合格への鉄則集 数学 ⅡB 竹鉄 ⅡB-01~23
竹鉄 ⅡB-1 式と証明 (1) 方程式の決定 方程式の決定問題 a+bi が解なら,a-bi も解 解と係数の関係を活用する 例題 クリアー 140 a,b は実数とする 3 次方程式 x 3 +ax 2 +bx+10=0 が 1+2i を解にもつとき, 定数 a,b の値を求めよ また, 他の解を求めよ 鉄則集 21
竹鉄 ⅡB-2 式と証明 (2) 恒等式の係数 恒等式の係数決定法 係数比較法 数値代入法 微分を使う ヘビサイドの目隠し法を使う ( 分数式 ) 例題 クリアー 40,42 次の等式が x についての恒等式となるように, 定数 a,b,c,d の値を定めよ (1) x 3 =a(x+1) 3 +b(x+1) 2 +c(x+1)+d 鉄則集 22
竹鉄 ⅡB-3 式と証明 (3) 不等式の証明 不等式の証明法 因数分解 平方完成 相加相乗平均 シュワルツの不等式 大小判断は具体的な数値を代入して 例題 クリアー 62,66 (1)~(4) 次の不等式を証明せよ ただし,a>0,b>0 とする 鉄則集 23
竹鉄 ⅡB-4 式と証明 (4) 条件付き等式 条件付き等式の証明法 基本は1 文字消去 1 文字消去せず, 対称性に着目してヒラメキで 比例式は k とおく 例題 クリアー例 15, 56 (1) a+b+c=0 のとき, 次の等式を証明せよ (b+c) 3 +(c+a) 3 +(a+b) 3 =3(b+c)(c+a)(a+b) 鉄則集 24
竹鉄 ⅡB-5 式と証明 (5) 証明の目的地 証明の目的地 ときには証明の目的地を明確にし, これに向けて進む x,y,zのいずれも 0 とは x=y=z=0 x,y,zのいずれも a とは x-a=y-a=z-a=0 x,y,zのいずれかは 0 とは xyz=0 x,y,zのいずれかは a とは (x-a)(y-a)(z-a)=0 例題 クリアー 53 x+y+z=1,xy+yz+zx=xyz のとき,x,y,z のうち, 少なくとも 1 つは 1 に等しいことを証明せよ 鉄則集 25
竹鉄 ⅡB-6 式と証明 (6) 解が α の解釈 f(x)=0の解がα,β,γである どう解釈するか? 解釈法 1 f(α)=0,f(β)=0,f(γ)=0 解釈法 2 解と係数の関係 α+β+γ=-b/a,αβ+βγ+γα=c/a,αβγ=-d/a 解釈法 3 f(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ) [ 例題 ] 2x 3-5x+1=0 の解を α,β,γ とするとき, 次の値を求めよ α+β+γ, α 2 +β 2 +γ 2, α 3 +β 3 +γ 3, α 4 +β 4 +γ 4 鉄則集 26
竹鉄 ⅡB-7 図形と式 (1) 図形の証明 図形問題の証明方法 図形的性質を用いた証明 座標を用いた証明 ベクトルを用いた証明 [ 例題 ] 三角形の 3 つの頂点からそれぞれの対辺に下ろした 3 本の垂線は 1 点で交わることを証明せよ ( 垂心 ) 鉄則集 27
竹鉄 ⅡB-8 図形と式 (2) 円と接線 円と接線 円上の点 (x 1,y 1 ) における接線 円外の点 (x 1,y 1 ) から引いた接線 2 接点を結ぶ直線 判別式か距離 例題 クリアー 194,198 (1) 円 (x-2) 2 +(y-3) 2 =25 上の点 (5,7) における接線の方程式を求めよ (2) 円 x 2 +y 2 =25 に点 (7,1) から 2 本の接線を引く 2 つの接点 B,C を通る直線の方程式を求めよ 鉄則集 28
竹鉄 ⅡB-9 図形と式 (3) 円と直線 円と直線の共有点の数 判別式か距離 連立させて判別式で判断 円の中心と直線の距離から判断 例題 クリアー 191 次の円と直線の共有点の個数を調べよ (1) x 2 +y 2 =4, y=-2x+k (2) (x-2) 2 +y 2 =2, x+2y-k=0 鉄則集 29
竹鉄 ⅡB-10 図形と式 (4) 式を求める 直線, 円の式を求める 直線 ax+by+c=0 に平行な直線, 垂直な直線 ax+by+c =0, bx-ay+c =0 方程式 f(x,y)=0,g(x,y)=0 を円または直線の式とするとき,f と g の交点を通る円, 直線の式は? k f(x,y)+g(x,y)=0 例題 クリアー 201 次の円または直線の 2 つの交点と点 A を通る円の方程式を求めよ (1) x 2 +y 2 =4, x 2 +y 2-4x-2y-8=0, A(-2,1) (2) x 2 +y 2-2x-4y-3=0, x+2y=5, A(3,2) 鉄則集 30
竹鉄 ⅡB-11 三角関数の方程式不等式 三角関数の方程式 / 不等式, 最大最小問題, 求値問題は 次の5つの形式で考えよ 単純形式 a sinθ=b の形 2 次形式 三角関数を t とおいてtの2 次式で表す 合成形式 a sinθ+b cosθ の形 r sin(θ+α) 因数形式 因数分解する 例 ) sin2θ=cosθ 特殊形式 sinθ+cosθ=t とおいて,sinθcosθ=(t 2-1)/2 として t の関数で表す 例題 クリアー 271,293,294, 例 73 0 θ<2π のとき, 次の方程式を解け (1) 2sin 2 θ-cosθ=2 (2) sin 2θ=cosθ (3) sinθ+ 3 cosθ= 2 関数 y=sinθcosθ+ sinθ+ cosθ の最大値, 最小値を求めよ 鉄則集 31
竹鉄 ⅡB-12 三角関数の飛び道具 発展 三角関数の飛び道具 ド モアブルとオイラー知っていると便利な公式ド モアブル (cosθ+ i sinθ) n = cos nθ + i sin nθ オイラー e iθ = cosθ + i sinθ 鉄則集 32
竹鉄 ⅡB-13 指数対数の方程式 不等式 指数関数, 対数関数の方程式 / 不等式, 最大最小問題 は2つの形式で考えよ 指数関数 単純形式 a p =a q の形 2 次形式 a x =tとおいてtの2 次式で表す 対数関数 単純形式 logap=logaq の形 2 次形式 logax=tとおいてtの2 次式で表す 例題 クリアー 333,338,356,357 (1) 2 x -24 2 -x =5 (3) (log3x) 2 -log3x 2-3=0 (4) log3(x-4)+log3(x-2)<1 鉄則集 33
竹鉄 ⅡB-14 対数のポイント 0 log a 1,1 log a a を積極的に使う 底の変換公式 log a b= log c b/log c a だけでなく log a b log b c/log a c も積極的に使う a logam =M 鉄則集 34
竹鉄 ⅡB-15 微分積分放物線と接線 放物線 y=x 2 の (x 1,y 1 ) における接線 (y 1 +y)/2=x 1 x 変数置換え法による接線の求め方 [ 接点は (x 1,y 1 )] x 2 x 1 x, x (x 1 +x)/2 y 2 y 1 y, y (y 1 +y)/2 点 (x 1,y 1 ) から,y=x 2 に引いた2 接線の接点を結ぶ直線 (y 1 +y)/2=x 1 x 例題 クリアー 478 放物線 y=x 2 -x+4 に点 (1,0) から 2 本の接線を引くとき, 放物線と接線で囲まれた部分の面積を求めよ また,2 つの接点を結ぶ直線の式を求めよ 鉄則集 35
竹鉄 ⅡB-16 微分積分面積 3 公式 Ⅰ 型 a(β-α) 3 /6 放物線と交わる直線が囲む領域 ( 交点の x 座標 =α,β) 2 つの放物線が囲む領域も同じ, ただし a=a1-a2 となる Ⅱ 型 a(β-α) 3 /12 放物線と 2 接線が囲む領域 (2 接点の x 座標 =α,β) Ⅲ 型 a(β-α) 3 /3 放物線と 1 接線と直線 x=β が囲む領域 ( 接点の x 座標 =α) 例題 クリアー 476 放物線 y=x 2-4x+3 と, この放物線上の点 (4,3),(0,3) における接線で囲まれた部分の面積を求めよ 鉄則集 36
竹鉄 ⅡB-17 数列 (1) 等比 等差と階差,Σ 鉄則集 37
竹鉄 ⅡB-18 数列 (2) 漸化式と群数列 数列の醍醐味は漸化式と群数列にあり 漸化式 5 タイプの概要を把握せよ! 特に 3 タイプ a n+1 =pa n +q, a n+1 =pa n +qn+s, a n+2 =pa n+1 +qa n 他は 1/a n,a n/n,a n/r n,log a n 等いろいろな角度から解法の糸口を探す 群数列は 群内の項数 と 群の枠をはずしたときの数列の規則性 に着目する 鉄則集 38
竹鉄 ⅡB-19 ベクトル (1) 内積と位置ベクトル 内積 と 位置ベクトル がわかれば, ベクトルは完璧 図形的意味, 物理的意味まで理解したい 内積の求め方 3 法 1 定義式 a b cosθ 2 成分 a1b1+a2b23 図形的解法 位置ベクトルを積極的に活用せよ! 位置ベクトル表現か? 非位置ベクトル表現か? 常に認識する [ 位置ベクトルの手法 1 まず非特定の基準点に対する位置ベクトルで表現する 2 必要なら, 特定の点を基準点にして表現し直す 例題 クリアー例題 10 ABCと点 Pに対して,2AP+3BP+CP=0 が成り立っている (1) APをAB,ACを用いて表せ (2) 点 Pはどのような位置にあるか 鉄則集 39
竹鉄 ⅡB-20 ベクトル (2) ベクトル表現 :2 方式 位置ベクトル表現か? 非位置ベクトル表現か? いずれかを常に認識して問題を解くこと 非位置ベクトル表現 位置ベクトル表現 内分点 AP=m/(m+n) AB p=(na+mb)/(m+n) 三角形の重心 AG=(AB+AC)/3 g=(a+b+c)/3 三角形の内心 AI=(bAB+cAC)/(a+b+c) i=(aa+bb+cc)/(a+b+c) 平行四辺形条件 AB=DC a+c=b+d 一直線 AP=kAB p=sa+tb (s+t=1) ( 方向ヘ クトル, 法線ヘ クトル ) p=a+tu,n (p-a)=0 一平面 AP=kAB + lac p=sa+tb+uc (s+t+u=1) ( 法線ヘ クトル ) n (p-a)=0 円, 球 CP =r (p-c) (p-c)=r 2 (p-a) (p-b)=0 鉄則集 40
竹鉄 ⅡB-21 ベクトル (3) 直線条件 平面条件 図形問題の中心は 点の位置を求める こと [ 考え方 ] 1 つのベクトルは 1 次独立な 2 つ ( 平面ベクトルの場合 ), または 3 つ ( 空間ベクトルの場合 ) のベクトルの 1 次結合で表現でき, その表現方法は 1 つだけである [ 手段 ] 直線上条件と平面上条件 直線上条件 平面上条件 p=sa+tb (s+t=1) p=sa+tb+uc (s+t+u=1) 例題 教科書 P71 ( メラニウスを使えば簡単だが, ベクトルを使って解くこと!) OAB において, 辺 OA を 2:3 に内分する点を M, 辺 OB を 4:3 に内分する点を N とし, 線分 AN と線分 BM の交点を P とする OP を OA=a と OB=b を用いて表せ 鉄則集 41
竹鉄 ⅡB-22 ベクトル (4) 面積の式, 距離の式 面積の式, 距離の式は導いて そして覚えてしまおう 面積の式成分展開して公式を導出 平面 空間 距離の式内積の図形的解釈から公式を導出 < 空間 > 点と平面の距離 ax1+by1+cz1+d / (a 2 +b 2 +c 2 ) < 空間 > 原点と直線 (p=a+tu) の距離 { a 2 -(a u/ u ) 2 } < 平面 > 点と直線の距離 ax 1 +by 1 +c / (a 2 +b 2 ) 鉄則集 42
竹鉄 ⅡB-23 ベクトル (5) 5 心とベクトル 自由研究 5 心はベクトル演習に最適なテーマ 5 心とベクトルの面白い関係を自分で探してみよう 位置ベクトル重心 (a+b+c)/3 内心 (aa+bb+cc)/(a+b+c) 外心 (O), 垂心 (H), 重心 (G) OH=3OG AOBの2 等分線 OP 垂心 AH BH=BH CH=CH AH 鉄則集 43
終了 鉄則集 56