平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム 微分積分の拡張 変数関数問題へのアプローチ 予選決勝優勝法からラグランジュ未定乗数法 松本睦郎 ( 札幌北高等学校 変数関数の最大値 最小値に関する問題には多様なアプローチ法がある 文字を固定した 予選決勝優勝法, 計算のみで解法する 文字消去法, 微分積分を利用した ラグランジュ未定乗数法 がある 大学入試問題を題材として 色々なアプローチをしてみた 文字固定法 関数 f xy, = sin xcos yについて 定義域 < x <, < y < における最大値 最小値を求めよ 解答例 最大値 f, = ( イ x = で最小値を取る f, y = cos y y = のとき最小となる 最大値 f, = (ⅱ cos y < の場合 つまり < y<, < y< のときについて この範囲で変数 y を固定する f xy, = sin xcos y < x < (ⅰ cos y> の場合 つまり < y < のときについて この範囲 で変数 y を固定する f xy, = sin xcos y < x < ( ア x = で最大値を取る f, y = cos y < y < y = のとき最大となる ( ウ x = で最大値を取る f, y = cos y y = のとき最大となるが y = は範囲外なので 最大値はない ( エ x = で最小値をとる f, y = cos y y =, のとき最小となるが y =, は範囲外なので 最小値はない
平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム A 札幌医科大学 年 P ab, を正の定数とする 平面上において ( a, を中心とする円 Q 4 C と (, b を中心とする円 C が 原点 O で外接している また P を円 C 上の点と し Q を円 C 上の点とする ただし 点 P,Q は x 軸上にないものとする (P と Q が x 軸に対して同じ側にあるとき 三 角形 OPQ の面積の最大値を ab, を用いて 表せ (P と Q が x 軸に対して異なる側にあるとき 三角形 OPQ の面積の最大値を ab, を用い て表せ ただし 点 O,P,Q は同一直線 上にないものとする 解答例 上図より OQ = b sinα OP = a sin β OPQ の面積を S とする S= OP OQ sin ( α β + B を代入して S= α β ( α β sin >,sin >,sin + > a sin α b sin β sin ( α + β S= absinαsin βsin ( α β + α,β に関す る 変数関数となる ただし PとQが x 軸に対して同じ側にあるので < α + β <, < α <,< β < ( 条件 Ⅰ f ( αβ, absinαsin βsin ( α β = + とおく α,βに関する 変数関数である βを固定してαに関して微分すると df = ab cosαsin βsin ( α + β dα + absinαsin βcos α + β { ( + + ( + } absin β cosαsin α β sinαcos α β 加法定理より = absin β sin ( α + β < α <, < β < から < α + β < となる sin ( α + β = のとき つまり α + β = のとき df dα の符号が正から負になるので極大となる 同様にして についてαを固定してβに関して微分すると df = absinαcos βsin ( α + β dβ + absinαsin βcos α + β =
平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム = absinαsin ( α + β < α < < β < から < α + β < α + β = のとき df dβ の符号が正から負になる ので極大となる α + β = のとき S は最大となる α βに関 α + β = する連立方程式を解くと α =, β = のとき最大値をとる 最大値は S= absinαsin βsin ( α + β = absin sin sin = 4 ab ( 答 (P と Q は x 軸に関して反対側にあるので < α <,< β < ( 条件 Ⅱ より < α + β < A S = OP OQ sin ( α + β S = ab sinαsin βsin ( α + β S = absinαsin β sin ( α + β α + β = の時は S = となるので除外する sin + > の時 つまり (ⅰ ( α β P < α + β < のとき 4 QB S = absinαsin βsin ( α + β OQ = b sin α = bsinα OP = a sin β βを固定しαに関して微分すると absin ( α β dα = + < α < < α + β <, < α + β < 5 dα < となり S は単調減少関数となる α = のとき最大となるが < α < より最大値は存在しない
平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム A P (ⅱ ( α β sin + < の時 つまり < α + β < のとき 4 Q B 加関数となる β = で最大となるが 値は存在しない < β < より最大 (ⅰ(ⅱ より最大値は存在しない ( 答 変数関数の最大 最小問題 ( f ( αβ, = absinαsin βsin ( α+ β < α <, < β < の 変数関数のグラフを作成すると 等高線の頂点が存在して 最大値が存在する S = absinαsin βsin ( α + β β を固定して α に関して微分すると absin βsin ( α β dα = + < α<, < α+ β< 5 < α + β < dα = ( α β sin + = から α + β = dα は正から負へ変化するので極大となる α を固定し β に関して微分すると absinαsin ( α β dβ = +, < β <, < α + β < から < α + β < sin ( α + β < より dβ > となり 単調増 4
平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム ( S = f ( αβ, = absinαsin βsin ( α + β < α < < β <, の 変数関数のグラフを作成すると α+β= の部分が となり 等高線の頂点の部分は端の 部分に ヶ所存在するが 範囲外になるので不適 になる 島根大学 つの円 C ; x + y = と C ; x + y = 4がある 点 P は第 象限おい て円 C 上を動き 点 Q は第 4 象限において円 C 上を動くとする ただし 点 P,Q は原点 O とともに三角形 OPQ を作るものとする このとき三角形 OPQ の面積の最大値を求めよ 解答例 P α β 4 Q 5 xop = α, xoq = β とする 上図より < α <,< β < 円周角の定理より OP = cos α, OQ = 4cos β OPQ の面積 S とすると S = OP OQ sin ( α + β S = 4cosαcos βsin ( α + β (ⅰαを固定しβを変数として扱う をβで微分すると 4 cos sin sin 4 cos cos cos dβ = + + + α β α β α β α β
平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム { } = 4 cosα sin β sin α + β cos β cos α + β { } = 4 cosα cos β cos α + β sin β sin α + β 加法定理より = 4cosαcos β + α < α <,< β < より < α + β < dβ = のとき cos( β + α = β + α = α β = 4 α β 4 dβ + - S 増加極大減少 ( α = sin sinα ( α α = sin + sin ( α ( α = sin sin + α dα + - S 増加極大減少 増減表より α = のとき極大かつ最大となる このとき β = より より最大値は S = 4cos cos sin = となる α S は β = のとき極大かつ最大となる 4 α β = をへ直接代入すると複雑になるので 4 α + β = β を代入する S = 4cosαcos β ( β = cosα + cos = cosα + cos α = sin α + cosα S をαで微分すると cos α sinα dα =
平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム 埼玉大学 (, z= f xy は放物面を描く xy, x は実数で ( y x + y = x y であるとき + の最大値, 最小値を求めよ 一文字消去法による解答例 x + y = x y ( x + y = k から x を消去して y k y k k + + + = y は実数解をもつので判別式 D = ( k ( k k+ = k + k > 4 + < k < ( 答 条件付き極値問題による解答例 g( xy, = のとき f(, xy の極大 極小値を z = f x y + x y x x + x y y y (, (, (, は放物面上の点,, (, 接平面を表す ( x y f x y を接点とする 求める ことを条件付き極値問題という (, = ( + ( g xy x y x y (, ( f xy = x + y とおく g xy, = は xy 平面上において レミニスケ ート曲線を描く.....5..5... 7
平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム g xy, = を t xy 平面上のレミニスケート曲線 平面ベクトル g ar ( df ( x, y = ( x, y, ( x, y を勾配ベクトル 等高線 f( xy, = cと ( (, grad f x y を矢印で をパラメーターとして表示すると, x= p t y = q t とする時空間上の曲線 (, z = f p t q t の変化を調べる ( 表した (, ることが分かる grad f x y が等高線と直交してい 8 (, q( t d f p t dt = ( p( t, q( t p ( t + p( t, q( t q t レミニスケート曲線上の点 ( p( t, q( t クトル p ( t, q ( t と (, である q= p t, q t (, (, θ とすると (, (, q( t の速度ベ grad f x y との内積 grad f x y とのなす角を f p t q t が極大 極小になるとき d f p t dt = θ = grad ( f ( x, y と (, る grad g x y が平行であ
平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム g g det = この方法を ラグランジュの未定乗数法 という (, = + ( f xy x y = x, = ( y ( (, =,( grad f x y x y (, = ( + ( g xy x y x y g g = 4x + 4xy x, = 4xy + 4y + y ( (, = ( +, + + grad g x y x xy x x y y y x y det = x xy x x y + y + y x x y + y + y y x + xy x = x のとき xy+ y+ y y x+ y = (ⅰ y = のとき へ代入して x + = 5 x = (, = + ( 放物面 f xy x y x + y = (ⅱ y = のとき へ代入して x + = + 5 x = + (, = + ( 放物面 f xy x y x + y = + y + となる へ代入すると へ代入すると < x + < ( 答 展開してまとめると x + y = y x + y = x y レミニスケート曲線 り x を消去すると と よ y = y y y = y = ± 9 松本睦郎 ( 札幌北高等学校