られる DT をとするときは a 図 π kn [ ]k,n = ejφk,n, φk,n = のように表現され二次元 DT の atom は Bnk,n,k =, DT の atom B R j φk,n +φk,n e となることから指向性をもつことがわかる図 b b DT real

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ありさしげまつ
5 years ago
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1 第回信号処理シンポジウム 0年月日 0日関西大学双直交指向性離散コサイン変換の設計 Design of Biorthogonal Directional Discrete Cosine Transforms 市田智大京地清介鈴木大三田中雄一北九州市立大学大学院国際環境工学研究科筑波大学システム情報系東京農工大学大学院工学研究院 Tomohiro ICHITA Seisuke KYOCHI Taizo SUZUKI Yuichi TANAKA The University of Kitakyushu University of Tsukuba Tokyo University of Agriculture and Technology アブストラクト本論文では指向性離散コサイン変換前述の重複変換とは異なり離散フーリエ変換 DT: : Directional Discrete Cosine Transform を拡張 Discrete ourier Transform [] 離散コサイン変換した双直交指向性離散コサイン変換 B: Biorthog- : Discrete Cosine Transform [] といったブロッ onal を提案するは直交行列である離ク変換は atom が互いに重複しておらず各々のブロッ散コサイン変換 : Discrete Cosine Transform とクで変換が完結するため並列処理化やメモリ使用効率に離散サイン変換 DST: Discrete Sine Transform の並列おいて重複変換よりも有利であり画像符号化をはじめ可分型二次元変換によって構成され画像のテクスチャが様々なアプリケーションに適用されているしかし指向持つ多方向の指向性を解析できる利点を持つ本論文で性を有するブロック変換に関しては重複変換と比較してはと DST が変調フィルタバンクの特殊例である疎表現効率が劣るためこれまで十分な検討がされていなとみなしそのプロトタイプフィルタのパラメータを与かったそこで DT やに比べより豊富な指向性える正則行列を /DST に乗じることで指向性を維 atom の方向数を持つブロック変換として指向性離持したままよりも高い性能符号化利得等を散コサイン変換 : Directional [0] が提案有する双直交変換を実現する B の性能評価としされているこの変換はと DST DST: Discrete て画像復元に適用しに比べて高い復元性能を有 Sine Transform の並列可分型二次元変換により構成さすることを示すれブロック変換の利点である演算量並列演算メモリ使用効率面での優位性を保持しつつ高い画像解析処はじめに理能力を実現している近年画像の解析や加工復元技術のための画像疎表現本研究ではを拡張した双直交指向性離散コサ [], [] を与える画像変換として詳細なテクスチャが有すイン変換 B: Biorthogonal を設計しる多様な指向性を捉える Curvelet [] Contourlet [] やの性能を向上させるを構成する指向性フィルタバンク [] 複素ウェーブレットフィル DST は変調フィルタバンクの特殊例プロトタイプフィタバンク [], [] 等の指向性変換が提案され有効性が示ルタの係数が全てであるとみなすことができるためされている /DST にプロトタイプフィルタのパラメータを与えしかし従来の指向性変換は計算負荷を伴うため計算る正則行列を乗じて双直交化を行うことで指向性を保資源の十分でないデバイスで扱う際に問題が生じる例持したままよりも高い性能阻止域減衰量符号えば Contourlet における二次元フィルタは一次元フィ化利得等 [] を実現するルタに比べて大きな演算量を要するまた複素ウェーブレットのように一次元フィルタによって実現できる手法以降本論文を以下のように構成する節では従来のも存在するが atom 基底フレームの要素が互いに代表的なブロック変換指向性ブロック変換として重複しているため重複変換並列処理化が困難である DT を述べる節で提案法である B を導入する性能評価として B を画像復元欠損画像補間の実験に適用する最後に節で本論文を結ぶことあるいは画像全体のメモリアクセスが必要になる点が問題として挙げられる - -

られる DT をとするときは a 図 π kn [ ]k,n = ejφk,n, φk,n = のように表現され二次元 DT の atom は Bnk,n,k =, DT の atom B R j φk,n +φk,n e となることから指向性をもつことがわかる図 b b DT real part k,k DT は指向性を有する atom を形成できるが問題点がある例えば図

ΩN := {0,, N } ΩN,N := {N,, N } I は単位行列 A は A の転置行列 xi [x]i はベクトル x の第 i 成分 Xi,j [X]i,j はのを D とし定義を以下に示す D :=P 行列 X の第 i, j 番目の要素とする Xi,j R xnr j+i = Xi,j とする bvecx R L L は行列ここで C はのであり S

2 られる DT をとするときは a 図 π kn [ ]k,n = ejφk,n, φk,n = のように表現され二次元 DT の atom は Bnk,n,k =, DT の atom B R j φk,n +φk,n e となることから指向性をもつことがわかる図 b b DT real part k,k DT は指向性を有する atom を形成できるが問題点がある例えば図 b の k, k = と k, k = を = 見ると同一帯域を示す atom が重複して含まれていることにより豊富な指向性が得られないため画像解析の効率が低下すると考えられる表記 R は実数の集合を表す N 次元の実数係数ベクトル空間を RN と表記する Nr 行 Nc 列の実数係数行列の全体を RNr Nc とする小文字大文字の太字はそれぞれベクトル行列を表す j := ΩN := {0,, N } ΩN,N := {N,, N } I は単位行列 A は A の転置行列 xi [x]i はベクトル x の第 i 成分 Xi,j [X]i,j はのを D とし定義を以下に示す D :=P 行列 X の第 i, j 番目の要素とする Xi,j R xnr j+i = Xi,j とする bvecx R L L は行列ここで C はのであり S は次式で定義される DT のを C とするとき C は次式で定義される π [C ]k,n = αk cosθk,n, θk,n = k n+ ここで k は周波数変数 n は時間変数 k, n Ω と k [S ]k,n sin π n + = sin π k n + k = 0 k = 0 これはすなわち type-ii DST を行に関して行周期前提事項し α0 = I X R L L のブロック毎のベクトル化 bvecx = [vecx0,0 vecx,0 vecxl,l ] とするはクロネッカー積を表す [ ] I C C P, S S I I I は行列 X R L L i ΩL, j ΩL の i, j 番目の小ブロックとする行列 X RNr Nc に対して vecx RNr Nc は X のベクトル化 I = 0 αk = k = 0 とするは信号の疎表現に優れており圧縮等に適用されているが画像の詳細なテクスチャが有する多様な指向性を効率よく表現することができないことが難点であるこれはす k,k なわち二次元の基底に含まれる atom を Bn,n とするとき Bnk,n,k = αk αk シフトした行列である I R I b, P b P b R は単位行列 P = diagp b b b R は置換行列とする P P = I 具体的に P は二次元のサブバンドインデックスが k = 0 または k = 0 である個のまたは DST 係数を先頭にその他の k = 0 かつ k = 0 であるような個の係数をその後ろに並べ替える行列であるの変換のフローを図に示すと DST の和/差である二つの可分型ブロック変換を並列処理するためや DT のブロック変換と比較すると演算量は多くなるしかし Curvelet や Contourlet 等の重複変換と比較すると演算量は少ない最後にの atom の指向性を確認するは定義より D を用いて D D = I が成り立つこれ cos θk,n cos θk,n, はがパーセヴァルフレームを形成することを意味しパーセヴァルフレームの atom は D を調べればよいのように指向性が無いことに起因する図 a 一方の atom には二次元と二次元 DST の atom 指向性を有する代表的なブロック変換として DT が挙げの他に二次元と DST の atom の和/差が含まれて - -

とで阻止域減衰量や符号化利得 [] 等の指標に対して性 0 能の高いフィルタバンクを用いた並列可分型二次元変換を設計する以下で /DST のプロトタイプフィルタの 0 D 0 係数を変更して得られる双直交 B: Biorthog- 0 0 0 0 onal および双直交 DST

と設定するを使用することにより B を BC BC = C P a Bk,k, 図 p0 p 割形状灰色は上側と下側から出力されるサブ p/ と定義する次に行列 Q を Q= b Bk,k, p/ p +/ p p0 p p p +/ の atom = p/ 0 おり atom

の atom を示すと図よりの atom は指向性を有していのように定義するの行列 P Q によって以下のようにプロトタイプフィルタが与えられることが分かるることがわかるサブバンドインデックスが k = 0 または k = 0 であるサブバンドは指向性を持たないため

fk,n = p +/ n p +/+n k : odd の指向性を保持しながら更なる性能向上を目的とした B の構成を説明するはとである以上のを使用しの C を BC DST の並列可分型二次元変換であり使用するとに S を BS に置き換えることで B が構成され

3 とで阻止域減衰量や符号化利得 [] 等の指標に対して性 0 能の高いフィルタバンクを用いた並列可分型二次元変換を設計する以下で /DST のプロトタイプフィルタの 0 D 0 係数を変更して得られる双直交 B: Biorthog onal および双直交 DST BDST: Biorthogonal] [ DST を定義するパラメータ p = p0 p に対して行列 P を 'LUHWLRQDO XEEDQG LJQDOV D DST P= 図 0 p +/ p p の変換フロー = と二次元周波数分 p +/ p/ バンドを表すと設定するを使用することにより B を BC BC = C P a Bk,k, 図 p0 p 割形状灰色は上側と下側から出力されるサブ p/ と定義する次に行列 Q を Q= b Bk,k, p/ p +/ p p0 p p p +/ の atom = p/ 0 おり atom の和/差をそれぞれ Bk,k,, Bk,k, R k, k Ω, Ω, とするとそれらはと設定する 0 を使用することにより BDST を BS Bnk,n,k,± = Cnk,n,k ± Snk,n,k = cos θk,n θk,n, BS = S Q のように表すことができる図にの atom を示すと図よりの atom は指向性を有していのように定義するの行列 P Q によって以下のようにプロトタイプフィルタが与えられることが分かるることがわかるサブバンドインデックスが k = 0 または k = 0 であるサブバンドは指向性を持たないための行列のサイズがであるときの方向選択数はとなる [BC ]k,n = fk,n [C ]k,n [BS ]k,n = fk,n [S ]k,n ただし双直交指向性離散コサイン変換 fk,n = p +/ n + p +/+n k : even 前節ではの構成について述べた本節では fk,n = p +/ n p +/+n k : odd の指向性を保持しながら更なる性能向上を目的とした B の構成を説明するはとである以上のを使用しの C を BC DST の並列可分型二次元変換であり使用するとに S を BS に置き換えることで B が構成され DST は変調フィルタバンクの特殊例プロトタイプフィルるはパーセヴァルフレームであり D D = I タの係数が全てであるとみなすことができるであったが B はプロトタイプフィルタ係数行列 DST のプロトタイプフィルタの係数をカスタマイズするこを乗じたため BD BD = I となるような双直交変換と - 0 -

a Bk,k, 図 a Barbara b Zoneplate c andrill b Bk,k, B の atom = なるここで BD は以下のように計算できる [ ] :=

一般化が実現できていることが分かる d Lena e 図 g f h a d: 原画像 e h: 観測画像原画像の %の画素数表符号化利得 B 化利得がよりも高い

本論文では画像解析のための指向性変換である Zoneplate andrill Lena の枚図 a d 参照の性能向上のために拡張を施した B を提案したを用いた

ンダムに欠損させたものを使用する図 e h は原画の持つ方向選択数を保持したまま更に良い性能像の %の画素で構成された画像観測画像から原画像を変換係数の L

実験結果では拡張前のよりも拡張の他に DT Discrete Hartley Transform [] を使用したブロックサイズは = に設後の B

実験に使用する画像復元問題を以下のように定式化する LAB の関数 fminunc を用いて最大化することで決定 x = arg min ρ x + ιc[0,] x + v Φx,

bvecx X RNr Φ は劣化過図に示すまた文献 [0] で指摘されているように程を示し ι x は指数関数とするはブロック毎 A /B では DC

[0 ]k,n = / を用いて BD I とした変換を画像復元に適用する [0 ]k,n = / を用いて C[0,] は各要素が [0, ] に含表と図に実験結果を示す

4 a Bk,k, 図 a Barbara b Zoneplate c andrill b Bk,k, B の atom = なるここで BD は以下のように計算できる [ ] := BC BC BS BS BD I I I P P I I I = の場合の B の atom を図に示す図より明らかにの指向性を保持したまま双直交への一般化が実現できていることが分かる d Lena e 図 g f h a d: 原画像 e h: 観測画像原画像の %の画素数表符号化利得 B 化利得がよりも高いこれはすなわち疎表現効率が改善されたことに起因している実験本節では提案法である B の性能を欠損画素補間によって評価する比較に使用した画像として Barbara 結論本論文では画像解析のための指向性変換である Zoneplate andrill Lena の枚図 a d 参照の性能向上のために拡張を施した B を提案したを用いた欠損画素補間の性能比較のため観測画像と拡張前の同様にブロック処理が可能であり従して枚の画像に %のそれぞれの確率でラ来の重複フレーム処理よりも演算面で効率が良い更にンダムに欠損させたものを使用する図 e h は原画の持つ方向選択数を保持したまま更に良い性能像の %の画素で構成された画像観測画像から原画像を変換係数の L ノルムの正則化を用いて復元を行うで指向性変換を実現できることが分かった実験では B の性能を欠損画素補間を用いて評詳細は付録参照比較する対象として拡張元である価を行った実験結果では拡張前のよりも拡張の他に DT Discrete Hartley Transform [] を使用したブロックサイズは = に設後の B の方が優れた復元精度が得られた定した B のプロトタイプフィルタの設計に関しては画像の疎表現の効率を評価する符号化利得を AT- 付録実験に使用する画像復元問題を以下のように定式化する LAB の関数 fminunc を用いて最大化することで決定 x = arg min ρ x + ιc[0,] x + v Φx, したおよび最適化結果の B の符号化利得を表に /DST/B/BDST の周波数応答を欠損画素補間の詳細なアルゴリズム x RNr Nc ただし ρ > 0 x = bvecx X RNr Φ は劣化過図に示すまた文献 [0] で指摘されているように程を示し ι x は指数関数とするはブロック毎 A /B では DC 漏れが生じるため画像の各ブの B によるため文献 [0] と同様に画像の各ブロックの平均を計算する行列 = 0 0 ただしロックの平均を計算する行列 = ただし 0 0 [0 ]k,n = / を用いて BD I とした変換を画像復元に適用する [0 ]k,n = / を用いて C[0,] は各要素が [0, ] に含表と図に実験結果を示すほとんどの画像と欠損率 v に対するデータ忠実項とする本論文では欠損画素補において提案法である B は DT よりも優れた復元精度を示した B の符号まれるベクトルの集合とする v ΓRN は観測画像集合 A における指示関数は ι x = 0, x A, A, x / A と定義される - - ιa x =

b a b DT c d B d c 図 a 周波数応答周波数:[0, π] :a bdst cb dbdst = 図間に適用するためデータ忠実項は ι{v} x とするただし Φ は単位行列の対角成分において欠損した画素に対応する場所のを 0 に変えることで定義する本実験ではパラメータ γ γ ρ は 00 γ 結果画像 a b c 従来法 d 提案法

5 b a b DT c d B d c 図 a 周波数応答周波数:[0, π] :a bdst cb dbdst = 図間に適用するためデータ忠実項は ι{v} x とするただし Φ は単位行列の対角成分において欠損した画素に対応する場所のを 0 に変えることで定義する本実験ではパラメータ γ γ ρ は 00 γ 結果画像 a b c 従来法 d 提案法 Algorithm の最適化アルゴリズム 0 [0,] = z t = z : t = prox : t = prox 0 とし終了条件は xn+ x 00 とした : t を解くために primal-dual splitting PDS algorithm [] を用いるここで以下の凸適化問題 : x arg min f x + glx, x Rp を考えるただし f Γ0 Rp g Γ0 Rq Γ0 RN は RN 上の下半連続な真凸関数の集合とする [] L Rp q このとき最適解 x は以下のように導出できる x k+ := proxγ f [xk γ L zk ], z x ] := prox [z + γ Lx k+ γ g k k+ k 0 : n = 0 x0, z, z, γ, γ の設定 : while 終了条件が偽な場合 do x γ z + Φ z : xn+ = proxγ ιc + γ xn+ x n+ x + γ Φx n+ zk γ ι γ {v} tk : = : n = n + 0: end while ρ t γ t γ γ t k k =, : u を出力参考文献 [] J-L Starck, urtagh, and J adili, Sparse Image and Signal Processing: Wavelets, Curvelets, orphological Diversity, New York, NY, USA: Cambridge University Press, 00 ただし prox は近接写像 [] h は h の共役関数 [] L は L の随伴作要素とするこの実験の場合関数 g [] V Afonso, J B-Dias, and A T h 行列 L は以下のように設定する igueiredo, An augmented lagrangian approach to the constrained optimization formulation of imag- gx = ιc[0,] x, h[z z ] = ρ z + ι{v} z, [ ] z = x, z = Φx, L = 0 Φ ing inverse problems, IEEE Trans Image Process, vol 0, no, pp, ar 0 [] J L Starck, E J Cand es, and D L Donoho, 最終的なアルゴリズムは Algorithm にまとめる RN に対して [proxγ x]i = signxi max{ xi γ, 0} soft-thresholding proxιc x は [0, ] へのクリッピン x [0,] グ proxι{v} x = v ただし v RN は観測画像 - - The curvelet transform for image denoising, IEEE Trans Image Process, vol, no, pp 0, June 00

6 表指向性離散コサ [0] 京地清介鈴木大三田中雄一復元誤差インフレームの設計電子情報通信学会技術研究 Image: Barbara % : 0 0 DT 0 B % : % : 報告 July 0 [] G Strang and T Q Nguyen, Wavelets and ilter Banks, Wellesley, A: Wellesley-Cambridge, Image: andrill [] R N Bracewell, The fast hartley transform, Proc % : 00 DT B % : % : of the IEEE, vol, no, pp 00 0, Aug [] L Condat, A primal-dual splitting method for con- Image: Lena DT B % : % : 0 % : DT B % : 0 % : 0 0 % : 0 vex optimization involving lipschitzian, proximable and linear composite terms, J Optimization Theory and Applications, Dec 0 [] H H Bauschke and P L Combettes, Convex Analysis and onotone Operator Theory in Hilbert Image: Zoneplate Spaces, New York, NY, USA: Springer- Verlag, 0 [] N Do and Vetterli, The contourlet transform: an eﬃcient directional multiresolution image representation, IEEE Trans Image Process, vol, no, pp 0 0, Dec 00 [] W Q Lim, Nonseparable shearlet transform, IEEE Trans Image Process, vol, no, pp 0 0, ay 0 [] S Kyochi and Ikehara, A class of near shift-invariant and orientation-selective transform based on delay-less oversampled evenstacked cosinemodulated filter banks, IEICE Trans undam, vol, no, pp, Apr 00 [] S Kyochi, T Uto, and Ikehara, Dual-tree complex wavelet transform arising from cosine-sine modulated filter banks, in Proc IEEE Int Symp Circuits and Syst ISCAS, ay 00 [] J W Cooley and J W Tukey, An algorithm for the machine calculation of complex ourier series, athematics of Computation, vol, pp 0, Apr [] Z Wang, On computing the discrete fourier and cosine transforms, IEEE Trans Acoust Speech Signal Process, Vol, No, pp, - -

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PowerPoint Presentation 付録 2 2 次元アフィン変換直交変換たたみ込み 1.2 次元のアフィン変換座標 (x,y ) を (x,y) に移すことを 2 次元での変換. 特に, 変換がと書けるとき, アフィン変換, アフィン変換は, その 1 次の項による変換と 0 次の項による変換アフィン変換 0 次の項は平行移動 1 次の項は座標 (x, y ) をベクトルと考えてとすればこのようなもの 2 次元ベクトルの線形写像

られる DT を とするとき は a 図 π kn [ ]k,n = ejφk,n, φk,n = のように表現され 二次元 DT の atom は Bnk,n,k =, DT の atom B R j φk,n +φk,n e となることから 指向性をもつことがわかる 図 b b DT real

られる DT をとするときは a 図 π kn [ ]k,n = ejφk,n, φk,n = のように表現され二次元 DT の atom は Bnk,n,k =, DT の atom B R j φk,n +φk,n e となることから指向性をもつことがわかる図 b b DT real