1 1.1 sin 2π [rad] 3 ft 3 sin 2t π 4 3.1 2 1.1: sin θ 2.2 sin θ ft t t [sec] t sin 2t π 4 [rad] sin 3.1 3 sin θ θ t θ 2t π 4 3.2 3.1 3.4 3.4: 2.2: sin θ θ θ [rad] 2.3 0 [rad] 4 sin θ sin 2t π 4 sin 1 1 4.5 4.5: 1 3 3 4.6 2.3: 1
4.6: 3 sin 5 sin θ θ t θ 2t θ 4t 5.7 5.8: sin ωt ω sin θ θ ωt sin ωt 1 ω ω [rad/sec] 1 [sec] ω[rad] [rad/sec] 5.3 ω [rad/sec] 5.7: 2t 4t sin 2t sin 4t sin 2t 1 2[rad] sin 4t 1 4[rad] sin 4t 2 sin ωt ω ω 5.9: ω ω ω 5.8 ω 2
6 6.1 6.10: 6.10 1 6.11 1 T 6.12: ω [rad/sec] T [sec] 6.13 2π T 1 T 2π 6.5 6.11: ft T ft + T ft 6.4 ft T 6.4 T T 2T, 3T T T 2T T 2T, 3T, T, 2T, 3T, 6.2 ω ω T 6.12 ω T ω T 6.13: 1 ω[rad/sec] 5.3 1 ω [rad] 6.6 T ωt [rad] 6.7 6.5 6.7 ω [rad/sec] T [sec] 7 7.1 1 ωt 2π 6.8 1 1 3
7.14 [Hz] f 7.10 7.11 ω[rad/sec] f[hz] ω 2πf 7.12 8 ω, T, f 3 7.14: T 0.5[sec] 1 2 f 2[Hz] 7.15 ωt 2π 8.13 f 1 T 8.14 ω 2πf 8.15 3 1 2 ω, T, f 3 1 2 9 7.15: 2 Hz T 2 [sec] 1 0.5 f 0.5 [Hz] 7.2 T f T [sec] f[hz] f 1 T 7.9 9.1 ω 2 sin ωt sin ωt π 2 9.16 9.16: sin ωt sin ωt π 2 9.17 7.3 ω[rad/sec] f[hz] ω [rad/sec] 5.9 1 ω [rad] 7.10 f[hz] 1 f 1 1 2π [rad] 6.13 1 f 1 2πf [rad] 7.11 4
9.18: 9.19 sin ωt sin ωt π 2 π 2 9.19: 9.17: 2 2 9.17 sin ωt π 2 sin ωt π 2 2.3 π 2 sin ωt sin ωt π 2 π 2 π 2 sin ωt π 2 sinωt + ϕ 9.16 ϕ [rad] sin ωt sin ωt 9.2 9.18 sin ωt sin ωt π 2 π 2 2 sin 2 9.17 ϕ ϕ l ϕ l ϕ 9.17 9.3 9.18 2 π 2 9.19 π 2 ϕ l 9.20 5
1 [rad] 9.20 9.20 2π[rad] 1 T[sec] 10.22 ϕ l ϕ 10.22: 10.21 10.23 9.20: ϕ l π 2 ϕ l 2π 1 ω 2 2 10 10.1 10.21 10.23: T, l ϕ l [rad] 10.23 ϕ l : l 2π : T 10.18 10.21 ϕ l : 1 2π : 6 10.19 ϕ l π 3 10.20 10.21: 2 10.21 ϕ l 10.21 f 1 t f 2 t π 3 [rad]f 1t f 2 t π 3 [rad] 6
9.20 ω 11 10.24: 10.24 10.18 T [sec] 2 l [sec] ϕ l [rad] ϕ l 2π T l [rad] 10.21 6.8 2π T ω ω [rad/sec] 2 l [sec] ϕ l [rad] ϕ l ωl [rad] 10.22 11.25: ω [rad/sec] 2 ϕ l l ϕ l ω [sec] 10.23 [sec] ϕ l 10.2 10.21 f 1 t f 2 t π 3 [rad] [rad] 0.5 0.5 0.5 7
12 12.1 12.1 12.2 t 12.1 12.5 t 12.1: 12.2 12.2: 12.3 12.5: t ut yt t 13 12.3: 2 12.4 13.1 y t + 4yt 10 sin 2t 13.1 y t yt t t 13.1 t 0 y 3 y0 3 y t + 4yt 10 sin 2t, y0 3 13.2 12.4: 13.2 yt yt 8
13.2 y t + 4yt 10 sin 2t, y0 3 13.3 ut ut 10 sin 2t 13.6 13.9 yt 13.6 13.9: yt 13.10 13.6: ut yt 13.7 y t + 4yt ut 13.4 13.7: 13.4 y t 4yt + ut 13.5 y t yt 13.5 y t t yt ut 13.8 13.10: yt y0 y0 3 yt 13.11 13.8: yt 13.11: 13.11 13.3 y t + 4yt 10 sin 2t, y0 3 13.7 yt 9
y t + 4yt ut ut 10 sin 2t y0 3 t yt 14 y0 ut yt ut y0 t yt 14.12 λ 4 yt Ce 4t 15.10 C y0 3 15.10 y0 Ce 4 0 3 15.11 15.10 C 3 15.12 yt 3e 4t 15.13 15.8 y t + ayt 0 a 15.14 yt ayt 15.15 14.12: t yt yt yt yt e t t 15.14 yt e λt λ 15.16 y t λe λt λ 15.14 λ 15.16 15.14 λe λt + ae λt 0 15.17 15 1 0 15.1 0 e λt λ + a 0 15.18 15.9 λ a 15.19 y t + 4yt 0, y0 3 15.8 λ + 4 0 15.9 λ 15.16 yt e at 15.20 15.14 λ 15.18 λ a 10
15.14 yt C yt Ce at 15.21 15.14 15.14 y t + ayt ace at + ace at 0 15.22 15.14 y t + ayt 0 15.23 yt Ce at 15.24 C 15.8 y0 3 15.23 15.23 15.24 15.24 15.8 15.11 C 15.12 C 3 y t + ayt 0, y0 b 15.25 yt be at 15.26 15.25 ut 0 0 0 0 y0 0 0 15.13 15.13: 0 15.2 be at a ut 0 a a 15.18 a 15.18 15.18 y t+ayt 0 y t λ yt 1 λ + a 0 16 15.23 y t yt 2 y t, yt t y t yt 1 y 2 t sin yt 0 yt 0 16.14 16.14: 11
17 17.1 0 0 ut 1 0 y 0 t 2 y p t 3 yt y 0 t + y p t 4 yt 1 4 4 y t + 4yt 10 sin 2t, y0 3 17.27 yt 1 0 y 0t + 4y 0 t 0 17.28 λ+4 0 λ 4 y 0 t Ce 4t 17.29 17.28 C 2 y pt + 4y p t 10 sin 2t 17.30 y p t 10 sin 2t y p t d 1 cos 2t + d 2 sin 2t 17.31 d 1, d 2 17.31 17.30 d 1 cos 2t + d 2 sin 2t +4d 1 cos 2t + d 2 sin 2t 10 sin 2t 17.32 2d 1 sin 2t + 2d 2 cos 2t +4d 1 cos 2t + d 2 sin 2t 10 sin 2t 17.33 cos 2t sin 2t 2d 2 +4d 1 cos 2t+ 2d 1 +4d 2 sin 2t 10 sin 2t 17.34 { 2d 2 + 4d 1 0 2d 1 + 4d 2 10 17.35 d 1 1, d 2 2 17.36 17.31 3 y p t cos 2t + 2 sin 2t 17.37 y t + 4yt 10 sin 2t 17.38 17.29 17.37 yt y 0 t + y p t Ce 4t cos 2t + 2 sin 2t 17.39 4 y0 3 C 17.39 t 0 3 C 1 1 + 2 0 3 17.40 C 4 17.39 yt 4e 4t cos 2t + 2 sin 2t 17.41 17.2 0 17.29 y 0t + 4y 0 t 0 17.42 y 0 t Ce 4t 17.43 C 17.27 0 0 17.47 0 y pt + 4y p t 10 sin 2t 17.44 12
17.37 y p t cos 2t + 2 sin 2t 17.45 17.27 17.44 t 0 y p0 1 y0 3 17.44 17.45 17.45 y t + 4yt 10 sin 2t 17.46 17.43 17.45 yt y 0 t + y p t 17.47 17.46 17.46 y t + 4yt y 0 t + y p t + 4y 0 t + y p t y 0t + 4y 0 t + y pt + 4y p t 17.42 17.46 17.48 0 + 10 sin 2t 17.49 17.46 17.47 1 2 4 3 17.47 4 17.3 4 2 17.30 ut 10 sin 2t 17.31 y p t cos 2t sin 2t 17.15 10 sin 2t 2 17.31 y p t cos 2t sin 2t 17.31 d 1 d 2 17.36 y p t ut ut ut ut k y p t d d ut k cos ωt ut k sin ωt y p t d 1 cos ωt + d 2 sin ωt d 1, d 2 ut ke γt 17.50 y p t de γt d 17.51 ut ke αt cos ωt ut ke αt sin ωt y p t e αt d 1 cos ωt+d 2 sin ωt d 1, d 2 ut kt n 17.52 y p t d n t n + d n 1 t n 1 + d 1 t + d 0 17.53 d n,, d 0 17.15: 13
18 18.1 y t + 4yt 10 sin 2t, y0 3 18.54 17.41 yt 4e 4t cos 2t + 2 sin 2t 18.55 18.16 18.18: 18.16: 1 4e 4t λ 4 2 3 cos 2t + 2 sin 2t 2 yt 18.2 yt 4e 4t cos 2t + 2 sin 2t 18.56 1 4e 4t t 0 e at a t 0 18.17 18.18 λ 4 λ 4 e 4t t 19 1 19.1 y t + 2yt 3, y0 0 19.57 18.17: e at 1 4e 4t yt 18.18 14
19.2 λ 2, 3 21.62 y t + 3yt 2e 5t, y0 1 19.58 21.59 yt C 1 e 2t + C 2 e 3t 21.63 C 1, C 2 21.2 2 21.60 21.59 y t, y t, yt λ 2, λ, 1 1 e λt λ 21.59 e λt + 5e λt + 6e λt 0 21.64 λ 2 e λt + 5λe λt + 6e λt 0 21.65 e λt λ 2 + 5λ + 6 0 21.66 21.60 λ e λt 21.60 λ 2 20 2 yt, y t 2 y t 3 2 21 2 21.1 0 λ 2, 3 21.67 2 e 2t e 3t 21.59 C 1, C 2 C 1 e 2t C 2 e 3t 21.59 C 1 e 2t + C 2 e 3t 21.59 yt C 1 e 2t + C 2 e 3t 21.68 C 1, C 2 21.59 2 2 1 1 2 y t + 5y t + 6yt 0 21.59 λ 2 + 5λ + 6 0 21.60 λ + 2λ + 3 0 21.61 21.4 21.3 y t + 5y t + 6yt 0, y0 1, y 0 1 yt 21.69 15
λ 2 + 5λ + 6 0 21.70 λ 2, 3 21.71 2 y t + py t + qyt 0 21.78 yt C 1 e 2t + C 2 e 3t 21.72 C 1, C 2 y0 1 t 0 21.72 C 1 + C 2 1 21.73 21.72 y t 2C 1 e 2t 3C 2 e 3t 21.74 y 0 1 2C 1 3C 2 1 21.75 21.73 21.75 C 1 4, C 2 3 21.76 21.72 yt 4e 2t + 3e 3t 21.77 2 y0 1 y 0 1 2 21.4 2 21.60 2 2 21.62 2 λ 2 + pλ + q 0 21.79 1 2 λ 1, λ 2 2 λ yt C 1 e λ1t + C 2 e λ2t 21.80 yt C 1 + C 2 te λt 21.81 3 α ± βj yt e αt C 1 cos βt + C 2 sin βt 21.82 C 1, C 2 21.80 21.2 21.81 21.82 E. ; 21.5 y t + 2y t + 10yt 0 21.83 21.19 21.19: y t + 2y t + yt 0 21.84 16
微分方程式 解答は図 21.20 を参照 図 21.20: 微分方程式の解法 2 階の非斉次微分方程式 22 22.1 非斉次微分方程式の初期値問題 非斉次の 右辺が 0 でない 場合で 初期値が指定さ れている問題に対する解法は 第 17.1 節の方法と同じで ある 1 右辺を 0 に置き換えた斉次方程式の一般解 y0 t を求める 2 非斉次方程式の特殊解 yp t を求める 3 非斉次方程式の一般解 yt y0 t + yp t を求 める 4 一般解 yt に初期条件をあてはめて 任意だっ た定数の具体的な値を求める 2 で特殊解を求めるときは 第 17.3 節を参照すると よい 22.2 右辺が定数の場合 22.3 22.85 右辺が指数関数の場合 y t+2y t+10yt 30e 2t, y0 2, y 0 1 y t + 3y t + 2yt 6, y0 1, y 0 1 を満たす yt を求めよ 解答は図 22.21 を参照 図 22.21: 微分方程式の解法 22.86 を満たす yt を求めよ 解答は図 22.22 を参照 17 作成 山形大学工学部 村松
微分方程式 図 22.22: 微分方程式の解法 22.4 右辺が三角関数の場合 y t + 2y t + yt sin t, y0 0, y 0 1 を満たす yt を求めよ 23 23.1 微分方程式に関する基礎用語 線形と非線形 1 階の微分方程式のうち y t + ptyt rt 23.87 という形に書けるものを線形微分方程式という この形以 外のものは非線形となる 例えば y t + yt t2 23.88 は線形な微分方程式である 一方 y t + yt y 2 t 18 23.89 作成 山形大学工学部 村松
23.88 t 2 23.89 y 2 t y t + yt sin t 23.90 y t + sin yt 0 23.91 23.90 sin t 23.91 sin yt yt C 1 e 2t + C 2 e 3t 23.99 23.98 23.99 23.99 C 1 C 2 yt 23.98 23.98 yt 23.99 yty t + yt sin t 23.92 y t yt 2 y t + pty t + qtyt rt 23.93 23.2 23.93 y t + 3y t + 2yt e 4t 23.94 y t + 3 sin ty t + t 2 yt e 4t 23.95 23.93 pt qt y t, yt 23.94 23.93 t 23.3 y t + ptyt rt 23.96 y t + pty t + qtyt rt 23.97 rt 0 rt 0 t rt 0 rt 0 rt 0 23.4 y t + 5y t + 6yt 0 23.98 19
24 Ax b 24.1 A A 1 2 4 2 1 2 3 4 5 6 24.1 24.2 24.1 24.1: m n m n m n 24.1 2 2 24.2 3 2 M m 11 m 12 m 13 m 14 m 21 m 22 m 23 m 24 m 31 m 32 m 33 m 34 24.3 i j m ij m ij M i, j m 11 m 12 m 13 m 14 M m 21 m 22 m 23 m 24 m 31 m 32 m 33 m 34 [ ] 24.2 v 1 1 2 3, v 2 1 2 3 24.4 1 1 24.4 3 3 n n 24.4 v 1 v 2 24.4 24.3 M, v a, k i, j, n 25 A B a b p A, B c d r q s 25.5 A B A + B a b p q a + p b + q A + B + c d r s c + r d + s 25.6 20
A B a b p A B c d r A 1 2 4 2 q a p b q s c r d s 25.7 8 2, B 5 7 A B AB a b p q ap + br aq + bs AB c d r s cp + dr cq + ds 27.10 27.2 A + B A + B 1 2 8 2 + 4 2 5 7 1 + 8 2 + 2 7 4 4 + 5 2 + 7 9 5 A B A B A B 26 k A k k a b ka kb A ka 26.8 c d kc kd 27.2: 1 1 4 3 A, B 3 1 0 5 scalar multiplication 5 6 k 2, A 1 2 3 4 5 6 ka 1 2 2 1 2 2 ka 2 3 4 2 3 2 4 2 5 2 6 2 4 6 8 10 12 AB AB 1 1 3 1 4 3 0 5 1 4 + 1 0 1 3 + 1 5 3 4 + 1 0 3 3 + 1 5 4 8 12 14 A 1 1 3 1, B 3 5 27.11 27 AB 27.1 A B a b A, B c d p r q s 27.9 AB 1 3 + 1 5 1 1 3 3 3 + 1 5 1 3 5 21
A 8 14 1 1 2 3 1 2 3 1 1, B 4 3 0 5 7 0 27.12 A, B, C k AkB kab kab 27.15 ABC ABC 27.16 AB + C AB + AC 27.17 A + BC AC + BC 27.18 AB 1 1 2 4 3 AB 3 1 2 0 5 3 1 1 7 0 1 4 + 1 0 + 2 7 1 3 + 1 5 + 2 0 3 4 + 1 0 + 2 7 3 3 + 1 5 + 2 0 3 4 + 1 0 + 1 7 3 3 + 1 5 + 1 0 18 8 26 14 27.13 19 14 A B A B A m n B n l AB m l 28 28.1 28.5: 28.2 1 0 n n n I n 27.3: 28.6: M, N MI M, IN N 28.19 27.4: 27.2 AB BA AB BA AB BA A, B ABC ABC 27.14 E I 28.3 M M 1 2 3 4 5 6 28.20 M T 1 4 M T 2 5 28.21 3 6 22
M i, j M T j, i 1 2 3 T 1 2 3 28.22 v v v 1 v 2. v n T v 1 v 2 v n 28.23 v 1 v 2. T v 1 v 2 v n m 11 0 0.. 0 m.... M 22....... 0 0 0 m nn m k 11 0 0.. M k 0 m k.... 22....... 0 0 0 m k nn 28.25 28.26 k 28.6 28.9 v n 28.4 M M T M M 1 2 3 M 2 4 5 28.24 3 5 6 i, j j, i 28.5 28.7: i, i 0 28.8 28.9: m 11 m 12 m nn...... 0 m M 22....... mn 1,n 0 0 m nn m k 11??. M k 0 m k..... 22.......? 0 0 m k nn 28.27 28.28? k m 11 0 0...... m M 21 m 22 28.29....... 0 m n1 m n,n 1 m nn m k 11 0 0. M k? m k..... 22....... 0?? m k nn 28.30 29 28.8: 29.1 M MM 1 M 1 M I 29.31 23
M 1 M M M M M 29.2 2 2 2 2 a b M 29.32 c d M 1 M 1 1 ad bc 2 2 d c b a 29.33 ad bc 0 29.34 29.10: A 1 30 AB T B T A T, ABC T C T B T A T 30.37 M M 1 1 2 3 4 M 1 1 4 2 1 4 2 3 3 1 1 4 2 2 3 1 29.3 a, x, b ax b a 0 x b a A, X, B AX B 29.35 A X A 1 B 29.36 X B A X BA 1 29.36 29.10 A 1, B 1, C 1 AB 1 B 1 A 1, ABC 1 C 1 B 1 A 1 M M 1 30.38 M T 1 M 1 T 30.39 31 M a c b d 31.40 M 2 a + dm + ad bci 0 31.41 2 2 n n 2 II 32 24
32.1 2 1 5 v 1, v 2 3 2 32.42 32.13 v 2 3 2 32.11 xy x y 32.13: v k v kv 32.11: 2 32.2 3 v 1 1 3 1, v 2 5 2 1 32.43 3 32.12 xyz x y z 32.4 2 32.14 32.14: v 1 v 2 2 v 1 + 3v 2 32.47 v 1 3v 2 32.15 2 32.12: 3 32.3 v 1 2 32.44 32.15: 2 1 2 1 2v 2 2 2 2 3 1 3 1 3v 3 2 3 2 2 4 32.45 3 6 32.46 v 1 3v 2 v 1 3v 2 v 1 3v 2 1 1 v 1 + 3v 2 25
32.5 v 1, v 2 v a v b 33.17 2v 1 + 3v 3 32.48 v 1, v 2 33.17: 32.16: v 1 v 2 2 m v 1, v 2,, v m k 1, k 2,, k m M 33.51 33.18 v a v b M k 1 v 1 + k 2 v 2 + + k m v m 32.49 v 1, v 2,, v m b k 1 v 1 + k 2 v 2 + + k m v m b 32.50 k 1, k 2,, k m 33 33.18: 33.2 33.1 v a M v b Mv a 33.51 v b 8 2 3 1 14 4 5 2 33.52 1 8 2 14 33.19: 26
33.19 B A AB 34 34.1 2 34.20: 2 xy O A v a v ax v ay 34.53 34.20 θ v b v bx v by 34.54 v a v b 33.17 M v b Mv a 34.55 34.21 v a r x α vax r cos α v a 34.58 v ay r sin α v b θ α + θ vbx r cosα + θ v b 34.59 v by r sinα + θ v b 34.57 r cosα + θ v b r sinα + θ rcos α cos θ sin α sin θ rsin α cos θ + cos α sin θ cos θ r cos α sin θ r sin α sin θ r cos α + cos θ r sin α cos θ sin θ r cos α sin θ cos θ r sin α cos θ sin θ vax 34.60 sin θ cos θ v ay 34.2 3 xyz 3 M cos θ sin θ M 34.56 sin θ cos θ 34.55 v bx cos θ sin θ v ax 34.57 sin θ cos θ v by v ay 34.57 34.22: x 34.22 x θ v bx v by v bz 1 0 0 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ v ax cos θv ay sin θv az v ax v ay v az 34.61 34.62 sin θv ay + cos θv az 34.21: 34.62 x x v bx v ax y z 27
34.57 34.22 x 34.23 yz θ 34.61 sin θ, cos θ 1 A B P P 34.25: 3 34.23: x yz 34.61 1 0 0 M x 0 cos θ sin θ 34.63 0 sin θ cos θ x y cos θ 0 sin θ M y 0 1 0 34.64 sin θ 0 cos θ z cos θ sin θ 0 M z sin θ cos θ 0 34.65 0 0 1 34.64 y 2 sin θ y 34.24 xz x z θ 2 34.23 y z θ 34.25 3 P x 3, y 3 x 1, y 1 35 2 35.1 1 v 35.66 2 35.26 34.24: y xz 28
35.3 35.26: v 35.66 v v 1 2 x y 1 2 35.2 35.66 35.27 2 36 36.1 2 xy 0, 3 2 y 2x + 3 36.67 36.28: 35.27: V v 35.27 35.27 V V 1 v 1 v V V v 1 1 35.27 v 1 2 V x y 36.29: 29
36.29 0, 3 p, a, v t v v p + ta 36.68 32.15 ta 32.13 t p + ta v p a 36.30 xyz 1, 2, 3 T a 3 4 5 T v x y z T 1, 2, 3 p 1 2 3 a ta t v p + ta 36.73 x 1 y 2 + t z 3 3 4 5 36.74 36.30: x 0 v, p 36.69 y 3 36.67 x, y x, y a 1 a 2 36.70 x 1 y 2 36.69 36.70 36.68 x 0 1 + t y 3 2 36.71 t t x y y 2x + 3 36.72 36.2 3 3 t t x 1 3 y 2 4 37 z + 3 5 36.75 2 1 v w v, w 37.76 v w 37.77 v w v, w 2 1 2 3 2 3 n 30
37.1 v + w, x v, x + w, x 37.78 v, w + x v, w + v, x 37.79 kv, w v, kw kv, w 37.80 v, w w, v 37.81 v, v 0 v, v 0 v 0 37.82 37.80 37.81 37.2 2 2 v w v, w 0 37.83 v w 37.3 1 1 v v v, v 37.84 v v v 37.4 v, w v, w v w 37.85 Schwarz v + w v + w 37.86 37.85 t 0 tv + w 2 tv + w, tv + w v 2 t 2 + 2v, wt + w 2 v 2 t 2 + 2v, wt + w 2 0 37.87 0 4v, w 2 4 v 2 w 2 0 37.88 37.85 37.86 v + w 2 v 2 + 2v, w + w 2 v 2 + 2 v, w + w 2 37.89 v 2 + 2 v w + w 2 37.90 v + w 2 37.86 37.89 37.90 37.85 37.5 2 2 v v 1 v 2, w w 1 w 2 37.91 v, w v 1 w 1 + v 2 w 2 37.92 37.1 3 v v 1 v 2 v 3, w w 1 w 2 w 3 37.93 v, w v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 37.94 2 3 v, w v T w 37.95 n v a 1 a 2. a n b 1, w b 2. b n 37.96 v, w a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n v T w 37.97 37.84 v v 2 v v 1 v 2 v v, v 37.98 v 2 1 + v2 2 37.99 37.6 0 2 31
v 1 v 2 1 1 v 2 37.100 0 v 1 37.31 k a, b kb, b 0 37.104 b, b b 2 k k 37.102 c a, b b 2 37.105 a, b b 2 b 37.106 37.31: 2 v 1 v 2 v 1 v 2 0 2 37.6.1 37.33: a b 37.6.2 2 37.34: a b θ a b θ cos θ a, b a b 37.107 0 θ π cos θ θ 37.6.3 37.32: a b 37.32 a b a b c a, b c a, b b 2 b 37.101 c a b a b a b 0 37.101 37.33 c b k c kb 37.102 k a, b 37.33 kb a kb b a kb, b 0 37.103 37.35: a a 1 e a e a a a 37.108 a 2 a 2 1 a/ a 1 32
38 xyz P p x, p y, p z a a x a y a z T 37.95 v p T a 0 38.112 x p x y p y T a x a y 0 38.113 z p z a z a x x + a y y + a z z p x a x p y a y p z a z 0 38.114 xyz P p x, p y, p z a a x a y a z T 38.36: P a 38.37 P p p x p y p z 38.109 x, y, z v x y z 38.110 xyz x, y, z v x, y, z a x x + a y y + a z z + d 0 38.115 d p x a x p y a y p z a z 38.116 38.115 xyz a 38.115 a a x, a y, a z x, y, z 39 39.1 39.38: a b a b 38.37: P a v x, y, z a 38.37 v p a v p, a 0 38.111 39.38 3 2 a, b θ 0 θ π a b a b a b a b 39.117 a b 2 a b 33
a b a b a b 0 1 39.2 a b b a 39.118 a a 0 39.119 a b a b sin θ 39.120 ka b a kb ka b 39.121 2 a b b ka 39.119 39.121 a b a b 0 3 a, b, c a b, c b c, a c a, b 39.122 a, b, c 6 a b a y b z a z b y a b a z b x a x b z 39.127 a x b y a y b x 39.127 39.127 39.39 a b a b 1 4 a 2, b 5 39.128 a b 2 6 3 5 a b 3 4 1 6 3 1 5 2 4 6 3 6 3 39.129 a b + c a b + a c 39.123 a + b c a c + b c 39.124 a b c a b c 39.125 39.3 39.39: a b a b 39.39 xyz a a x a y, b b x b y 39.126 a z b z 34
40 40.1 M detm M detdeterminant 40.1.1 2 2 a M c a M c 40.1.2 3 3 M b d b d 40.1 ad bc 40.2 m 11 m 12 m 13 m 21 m 22 m 23 m 31 m 32 m 33 40.3 m 11 m 12 m 13 M m 21 m 22 m 23 m 31 m 32 m 33 m 22 m 23 m 11 m 32 m 33 m m 12 m 13 21 m 32 m 33 m 12 m 13 +m 31 m 22 m 23 m 13 m 21 m 32 + m 11 m 22 m 33 + m 12 m 23 m 31 m 12 m 21 m 33 m 13 m 22 m 31 m 11 m 23 m 32 40.4 3 40.1.3 4 4 m 11 m 12 m 13 m 14 M m 21 m 22 m 23 m 24 m 31 m 32 m 33 m 34 m 41 m 42 m 43 m 44 40.5 m 11 m 12 m 13 m 14 M m 21 m 22 m 23 m 24 m 31 m 32 m 33 m 34 m 41 m 42 m 43 m 44 m 22 m 23 m 24 m 11 m 32 m 33 m 34 m 42 m 43 m 44 m 12 m 13 m 14 m 21 m 32 m 33 m 34 m 42 m 43 m 44 m 12 m 13 m 14 +m 31 m 22 m 23 m 24 m 42 m 43 m 44 m 12 m 13 m 14 m 41 m 22 m 23 m 24 m 32 m 33 m 34 40.6 1 40.2 M 1 M 2 n M 1 M 2 M 1 M 2 40.7 I I 1 40.8 M M T M 40.9 40.3 M m 11 0 0. 0 m... 22 M....... 0 40.10 0 0 m nn 35
M m 11 m 22 m nn 40.11 M m 11 m 12 m nn. 0 m... 22 M....... m n 1,n 0 0 m nn m 11 0 0. m 21 m... 22 M....... 0 m n1 m n,n 1 m nn 40.12 40.13 M m 11 m 22 m nn 40.14 M 11, M 22 M 11 M 12 M 40.15 0 M 22 M M 11 M 22 40.16 M 11, M 22 M 11 0 M M 21 M 22 41 41.1 40.17 M M 11 M 22 40.18 A A 0 A A 0 A A 1 2 2 4 41.19 A 1 2 A 1 4 2 2 0 41.20 2 4 41.19 A A 1 2 2 5 41.21 1 2 A 2 5 1 5 2 2 1 0 41.22 41.21 A 41.2 A 1 2 2 5 41.23 A 1 1 5 2 5 2 1 5 2 2 2 1 2 1 41.24 1 5 2 2 A A A 1 1 A 41.25 41.25 A A 1 A 0 A 1 A 41.3 A n n A A A A 1 Ax b x A 1 b 41.4 T n n x z n x z T x 41.26 z 36
41.1: x T 1 z 41.27 x z T z T x x z x n z n x 0 z 0 z 0 x 0 xt 0 zt T xt zt 0 42. a 2. b 1 0. 43 43.1 1 4 7 2 5 8 3 6 9 x 1 + 4x 2 + 7x 3 10 2x 1 + 5x 2 + 8x 3 11 3x 1 + 6x 2 + 9x 3 12 x 1 x 2 x 3 10 11 12 43.28 43.29 1 4 7 x 1 10 A 2 5 8, x, b 11 3 6 9 x 2 x 3 12 43.30 Ax b 43.31 43.2 Ax b M A b 1 0 0 M 0 1 0 0 0 1 c 1. d 2. e 1 0. f 1. a, b, c d,e,f 1 2 3 x 2 4 5 y 3 5 6 x, y, z M z 1 2 3 0 2 4 5 1 3 5 6 0 0 1 0 37
M 1 2 3 0 2 4 5 1 c1 3 5 6 0 1 2 3 0 0 0 1 1 a1 0 1 3 0 1 2 3 0 0 1 3 0 b1 0 0 1 1 1 2 3 0 0 1 3 0 c2 0 0 1 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 1 1 1 0 0 3 0 1 0 3 0 0 1 1 c3 x 3, y 3, z 1 c1 1-2 2 1-3 3 a1 2 3 b1 2-1 3-1 c2 2-2 1 c3 3 3 1 3-3 2 43.3 43.2 44 A M [A I] I 1 0 0 11 12 13 M 0 1 0 21 22 23 0 0 1 31 32 33 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 1 3 A 2 0 3 M M 3 1 4 1 1 3 1 0 0 2 0 3 0 1 0 3 1 4 0 0 1 1 1 3 1 0 0 2 0 3 0 1 0 3 1 4 0 0 1 1 0 0 3 7 2 2 3 2 M 1 0 1 0 2 5 3 2 2 0 0 1 1 2 1 A 1 3 7 2 2 3 2 1 2 5 3 2 2 1 2 1 43.2: 2 x y y 1 1 y x A A A 1 M 38
45 45.1 i j i j j 45.2 z z a + bj 45.1 a, b a b 45.1 45.3: 1 z z a + jb re jθ 45.3 2 45.4 a, b, r, θ 45.4: a, b, r, θ r a 2 + b 2 45.4 a cos θ a2 + b, sin θ b 2 a2 + b 2 45.5 45.1: tan θ b a, θ tan 1 b a 45.6 z z re jθ 45.2 r θ 45.2 45.3 45.2 e jθ θ e jθ cos θ + j sin θ 45.7 e jθ θ θ e jθ 1 45.5 45.2: r z z θ z 45.3 45.5: e jθ 39
e jθ e jθ 45.5 1 θ e jθ 1 45.8 θ e jθ θ π 2 ejθ 45.6 z 1 r 1 e jθ 1, z 2 r 2 e jθ 2 45.14 2 z 1 z 2 r 1 e jθ1 r 2 e jθ 2 r 1 r 2 e jθ1+θ2 45.15 z 1, z 2 z 1 z 2 45.8 e j π 2 j 45.9 45.8: 2 45.6: θ π 2 ejθ j e j π 2 j, e j0 1, e jπ 1 45.10 45.4 2 z 1 a + jb, z 2 c + jd 45.11 z 1 + z 2 a + c + jb + d 45.12 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2, z 1 z 2 z 1 + z 2 45.16 2 z1 z 2 z 1 a + jb z 2 c + jd a + jbc jd c + jdc jd ac + bd + jbc ad c 2 + d 2 ac + bd bc ad c 2 + j + d2 c 2 + d 2 45.17 z 1 z 2 r 1e jθ1 r 2 e jθ 2 r 1 r 2 e jθ 1 θ 2 45.18 45.7: 2 45.5 2 z 1 z 2 j 2 1 z 1 z 2 a + jbc + jd ac + jad + jbc + j 2 bd ac bd + jad + bc 45.13 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2, z 1 z 2 z 1 z 2 45.19 z 1 1 1 1 z 2, 1 z 2 45.20 z 2 z 2 z n z n re jθ n r n e jnθ r n cos nθ + j sin nθ 45.21 40
z n n z n r 1 θ π 2 e j π 2 j 1 j 45.24 cos θ + j sin θ n cos nθ + j sin nθ 45.22 45.6 e j π 2 j 45.12 j π/2 π 2 π 2 45.8 45.9 45.12: j π 2 45.7 45.9: z 1 θ 2 z 2 θ 2 z 1 e jθ θ 45.10 z a + jb 45.25 z a jb 45.26 45.13 45.13: 45.10: e jθ θ θ π 2 45.6 e j π 2 j 45.23 j π/2 45.11 z re jθ 45.27 z re jθ 45.28 z 1 + z 2 z 1 + z 2, z 1 z 2 z 1 z 2 45.29 z 1 z 2 z 1 z 2, z1 z 2 z 1 z 2 45.30 zz z 2 45.31 z + z 2 z 45.32 z z 2j z 45.33 45.11: j π 2 41