第 4 章誘導起電力
Φ 磁界中のコイルと磁束 ( 復習 ) : コイルの断面積 Φ : コイルを貫く磁 力線 ( 磁束 ) B B θ : コイル面と磁界 Φ θ のなす角 B: 磁束密度 a) 磁界に対して垂直 b) 傾きθ の位置図 a) のように, 面積 の1 回巻きコイルをΦ の磁力線が貫くときを考える このような磁力線の数を磁束 (magnetic flux) と呼び,[Wb( ウェーバー )] という単位で表す また, 単位面積あたりの磁束を磁束密度といい B で表すと, Φ = Bとなる 一般的に磁界を表すときは, この磁束密度 Bを用いる 図 b) のように, 磁界 B に対してコイルが θ の角度を持つとき,ΦΦ = Bcosθ となる また, 磁界の強さをHとすると,Φ = μ 0 Hとなる
磁石による電磁誘導 コイルと検流計を直列に接続し, 磁石を 1 個用意する N N N コイルに永久磁石 永久磁石の動きを コイルから永久磁 を近づけると, 検流計の針は一方へ動く 止めると, 検流計の針の動きも止まる 石を離すと, 検流計の針は初めとは逆方向に動く 永久磁石による磁界の変化を妨げるようにコイルに電流が流れる
磁石による電磁誘導 (Faradayy の実験 ) コイルに電流計をつけて電流を計る (a) 磁石を近づける (b) 磁石を止める (c) 磁石を離す I B I B N N N I B 0 (b) (c) () (a) 電流計の指示
コイルによる電磁誘導 (Faradayy の実験 ) 磁石を大きなコイルに変えて, 電池とスイッチを用意する I B I B I A I A I A (a) (a) W-ON (b) W-ON 電流 I A が流れ始める電流 I A が流れ続ける (b) (c) (c) W-OFF 電流 I A を止める I A 0 大コイルの電流 I B (a) (b) (c) 0 電流計の指示
Lenz の法則 Faradayは電磁誘導に関する様々な実験から, 誘導起電力 V は, 大きさが回路を貫く磁束 Φ, すなわち回路を垂直に貫く磁力線の数 Φ の時間的変化の割合に比例する ことを発見した これをFaradayの法則 (1831) という 同様に,Lenzは, 誘導起電力, したがって誘導電流は, それによって新しく生ずべき磁束が, もとからその回路を貫いている磁束 Φ の変化を妨げる向きに起こる ことを発見し, これをLenzの法則 (1834) という これらを磁束 Φ, 時間 t, 誘導起電力 V を用いて表すと, となる dφ V = k MKA 単位系を用いて, 誘導起電力 V [V], 磁束 Φ [Wb], 時間 t [s] を表すと, 比例定数 k =1となる
コイルによる誘導起電力 n Φ スイッチを入れたり切ったりすると, その速度に比例した電流がプラス, マイナス交互に電流計に表示される コイル面を貫く磁束が変化するとコイルに誘導起電力 (induced electromotive force) が生じ, その結果電流が流れる コイルの巻き数を n, コイルを貫いた磁束を Φ とすると, 誘導起電力 V は, となる V dφ = n t
導体板と磁界 導体板に磁石を近づけると, 導体内に渦状に電流が流れる これを渦電流という 導体には電気抵抗があるため, この電流によってジュール熱が発生する このような加熱法を誘導加熱と呼び, これを利用したのが電磁調理器 ( IH: Induction Heater ) である 電磁調理器 コイルに高周波 (25kHz) の電流を流すと, コイルによって発生する磁界の変動により鉄やアルミの鍋に渦電流が発生し, 中の食材を加熱することができる
モーターの概念図 コイル 整流子 N ブラシ リード線
交流発電機 図のような長方形 面積 の導線を の導線を XX XX 軸を中心 に角速度 ω で矢印方向に 回転させると コイルの面を 磁束 Φ が貫く この貫いた 磁束がコイル内に起電力を 生じる コイルが回転すると 生じる コイルが回転すると き コイルの法線と磁界B のなす角度 θ は θ = ωt とな る この装置(図)はモーター の逆原理で 発電機の基本 構成となる 構成となる
磁界の中で回転するコイル 面積 のコイルが一様な磁場内で角速度 ω で回転するとき, コイル面と磁束密度 B のなす角度を θ (= ωt) とすると, コイルを貫く磁束 Φ は Φ = Bcosθ = Bcosωt となり, 電磁誘導からコイルに生じる誘導起電力 V c は, dφ V c = = B ω sin ω t = V0 ω sin ω t となる ただし,V 0 は誘導起電力の最大値 ( 振幅 ) である 0 N ω θ ω θ = ωt このようにコイルを使った発電では, 時間の経過と共に方向が変わる電流が発生する このような電流を交流という
コイルの磁束と誘導起電力 B B Bω V c Φ = T 2 Bcosωt T t 図中の V c の周期 (cycle) T[s], すなわち 0 ( ゼロ ) から 0 ( ゼロ ) までの時間はコイルの回転周期に等しい このときの1 秒当たりの振動数を周波数 (frequency) f といい, その単位をヘルツ [Hz] で表す また, 角速度 ( または角周波数 ) ω は, a) コイルの磁束変化 2 ω = = 2 f T dφ と表される π π Bω T 2 T t b) コイルへの誘導起電力
コイルによる自己誘導 回路に流れている電流 I が, 抵抗ヘンリー [H,(=V s/a)] で表す や起電力の変化によって変わるとき, この電流による磁場も変化し, それ自己インダクタンスに応じた誘導起電力が生じる この N 回巻きで断面積, 長さ l のコイ誘導起電力は電流変化と反対の方ルに透磁率 μ の磁性体が入ってい向に発生する このような現象を自己誘導 (self-induction) という いま, るとき, 単位長さ辺りの巻き数が n = N / l より, 磁束密度 B は, 電流変化によって回路を横切る磁束の変化を dφ とすると,dΦ は電 B = μni = μni / l 流変化 di に比例するので, となる 磁束 Φ = B = μni / l より, d Φ = LdI 誘導起電力 Vは, 2 となる この dφ による誘導起電力 dφ N d I V = N = μ V はファラデーの法則から, l dφφ di I となり, 自己インダクタンス L は, V = = L 2 N となる 式中の L はコイルよって決 L = μ l まる比例定数で, 自己インダクタンス (self-inductance) といい, 単位はとなる
コイル対による相互誘導 2つのコイルを, 図のように近づけておき, コイル 1 に電流 I 1 を流す コイル1 の電流が, 時間 の間に di だけ変化すると, コイル 1に di による磁束変化 dφ が現れる この磁束変化が, 電流の流れていなかったコイル2を貫き, コイル内に比例定数 M 21 を通して, di1 V21 = M21 の誘導起電力を発生させる この現象を相互誘導 (mutual induction) という 比例定数 M 21 は, コイル2の M 12 L 1 L 2 B I 1 M 21 nφ = I I 1 Φ となる この比例定数 M 21 を相互インダクタンス (mutual inductance) といい, 単位は自己インダクタンスと同様にヘンリー [H] で表す 巻き数 n, およびコイル 1 の電流 I 1 や磁束 Φ などで決められ,
変圧器 強磁性体のリングに図のように2 つのコイルを巻き付けたものを変圧器という 電源をつないだコイルを1 次コイル, もう一方のコイルを2 次コイルといい, 入力する電源には交流電源を用いる N1 回巻きの1 次コイルと N2 回巻きの 2 次コイルを用い, 1 次コイル側にV1(t) の交流電源をつなぐと, コイルには, dφ V1 = N1 の磁束変化が生じる 磁束がリングから漏れないとすると,2 次コイルには, dφ V2 = N2 t の誘導起電力が生じる このときの 巻き数 N 1 巻き数 N 2 電圧 V 1 電圧 V 2 内部の磁束 Φ 誘導起電力の比をとると, N 2 2 V1 N 1 V = という関係が得られ, 電圧を変えることができるということがわかる なお, 電力の消費がないと仮定すると, エネルギー保存の法則より, 次式が成り立つ V I = V 1 1 2I2
コイルに蓄えられるエネルギー コイルに電流を流すと, 磁界が変化し, 誘導起電力により, その磁界の変化を妨げようとする そのため, コイルに電流を流すためには, 電源にこの起電力に逆らって仕事をしなければならない 仕事率 ( 電力 ) は P = dw / = IV であり, 誘導起電力は V = LdI / で表されるので, この起電力に逆らってする仕事は, dw di d 1 2 = LI = LI 2 となる これより電流が I になるまでにする仕事 W は, dw 1 2 W = = LI t 2 となる トランスの応用 点火プラグ 非接触式充電器
例題 例題 1 半径 rの円を考える コイル内に発図のように単位長さあたりn 回巻か生する磁界は,B B = μ 0 ni で, 図のよれた半径 Rの長いソレノイドがある うに対称性から電界は円に接する電流 Iが変動しているとき, ソレノイド方向にできる 円内の磁束は,Φ = 内外の電界の強さを求めなさい B =(μ 0 ni)(πr 2 ) で, 誘導起電力は, r r V = E dr = 2πrE である よって, V = より, 2 μ 2π re = dφ / = πr 0ndI / 0nr di E = μ, ( r < R) 2 d t となる また, ソレノイド外側では,Φ = μ 2 0 ni(πr ) で一定なので, 0nR di E = μ, ( r > R) 2 r d t となる 2
例題 例題 2 図のように半径 a の導体とこれと絶縁された半径 bの導体円筒で構成された同軸ケーブルがある 内側を電流 Iが流れて外側を Iの電流が流れる 1) 単位長さあたりの自己インダクタンスを求めなさい 2) 電流が変化することによる, 内部の導線内の電界の強さを求めなさい 1) アンペールの法則より,aからb の間には,B B = μ 0 I / 2πr で求められる電流が流れる 半径 rでの幅 drの区間を貫く磁束密度は, μ0i dφ = Bdr = dr 2πr なので, ケーブル内の磁束密度は, bμ I Φ = = a 2πr μ I ln( b / a ) 2π 0 0 d r a となる これより, dφ μ ln( b / a) di V = = 0 2π となるので, である L = μ ln( b / 2ππ 0 a )
例題 例題 3 図のように半径 a の導体とこれと絶縁された半径 bの導体円筒で構成された同軸ケーブルがある 内側を電流 Iが流れて外側を Iの電流が流れる 1) 単位長さあたりの自己インダクタンスを求めなさい 2) 電流が変化することによる, 内部の導線内の電界の強さを求めなさい V 2) アンペールの法則より, 磁束密度は, μ0ri B = ( r < a) 2 2 π a μ0 I B = ( a < r < b) 2 π r B = 0 ( b < r ) となる よって図の区間内の磁束は, x Φ = l B d r' = l B d r' + l d r' r 2 2 a r 1 a = l μ 0I + ln 2 4πa 2π b よって誘導起電力は, 2 2 dφ a r 1 a di El l 0 ln 2 4 a 2 b = = = μ + π π となる これは, 中心で一番大きい r b b a
例題 例題 4 図のようにインダクタンス L で抵抗 Rのコイルを起電力 V 0 の電池につないで, スイッチを入れた スイッチをを入れたときの時刻をt = 0とすると, 流れる電流 I(t) を求めなさい V 0 R I t 電流が変化するとV = LdI /の誘導起電力が生じる よって, V LdI / = 0 となる これは, RI di R V0 = I L R と書くことができ,V 0 は定数なので, d V 0 R V 0 I = I R L R となる 微分して元に戻る関数であることから解はAを定数として, Rt / L 0 / I V R = Ae とすればよい t =0で I =0なので, A = V 0 /Rであることがわかり, I となる = V0 (1 e Rt / L )/ R