分数と有理数

Transcription

1 分数と有理数 統計基礎の補足資料 08 年 5 月 7 日金沢学院大学経営情報学部藤本祥二

2 アニメでの 場面 キャッチコピー 私はワタシと旅にでる 画像元 : おもひでぽろぽろ [DVD] 99 年のジブリ作品 主人公の岡島タエ子のセリフ 分数の割り算がすんなり出来た人はその後の人生もすんなりいくらしいのよ 小学校時代の回想 タエ子 分数を分数で割るって どういうこと? タエ子 3 分の のリンゴを 4 分の で割るっていうのは 3 分の のリンゴを 4 人で分けると一人何個かって ことでしょ? 姉 とにかく リンゴにこだわるから分かんないのよ 掛け算はそのまま 割り算はひっくり返す って覚えておけばいいのよ! 参考 : 数学教育アカデミーコラム

3 割り算 ( 除算 ) と逆数

4 割り算について 割り算 ( 除算,division) 割り算記号 ( : /) 割り算の操作 6を3 等分すると何個ずつ?( 等分除という ) 6 3 = 6を3 等分すると の3 倍は6 3 = 6 の逆演算 6の中に3が何個入るか?( 包含除という ) 6 3 = 3の 倍は6 3 = 6 の逆演算 6 の中に 3 が 個入る こっちの考え方は知ってる人が多い こっちの考え方は知らない人が多い

5 自然数の割り算 自然数の範囲内では割り算に答えが出せない ( 割り切れない ) 場合がある ( 自然数で閉じない ) 3 =? 交換則 結合則が成り立たない (3 4) 整数から有理数に数の概念を拡張する 逆数,( 分数 ) を導入する 逆数の掛け算で割り算を実行する 自然数から整数に数の概念を拡張した ( 先週 ) 反数,( 負数 ) を導入 反数の足し算で引き算を実行

6 分数の歴史

7 分数の歴史 ゼロや負の数よりもはるかに古い歴史 ( 物を分割する必要性は高かった ) 紀元前 0 世紀頃のバビロニア 60 進法 (/60 分,/3600 秒 ) 小数に近い概念 紀元前 7 世紀頃古代エジプト リンド パピルス 分子が で分母が全て違う単位分数を使う風習 5 = 3 + 5, 3 = /5 や /3 を使わず右辺の単位分数の和を用いて表現する 紀元前 6 世紀頃の古代ギリシャ 比の概念 ( 分母分子を区別しない分数, に近い概念 ) : 3 = 4: 6 = : 3 : b = c: d 内項の積 d = bc 外項の積 分数よりシンプルで使い勝手が良い時もあるので今でもよく使われる

8 分数の歴史 紀元前 世紀頃の古代ローマの分数 分母が全て に対応する分数 / を表す記号 S,/ を表す記号 紀元前 世紀頃の中国, 前漢, 九章算術 第一章 方田 に分数計算三分之二, 四分之三, 等の表記 5 世紀頃のインド 分子を上に, 分母を下に書く 3 3 世紀頃のイタリア 0 進位取り法と共にアラビアを通じて上記形式の分数がヨーロッパに伝わる フィボナッチ 算盤の書 で上記形式の分数に横棒を入れたものが広まる

9 や 60 の良い所 の約数 {,,3,4,6,} 約数が多いので分割に便利 = : 分割すると = 6 : 分割すると 6 = 3 4 :3 分割すると 4 = 4 3 :4 分割すると 3 = 6 :6 分割すると = : 分割すると 60 の約数 {,,3,4,5,6,0,,5,30,60}( 多い ) 60 = 30 :60 分を 分割すると 30 分ずつに分かれる 0 の約数 {,,5,0}( 少ない ) 時計を 0 分割で描いてみようとすると難しさが分かる 酉 戌 9 0 申 8 亥 7 羊 子 0 分割で 6 ずつに分かれる 6 午 丑 5 巳 4 寅 3 辰 卯 東洋では十二支で時間や方角を分割

10 逆数 分数と割り算

11 逆数 掛け算の答えが になるものを逆数と呼ぶ 3 = 又は 3 = となる を 3 の逆数という 上式 の部分を次のように表す 3, Τ 3, 3,3 というような 文字の対の形式で表現することも可能 上記形式は 3 の答えの表現にもなっている 3 = 3 /3を3つ足すとになる = = 3 3 = ひとかたまり 3 を一塊の記号だとみなして分配則を使って証明している 表現が違うだけで全部同じ意味 3 の答えを /3 と表現することにしましょう ということ

12 /3 のイメージ を 3 等分する等分除的なイメージ /3 /3 /3 の中に 3 が /3 個入ってるという包含除的なイメージ ( は 3 の何倍かという比のイメージ ) を 3 等分した時の一つ一つの大きさ 3 3 = 3の/3 倍がの中にぴったり入る 3 の /3 倍は である 3

13 面積の分割のイメージ 面積 = の正方形の /3 面積 の円の /3

14 分数 /3 を 個足した数を /3 で表す 3 = /3 は 3 を掛けると になる数である 3 3 = = = = + = 結合則を使って /3 の別の解釈を行った 後のスライドで, 3 b にして一般的に扱う

15 /3 のイメージ を 3 等分する等分除的なイメージ /3 /3 /3 の中に 3 が /3 個入ってるという包含除的なイメージ ( は 3 の何倍かという比のイメージ ) を 3 等分した時の一つ一つの大きさ = 3 の /3 倍が の中にぴったり入る 3 の /3 倍は である

16 面積の分割のイメージ 面積 = の正方形の /3 面積 の円の /3

17 一般の分数 b を掛けて になる数 b = 又は b = 上式の を分数 b, Τ b, b で表す.(, b) のような 文字の対の形式で表現することも可能. 上記表現は b の答えの表現にもなっている b = b bを掛けるとになる数で分数 /bを定義 最重要の分数の定義式 b b = 表現が違うだけで全部同じ意味 b の答えを /b と表現することにしましょう ということ /b の b 倍は である 分数 /b とは b を掛けると になる数のことである を分数の定義にしましょう. 分数の演算ルールは 分数の定義 と 数の基本法則 を満足するように決めましょう.

18 分数の足し算

19 分母が揃ってる時の分数の足し算 次の式の計算ルールを決めたい b + c b =? 数の基本法則 と 分数の定義 を壊さないようにルールを決める 上式左辺の性質を調べるために b を掛けてみる b b + c b = b b + b c b = + c + c はb 倍すると + cになる数だと分かった b b 分配法則を使った /b は b 倍すると になる数 c/b は b 倍すると c になる数 b 倍すると + cになる数は分数の定義より +c と書くことができる b 分数の定義式 b 分母が揃ってるときの足し算ルールが定まった b b + c + c = b b b 分配法則 と 分数の定義 から分数の足し算ルールが定まった = に於 いて + c に置き換えると + c b = + c

20 倍分 ( 約分 ) 分母分子に同じ数 c を掛けても変わらない 次の式の左辺から右辺への変形が 倍分 右辺から左辺への変形が 約分 倍分 b = c c b 約分

21 倍分の証明 分数の定義式より b b = この式の両辺に c を掛ける c b = c b 掛け算の結合法則が成り立つとすると 分数の定義式より 掛け算の結合法則 と 分数の定義 から赤下線部分が等しいことが証明された c b b c b c c b = c = c 分数の定義式より b は b 倍すると になる数である b は c b 倍すると c になる数であることが証明できた 分数の定義式 b b = に於いて b c b に c に置き換えた式

22 倍分のイメージ 比のイメージ 3 = 3 基準 の 倍と見ることもできる 3 基準 の 3 倍 基準 の 倍 3 分母分子を 倍しても分子は分母の /3 だという比率は変わらない 基準 の 3 倍

23 面積をさらに分割するイメージ 3 = 3 = 縦を更に 分割 横を更に 分割 青い部分の面積は変わらない同じ量を表してる

24 一般の分数の足し算 倍分して分母を揃える = 分母が揃ってるときの足し算のルールを使う 3 7 = = 9 文字で書くと分数の足し算は以下の式になる b + c d + b c = d b d 一般の分数の足し算のルールが定まった 上記ルールの分数の足し算に対しても交換則や結合則が成り立つことが証明できる ページ後のスライドから証明する

25 一般の分数の足し算 倍分を使わない証明 次の式の計算ルールを決めたい b + c d =? 数の基本法則 と 分数の定義 を壊さないようにルールを決める 上式左辺の性質を調べるために b d を掛けてみる b d b + c d = b d b + b d c d 分配法則を使った = b b d + b d c d = d + b c + c はb d 倍すると d + b cになる数だと分かった b d b d 倍すると d + b cになる数は分数の定義より d+b c と書ける b d 分母が揃ってるときの足し算ルールが定まった = に於いて 数の基本法則 と 分数の定義 から一般の分数の足し算ルールが定まった b + c d = d + b c b d /b は b 倍すると になる数 c/d は d 倍すると c になる数 分数の定義式 b b d + b c, b b d に置き換える b d d + b c b d 交換則 結合則を使った = d + b c

26 分数の足し算の交換則, b, c, d の間に数の基本法則が成り立つなら, 分数の間にも以下の足し算の交換則が成り立つ 証明 左辺 右辺 c b + d d b b + c d = c d + b d + c b = b d d + c b b d = 左辺 分数の足し算のルールと, b, c, d 間の数の基本法則のみを使って証明した

27 分数の足し算の結合則, b, c, d, e, fの間に数の基本法則が成り立つなら, 分数の間にも以下の足し算の結合則が成り立つ b + c d + e f = b + c d + e f 証明 左辺 d + c b + e b d f d + c b f + (b d) e = (b d) f ( d) f + (c b) f + (b d) e = (b d) f 文字が多くてややこしいが一生に一回だけでも丁寧にやって納得しておくこと

28 右辺 b + c f + d e d f = = = (d f) + b (c f + d e) b (d f) (d f) + b (c f) + b (d e) b (d f) ( d) f + (b c) f + (b d) e (b d) f = 左辺 分数の足し算のルールと, b, c, d, e, f 間の数の基本法則のみを使って証明した

29 = 9 のイメージ 倍分を使って分割単位を揃える イメージ の/3を更に7 等分して4/にする の 5/7 を更に 3 等分して 5/ にする 足した結果は の 9/( の 等分の 9 倍 ) 9

30 分数の掛け算

31 分数の掛け算 次の式の計算ルールを決めたい b c d =? 数の基本法則 と 分数の定義 を壊さないようにルールを決める 上式左辺の性質を調べるために b d を掛けてみる b d b c d = b b d c d = c c はb d 倍すると cになる数だと分かった b d b d 倍すると cになる数は分数の定義より c と書ける b d 分数の掛け算ルールが定まった分数の定義式 b b 交換法則 結合法則 と 分数の定義 から分数の掛け算ルールが定まった b c d = c b d 交換則, 結合則を使う /b は b 倍すると になる数 c/d は d 倍すると c になる数 = に於いて b b d に c に置き換えると b d c = c b d

32 分数の掛け算 分母同士 分子同士を掛ける = = 0 文字, b, c, dで表現すると = c b d b c d 上記ルールの分数の掛け算に対しても交換則や結合則が成り立つことが証明できる 次のスライドから証明する

33 分数の掛け算の交換則, b, c, d の間に数の基本法則が成り立つなら, 分数の掛け算に次の交換測が成り立つ 証明 左辺 右辺 c b c d = c d b d b b c d = c d b = c b d = c b d

34 分数の掛け算の結合則, b, c, d, e, fの間に数の基本法則が成り立つなら, 分数の掛け算に次の結合測が成り立つ b c d e f = b c d e f 証明 左辺 c b d e f 右辺 c e b d f = (c e) b (d f) = ( c) e (b d) f = ( c) e (b d) f

35 3 5 7 = 0 のイメージ 次元的な分割のイメージ を /3 にして更にそれを 5/7 にする 結果は を 0/ にしたものに等しい

36 次元的な面積分割のイメージ 一辺, 面積 = の正方形を横に/3, 縦に5/7にする 小さな長方形は全部で 3 7 = 個 緑枠内の長方形は 5 = 0 個 緑の四角の面積は 0/ になる 5/7 /3

37 分数の分配則

38 分数の分配則, b, c, d, e, f の間に数の基本法則が成り立つなら分数の分配則も成り立つ 証明 左辺 b c d + e f = b c d + b e f c f + e d c f + e d = b d f b d f c f + e d c f e d = = + b d f b d f b d f c e = + b d b f = b c d + b e f = 右辺

39 分数の計算まとめ 倍分 ( 約分 ) b 足し算のルール b + c d = c c b = d + b c b d 掛け算のルール b c d = c b d

40 足し算の交換則 足し算の結合則 b + d c = d c + b b + d c + e f = b + d c + e f 掛け算の交換則 b d c = d c b 掛け算の結合則 b d c e f = b d c f e 分配則 b c d + f e = b c d + b f e b = A, d c = B, とおくと A + B = B + A f e = C A + B + C = A + B + C A B = B A A B C = A B C A B + C = A B + A C ひとかたまり分数を一塊の数とみると簡単

41 分数の割り算

42 分数の逆数 乗算の答えが になるものを逆数と呼ぶ /3 の逆数はどうなるか? 3 = の の値が分かれば良い 両辺に 3/ を掛けると = 3 一般に分数の逆数は分母と分子を入れ替えればよく/bとb/は互いに逆数の関係になる b b = /と/は互いに逆数の関係なのでΤ = である = =

43 分数の割り算 /3 を 5/7 で割った値を で表す = 割り算の定義から はを 5/7 を掛けると /3 になる数である と言い換えることができる 5 7 = 3 を求めるには両辺に 5/7 の逆数 7/5 を掛ければよい. = = 4 5

44 分数の割り算 分数の割り算は逆数の掛け算に直して計算すれば交換則や結合則などの基本法則を問題なく使えるようになる 以下ように ( cτd) が出てきたらすぐに逆数の掛け算 ( dτc) に置き換えるとよい b c d = b d c タエ子の姉のセリフ とにかく 掛け算はそのまま 割り算はひっくり返す って覚えておけばいいのよ! c/d で割ることは c/d の逆数である d/c を掛けることと同じ 手順だけでなく後のスライドでやるイメージでも理解しておくこと

45 分数の分数 分数の割り算は 分数の分数 でも表現できる b c d = b c d この場合は倍分の考え方を使って分母分子の 両方に同じ数 d/cを掛ければよい b c = b d c c d d d = b d c c = b d c 棒の長さを長くしておくと間違いの防止になる c/d で割ることは c/d の逆数である d/c を掛けることと同じ

46 3 のイメージ 3 = 3 = 3 = 3 この問題は の中に/3が何個入ってか? という問題に置き換えることができる 絵を書くと3 個入ることが分かる ( 包含除的なイメージ ) の中に /3 の 3 倍がぴったり収まる 分数で割る時, 等分除的なイメージは難しい を 3 等分するというイメージはできるが を /3 等分するというイメージは難しい

47 3 のイメージ 3 = 3 = 3 = 6 この問題は の中に/3が何個入ってか? という問題に置き換えることができる 3 3 絵を書くと 6 個入ることが分かる ( 包含除的なイメージ ) の中に /3 の 6 倍がぴったり収まる

48 3 のイメージ 3 = 3 = 3 この問題は の中に /3 が何個入ってるか? という問題に置き換えることができる 3 の が 個 個 3 個 言い換えると 3 の の中に /3 の / が 3 個入る言い換えると の中に /3 の 3/ 倍がぴったり収まる 倍 倍 3 倍

49 3 5 4 のイメージ 他の数値でもイメージしてみよう 4 個 3 = = 8 倍分して分母揃えると比較しやすい 3 5 個 = = = = = 8 5 大きさを揃えたブロックで比較すると赤は 5 個青は 8 個 8 の中に 5 の 8/5 倍がぴったり収まる 5 4 = = 5 割り算は逆数の掛け算と同じになる /3 の中に 5/4 の 8/5 倍がぴったり収まる

50 の別イメージ 5 4 の 5 5 倍 4 の 8 5 倍 3 = の逆演算 3 = /3 の中に 5/4 の 8/5 倍がぴったり収まる

51 の別イメージ 分子 分母分子 分母 = 分母と分子の両方を 4 5 倍して 分母を にする = 8 5 = 8 5 分母を にすると分子は 8/5

52 の別イメージ 個 面積 の正方形を基準に分割するイメージ 個 同じ大きさの長方形に揃えて比較 = = 8 5 = 8 5

53 余談

54 倍分の再解釈 倍分の式 c c b = b 左辺を掛け算の定義や交換則分配則を使って変形 c c b = c c b = c c b = c c b /cとc/は互いに逆数なので c c b = b = b 倍分は を掛ける演算に等しい. つまり倍分は元の量を変えないと演算だと解釈できる

55 逆数の再解釈 逆数は分母分子をひっくり返したもの b b = を次の式で解釈 b を一塊の数とみなす b = b b b = b 分の (b 分の ) は分母分子を b で倍分すると b 分の と同じ b b = b b 分の の逆数は 分の b b 分の の逆数は (b 分の ) 分の = b b b = b (b 分の ) 分の は分母分子を b で倍分すると 分の b と同じ

56 比と倍分 数 と数 b の比は両方を c 倍しても変わらない : b = c: cb 外項の積と内項の積は同じ ( 外項の積 )cb = bc( 内項の積 ) 数 と数 bの比 が 数 cと数 dの比 と等しい時 : b = c: d 外項の積と内項の積は等しい ( 外項の積 )d = bc( 内項の積 ) 倍分の式 b = c cb と同じ b = c d の両辺に bd を掛けて分母を掃う操作と同じ d = bc 比という概念は分数の倍分の概念と同じ 分数の概念は比という概念に更に分子や分母の違いなどの概念が加わったもの 比は分数の一歩手前の概念だがシンプルで使いやすい場合も多い

57 足し算 ( 引き算 ) と掛け算 ( 割り算 ) の比較 引き算は足し算の逆演算 割り算は掛け算の逆演算 b + = b = = b = b 0を足しても元の数は変わ を掛けても元の数は変わらないらない + 0 = = 足して0になるもので反数を 掛けてになるもので逆数定義を定義 + = 0 / = 0と反数で引き算を足し算 と逆数で割り算を掛け算にすることができるにすることができる b = + b + b b b = /b b b 0を足し算で挿入 0になる を掛け算で挿入 = + ( b) = (/b) b を引くこと と b の反数を足すこと は同じ になる b で割ること と b の逆数を掛けること は同じ 足し算の世界 +,, 0, 掛け算の世界,,,/

58 有理数

59 有理数 分数,0, 負の分数の合併で作った集合のことを有理数といいQで表す Q = 負の分数 0 正の分数 = 0,,,,,,, 3, 3, 3, 3, (rtionl number: 有理数の英語 ) (rtionl: 比で表す という意味) (quotient: 英語で 商 ( 割り算の答え ) )

60 符号の扱い 分母分子のどちらか一方が負の場合は負の量であり, 次のどの表現も同じ量を表す b = b = b = b = b = ( ) b で分母分子を倍分すれば全部同じだと確かめられる 分母分子の両方とも正, もしくは両方とも負の場合は正の量である b = ( ) = b ( ) b で分母分子を倍分すれば全部同じだと確かめられる, b,, ( b) が数の基本法則を満たせば, それらを組み合わせた分数でも数の基本法則を満たすことをことが証明できる.

61 0 で割ることは禁止! 0 で割ってはいけない. 同じことだが 0 の逆数を取ることはいけない.0 を分母にしてはいけない. を 0 で割った答えを で表し 0 = 上式の がどのような数になるか考えてみよう 0 = 0 の時, に当てはまる数は存在しない ( 不能 ) = 0 の時, はどのような数でも当てはまる ( 不定 ) このような を数だと認めてしまうと様々な矛盾が生まれ, 数の法則が無茶苦茶になってしまう 数学では矛盾を許すとありとあらゆることが証明できてしまう為, 矛盾が現れる論理は厳しく否定される 実は 0 0=0 が成り立つとして矛盾の現れない数体系を作ることが可能であるしかしそのようにして作った数体系は良いことが何もない ( 使えない )

62 = の証明 = b と仮定して両辺に を掛ける = b の両辺から b を引く b = b b の両辺を因数分解 + b b = b( b) 最後の式の両辺を bで割ると + b = b となる. = b = とすると = が証明できちゃう これは b = = 0 で割ってしまったために現れた矛盾である ここまでは問題ない ここから後がダメ 文字式だと気付かずにやってしまうことが多い

63 有理数の演算の基本法則, b, c Q の時 + b Q 加算で閉じてる b Q 乗算で閉じてる + b = b + 加算の交換則 b = b 乗算の交換則 + b + c = + (b + c) 加算の結合則 b c = (b c) 乗算の結合則 + b c = c + b c 分配則 有理数になっても数の上記の基本法則を満たすように分数の計算ルールを定めた.( ただし0の逆数は定義されない ) 引き算は反数の足し算で, 割り算は逆数の掛け算で計算. 基本法則を満たすようになったので, これで有理数が数の仲間になった.

64 有理数の大小関係 ( 引き算 ) 有理数の大小関係は一見しただけでは分かり難い 引き算で確認できる b > 0 > b b = 0 = b b < 0 < b b が正なら は b より大きい 例 ) = 3, b = = = = = 5 > 0 3 > 3 5

65 有理数の大小関係 ( 割り算 ) 割り算でも確認できる. > 0, b > 0 とすると > > b b = = b b < < b b 例 ) =, b = = = = 0 9 > 3 > 3 5