24 6 I., X, x X. Radom Samplig with Replacemet ( ) 1,.,, 1 X 1, 2 X 2,..., X., X 1, X 2,..., X ( ).,.,,. Estimate of Populatio Parameters ( ),..,,.. 6

23 第 6 章 母数の推定 I 二項母集団の母比率 6.1 Audiece Ratig Survey (視聴率調査) テレビ局では視聴率の獲得にしのぎを削っているようである. 果たして, コンマ以下の数字に 意味はあるのだろうか? 2016 年 4 月 25 日 (月) 5 月 1 日 (日) ドラマ (関東地区) 視聴率ベスト 10 番組名 放送局 連続テレビ小説 とと姉ちゃん 真田丸 日曜劇場 ９９ ９ 刑事専門弁護士 世界一難しい恋 警視庁捜査一課９係 土曜ワイド劇場 再捜査刑事 片岡悠介 横山秀夫サスペンス 刑事の勲章 トットてれび グッドパートナー無敵の弁護士 ラヴソング 連続テレビ小説 とと姉ちゃん 他 ＮＨＫ総合 ＮＨＫ総合 ＴＢＳ 日本テレビ テレビ朝日 テレビ朝日 ＴＢＳ ＮＨＫ総合 テレビ朝日 フジテレビ ＮＨＫ総合 放送日 放送開始時刻 分数 16/04/27(水) 8:00-15 16/05/01(日) 20:00-45 16/05/01(日) 21:00-54 16/04/27(水) 22:00-60 16/04/27(水) 21:00-54 16/04/30(土) 21:00-126 16/04/25(月) 21:00-114 16/04/30(土) 20:15-30 16/04/28(木) 21:00-54 16/04/25(月) 21:00-54 16/04/29(金) 12:45-15 視聴率 (%) 24.6 17.0 16.2 13.1 12.0 11.4 10.4 10.1 9.9 9.4 9.4 ビデオリサーチ社による番組平均世帯視聴率 日本の放送エリアは全部で 32 ありますが, それぞれの放送エリアごとに視聴率調査が行な われています. ビデオリサーチでは, 関東地区をはじめ全国 27 地区の調査エリアで, PM シ ステムによる調査とオンラインメータシステムによる調査を実施しています. 日本全国を ひとつの調査エリアとした視聴率調査は実施していません また, 調査対象世帯数は, PM システムによる調査の関東地区 関西地区 名古屋地区で 600 世帯, それ以外のオンライン メータシステムによる調査地区は 200 世帯です. (ビデオリサーチ社のウェッブページから. 2016.5 現在) 参考: 藤平芳紀 視聴率の正しい使い方 (朝日新書) 6.2 Samplig (標本抽出) 調査対象の集団 (母集団) に対して, 全数調査が不可能である場合に, その一部分 (標本) を調 査して全体の性質を推定することが重要である. 標本を 1 個取り出せば, 観測値 x が 1 個得られる. 観測値は取り出された標本ごとに違った数 値となるが, 母集団をよくかき混ぜて無作為に標本を選ぶのなら, 観測値 x の現れ方に母集団

24 6 I., X, x X. Radom Samplig with Replacemet ( ) 1,.,, 1 X 1, 2 X 2,..., X., X 1, X 2,..., X ( ).,.,,. Estimate of Populatio Parameters ( ),..,,.. 6.3 Estimate of Biomial Parameter E 2, E p.. E 1, 0. X 1, X 2,..., X. k, { 1, k E, X k = 0, k E,, P (X k = 1) = p, P (X k = 0) = 1 p., X 1, X 2,..., X., f(x 1, X 2,..., X ) (poit estimatio).,. : ˆp = 1 (i) E[ˆp] = p ( ) (ii) P lim ˆp = p = 1 [ ] X k

6.4. Distributio of ˆp 25, ˆp ( ) (!)., ˆp p., ˆp,. (iterval estimatio). 6.4 Distributio of ˆp (1) X k B(, p). (2), B(, p) N(p, p(1 p)). p 5, (1 p) 5. (3), ( ) p(1 p) ˆp N p, ˆp p p(1 p)/ N(0, 1) (4), 2 ( ), ˆp p ˆp(1 ˆp)/ N(0, 1). 6.5 Iterval Estimatio of Biomial Parameter α = α/2 α, Z N(0, 1) ( ) P ( z Z z) = 1 α z N(0, 1) α. z 1.00 1.64 1.96 2.00 2.58 3.00 3.29 α 0.317 0.100 0.050 0.045 0.010 0.003 0.001 1 α 0.683 0.900 0.950 0.955 0.990 0.997 0.999 N(0,1) 1 α α/2 α/2 -z 0 z

26 6 I p 1 α [ ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp z, ˆp + z ˆp ± z. 90% (α = 0.1, z = 1.64) 95% (α = 0.05, z = 1.96) 99% (α = 0.01, z = 2.58). α 1 0 (1 α) 0% 100% 0 ( ) ( ) ( ), x 1..., x (, x k = 0 = 1). ˆp,.,.., 1 α, α.,. 6.1 ( ) 600 14.1%. 95%, 0.141(1 0.141) 0.141 ± 1.96 0.141 ± 0.0278 600 6.2, 95% 0.01,? [38416] HW 23 1062, 51% (NHK 2015 5 8 10 ). 90%. [0.51 ± 0.024] HW 24, 90% 0.01,? [26896] 8 100, 12.. [ ] 90%, 0.12(1 0.12) 0.12 ± 1.64 0.12 ± 0.053 100 9,,.

27 7 II 7.1 Poit Estimatio, X 1, X 2,..., X X = 1 X k ( ) 2. 7.1 ( ) E[ X] = m.,. 7.2 ( ) X, ( ) P X = m = 1. lim 7.3 (Strog law of large umbers ( )) X 1, X 2,..., m., ( P lim 1 ) X k = m = 1 7.4 ( ), 1, 0., x 1, x 2,... t = 1 x k. t,.

28 7 II 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 200 400 600 800 1000 2000 4000 6000 8000 10000 0.3 7.2 Cetral Limit Theorem ( ) 7.5 ( ) X 1, X 2,..., m = 0, σ 2 = 1., ( ) lim P 1 X k x = 1 x e t2 /2 dt. 2π,, 1 X k N(0, 1). 7.6 ( ) m, σ 2 X 1, X 2,..., X, X., : ) X N (m, σ2 X m σ/ N(0, 1), X k m σ 1 X k m σ N(0, 1),,., 1 X k m σ = 1 σ (X k m) = 1 σ ( X m ) = X m σ/, X m σ/ N(0, 1) X N ) (m, σ2.

7.3. ( ) 29 7.3 ( ) m ( ), σ 2 ( ), X 1, X 2,..., X. m 1 α, X ± z σ z N(0, 1) α (= α/2 ), N(0, 1) α, Z N(0, 1) P ( z Z z) = 1 α z. z 1.00 1.64 1.96 2.00 2.58 3.00 3.29 α 0.317 0.100 0.050 0.045 0.010 0.003 0.001 1 α 0.683 0.900 0.950 0.955 0.990 0.997 0.999 N(0,1) 1 α α/2 α/2 -z 0 z HW 25, 200, 2.2 g., 1.5 g., g?. [95% 2.2 ± 0.208] 7.4 ( ) m ( ), σ 2 ( ), X 1, X 2,..., X. U 2 = 1 1 (X i X) 2, S 2 = 1 i=1 (X i X) 2,. (,, ) 7.7 U 2 : E(U 2 ) = σ 2. i=1

30 7 II,.,, S 2 U 2. 7.8 N(m, σ 2 ) X 1,..., X, T = X m U/ t 1 ( 1) t-,. t- 1 B ( 2, 1 2) ( ) +1 1 + t2 2 = Γ( +1 2 ) Γ( 2 )Γ( 1 2 ) ( ) +1 1 + t2 2 (1) Γ. Γ(x) = 0 t x 1 e t dt, x > 0. (2) B. B(x, y) = 1 (3) N(0, 1),. 0 t x 1 (1 t) y 1 dt = Γ(x)Γ(y), x > 0, y > 0. Γ(x + y) (4) = t- N(0, 1). (5), 30 N(0, 1). m 1 α, X ± t U t t 1 α

7.4. ( ) 31 7.9 8,. 90%. 32.5 31.8 33.0 32.4 32.2 31.3 32.9 32.1 [ x = 32.275, u 2 = 0.3135 = 0.56 2, t 7 = 1.895 32.275 ± 0.375] 10,. 95%. 23 42 33 29 34 41 30 36 34 28 [33 ± 4.17] 11 1. 40 156g., 8g. 1. [95% 156 ± 2.48] 12 11, 95% 1g? [984] 13 ( ) m, σ, ( ) = 50 + 10 x m σ,., 20 80,.

32 7 II t P ( T t (α)) = α \α 0.100 0.050 0.020 0.010 1 6.314 12.706 31.821 63.657 2 2.920 4.303 6.965 9.925 3 2.353 3.182 4.541 5.841 4 2.132 2.776 3.747 4.604 5 2.015 2.571 3.365 4.032 6 1.943 2.447 3.143 3.707 7 1.895 2.365 2.998 3.499 8 1.860 2.306 2.896 3.355 9 1.833 2.262 2.821 3.250 10 1.812 2.228 2.764 3.169 11 1.796 2.201 2.718 3.106 12 1.782 2.179 2.681 3.055 13 1.771 2.160 2.650 3.012 14 1.761 2.145 2.624 2.977 15 1.753 2.131 2.602 2.947 16 1.746 2.120 2.583 2.921 17 1.740 2.110 2.567 2.898 18 1.734 2.101 2.552 2.878 19 1.729 2.093 2.539 2.861 20 1.725 2.086 2.528 2.845 21 1.721 2.080 2.518 2.831 22 1.717 2.074 2.508 2.819 23 1.714 2.069 2.500 2.807 24 1.711 2.064 2.492 2.797 25 1.708 2.060 2.485 2.787 26 1.706 2.056 2.479 2.779 27 1.703 2.052 2.473 2.771 28 1.701 2.048 2.467 2.763 29 1.699 2.045 2.462 2.756 30 1.697 2.042 2.457 2.750 1.645 1.960 2.326 2.576 α 0 t ( α)

33 8 Testig Hypotheses 8.1 Sir Roald Aylmer Fisher (1890 1962) 1. (ull hypothesis) H 0 (alterative hypothesis) H 1. 2. T ( ), H 0,. 3. (sigificace level) 0 < α < 1 (critical regio)., H 0., 10%, 5%, 1%., T, T α (P (T W ) = α). ( H 1. ),. 4. T t, W (t W ). t W. T, H 0. α, H 0 (reject), H 1 (accept). t W. T, α, H 0 (, ). 8.1 400, 223.? 1. p. H 0 : p = 1 2 H 1 : p 1 2 2. 400 X. H 0, X B(400, 1/2) N(200, 10 2 )., Z = X 200 N(0, 1) 10.

34 8 Testig Hypotheses 3. α = 0.05., 5% ( ). 5% (= 2.5% ) 1.96, W : z 1.96 4. x = 223 Z z = 223 200 10 = 2.3., H 0., 5% H 0.,. 5. 1%, 1% 2.58, z = 2.3. 1% H 0. α α α W W W W N(0, 1) α α 0.317 0.100 0.050 0.045 0.010 0.003 0.001 z 1.00 1.64 1.96 2.00 2.58 3.00 3.29 1 α 0.683 0.900 0.950 0.955 0.990 0.997 0.999 8.2 ( ) m, σ 2, X = 1 ) X k N (m, σ2 X m σ/ N(0, 1),, (. N(m, σ 2 ) ).

8.3. 2 (Two Types of Error) 35 8.2 ( ) 25 mm.,.,, 0.8 mm. 16 25.45 mm.? [ 5% H 0 : m = 25 ( 2.25 1.96)] 8.3 ( ). 120,., 16 121.2., 2.4.. [ m. H 0 : m = 120 H 1 : m > 120] HW 26 ( ), 100 62.. HW 27 ( ), m = 60 (g).,, m 50 70, σ = 3 ( )., 25,, 61.43. m = 60? 8.3 2 (Two Types of Error) H 0, 4. \ H 0 H 0 H 0 2 H 0 1 α: 1 (Type I error) = β: 2 (Type II error) 1 = = 2 = = 8.4 400, 215.? 2., α β.

36 8 Testig Hypotheses θ θ β α c c, H 0,. H 0, ( 2 β). H 0. 1. 7 20 ( )1 3, 7 22 ( )2. 2... 3. 1,. 4. ( ),. 5.,.,.

37 9 William Sealy Gosset (1876 1937) 9.1 ( ) m, σ 2, X = 1 ) X k N (m, σ2, ( ). X m σ/ N(0, 1) 9.2 ( ) N(m, σ 2 ) X 1,..., X, U 2 = 1 (X i 1 X) 2,. X, i=1 T = X m U/ t 1 ( 1) t- 9.1 500(g) 9 494, 8 2.,? [ α = 0.05, t = 2.25 > 2.306 H 0., N(0, 1), 2.25 < 1.96 H 0.] 9.2 ( ),. 50kg, 50kg. 12 (kg), x = 48.6, u 2 = 1.6 2.. [ 5% H 0 : m = 50 ( 3.03 1.796)]

38 9 HW 28 10 (kg), 53.2 61.5 48.1 51.3 55.7 47.2 54.5 57.9 53.8 49.2. 50kg, HW 29 66. A 10. 78 72 65 86 58 64 76 88 74 59, 72 66 A. A. [ 5% ] 9.3 P (P-value), α H 0.,, H 0. t, H 0, P = t, t P.,,. HW 30 A. 80 32.. P. HW 31 ( ) 250.,, 2.25. 25 248.8.? P. 9.4 9.3 2 N(m 1, σ1), 2 N(m 2, σ2) 2 1, 2 X 1, X2, ( ) X 1 X 2 N m 1 m 2, σ2 1 + σ2 2. 1 2

9.5. ( ) 39 9.4 ( ). A 5 1264.6. B 8 1263.9. A 0.7, B 0.6. 2. 2. [H 0 : m 1 = m 2, H 1 : m 1 m 2. z = 1.85. 5% H 0.] HW 32 A 36, B 40, A x A = 64.5, B x B = 61.2. A B., 11 2. 9.5 2 N(m 1, σ 2 ), N(m 2, σ 2 ) 1, 2 X 1, X2, U 2 1, U 2 2. U 2 = ( 1 1)U 2 1 + ( 2 1)U 2 2 1 + 2 2, T = X 1 X 2 ( 1 + 1 ) U 1 2 2 1 + 2 2 t. 9.6 ( ) 2 A, B. A 6, B 8. A : 6.2 6.0 5.9 6.2 6.1 5.8 B : 6.0 5.8 5.7 6.2 6.4 5.9 5.8 6.3. A,B. [ x A = 6.0333, u 2 A = 0.16332, x B = 6.0125, u 2 B = 0.22072, u 2 = 0.1987 2, t = 0.1937., t 12-2.5% 2.179. 5%.] 9.5 ( ) 14, 45, 55.?. 15 4000. 100, 38, 62. [ 5% ]

40 9 16 44.5, 23.5 ( 22 10 ). 25 32.?. 2500 2000 1500 1000 500 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 17 1000 200 157.7 cm. 158.6 cm, 4.63 cm. [ 1% ] 18, 100g 2g., 2g. 200, 2.2g.,, 1.5g.. [ 5% ] 19 8%., 175, 25..