時間に依存するポテンシャルによる 量子状態の変化 龍谷大学理工学部数理情報学科 T966 二正寺章指導教員飯田晋司
目次 はじめに 次元のシュレーディンガー方程式 3 井戸型ポテンシャルの固有エネルギーと固有関数 4 4 中央に障壁のある井戸型ポテンシャルの固有エネルギーと固有関数 3 5 障壁が時間によって変化する場合 7 6 まとめ 5
一次元のシュレディンガー方程式量子力学の基本方程式 ψ ( xt, ψ ( xt, i = + V( xt, ψ ( xt, t m x ψ ( xt, 波動関数 ( 複素数 b ψ ( xt, 粒子が( b, に存在する確率 h π 34 = h = 6.6 J s : プランク定数 m 質量 V ( x, t 力のポテンシャル V ( x, t F ( x, t = 時刻 t に位置 x にいる粒子に働く力 x
時間に依存しないシュレディンガー方程式 ψ ( xt, ψ ( xt, Vxt (, = Vx i = + V ( x ψ ( x, t t m x 時間を含まない ψ ( xt, = ϕ ( x Tt 特解 i i dt ( t d ϕ( x + V( x ϕ( x dt = m = E T ( t ϕ( x dt ( t E = ET( t T ( t = exp i t dt d ϕ ( x + V( x ϕ( x = Eϕ( x m 時間に依存しないシュレーディンガー方程式
時間に依存しないシュレディンガー方程式の解は複数ある d ϕ( x + V( x ϕ x = Eϕ x mm 一般解 E エネルギー固有値 ϕ ( x 固有関数 E ψ ( xt, = Aϕ ( xexp i t A は初期条件 ψ ( x, より決まる
井戸型ポテンシャルの固有エネルギーと固有関数 V Vx V x > = Ⅰ Ⅱ x Ⅲ V x この井戸型ポテンシャルの底に エネルギー ε < V の電子がある エネルギー障壁 V を越えて外に出ることができるか
一次元のシュレディンガー方程式 + V( x ϕ( x εϕ( x = m を解くことで考える d V Ⅰ Ⅲではε < V なので d ϕ( x + V ϕ( x = εϕ( x m m = V ε d ϕ x m = V εϕ x Ⅰ Ⅱ Ⅲ d ϕ( x = ϕ ( x x ϕ ( x = Ce + De x
Ⅱ では V ( x = なので V d ϕ ( x Ⅰ Ⅱ Ⅲ =εϕ( x m d ϕ( x m = εϕ( x k = m ε d ϕ( x = k ϕ( x ikx B ikx ϕ ( x = Ae + Be
x + のときe x x のときe x x x ϕ x = Ce + De ( x > x x ϕ x = Ce + De ( x< これらをまとめて ( x ϕⅠ x = Ce x ikx ikx ϕⅡ ( x = Ae + Be x x ϕⅢ ( x = De x x ϕ x Ce x Ⅰ = ikx ikx ϕⅡ ( x = ikae ikbe x x ϕ Ⅲ ( x = De ( x Ⅱ V Ⅰ Ⅱ Ⅲ
エネルギー固有値の計算 x = x, = でϕ xとϕ xが連続 A, BCD,,, ε が決まる x x = でϕ ( x とϕ ( x が連続 ik ik Ae + Be = Ce ikae ikbe = Ce ik ik ik ik ( x ( x Ae + Be = De V ikae ikbe = De =+ でϕ とϕ が連続 ik ik AB, を消去 ik ik ie ( ik + e ( ik e C e D ik ik = k ik( ik e ik( ik e e + +
エネルギー固有値の計算 ie C D ik k ik ik e ik( ik e ik = e + + ( ik + e ik ( ik e ik e b C b = とすると D ie = ( ik+ e ( ik e k ie ik = ik( ik + e + ik( ik e k b = e b = e ik ik { } ik { } b + = b k が決まる ε = mm k
e b b = {( k si( k + kcos( k } = k ( k si( k + k cos( k = k k k k k k k cos + ( sicos si = m = ( V ε { k k k }{ k k k } cos si cos + si = = cos( k = k si( k kcos( k = si( k si( k cos( k = cos( k k si( k = k
V の時 V si( k cos cos k = k = k= (+ =,,, + π cos( k si( k = si( k = まとめると k π (,,3, = = V の時, 井戸の外では粒子は存在しない π k =, ϕ( x = si( k( x+ =,,3,
中央に障壁のある井戸型ポテンシャルの固有エネルギーと固有関数 d ϕ ( x + μδ ( x ϕ( x = k ϕ( x E ( k = 4mˆ μ = m x = ε から x = ε まで積分して ε の極限をとると x = での接続条件 dϕ dϕ dϕ μ ϕ( + = ϕ( = ϕ( ( + = ( + μϕ( ( + = ϕ ( t k = k μ ϕ ( x ( μ + si ( k( x, < x< ( μ + 4( k = ( μ + si ( k( x +, < x < ( μ + 4( k
障壁が時間によって変化する場合 μ( t 具体例として次のような μ ( t の時間変化を考える μ = 5, N =, =.36 ψ ( xt, A( t ϕ ( xt, = d + V ( x, t ϕ( x, t = E( t ϕ( x, t m π μ + cos t <, t π μ( t =, < t < NT π π π μ + cos ( t NT < <, NT t NT π T = π
N = の場合 壁の上下によって 最初に左の領 ψ ( xt, A ( t ϕ ( xt, 域に存在する粒子を 右の領域に動かすことができる = μ = 5, N =, = 8.66, m =, のみ
おわりに 井戸型ポテンシャルでは井戸の外では粒子が存在しないことがわかった つの係数のみの時間変化を考えたが 多数の係数についての連立方程式を計算することやポテンシャルの別の時間変化に対する計算が今後の課題である
終わりに この研究ではまず 参考文献 ( 岸野正剛 量子力学 講談社 (6 に従って第 章で量子力学の基本方程式であるシュレーディンガー方程式についてまとめた 古典力学では運動方程式を計算することによって各時刻の粒子の位置や速度がわかるが 量子力学ではシュレーディンガー方程式の解である波動関数によって各時刻に粒子がどこに存在するかという確率がわかる 第 3 章で井戸型ポテンシャルにおける固有エネルギーと固有関数についてまとめた 第 4 章では 第 3 章の内容を発展させ 中央に障壁のある場合についての固有エネルギーと固有関数についてまとめた 第 5 章では さらに第 4 章の内容を発展させ 中央の障壁が時間によって変化する場合を考えた 波動関数を各瞬間のエネルギーの固有関数で展開した係数についての無限の連立方程式が得られる この論文では下からつのエネルギーに対する固有関数の係数のみを考えて その係数の時間変化を計算した 第 6 章では 全体をまとめて考察した この論文では つの係数のみの時間変化を考えたが 多数の係数についての連立方程式を計算することやポテンシャルの別の時間変化に対する計算が今後の課題である
( x d ϕ = Eϕ m ( x k m = E d ϕ ( x = k ϕ ( x 一般解 ( x Asi ( kx Bcos( kx ϕ = + ϕ = Asi k + Bcos k = si B = cos ( k ( k A ( k ( k ( k ( k ( cos( k si A si kx cos k cos kx si k ϕ ( x = Asi ( kx Acos( kx = cos A A = si ( kx k = si ( k ( x cos cos A cos( k = A ( x dϕ ϕ ( x = A k( x = ka k x si, cos(
μ ka k A k cos( ( = si ( ( t ( k = k μ μ <, μ + の場合 μ <, μ の場合 μ ± の場合 π ( + π ( + k = π k k ϕ ( x = ϕ = ( ( = { ( ( } x A si k x A cos k x = A k x = A x k x k { cos( } si = A + si k = A si ( k k k si k cos k t k si ( k = si ( k cos( k = = si k + cos k + t k si t k = k μ 4k 4k μ μ 4 k + k + 4 μ μ ( k = =
4k 4( k μ μ A si ( = + = + = k A A k k ( 4 k k + + 4 k μ μ ( μ ( μ + 4 A = + k ϕ ( x ( μ + si ( k( x, < x< ( μ + 4( k = ( μ + si ( k( x+, < x< ( μ + 4 ( k
障壁が時間によって変化する場合 時間に依存するシュレディンガー方程式 ( x, t ψ ( x, t ψ i = + V xt xt t m x ψ (, ψ (, ( x, t A ( t ϕ ( x, t = ϕ ( xt, は各瞬間のエネルギー固有関数 d + V ( x, t ϕ( x, t = E( t ϕ( x, t を満たす m A ( t に対する連立方程式 m da ( t ϕ (, m i xt = E ( ( ϕ (, m t A xt m t A t m dt t ( ( μ( t N t = + ( μ ( t + 4( k ( t ϕ xt, = N ( t si( k (( t x ϕ (, xt ϕ (, xt m t = N ( t si( k ( t( x N ( t si( k ( t( x m m t d = N ( t N ( t si( k (( t x si( k (( t x m m dt dk ( t + N ( t N ( t si( k (( t x ( x cos( k ( t( x m m dt
si( k ( t ( x si( k ( t ( x = m ϕ ( x, t ϕ ( xt, m t dk ( t = ( N ( t N ( t si( k (( t x cos( k (( t x ( x m m dt si( k ( x cos( k ( x ( x m = si(( k + k ( x ( x + si(( k k ( x ( x m m cos (( k k cos(( k + k si(( k k si(( k + k m m m m = + + + k k k + k m m ( k k ( k + k m m = { k ( k( k cos( k cos( k + k si( k si( k m m m m ( k k ( k + k m m + ( k + k si( k cos( k kk cos( k si( k } k cos( k cos( k{4( k + ( μ + ( μ } m m = = ( k k ( k + k ( μ m m m m m m ϕ (, xt ϕ (, xt m t dk ( t k cos( k cos( k {4( k + ( μ + ( μ } m m = ( N ( t N ( t m dt ( k k ( k + k ( μ m m dk ( t dt は ( ( μ( t ( k ( t ( k t μ (t t k ( t = k ( t d dk ( t (t ( = dt dt dμ( t dk ( t dk ( t t + μ t = dt cos k ( t dt dt ( k ( t ( k ( t + ( k t dk ( t cos ( si ( d μ ( t = dt μ( t cos ( dt
ϕ (, xt ϕ (, xt m t cos ( si ( ( k t k t dμ t k k k + + = ( N ( t N ( t m ( cos ( dt μ t + k t dμ( t si ( k ( t si k ( t m ( = ( N ( t N ( t m dt k k m cos( k cos{4 ( μ ( μ } m m ( k k ( k + k ( μ m m ( k t m ( k t da ( t si si m i dμ( t = E ( t A ( t ( N ( t N ( t A ( t m m m dt dt k k m
具体例として次のようなμ( t の時間変化を考える π μ cos t, t < + π μ( t =, < t < NT π π π μ cos + ( t NT, NT < t < NT π μ = 5, N =, =.36 T = =, =, m =, μ = 5 としたk ( t は π μ = 5, N =, =.36
初期条件として si( πx ; x < ψ (, x = ; x > 偶関数部分と奇関数部分に分ける ψ (, x = ψ (, x + ψ (, x ψ ( x, = si( πx, ψ ( x, = si( π x odd eve odd eve ψ π π π π ( xt, = si( x exp( i t = si( x exp( i t / T odd ψ odd (, xnt = ψ (, x odd = ( x t ψ ( xt, = A ( t ϕ, eve μ ( = が大きいので A( =, ( = となると考える A ANT =, A ( NT = であれば ; x < ψ(, xnt = si( πx ; x >
da ( t i = E ( = t A ( ( ( t ik t A t dt をMthemticで数値計算 μ = 5, N =, =.36, m = のみ μ = 5 を固定して を変えた場合のAT =.36 付近でAT = μ = 5, N =, m = のみ
( k t m ( k t da ( t si si m i dμ( t = E ( t A ( t ( N ( t N ( t A ( t m m m dt dt k k m μ = 5, N =, =.36, m =, のみ ψ (, xt ψ ( xt, + At ( ϕ xt, odd を図示する μ = 5, N =, =.36, m =, のみ
N = の場合 μ = 5, N =, m = のみ μ = 5, N =, = 8.66, m =, のみ μ = 5, N =, = 8.66, m =, のみ