検 証 した また,ブランコ の 運 動 を 表 すアニメーションを, 視 覚 化 支 援 ライブラリモジュールである VPython を 組 み 込 んだ Python を 使 って 作 成 し, 漕 ぎ 手 が 行 う 励 起 運 動 のタイミングと 励 振 の 様 子 を 理 解 する 助 けとした.ブランコの 励 起 運 動 ブランコの 運 動 は 基 本 的 には 単 振 り 子 の 強 制 振 動 である このような 単 振 動 や 強 制 振 動 は, 力 学 分 野 だけでなく, 音 の 共 鳴, 電 気 回 路 における 共 振, 原 子 分 子 による 光 の 吸 収 などの 多 岐 に わたる 物 理 分 野 の 基 本 的 な 現 象 である しかしながら, 人 体 の 運 動 を 介 して 行 われるブランコの 励 振 運 動 は, 振 り 子 や 電 気 回 路 などにおいて 見 られるような, 周 期 的 な 外 力 により 引 き 起 こされ る 比 較 的 単 純 な 強 制 振 動 励 起 に 比 べるとやや 複 雑 である ブランコの 漕 ぎ 方 には, 立 ち 漕 ぎと 座 り 漕 ぎのつの 方 法 がある 前 者 ではひざの 屈 伸 運 動 に ともなう 上 下 方 向 の 重 心 の 移 動 により, 後 者 では 主 に 腰 付 近 を 支 点 とした 身 体 の 前 後 の 揺 さぶり 回 転 運 動 によりブランコの 振 れ 幅 を 増 大 させている このつの 励 起 方 法 のなかで, 特 に, 重 り を 吊 したひもの 長 さを 周 期 的 に 変 化 させた 振 り 子 と 等 価 であると 見 なせる 立 ち 漕 ぎによる 励 起 振 動 モデルは, 通 常 のブランコの 運 動 の 説 明 にしばしば 使 われる このような 重 心 位 置 やひもの 長 さなどの 系 を 特 徴 付 けるパラメーターが 周 期 的 に 変 化 することにより 振 動 が 増 大 する 現 象 は,パ 7) ラメーター 励 振 とよばれる パラメーター 励 振 では, 励 起 振 動 数 が 系 の 固 有 振 動 数 の 倍 に 一 致 するときに, 最 も 強 い 共 鳴 が 起 こり 系 の 振 幅 が 指 数 関 数 的 に 増 大 することがわかっている 有 限 の 振 れ 幅 の 振 動 運 動 では, 線 形 近 似 で 現 れるこれらの 振 動 数 を 一 定 値 として 扱 うことができな い そこで, 数 値 シミュレーション 的 な 取 り 扱 いが 必 要 となる ひざの 屈 伸 運 動 にともなう 上 下 方 向 の 重 心 の 移 動 によりブランコを 漕 ぐ 運 動 は,ひもの 長 さが 周 期 的 に 変 化 する 振 り 子 によってモデル 化 することができる 5) ブランコの 支 点 を 原 点 として 図 1のように 座 標 系 を 定 義 すると,ブランコに 対 するラグランジアンは O y l m x 図 1 座 標 系 の 定 義 --
YouTube の 映 像 を 使 ったブランコ 運 動 の 解 析 3 1 1 yxml )( mgx cos)( mgll m (1) ただし,m はおもりの 質 量,l はブランコのひもの 長 さ, はブランコのひもと 鉛 直 方 向 とのなす 角 を 表 す また, 運 動 方 程 式 は gll sin () となる さらに,ひもの 長 さが 正 弦 的 に 変 化 するとして, 最 も 効 率 良 くブランコを 漕 ぐような 位 相 を 考 慮 すると sin1 tlll (3) とおける 5) ただし,l 1 は 重 心 の 変 動 幅 振 幅 である このとき, 運 動 方 程 式 は 1( sin t ) cos t sin (4) ここで, g l, l l 1 である 7).1 線 形 近 似 解 この 様 な 力 学 系 を 解 析 する 場 合 に 良 く 使 われる (i) 線 形 近 似,θ 1,(ii)パラメトリック 励 起, ω = ω,(iii) 摂 動 的 励 起,ε 1,および, 解 として 振 動 解 )( sin tt a を 式 (4)において 仮 定 すると 1 sin cos atata 3( cost 5cos )3 を 得 る また, 速 い 変 化 を 含 む 項 cos3ω t を 一 周 期 にわたって 平 均 すると となることを 理 由 に 無 視 し,さらに a ~, a ~ であることが 結 果 的 に 成 立 することから,a(t)について 3 3 aa, すなわち, )( ata exp 4 が 得 られ, 摂 動 パラメトリック 励 起 に 対 して 線 形 近 似 解 3 )( at exp sin tt 4 (5) が 得 られる -3-
4 山 本 郁 夫. 数 値 解 有 限 の 大 きさの 振 幅 に 対 して,パラメトリック 励 起 (ω = ω )のみを 仮 定 して 式 (4)を 数 値 的 に 解 くことができる 図 に,ω =,ε =.1,a =.5(これは,ブランコの 支 点 - 重 心 間 距 離 (l ) が.45m, 重 心 の 変 動 幅 振 幅 (l 1)が.5m に 相 当 する 値 )に 対 して 計 算 した 結 果 を 示 した 図 ブランコの 振 れ 角 ( 線 形 近 似 と 数 値 解 の 比 較 ) この 図 から, 漕 ぎ 始 めてから 約 秒 くらいまでは,パラメトリック 励 振 に 特 徴 的 な 指 数 関 数 的 な 振 幅 増 大 を 示 しながら 両 者 は 良 く 一 致 することがわかる しかしながら,それを 過 ぎると, 線 形 近 似 解 では, 急 速 に 振 れ 角 が 増 大 するのに 対 して, 数 値 解 では 5 秒 過 ぎくらいから 減 速 し 始 め, 両 者 の 不 一 致 が 顕 著 になる これは, 周 期 が 振 れ 角 とともに 増 大 し, 励 起 運 動 がブランコの 振 動 と 同 期 しなくなるのが 原 因 である 一 方, 線 形 近 似 解 では,この 点 を 考 慮 していないので 振 動 運 動 の 振 幅 が 増 大 し 続 け,ブランコの 位 置 が 最 上 点 を 越 えても 途 中 から 反 転 するという 意 味 のない 解 になってしまう.3 改 良 した 数 値 解 析 モデル 上 に 見 たように, 大 振 幅 のブランコの 運 動 を 数 値 的 に 調 べるためには, 励 起 振 動 数 を 固 定 した 単 純 なパラメトリック 励 起 では 不 可 能 であることがわかった 本 節 では, 通 常, 人 がブランコを 漕 ぐのと 同 じように, 励 起 振 動 数 を 振 れ 角 の 変 化 とともに 変 化 させながらブランコを 漕 ぐ 運 動 を 調 べる. 節 の 計 算 との 相 違 点 は, 振 れ 角 が 各 周 期 の 最 大 振 幅 の 位 置 に 達 したときに, 続 く 半 周 期 ( 反 対 側 に 振 れた 最 大 振 幅 の 位 置 まで)は, 単 振 り 子 の 振 7) 幅 と 周 期 との 関 係 を 使 い,その 振 幅 に 対 応 した 周 期 で 漕 ぐようにすることである 図 3に,. 節 の 数 値 計 算 と 同 じ 条 件 を 用 いて Python により 求 めた 数 値 解 の 結 果 を 示 した ま た, 図 4には,Python に 組 み 込 んだ 描 像 機 能 VPython を 使 って 描 いた 重 心 の 運 動 の 軌 跡 を 示 した この 結 果 から, 励 起 運 動 ( 重 心 の 上 下 運 動 )がブランコの 振 動 とうまく 同 期 している 場 合, 振 れ -4-
YouTube の 映 像 を 使 ったブランコ 運 動 の 解 析 5 角 がおよそ 11 を 越 えるとその 後 の 一 漕 ぎでいっきに 最 上 点 に 達 することがわかる VPython を 使 うことにより, 漕 ぐ 人 の 動 きと 振 幅 の 変 化 との 同 期 関 係 を, 単 なる 数 値 計 算 によるものより 視 覚 的 に 理 解 することができる. 節 で 扱 った 線 形 近 似 モデルを 同 様 に VPython で 表 現 して 比 較 すると,その 違 いがより 一 層 鮮 明 になった 図 3 ブランコの 振 れ 角 ( 励 起 周 波 数 を 振 幅 に 応 じて 調 節 した 場 合 ) 図 4 重 心 の 軌 跡 3.ブランコ 運 動 のビデオ 解 析 つぎに, 実 際 の 大 振 幅 運 動 と 数 値 計 算 結 果 とを 比 較 するために,YouTube の Massive 36 degree swing! ( 図 5)を 使 って 実 際 のブランコの 大 振 幅 運 動 の 振 れ 角 の 時 間 変 化 を 求 めた -5-
6 山 本 郁 夫 図 6にビデオ 映 像 から 求 めたブランコ 下 端 板 部 分 の 軌 跡 を 示 した ビデオカメラのぶれ( 回 転 および 並 進 )は,ブランコの 支 柱 を 参 照 物 体 として 用 い 補 正 した 図 6の 軌 跡 の 原 点 はブランコ の 支 点 にあたる 軌 跡 が 真 円 からひずんでいるのは,ビデオカメラが 運 動 円 の 正 面 ではなく,や や 斜 め 下 方 に 位 置 していることによる 回 転 運 動 が 36 以 上 にわたることを 反 映 して, 軌 跡 が 最 上 部 にまでおよんでいる 図 7にはブランコの 振 れ 角 の 時 間 変 化 を 示 した 指 数 関 数 的 な 増 大 を 示 す 理 論 的 な 予 測 と 異 なり, 実 際 の 運 動 では 振 幅 はほぼ 線 形 に 増 加 している 様 子 がわかる 図 8 には, 振 動 の 周 期 を 周 期 毎 の 最 大 振 れ 角 に 対 してプロットした 図 中 の 実 線 は, 長 さが 6.m の 単 7) 振 り 子 の 理 論 的 な 周 期 を 示 している 実 験 値 は,この 理 論 曲 線 とよい 一 致 を 示 している 図 5 Massive 36 degree swing!より -6-
YouTube の 映 像 を 使 ったブランコ 運 動 の 解 析 7 図 6 運 動 の 軌 跡 図 7 振 れ 角 の 時 間 変 化 -7-
8 山 本 郁 夫 図 8 周 期 と 振 れ 角 4.まとめ 大 振 幅 ブランコ 運 動 のような 実 際 に 自 分 で 行 うことが 難 しい 運 動 であっても,YouTube のよう な 誰 でも 容 易 に 入 手 できる 映 像 をもとに,ビデオ 映 像 の 解 析 を 通 じて, 十 分 な 精 度 で 理 論 的 な 予 測 値 と 比 較 し, 論 ずることができた 実 際 にこのような 大 振 幅 非 線 形 運 動 を 解 析 した 結 果, 通 常, ブランコの 立 ち 漕 ぎで 予 測 されている 指 数 関 数 的 な 振 幅 の 増 大 は, 解 析 した 範 囲 内 では 見 られな かった これは, 主 として, 空 気 抵 抗 が 原 因 であると 考 えられる ひざの 屈 伸 運 動 により 系 に 注 入 される 励 起 エネルギーのかなりの 部 分 が, 空 気 抵 抗 によって 散 逸 してしまう 振 幅 が 大 きくな るほど, 最 下 点 を 通 過 するときの 速 度 が 大 きくなり,その 影 響 が 大 きくなったと 考 えられる 結 果 として, 最 大 振 幅 は 時 間 にほぼ 比 例 するような 依 存 性 を 示 した それと 対 照 的 に, 振 動 周 期 と 最 大 振 幅 との 関 係 は,ほぼ 理 論 的 な 予 測 とほぼ 同 様 な 振 る 舞 いを 示 した また VPython を 使 って 運 動 を 解 析 することによって, 漕 ぐ 人 の 動 きと 振 幅 の 変 化 との 同 期 関 係 を, 単 なる 数 値 計 算 プログラムによるものより 視 覚 的 に 理 解 することができた 参 考 文 献 1)D. Riendeau: YouTube Physics, Phys. Teach. 47 (9) 317. )M. J. Ruiz: Kinematic Measurements from YouTube Videos, Phys. Teach. 47 (9). 3)Extreme Catapult, http://www.youtube.com/watch?v=6k4z3psgvwm 4)Massive 36 degree swing!, http://www.youtube.com/watch?v=kp7ibuwdezg 5) 戸 田 盛 和 : 一 般 力 学 3 講 ( 朝 倉 書 店,1994 年 ); 戸 田 盛 和 : いまさら 一 般 力 学?( 丸 善, 1996 年 ) 6)W. B. Case: The pumping of a swing from the standing position, Am. J. Phys. 64 (1996) 15. 7) 戸 田 盛 和, 渡 辺 慎 介 : 非 線 形 力 学 ( 共 立 出 版,1984 年 ) -8-