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まなみおか
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メトロノームの同期現象宮崎大学工学部情報システム工学科 1 伊達章はじめに 1 日のリズム 1 週間のリズム 1 年のリズム世の中にはいろいろなリズムがある天体の運動呼吸時計もっと速いのはコンピュータのクロックシグナル我々はいろいろなリズムに囲まれて生活しているここでは単純にほぼ一定の周期で同じ出来事が繰り返す現象をリズム現象と呼ぼう

では特別実験講座として小型のメトロノームを実際に触って実験できる環境を提供しメトロノームの同期現象を紹介した図 1 左本実験は数万円程度の予算で手間もかからずインパクトのある実験ができる比較的単純な数式を扱うだけで同期のしくみについて直観的な理解ができる点もよい会場ではペットボトル振動子図 1 右についても実物を用意し実験することも考えたが

1 メトロノームの同期現象宮崎大学工学部情報システム工学科 1 伊達章はじめに 1 日のリズム 1 週間のリズム 1 年のリズム世の中にはいろいろなリズムがある天体の運動呼吸時計もっと速いのはコンピュータのクロックシグナル我々はいろいろなリズムに囲まれて生活しているここでは単純にほぼ一定の周期で同じ出来事が繰り返す現象をリズム現象と呼ぼう一つのリズムだけを考えると同じ出来事が繰り返すだけであるがリズムとリズムがお互いに影響し合うとそこに同期という現象がおこる点が面白い神経の興奮心臓の鼓動などとくに生体にはリズムが自発的に揃う引き込みと呼ばれる現象があるこのような自然発生するリズムとその同期は生活の中にある身近な材料を用いて確認できる [17, 24, 36] 研究集会偏微分方程式と現象では特別実験講座として小型のメトロノームを実際に触って実験できる環境を提供しメトロノームの同期現象を紹介した図 1 左本実験は数万円程度の予算で手間もかからずインパクトのある実験ができる比較的単純な数式を扱うだけで同期のしくみについて直観的な理解ができる点もよい会場ではペットボトル振動子図 1 右についても実物を用意し実験することも考えたがメトロノームの場合と比較し手間がかかる割に得られる効果が少ないため割愛したそのほかの身近な材料を使っても振動子を作成できる興味ある読者には文献 [24, 36] をおすすめしたい図 1: メトロノームの同期現象左ペットボトル振動子右以下本稿は単純な数理モデルを使い同期現象を理解する最短経路の一つを紹介するできれば高校生でも内容が理解できるようにしたい内容が初歩的すぎるという読者には

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3 2: 2 [17,36] ω

4 dθ dt = ω (1) θ = θ(t) ω t θ 0 θ < 2π 0 π dθ 1 dt dθ 2 dt = ω ( sin(θ 1 θ 2 ) ) (2) = ω ( sin(θ 2 θ 1 ) ) (3) θ 1, θ ω 1, ω ω 1, ω 2 t θ 1 θ 1 (t), θ 2 (t), ω [10] ω 1 = ω 2 = ω 2 θ 1 θ 2 > θ = θ 1 θ 2 > 0 2 ω 1 0, 05 sin θ sin θ > 0 1 ω 2 ω 1 2 θ 1 = θ

5 cos Θ1, cos Θ ω1=ω2=1.0 Θ = Θ 1 -Θ ω1=ω2= Time Time 3: ω 1 = ω 2 = 1.0 k = 0.05 θ 1 = 1.5, θ 2 = 0.0 θ = 0 k = 0.05 > k < 0 π [17] 5 k>0 0 π 2π θ k<0 0 π 2π θ 4: θ = ω 1 ω 2 2k sin θ θ > 2k sin θ θ 2 ω 1 ω 2 ω 1 = ω = k

6 5: o [1] p.135 θ = θ 1 θ 2 d dt (θ 1 θ 2 ) = (ω 1 ω 2 ) 2k sin(θ 1 θ 2 ) (4) d dt θ = (ω 1 ω 2 ) 2k sin θ (5) 1 sin θ 1 ω 1 ω 2 2k 2 d dt θ = 0 θ sin θ = w 1 w 2 2k (6) θ 0 sin θ θ θ w 1 w 2 2k (7) w 1 = 1.05, w 2 = 1.00, k = 0.05 θ = θ 1 θ 2 w 1 w 2 2k = = 0.5 (8)

7 1.0 ω1=1.05, ω2= ω1=1.05, ω2=1.0 cos Θ1, cos Θ Θ = Θ 1 -Θ Time Time 6: ω 1 = 1.05, ω 2 = 1.0 k = 0.05 θ 1 = 1.5, θ 2 = 0.0 θ = ω 1 ω 2 2k ω 1 = 1.2, ω 2 = 1.0, k = 0.05 ω 1 ω 2 = 0.2 > 0.10 = octave metronome.oct octave 1 # 2 # metronome.oct 3 # 4 global omega1 omega2 k; 5 6 k = 0.05; 7 omega1 = 1.05; 8 omega2 = 1.00; 9 10 function dx = metro(x,t) 11 global omega1 omega2 k;

8 1.0 ω1=1.2, ω2=1.0 1 ω1=1.2, ω2= Θ = Θ 1 -Θ cos Θ Time Time 7: ω 1 = 1.2, ω 2 = 1.0 k = 0.05 θ 1 = 1.5, θ 2 = 0.0 θ 12 dx(1) = omega1 - k*sin( x(1) - x(2) ) ; 13 dx(2) = omega2 - k*sin( x(2) - x(1) ) ; 14 end t=linspace(0,100,1000); 17 x=lsode("metro",[1.5; 0.0],t); # [1.5;0.0] are initial values for theta(1) and theta(2) 18 plot( t,cos(x(:,1)), "r;theta1;"); # theta1 is plotted in red line 19 xlabel ("t"); 20 ylabel ("cos theta1, cos theta2"); 21 hold on 22 plot(t,cos(x(:,2)),"g;theta2;" ); # theta2 is plotted in green line 23 pause clf 26 plot( t, x(:,1)-x(:,2) ); # see the phase difference 27 xlabel ("t"); 28 ylabel ("delta theta"); 29 pause 100 octave GNU Scientific Library (GSL) C 5 1 fmri

9 5.1 [1, 2, 25 29] [19, 20, 23] 20 [1 3] [31,35] [3, 11, 15] 5.2 binding problem [7,16,26,27,33,34] [19, 26, 27, 34] 1

10 [21] [4 6, 8, 30] 2, John J. Hopfield [11 16] Christoph von der Malsburg [31, 32, 34, 35] Stuart Geman [7 9] ,3 2,3

11 [1].., 55: , July [2].., 106(5): , Feb [3]..,, [4] E. N. Brown, R. E. Kass, and P. P. Mitra. Multiple neural spike train data analysis: stateof-the-art and future challenges. Nature Neuroscience, 7: , [5] G. Buzsáki. Large-scale recording of neuronal ensembles. Nature Neuroscience, 7: , [6] A. Date, E. Bienenstock, and S. Geman. On the temporal resolution of neural activity. Technical report, Division of Applied Mathematics, Brown University, Providence, RI, USA, May [7] S. Geman. Invariance and selectivity in the ventral visual pathway. Journal of Physiology, Paris, 100: , [8] S. Geman, A. Amarasingham, M. Harrison, and N. Hatsopoulos. The statistical analysis of temporal resolution in the nervous system. Technical report, Division of Applied Mathematics, Brown University, Providence, RI, USA, [9] S. Geman, D. Potter, and Z. Chi. Composition systems. Quarterly of Applied Mathematics, LX: , [10].., [11] J. J. Hopfield. Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities. Proceedings of the National Academy of Science U.S.A., 79: , [12] J. J. Hopfield. Pattern recognition computation using action potential timing for stimulus representation. Nature, 376:33 36, [13] J. J. Hopfield. Searching for memories, Sudoku, implicit check bits, and the iterative use of not-always-correct rapid neural computation. Neural Computation, 20: , [14] J. J. Hopfield. Neurodynamics of mental exploration. Proceedings of the National Academy of Science U.S.A., 107: , [15] J. J. Hopfield, D. I. Feinstein, and R. G. Palmer. Unlearning has a stabilizing effect in collective memories. Nature, 304: , [16] J. J. Hopfield and A. V. M. Herz. Rapid local synchronization of action potentials: toward computation with coupled integrate-and-fire neurons. Proceedings of the National Academy of Science U.S.A., 92: , [17].., 2007.

12 [18],.., [19] M. S. Livingstone. Oscillatory firing and interneuronal correlations in squirrel monkey striate cortex. Journal of Neurophysiology, 75: , [20] Y. Miyashita. Neuronal correlate of visual associative long-term memory in the primate temporal cortex. Nature, 335: , [21] Y. Miyashita, A. Date, and H. Okuno. Configurational encoding of complex visual forms by single neurons of monkey temporal cortex. Neuropsychologia, 31: , [22],,.., [23] W. T. Newsome, K. H. Britten, and J. A. Movshon. Neuronal correlates of a perceptual decision. Nature, 341:52 54, [24],.., pp. 7 13, [25] T. J. Sejnowski. Sleep and memory. Current Biology, 5: , [26] M. P. Stryker. Cortical physiology: Is grandmother an oscillation? Nature, 338: , [27] M. P. Stryker. Seeing the whole picture. Current Biology, 1: , [28] M. P. Stryker. Temporal associations. Nature, 354: , [29] M. P. Stryker. Elements of visual perception. Nature, 360: , [30].., 17: , [31] C. von der Malsburg. Self-organization of orientation sensitive cells in the striate cortex. Kybernetik, 14:85 100, [32] C. von der Malsburg. The correlation theory of brain function. In E. Domany, J. L. van Hemmen, and K. Schulten eds., Models of Neural Networks II: Temporal Aspects of Coding and Information Processing in Biological Systems, pp Springer-Verlag, New York, [33] C. von der Malsburg. The what and why of binding: The modeler s perspective. Neuron, 24:95 104, [34] C. von der Malsburg and J. Buhmann. Sensory segmentation with coupled neural oscillators. Biological Cybernetics, 67: , [35] D. J. Willshaw and C. von der Malsburg. How patterned neural connections can be set up by self-organization. Proceedings of the Royal Society of London Series - B: Biological Sciences, 194: , [36],..,, pp ,, 2005.

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{x 1 -x 4, x 2 -x 5, x 3 -x 6 }={X, Y, Z} {X, Y, Z} EEC EIC Freeman (4) ANN Artificial Neural Network ANN Freeman mesoscopicscale 2.2 {X, Y, Z} X a (t ( ) No. 4-69 71 5 (5-5) *1 A Coupled Nonlinear Oscillator Model for Emergent Systems (2nd Report, Spatiotemporal Coupled Lorenz Model-based Subsystem) Tetsuji EMURA *2 *2 College of Human Sciences, Kinjo