数学科学習指導案 指導者広島県立五日市高等学校 教諭松本大地 1 日時 場所平成 28 年 7 月 19 日 ( 火 ) 第 1 限目,7 月 20 日 ( 水 ) 第 2 限目 1-3 教室 2 学年 学級 1 年 3 組 40 名 ( 男 16 名女 24 名 ) 3 単元名二次関数 4 単元について (1) 単元観中学校では, 具体的な事象の中から二つの数量を取り出し, それらの変化や対応を調べることを通して, 関数関係を見いだし表現し考察することを学習している また, 一次関数や関数 = などの単元を通して, 表, 式, グラフを相互に関連付けることも学習している 本単元では, 二次関数の値の変化について, グラフを用いて考察し, 最大値や最小値を求めることができるようにする 現実世界の課題から関数関係を見いだし, 表 式 グラフなどを用いて数学的に処理し, 処理したことを現実の場面に戻して解釈することで, 現実世界の課題を解決する このような一連の流れを通して, 二次関数を具体的な事象の考察に活用できるようにするとともに, 二次関数を用いて数量の変化を表現することの有用性を認識させることをねらいとしている (2) 生徒観本単元に入る前に, 関数の有用性についての意識調査をするため, 事前アンケートを行った それぞれの質問項目に対して 役に立たない (1), あまり役に立たない (2), まあまあ役に立つ (3), 役に立つ (4) の 4 段階で, 各段階を数値で表して評価させた 事前アンケートの結果は次の通りである 回答の質問項目平均値 Q1. 関数のグラフをかくことは, 課題を解決する上で役に立つと思いますか 3.2 Q2. 関数の式は, 課題を解決する上で役に立つと思いますか 3.1 Q3. 関数で学習した内容は, 現実の世界の課題を解決することに役に立つと思 2.1 いますか 事前アンケートの結果から,Q3の 関数で学習した内容は, 現実の世界の課題を解決することに役に立つと思いますか について否定的な傾向にあることが分かる このことから, 関数の有用性を認識している生徒が少ないことが課題といえる (3) 指導観
関数を活用することで現実世界の課題を解決できるということを通して, 生徒に関数の有用性を実感させたい そのために, 陸上競技トラックの問題 を用いて, 現実世界の課題から関数関係を見いだし, 表 式 グラフなどを用いて数学的に処理し, 現実世界の課題を解決する ことで, 関数を用いた問題解決の理解を深めさせる 陸上競技トラックの問題 競技場内に次の条件を満たす陸上競技トラックを設計したい 条件 陸上競技トラックは図のような形状とする カーブの部分は半円である 1 周 400mの陸上競技トラックにする 6 人が同時に走れるようにレーンは6つ作る 各レーンの幅は1mとする 内側の長方形の面積ができるだけ大きくなるようにする 競技場の大きさが縦 200m, 横 100m であり, 安全面を考慮して競技場の端から外側のトラック までの距離を 10m 以上離す必要がある このとき, 条件を満たす陸上競技トラックを設計せよ 問題解決の過程では, 下の表のように, それぞれの過程において必要な関数的な考えを育て るための学習活動を組み入れる 問題解決の過程と関数的な考えを育てるための学習活動 問題解決の過程 関数的な考えを育てるための学習活動 1 問題把握 形成事象の中から依存関係を見付ける 2 見通しを立てる何を とおき, 何を とおけば, よりよく問題が解決できそうかを考える 3 解決の実行 伴って変わる二つの変量がどのような依存関係にあるかを表, 式, グラフを用いて 調べる 4 検討導かれた答えが問題の条件を満たすかどうかを確認する 上の表の問題解決の過程 1~4 を 陸上競技トラックの問題 に, 以下のように対応させる ( 問題解決の過程 1 2) 生徒が関数関係を見いだす場面を設定する 具体的には この問題を解決するためには,
何が決まっていて何が変えられるか, そして, 何を とおけばよいか を生徒に考えさせる この問題では, とおく数量が複数 (3パターン) あり, これら3つのパターンすべてを生徒から引き出す ( 問題解決の過程 3) 条件を満たす陸上競技トラックについて, グループで相談しながら考察を進めさせる ( 問題解決の過程 4) 問題の条件から, 定義域を調べ, 求めた解を吟味する必要があることに気付かせる 3 つのパターンの解答について, 関数の式やグラフの違い, 定義域の違いを比較することで, 解答の見通しの重要性や既習事項の理解を深めさせる また, この問題を解決することを通し て, 関数の式やグラフの必要性も生徒に感じさせたい 5 単元の目標 現実世界の課題から関数関係を見いだし, 表 式 グラフなどを用いて数学的に処理し, 現 実世界の課題を解決することができる 6 単元の評価規準 1 関心 意欲 態度 2 数学的な見方や考え方 3 数学的な技能 4 知識 理解 ア二次関数とそのグラフについて関心をもち, それらを二次関数の考察に活用しようとしている イ関数の値の変化を, グラフを用いて考察しようとしている ア二次関数の式とグラフを関係付けて考察することができる イ文字定数を含む二次関数の最大値 最小値の問題を, 場合分けを用いて考察することができる ウ現実世界の課題を解決するために, 関数関係を見いだすことができる エ数学を用いて処理したことを現実の場面に戻して解釈し, 解決方法を説明することができる ア与えられた関数の式から頂点と軸を求めることができる イ二次関数のグラフを用いて, 最大値や最小値を求めることができる ウ与えられた条件に適する二次関数を求めることができる ア関数を式で表す際, 定義域の必要性について理解している イ二次関数の式やグラフの特徴について理解している ウ頂点や軸などの二次関数の特徴について理解している エ連立三元一次方程式の解き方を理解している
7 単元の指導計画と評価 ( 全 13 時間 ) 学習内容 時数 評価関見技知評価規準評価方法 関数とグラフ 1 4-ア 1-ア 2 次関数のグラフ 4 4-イ 3-ア 2-ア ノート 1-イ 行動観察 3-イ 小テスト 2 次関数の最大 最小 3-イ発表 6 本時 5 6 時間目 2-イ,4-ウワークシート 2-ウ 2-エ 2 次関数の決定 2 3-ウ 4-エ 8 本時の展開 (5 時間目 ) (1) 本時の目標陸上競技トラックの問題について, 関数関係を見いだし考察することができる (2) 観点別評価規準現実世界の課題を解決するために, 関数関係を見いだすことができる ( 数学的な見方や考え方 ) (3) 準備物ワークシート ( 陸上競技トラックの問題 ), 教科書 ( 新編数学 Ⅰ 数研出版 ) (4) 学習の展開 (5 時間目 ) 教授 学習活動 ( 教授, 学習活動 ) 導 ワークシートを配付し, 本時の課題入を提示して, 個人で考えさせる 10 分 まず, 陸上競技トラックの問題 の題意や条件を捉えてワークシートに書き込む 指導上の留意点 努力を要する 状況と判断した生徒への指導の手立て 陸上競技トラックの問題 ( 図や条件を含む ) を拡大印刷した紙を黒板に貼る まず, 題意や問題の条件を捉えさせる 評価規準 観点 ( 評価方法 )
展 この問題を考えるためには, 何に注 関数関係が見付けられない生 現実世界の課 開 目したらよいかを考えさせる 徒には, 前時に学習した問題 題を解決する 35 まず, 関数関係にあるものを見付け を想起させる ために, 関数関 分 る < 前時に学習した問題 > 係を見いだす 長方形 ABCD において,2 辺 AB, ことができる BC の長さの和が 10cm であるとす 数学的な見 る このような長方形の面積の最大値 方や考え方 を求めよ ( 行動観察, ワ ークシート ) 次に, 何を とおけば問題を解決 候補になりそうな を複数 することができるかを個人で考え 挙げさせる る < 予想される生徒の反応 > とおくもの 内側の長方形の縦の長さ ( パターン 1) 内側の長方形の横の長さ ( パターン 2) 半円の弧の長さ ( パターン 3) 競技場の端から外側のトラックまでの距 離 内側の長方形の面積 4 人のグループを作り, 意見を交流 題意や条件についてもグルー させる プ内で確認させる 何を とおけばよいかをグループ 関数的な考えを育てるため で考察し, 候補を挙げる に, とおくもののパターン グループで出た考えをまとめて発 1~3 すべてを生徒から引き 表する 出す パターン 1~3 がすべ 各グループから発表された考えを て出ない場合, 陸上競技トラ 整理して示す ックの内側の部分で決まって この問題で関数関係となっている いるところと変えられるとこ ものを多く挙げさせる その関係と ろに着目させて, 考察しやす 結び付けさせて何を とおくかを くする 全体で考えさせ, できるだけ多く出 させる 発表されたそれぞれの考えに対し パターン 1~3 以外の考え て, 解決の見通しをもつ で, 題意を適切に捉えられて いないと考えられるものは,
まとめ 5 分 グループごとに, 解決の方法として示された中から一つ選ばせる 次時は, 選んだパターンについてグループで考察し, 問題を解決していくことを伝える 具体例を用いながら説明し, 題意を正しく捉え直させる 一つのパターンに偏らないように選ばせる 9 本時の展開 (6 時間目 ) (1) 本時の目標 陸上競技トラックの問題を考察し, 解決することができる (2) 観点別評価規準 数学を用いて処理したことを現実の場面に戻して解釈し, 解決方法を説明することができる ( 数学的な見方や考え方 ) (3) 準備物 ワークシート ( 陸上競技トラックの問題 ), 解答プリント, 教科書 ( 新編数学 Ⅰ 数研出版 ) (4) 学習の展開 (6 時間目 ) 指導上の留意点 評価規準教授 学習活動 努力を要する 状況と判断し 観点 ( 教授, 学習活動 ) た生徒への指導の手立て ( 評価方法 ) 導入 5 分 前時を振り返り, 本時も 陸上競技トラックの問題 を考察していくことを伝え, 本時の流れを説明する 前時は 何を とおけばよいか を中心に考察し,3つのパターンの候補が出たことを確認する 本時は前時に選んだパターンについてグループで考察し, 問題を解決していくことを確認する 展開 40 分 グループで関数の式を作らせ, それを基にそれぞれでトラックを設計させる 関数の式を導き, 内側の長方形の面積が最大となるときを求める グループで相談しながら考察を進めさせる 平方完成が難しい生徒に対しては, 具体例 ( = 2 +2 など ) を解かせ, それを参考 に考えさせる
問題の条件から, 定義域を求める 問題の条件から, 定義域を調 べ求めた解を吟味する必要があることに気付かせたい 生徒が気付かないときは, 問題の条件を再度確認させる パターンごとの解答を求める 解答プリントを配付して, 自分の考 えとの違いに気付かせる 関数の式やグラフの違い, 定 義域の違いを比較すること 答えからどのようなトラックの形 状になるかを求め, 発表する で, 理解を深めさせる 難しい場合は, 教師が説明を 補足する 数学を用いて処理したことを現実の場面に戻して解釈し, 解決方法を説明することができる 数学的な見方や考え方 ( 行動観察, ワークシート ) まとめ 5 分 陸上競技トラックの問題を振り返り, 学んだことや感想をワークシートに記入する ワークシートに記入したことを発表させ, 全体で共有する 問題解決の流れを振り返らせ る 10 参考文献 片桐重男 (2004 年 ): 新版数学的な考え方とその指導第 1 巻数学的な考え方の具体化と指導 明治図書出版岩田耕司 ( 平成 26 年 ): 小山正孝編 教師教育講座第 14 巻中等数学教育 協同出版
ワークシート 2 次関数の最大 最小の応用 問題 競技場内に次の条件を満たす陸上競技トラックを設計したい 条件 陸上競技トラックは図のような形状とする カーブの部分は半円である 1 周 400m の陸上競技トラックにする 6 人が同時に走れるようにレーンは6つ作る 各レーンの幅は1m とする 内側の長方形の面積ができるだけ大きくなるようにする 競技場の大きさが縦 200m, 横 100m であり, 安全面を考慮して競技場の端から外側のトラ ックまでの距離を 10m 以上離す必要がある このとき, 条件を満たす陸上競技トラックを設計 せよ ポイント 何を とおくか ( 自分の解答 )
( グループでの話し合い ) 1 年 ( ) 組 ( ) 番氏名 ( )
400m 400 2 a a = 400 2 a = 400 2 a a 2 + a + 12 y a 2 y = a ( ) 400 2 = a + 12 = 2 (2 200) = 2 {( 100)2 10000} = 2 ( 100)2 + 20000 (i) y + a + 12 180 400 2 + + 12 180 ( 2) 168 400 168 400 2 (ii) a + 12 80 400 2 + 12 80 400 2 68 200 34 O 100 200 34 168 400 2 (i)(ii) 200 34 168 400 2 93.24 145.37 = 100
2 400m l 2l + 2 = 400 l = 200 y l l + 2 + 12 y = 2l = 2(200 ) = 2 2 + 400 ( = 2 2 200 ) { ( = 2 100 ) } 2 10000 2 ( = 2 100 ) 2 + 20000 2 + 12 (i) (ii) l + 2 + 12 180 200 + 2 + 12 180 32 2 y 2 + 12 80 34 (i)(ii) 100 32 2 34 28.07 34 = 31.84 O 32 2 100 34 = 100
400m 400 2 = 200 2 a a = 2 a = 2 a a 2 200 200 + a + 12 y y = a(200 ) ( ) 2 = (200 ) = 2 (2 200) a 2 a + 12 = 2 {( 100)2 10000} = 2 ( 100)2 + 20000 (i) 200 + a + 12 180 y 200 + 2 + 12 180 2 32 32 2 (ii) 12 + 2 80 (i)(ii) 34 32 2 34 88.14 106.76 O 32 2 100 34 = 100