RSA-lecture-2015.pptx
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- たつぞう いなくら
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1 公開鍵暗号 RSA について 3 年授業 情報ネットワーク 授業スライドより抜粋 豊橋技術科学大学情報 知能工学系梅村恭司 Copyright 2014 Kyoji Umemura ( 出典を明らかにしていただければ 自由に授業 / セミナー等で使っていただいて結構です
2 これからのスライドは下記を参考 に,Java でプログラミングしながら, 作成しました 岡本栄司著, 暗号理論入門 [ 第 2 版 ] 共立出版株式会社
3 RSA 暗号とネットワーク 暗号化と復号の鍵を別にして, かつ, 暗号化の鍵を公開できると便利 計算量という壁を使って, 上記を実現したものの代表が RSA 暗号 これを理解するには, 整数論の知識が必要 : ある整数で割った余りで等しい整数の体系 を扱う
4 Java の BigInteger クラス import java.math.biginteger; x = new BigInteger(" "); System.out.println(x.toString());
5 剰余系 17 = 22 (mod 5) 数を 5 で割ったあまりで比較すれば,17 と 22 は同じ (mod 5) は比較の方法を記述 あまりをとる演算子ではない
6 BigPower のデモ (mod n) で, aのx 乗を計算するプログラム % java BigPower
7 RSA暗号の例 大きな素数2つ(秘密 からnと鍵を二つ生 成する e: encode_key, d: decode_key n= (公開, e=20003 公開, d= 秘密 ベキ乗演算で暗号化 c=me(mod n) ベキ乗演算で復号 m'=cd(mod n) つまりm'=cd=med (mod n) このとき m'=m (mod n) が成立する デモ
8 RSA:n = 10, e = 3, d = 3 暗号化 ( 板書 ) 1 3 = 1 (mod 10) 2 3 = 8 (mod 10) 3 3 = 7 (mod 10) 4 3 = 4 (mod 10) 5 3 = 5 (mod 10) 6 3 = 6 (mod 10) 7 3 = 3 (mod 10) 8 3 = 2 (mod 10) 9 3 = 9 (mod 10)
9 RSA:n = 10, e = 3, d = 3 復号(板書) 13 = 1 (mod 10) 23 = 8 (mod 10) 33 = 7 (mod 10) 43 = 4 (mod 10) 53 = 5 (mod 10) 63 = 6 (mod 10) 73 = 3 (mod 10) 83 = 2 (mod 10) 93 = 9 (mod 10) 13 = 1 (mod 10) 83 = 2 (mod 10) 73 = 3 (mod 10) 43 = 4 (mod 10) 53 = 5 (mod 10) 63 = 6 (mod 10) 33 = 7 (mod 10) 23 = 8 (mod 10) 93 = 9 (mod 10)
10 素朴な疑問 ( 公開 ), 20003( 公開 ), ( 秘密 ) ベキ乗演算で暗号化 ベキ乗演算で復号 どうして 通信できるのか 説明には有限体の知識が必要
11 剰余系 12 = 22 (mod 10) 数を 10 で割ったあまりで比較すれば,12 と 22 は同じ (mod 10) は比較の方法を記述したもの 等しい という関係を修飾している 11
12 a = b (mod n) n で割った余りを問題にするならば,a と b は等しい 直感的にわからなかったら,n=10 とする これは, 整数の一番下の桁で整数を比較することになる
13 a = b (mod n) n で割った余りを問題にするならば,a と b は等しい a; a = a(mod n) 反射律 a; b; a = b(mod n) b = a (mod n) 対称律 a; b; c; a=b(mod n) かつ b=c(mod n) a=c (mod n) 推移律
14 a = b (mod n) n で割った余りを問題にするならば,a と b は等しい 整数は,n 個のグループに分類されるが, そのグループのなまえに,0 から n-1 までの整数を使う これは, グループの名前であることに注意する必要がある
15 加算 a=b (mod n) ならば, z 整数, a+z = b+z (mod n) 直感的にわからなかったら,n=10 とする これは, 整数の一番下の桁で整数を比較することになる グループの名前を求めるには, 通常の加算をして, 下の桁だけを使うことでよい
16 減算 a=b (mod n) ならば, z 整数, a-z = b-z (mod n) 直感的にわからなかったら,n=10 とする これは, 整数の一番下の桁で整数を比較することになる グループの名前を求めるには, 負にならないように 10 を加算することをして, 一番したの桁を使うことでよい
17 乗算 a=b (mod n) ならば, z 整数, z a = z b (mod n) 直感的にわからなかったら,n=10 とする これは, 整数の一番下の桁で整数を比較することになる グループの名前を求めるには, 通常の乗算をして, 一番下の桁だけを使うことでよい
18 逆数 (mod 10) 3 7 = 1 (mod 10) よって,3-1 =7 (mod 10) 注意 逆数は通常の意味と大きく異なる 演習, 下記のxをもとめてみよう x = 1-1 (mod 10) x = 7-1 (mod 10) x = 9-1 (mod 10)
19 逆数 (mod 10) 1 = 1-1 (mod 10) 3 = 7-1 (mod 10) 9 = 9-1 (mod 10) 注意, 0, 及び,10と互いに素でない数, x = 0-1 (mod 10) x = 2-1 (mod 10) x = 5-1 (mod 10) を満たすxは存在しない
20 逆数 : (mod 5) 3 2 = 1 (mod 5) よって,3-1 =2 (mod 5) 注意 逆数は通常の意味と大きく異なる 演習, 下記のxをもとめてみよう x = 1-1 (mod 5) x = 2-1 (mod 5) x = 4-1 (mod 5)
21 逆数 (mod 5) 1 = 1-1 (mod 5) 3 = 2-1 (mod 5) 2 = 3-1 (mod 5) 4 = 4-1 (mod 5) どのように求めた? ( 順番に条件を満たすか検査したと思う ) 注意,x = 0-1 (mod 5) を満たす x は存在しない
22 逆数 (mod 素数 p) n=1, 2,..., p-1について, x = n -1 (mod p) となる,xがある 注意,n 0である x = 0-1 (mod p) を満たすxは存在しない
23 割り算 (mod 素数 p) n=1, 2,..., p-1 について, x = n -1 (mod p) となる,x がある y/n は,y n -1 と考える ( 掛け算の逆演算 ) すると,0 以外の数で割り算した結果が存在する ( 整数はみたさないが, 有理数や実数が満たす性質 : 集合と加算と乗算が 体 である )
24 整数をあまりでグループ分けする グループに名前をつける 5で割ったあまりが0の整数 を "0" と書くことにする "1", "2", "3", "4" も同様, つまり, "1" は,{ 1, 6, 11, 16,... } のグループのこと, グループは5つある 演算は表にできる
25 グループでの足し算と掛け算表
26 負の数 と 逆数 この演算表では, 2 は 3 と考えると考えることができる 2 1 は, 3 と考えることができる
27 有限体 体 とは 数の集合と演算の組合わさったもののである, ある性質をもつものの名前である 体 の重要な性質の一つは, ある数の乗算に逆演算となる数が存在する数が 0 以外には存在することである 逆演算となる数があることが復号で役立つ 有限の集合での 乗算 の体系に 逆数 が存在するのは, 面白い性質 27
28 RSA 暗号の例 ( 再度 ) 大きな素数 2 つ ( 秘密 ) から n と鍵を二つ生成する e: encode_key, d: decode_key n= ( 公開 ), e=20003( 公開 ), d= ( 秘密 ) ベキ乗演算で暗号化 c=m e (mod n) ベキ乗演算で復号 m'=c d (mod n) つまり m'=c d =m ed (mod n) このとき, m'=m (mod n) が成立する 28
29 フェルマーの小定理 pが素数のとき ap-1=1 (mod p) ただし a=1, 2,... p-1 どのような定理か aがどれであっても aをp 1回掛ける ベキ乗す る と1になることが運命付けられている p=5のときを計算してみよう 29
30 p(=5) のときの フェルマーの小定理の確認 p(=5) が素数のとき,a p-1 =1 (mod p) ただし, a=1, 2,... p-1 確認してみる = =4 4= =9 9= =16 16=256 1 注意 :0のときは成立しない =0なので 0 p-1 1 (mod p) 30
31 観測 :p=5 では na の集合と a の集合に 1 対 1 対応が存在する p(=5) は素数 a と n は,1 から p-1 まで整数とする S は 1 から p-1 までの整数の集合とする 任意の a に対し n と an に (mod p) での 1 対 1 対応が存在する
32 観測 :p=5では, 0でないaには, 逆数が存在存在する p(=5) は素数 aは,1からp-1まで整数とする Sは1からp-1までの整数の集合とする 任意のaに対して, an=1 (mod p) となる nが存在する
33 フェルマーの小定理の証明の p は素数とする 準備 (1) a 0 (mod p), x 0 (mod p) である整数 a, x について ax 0 (mod p) つまり a と x が p の倍数でないとき ax も p の倍数でない ax = 0 (mod p) とすると 1 以下 p 1 以下の整数 n があって ax = np 素因数分解するとと a か x が p の倍数であることになり 仮定と矛盾する
34 フェルマーの小定理の証明の準備 (2) pは素数とする aは,1 以上 p-1 以下の整数とする x yは1 以上 p-1 以下の異なる整数とする すると ax ay (mod p) つまり 0でないx,yで異なるx, y をa 倍した結果をpで割った余ま りは異なるということを意味している
35 フェルマーの小定理の証明の準備 (2) pは素数とする aは,1 以上 p-1 以下の整数とする x yは1 以上 p-1 以下の異なる整数とする すると ax ay (mod p) 証明 1. 仮定より (x-y) 0 (mod p), 2. 仮定より a 0 (mod p) 3. よって a(x-y) 0 (mod p) であり ax ay (mod p) となる
36 フェルマーの小定理の証明の p は素数とする 準備 (3) a は,1 から p-1 まで整数とする S は 1 から p-1 までの整数の集合とする T(a)={m n S, m S, m=na (mod p)} なる集合 T(a) を考える すると T(a) = S = p-1 証明 : n ごとに対応する m は異なるので,T(a) の要素の個数は S と同じ p-1 になる
37 フェルマーの小定理の証明の 準備 (4) pは素数とする aは,1からp-1まで整数とする Sは1からp-1までの整数の集合とする T(a)={m n S, m S, m=na (mod p) } とする 任意のaについて,T(a)=S 証明 : 明らかにT(a) Sであり, 一方 T(a) = S
38 フェルマーの小定理の証明の 準備 (5) pを素数とする a, nは,1からp-1まで整数とする S は 1 から p-1 までの整数の集合とする 任意のaに対しあるnが存在して1 = na (mod p) 証明 T(a)={m n S, m S, m=na (mod p) } とする 1 S, より1 T(a), よって, n, 1=na (mod p)
39 フェルマーの定理 ( 実演 ) pが素数のとき a p-1 =1 (mod p) aは 1からp-1まで, どれでも成立する (p= で実験) 39
40 a の集合と anの集合が等しい 0を除いて全部掛け合わせてみる 掛け合わせる対象の集合をSとする S={1,2,..., p-1}
41 n と a n が S 上で 1 対 1 に対応している 全部掛け合わせる n = an(mod p) n T (a) n S n = a p 1 n(mod p) n T (a) n S n = a p 1 n(mod p) n S T(a)=S={1,2,..., p-1} n S n S pが素数なので b n =1 (mod p) となるbが存在するので, それを右から掛けると, 1 = a p 1 (mod p)
42 フェルマーの小定理の系 pが素数 λがp-1の倍数のとき aλ 1=a (mod p) 注意 aが任意の整数で成立 aの制限がないので 使いやすい また 記憶しやすい 42
43 ベキ乗の計算 p の 5 乗 (mod 5) p(=5) が素数のとき,a p =a (mod p) = = =4 4 2= =9 9 3=81 3= = =256 4= aが0のときも成立する 9 乗,13 乗もおなじようにもとにもどる 43
44 フェルマーの小定理の系 ( ) の 証明 pが素数 λがp-1の倍数のとき,a λ+1 =a (mod p) 証明 : ある整数 kをaをpで割ったときの商とする (1)a=kp のとき, 明らかに a λ+1 =k λ+1 p λ+1 =0 (mod p) またa=0 (mod p) よって,a λ+1 =a (mod p) (2)a=kp+b ただし, b {1,2,..., p-1} のとき フェルマの小定理より, b (p-1) =1(mod p) なので, a λ+1 =b λ+1 =b K(p 1)+1 =(b (p 1) ) K b=1 K b (mod p) 一方,a=b (mod p) よって, a λ+1 =a (mod p) 44
45 中国人の剰余定理 pとqが互いに素 最大公約数が1)とする またn=pqとする ある数x, yが x=y (mod p)かつ x=y (mod q)で あれば x=y (mod n) q(=5) p(=2) n(=10) ある数の5で割ったあまりと 奇数 偶数がわかれば 1桁目がわかる
46 中国人の剰余定理 pとqが互いに素でないときは n=pq として, ある数 x, y が x=y (mod p) かつ,x=y (mod q) であっても x=y (mod n) とはいえない q(=4) p(=2) 0 0, 4-2, , 5-3, 7 n(=8)
47 中国人の剰余定理 ( 証明の準備 ) p と q が互いに素 ( 最大公倍数が 1) とする また n=pq とする ある数 z が z=0 (mod p) かつ z=0 (mod q) であれば,z=0 (mod n) である 証明 z は p と q の公倍数である p と q は互いに素なので,p と q の最小公倍数は pq つまり n である よって, ある整数 k に対し z=kn と表現できるので, z=0(mod n) となる
48 中国人の剰余定理 / 証明 pとqが互いに素とする またn=pqとする ある数 x, y が x=y (mod p) かつ,x=y (mod q) とする (x-y) =0 (mod p), かつ (x-y) = 0 (mod q) である よって, (x-y) = 0 (mod n) となる したがって, x = y (mod n)
49 二つの素数に関わる性質 pとqが素数のとき λをp-1とq-1の最小公倍 数とすると 任意の整数K aについてakλ+1=a (mod pq) 49
50 p(=2) と q(=5) が素数のとき λ を p-1 と q-1 の倍数とすると, a λ+1 =a (mod pq) 0 3 = 0 (mod 10) 1 3 = 1 (mod 10) 2 3 = 8 (mod 10) 3 3 = 7 (mod 10) 4 3 = 4 (mod 10) 5 3 = 5 (mod 10) 6 3 = 6 (mod 10) 7 3 = 3 (mod 10) 8 3 = 2 (mod 10) 9 3 = 9 (mod 10) 0 4 = 0 (mod 10) 1 4 = 1 (mod 10) 2 4 = 6 (mod 10) 3 4 = 1 (mod 10) 4 4 = 6 (mod 10) 5 4 = 5 (mod 10) 6 4 = 6 (mod 10) 7 4 = 1 (mod 10) 8 4 = 6 (mod 10) 9 4 = 1 (mod 10) 0 5 = 0 (mod 10) 1 5 = 1 (mod 10) 2 5 = 2 (mod 10) 3 5 = 3 (mod 10) 4 5 = 4(mod 10) 5 5 = 5 (mod 10) 6 5 = 6 (mod 10) 7 5 = 7 (mod 10) 8 5 = 8 (mod 10) 9 5 = 9 (mod 10)
51 二つの素数に関わる性質の証明 p と q が素数のとき λ を p-1 と q-1 の最小公倍数とすると, 任意の整数 K について a Kλ+1 =a (mod pq) 証明 :b=a Kλ+1 とする Kλ は p-1 の倍数であるので ( ) より b=a Kλ+1 =a (mod p) Kλ は q-1 の倍数でもあるので, b=a Kλ+1 =a (mod q) pとqは互いに素であるので, 中国人の剰余定理に 51 より, b=a Kλ+1 =a (mod pq)
52 RSA 暗号 フェルマーの定理 ユークリッドの互除法と拡張これらをつかって, 2つの大きな素数から 上手にn, e, dを生成する n= ( 公開 ), e=20003( 公開 ), d= ( 秘密 ) e: encode, d:decode 52
53 RSA:鍵の生成 大きな素数p, qを決める λをp-1とq-1の最小公倍数とする eをλと互いに素な数として決める ed = 1(mod λ)となる dを求める n(= pq)とeを公開する (他は秘密とする これから 具体的に計算してみる
54 RSA: 鍵の生成 素数 p, q を決める : p=2, q=5
55 RSA: 鍵の生成 素数 p, q を決める : p=2, q=5 λ を p-1 と q-1 の最小公倍数 (= 4 ) とする.
56 RSA: 鍵の生成 素数 p, qを決める : p=2, q=5 λをp-1とq-1の最小公倍数 (=4) とする. eをλと互いに素な数 : たとえば3とする. ( 互いに素 : 最大公約数が 1 であること )
57 RSA: 鍵の生成 素数 p, qを決める : p=2, q=5 λをp-1とq-1の最小公倍数 (=4) とする. eをλ(=4) と互いに素な数 : たとえば 3とする. ( 互いに素 : 最大公約数が1であること ) ed(mod λ)=1となるdをもとめ,d:3とする. 3 3 =1 (mod 4) 注 : ここでは順番にテストしてもとめるが, 効率のよい方法がある
58 RSA:鍵の生成 素数p, qを決める p=2, q=5 λをp-1とq-1の最小公倍数 (4)とする eをλと互いに素な数: 3とする ed(mod λ)=1となるdをもとめ d:3とする 1= 3 3 (mod 4) n = 10, e = 3, d = 3 (注 e: encode, d: decode
59 RSA:n = 10, e = 3, d = 3 暗号化 1 3 = 1 (mod 10) 2 3 = 8 (mod 10) 3 3 = 7 (mod 10) 4 3 = 4 (mod 10) 5 3 = 5 (mod 10) 6 3 = 6 (mod 10) 7 3 = 3 (mod 10) 8 3 = 2 (mod 10) 9 3 = 9 (mod 10)
60 RSA:n = 10, e = 3, d = 3 復号 13 = 1 (mod 10) 23 = 8 (mod 10) 33 = 7 (mod 10) 43 = 4 (mod 10) 53 = 5 (mod 10) 63 = 6 (mod 10) 73 = 3 (mod 10) 83 = 2 (mod 10) 93 = 9 (mod 10) 13 = 1 (mod 10) 83 = 2 (mod 10) 73 = 3 (mod 10) 43 = 4 (mod 10) 53 = 5 (mod 10) 63 = 6 (mod 10) 33 = 7 (mod 10) 23 = 8 (mod 10) 93 = 9 (mod 10)
61 RSA: 鍵の生成 大きな素数 p, q を決める : p=100003, q=100019
62 RSA: 鍵の生成 大きな素数 p, q を決める : p=100003, q= λ を p-1 と q-1 の公倍数 ( ) とする.
63 RSA: 鍵の生成 大きな素数 p, qを決める : p=100003, q= λをp-1とq-1の公倍数 ( ) とする. eをλと互いに素な数 : 20003とする. ( 互いに素 : 最大公約数が 1 であること )
64 RSA: 鍵の生成 大きな素数 p, q を決める : p=100003, q= λ を p-1 と q-1 の公倍数 ( ) とする. e を λ と互いに素な数 : とする. ed=1(mod λ) となる d をもとめ,d: とする. 1= (mod ) ( 注 :e と λ から d を求める方法は, この例のように数が大きいと工夫する必要があることがわかる その方法は後述する )
65 RSA: 鍵の生成 ( 復号の説明の準備 ) 大きな素数 p, q を決める : 秘密 λ を p-1 と q-1 の最小公倍数とする. [ ある a,b が存在して,λ=a(p-1), λ=b(q-1)]...1 e を λ と互いに素な数として決める このとき ed = 1 (mod λ) なる d がもとまる [ ある K が存在して,ed= Kλ+1 ]...2 n(= pq) と e を公開する
66 RSA:鍵の性質 任意の整数m, と任意の整数Kについて mkλ 1=m (mod n) 証明 pとqが素数であり n pqであり λがp-1とq-1の最小公倍数 ① なので を 用いると 任意のKについて mkλ 1=m (mod n)... ③
67 RSA: 送信 受信 c=m e (mod n) で暗号化し c を送る... 4 m'=c d (mod n) で復号し m' を得る... 5
68 RSA暗号:通信ができるわけ m' =cd(mod n) =med(mod n) =m(kλ+1)(mod n) = m (mod n) ⑤ ④ ② ③
69 RSA: 鍵の生成の難しいところ λは大きな数 ( 素数ではない ) λと互いに素なeを求める ed = 1 (mod λ) を満たすdを求める 例 :1= (mod ) λは大きな数そのような数 dは存在するのか eからdを どうやってもとめればよいのか λが大きいと, 順番にdを探すことは不可能
70 RSA: 鍵の生成の難しいところ 逆数を求めるところ ed = 1 (mod λ) を満たす d を求める 例 :1= d (mod ) となる d を求める つまり d を で割った商を -β として, そのときのあまりが 1 になるような d を求める 1=20003 d β を満たす, 整数 d と整数 β を求めたい 整数 という条件は難しい条件である
71 20003 逆数を求める方針 目標 : 整数 d と整数 β で, 1=20003 d β としたい γ(d, β) =20003 d β として, (d, γ, β) の三次元の格子点 ( 座標が整数の点 ) を対象に演算をして, 格子点であることを保証しつつ,γ =1 となる点を求める (1, 20003, 0) と (0, ,1) からスタートする
72 ユークリッドの互除法 お互いに割り算をして, 余りをとっていく 最大公約数を求めることができる 例を板書 ( 次のスライド )
73 u=7, v=5 7, 5 -> 商は1 あまりは7 1 5 = 2 5, 2 -> 商は2 あまりは5 2 2 = 1 2, 1 -> 商は2 あまりは2-2 2 = 0なので その前の数字 1 GCD(7, 5)=1
74 ユークリッド互除法の 操作の準備 d と λ で定まる平面で,(α, αd + βλ, β) の平面は原点を通るので 平面上の 2 点の位置ベクトル p, q に対し 任意の実数 t について p-tq で表される点も 同じ平面にある
75 ユークリッド互除法の 操作の準備 要素が整数の 2 つのベクトル p=(p x, p y, p z ), q=(q x,q y,q z ) があり これが (α, αd + βλ, β) の平面 2 点の位置ベクトルであるとする いま t を p y を q y で割ったときの整数の商であるとすると r = p t q で定まるベクトル r =(r x, r y, r z ) とする r x, r y, r z は整数 r y が 0 でないとき GCD(p y, q y )=GCD(q y, r y ) r は同じ平面上にある点の位置ベクトル
76 ユークリッド互除法の拡張 d と λ から定まる平面で, (α, αd + βλ, β) の関係のある 3 次元空間の平面において,(1, d, 0) と (0,λ,1) からユークリッドの互除法を実行する ( 板書 ) ユークリッドの互除法と同じ動作をして α,β を更新していく 二つ整数 u, v に対し, ある整数 α,β が存在して αd + βλ = GCD(d, λ) となることが示せる
77 u=7, v=5, (α, 7α+5β, β) (1, 7, 0), (0, 5, 1) -> 7 5は1 あまりがある次の点は (1, 2, -1)=(1, 7, 0) 1 (0, 5, 1) (0, 5, 1), (1, 2, -1) -> 5 2は2 あまりがある 次の点は (-2, 1, 3) = (0, 5, 1) 2 (1, 2, -1) (1, 2, -1), (-2, 1, 3) -> 割り切れる 目的地 (-2, 1, 3) に到達 1=GCD(7, 5), (-2) = 1
78 (α, 7α+5β, β) の平面内 α,βは整数 (1, 7, 0), (0, 5, 1) より 操作を開始 (1, 7, 0), (0, 5, 1) -> (1, 2, -1) (0, 5, 1), (1, 2, -1) -> (-2, 1, 3) (-2, 1, 3) は目的地, なぜなら,1 = GCD(7, 5) このとき, 7 (-2) +5 (3) = 1 つまり, 7 (-2) = 1 (mod 5)
79 (α, 3α+4β, β) の平面内 α,βは整数 (0, 4, 1), (1, 3, 0) より 操作を開始 (0, 4, 1), (1, 3, 0) -> (-1, 1, 1) (-1, 1, 1) は目的地, なぜなら,1 = GCD(3, 4) このとき, 3 (-1) +1 (4) = 1 つまり, 3 (-1) = 1 (mod 4), -1 = 3 (mod 4)
80 RSA: 鍵の生成 大きな素数 p, qを決める : p=100003, q= λをp-1とq-1の公倍数 ( ) とする. eをλと互いに素な数 : 20003とする. ed(mod λ)=1となるdをもとめ,d: とする. 1= (mod ) n(= pq= ) と e(=20003) を公開する
81 RSA: まとめ ( 転記 ) 鍵の生成 大きな素数 p, q を決める : 秘密 λ を p-1 と q-1 の最小公倍数とする. e を λ と互いに素な数として決める このとき ed =1(mod λ) なる d がもとまる n(= pq) と e を公開する 送信 :c=m e (mod n) で暗号化し c を送る 受信 :m'=c d (mod n) で復号し m' を得る
2015-2018年度 2次数学セレクション(整数と数列)解答解説
015 次数学セレクション問題 1 [ 千葉大 文 ] k, m, n を自然数とする 以下の問いに答えよ (1) k を 7 で割った余りが 4 であるとする このとき, k を 3 で割った余りは であることを示せ () 4m+ 5nが 3 で割り切れるとする このとき, mn を 7 で割った余りは 4 ではないことを示せ -1- 015 次数学セレクション問題 [ 九州大 理 ] 以下の問いに答えよ
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チェビシェフ多項式の 変数への拡張と公開鍵暗号 Ell 暗号 への応用 Ⅰ. チェビシェフ Chbhv Chbhv の多項式 より であるから よって ここで とおくと coθ iθ coθ iθ iθ coθcoθ 4 4 iθ iθ iθ iθ iθ i θ i θ i θ i θ co θ co θ} co θ coθcoθ co θ coθ coθ したがって が成り立つ この漸化式と であることより
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05 次数学セレクション問題 [ 千葉大 文 ] k, m, を自然数とする 以下の問いに答えよ () k を 7 で割った余りが 4 であるとする このとき, k を 3 で割った余りは であることを示せ () 4m+ 5が 3 で割り切れるとする このとき, m を 7 で割った余りは 4 ではないことを示せ -- 05 次数学セレクション問題 [ 九州大 理 ] 以下の問いに答えよ () が正の偶数のとき,
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最大公約数, 最小公倍数, ユークリッドの互除法 最大公約数, 最小公倍数とは つ以上の正の整数に共通な約数 ( 公約数 ) のうち最大のものを最大公約数といいます. と 8 の公約数は,,,,6 で, 6 が最大公約数 つ以上の正の整数の共通な倍数 ( 公倍数 ) のうち最小のものを最小公倍数といいます. と の公倍数は, 6,,8,,... で, 6 が最小公倍数 最大公約数, 最小公倍数の求め方
More information< 中 3 分野例題付き公式集 > (1)2 の倍数の判定法は 1 の位が 0 又は偶数 ( 例題 )1~5 までの 5 つの数字を使って 3 ケタの数をつくるとき 2 の倍数は何通りできるか (2)5 の倍数の判定法は 1 の位が 0 又は 5 ( 例題 )1~9 までの 9 個の数字を使って 3
() の倍数の判定法は の位が 0 又は偶数 ~ までの つの数字を使って ケタの数をつくるとき の倍数は何通りできるか () の倍数の判定法は の位が 0 又は ~9 までの 9 個の数字を使って ケタの数をつくるとき の倍数は何通りできるか () の倍数の判定法は 下 ケタが 00 又は の倍数 ケタの数 8 が の倍数となるときの 最小の ケタの数は ( 解 ) 一の位の数は の 通り 十の位は一の位の数以外の
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最大公約数, 最小公倍数, ユークリッドの互除法 最大公約数, 最小公倍数とは つ以上の正の整数に共通な約数 ( 公約数 ) のうち最大のものを最大公約数といいます. 1 と 18 の公約数は, 1,,,6 で, 6 が最大公約数 つ以上の正の整数の共通な倍数 ( 公倍数 ) のうち最小のものを最小公倍数といいます. と の公倍数は, 6,1,18,,... で, 6 が最小公倍数 最大公約数, 最小公倍数の求め方
More information2018年度 筑波大・理系数学
筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ < < とする 放物線 上に 点 (, ), A (ta, ta ), B( - ta, ta ) をとる 三角形 AB の内心の 座標を p とし, 外心の 座標を q とする また, 正の実数 a に対して, 直線 a と放物線 で囲まれた図形の面積を S( a) で表す () p, q を cos を用いて表せ S( p) () S(
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有限図形の代数的表現について 三角形や星型を式で表現したいという思いから以下のことを 考察をしまし た 有限個の点と辺で 構成される図形を 関数で表現する そのため 基礎 体として 素数の有限体を考える 但し 扱うのは 点の数と辺の数が等しい 特別場合である 先ず P5 のときから 始めることにします. グラフと写像と関数について ( 特別な場合 ) 集合 F {,,,, } について 写像 f :
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9. 線形写像 ここでは 行列の積によって 写像を定義できることをみていく また 行列の積によって定義される写像の性質を調べていく 行列演算と写像 ( 次変換 3 拡大とスカラー倍 p ' = ( ', ' = ( k, kk p = (, k 倍 k 倍 拡大後 k 倍拡大の関係は スカラー倍を用いて次のように表現できる ' = k ' 拡大前 拡大 4 拡大と行列の積 p ' = ( ', '
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線形代数とは 第一回ベクトル 教科書 エクササイズ線形代数 立花俊一 成田清正著 共立出版 必要最低限のことに限る 得意な人には物足りないかもしれません 線形代数とは何をするもの? 線形関係 y 直線 yもも 次式で登場する (( 次の形 ) 線形 ただし 次元の話世の中は 3 次元 [4[ 次元 ] 次元 3 次元 4 次元 はどうやって直線を表すの? ベクトルや行列の概念 y A ベクトルを使うと
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9/7/8( 水 9. 線形写像 ここでは 行列の積によって 写像を定義できることをみていく また 行列の積によって定義される写像の性質を調べていく 拡大とスカラー倍 行列演算と写像 ( 次変換 拡大後 k 倍 k 倍 k 倍拡大の関係は スカラー倍を用いて次のように表現できる p = (, ' = k ' 拡大前 p ' = ( ', ' = ( k, k 拡大 4 拡大と行列の積 拡大後 k 倍
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(1 ) 数と式 ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 自然数 整数 有理数 無理数の包含関係など 実 数の構成を理解する ( 例 ) 次の空欄に適当な言葉をいれて, 数の集合を表しなさい 実数の絶対値が実数と対応する点と原点との距離で あることを理解する ( 例 ) 次の値を求めよ (1) () 6 置き換えなどを利用して 三項の無理数の乗法の計
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0. 固有値とその応用 固有値と固有ベクトル 2 行列による写像から固有ベクトルへ m n A : m n n m 行列によって線形写像 f R R A が表せることを見てきた ここでは 2 次元平面の行列による写像を調べる 2 = 2 A 2 2 とし 写像 まず 単位ベクトルの像を求める u 2 x = v 2 y f : R A R を考える u 2 2 u, 2 2 0 = = v 2 0
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競技プログラミングと初等整数論入門 67 回生佐竹俊哉 1. はじめに 初めまして satashun と申します 普段はのんびり数学やプログラミングをして楽しんでいます 自分は主にプログラミングの中でも 特に決められた時間の中で問題を解く競技プログラミングというものに興味を持っています そのようなプログラミングコンテストでは プログラムの実行速度が重要であり プログラムを高速化するために数学的知識を要求される問題が出題されることもあるので
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05 次数学セレクション解答解説 [ 千葉大 文 ] () k を自然数, l, N を 0 以上の整数とするとき, k l+ l l (i) k= l+ のとき = = 8 = (7+ ) = (7N + ) = 7 N + これより, k を 7 で割った余りは である k l+ l l (ii) k= l+ のとき = = 4 8 = 4(7+ ) = 4(7N + ) = 7 4N + 4
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4 1 平面上のベクトル 1 ベクトルとその演算 例題 1 ベクトルの相等 次の問いに答えよ. ⑴ 右の図 1 は平行四辺形 である., と等しいベクトルをいえ. ⑵ 右の図 2 の中で互いに等しいベクトルをいえ. ただし, すべてのマス目は正方形である. 解 ⑴,= より, =,= より, = ⑵ 大きさと向きの等しいものを調べる. a =d, c = f d e f 1 右の図の長方形 において,
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m u. 固有値とその応用 8/7/( 水 ). 固有値とその応用 固有値と固有ベクトル 行列による写像から固有ベクトルへ m m 行列 によって線形写像 f : R R が表せることを見てきた ここでは 次元平面の行列による写像を調べる とし 写像 f : を考える R R まず 単位ベクトルの像 u y y f : R R u u, u この事から 線形写像の性質を用いると 次の格子上の点全ての写像先が求まる
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- ピタゴラス数の代数と幾何学 津山工業高等専門学校 菅原孝慈 ( 情報工学科 年 ) 野山由貴 ( 情報工学科 年 ) 草地弘幸 ( 電子制御工学科 年 ) もくじ * 第 章ピタゴラス数の幾何学 * 第 章ピタゴラス数の代数学 * 第 3 章代数的極小元の幾何学の考察 * 第 章ピタゴラス数の幾何学的研究の動機 交点に注目すると, つの曲線が直交しているようにみえる. これらは本当に直交しているのだろうか.
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情報理論と暗号 大久保誠也 静岡県立大学経営情報学部 1/63 はじめに はじめに 先週の課題の補足 現代暗号とは 秘密鍵暗号と公開鍵暗号 RSA 暗号 演習 :RSA 暗号 2/63 先週の演習の解説 3/63 シーザー暗号で行いたいこと シーザー暗号文字ずらすことで暗号化 復号 ex 暗号化 :DOG GRJ ( 各文字を 3 文字分後にずらす ) 復号 :GRJ DOG ( 各文字を 3 文字分前にずらす
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04 千葉大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 袋の中に, 赤玉が 3 個, 白玉が 7 個が入っている 袋から玉を無作為に つ取り出し, 色を確認してから, 再び袋に戻すという試行を行う この試行を N 回繰り返したときに, 赤玉を A 回 ( ただし 0 A N) 取り出す確率を p( N, A) とする このとき, 以下の問いに答えよ () 確率 p( N, A) を N と
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オートマトン 形式言語及び演習 1 有限オートマトンとは 酒井正彦 wwwtrscssinagoya-uacjp/~sakai/lecture/automata/ 形式言語 言語とは : 文字列の集合例 : 偶数個の 1 の後に 0 を持つ列からなる集合 {0, 110, 11110, } 形式言語 : 数学モデルに基づいて定義された言語 認識機械 : 文字列が該当言語に属するか? 文字列 機械 受理
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0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上の曲線 C, C をそれぞれ C : y logx ( x > 0), C : y ( x-)( x- a) とする ただし, a は実数である を自然数とするとき, 曲線 C, C が 点 P, Q で交わり, P, Q の x 座標はそれぞれ, + となっている また, 曲線 C と直線 PQ で囲まれた領域の面積を S,
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因数分解 (1) 因数ある式がいくつかの式の積の形で表されるとき, かけ合わされたそれぞれの式のことをもとの式の因数という 例 ) 多項式 x 2 +( a + b)x + ab は x + a と x + b の積である x 2 +( a + b)x + ab = ( x + a)( x + b) もとの式 このとき,x + a と x + b を x 2 +( a + b)x + ab の因数という
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オートマトン 形式言語及び演習 4. 正規言語の性質 酒井正彦 www.trs.css.i.nagoya-u.ac.jp/~sakai/lecture/automata/ 正規言語の性質 正規言語が満たす性質 ある与えられた言語が正規言語でないことを証明するために その言語が正規言語であると仮定してを使い 矛盾を導く 閉包性正規言語を演算により組み合わせて得られる言語が正規言語となる演算について調べる
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第 章 誤り検出 訂正の原理 その ブロック符号とその復号 安達文幸 目次 誤り訂正符号化を用いる伝送系誤り検出符号誤り検出 訂正符号 7, ハミング符号, ハミング符号生成行列, パリティ検査行列の一般形符号の生成行列符号の生成行列とパリティ検査行列の関係符号の訂正能力符号多項式 安達 : コミュニケーション符号理論 安達 : コミュニケーション符号理論 誤り訂正符号化を用いる伝送系 伝送システム
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1/81 ページ フィボナッチ数列に現れる平方数 1 と 144 だけであることの証明 フィボナッチ数列と フィボナッチ数列と, 前の 2 つの数を加えると次の数になる という数列です ただし,1 番目と 2 番目の数両方とも 1 です 1, 1, 1 + 1 = 2 ですから,3 番目の数 2 になります 1, 1, 2, 1 + 2 = 3 ですから,4 番目の数 3 です 1, 1, 2, 3,
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13 2 13.0 2 ( ) ( ) 2 13.1 ( ) ax 2 + bx + c > 0 ( a, b, c ) ( ) 275 > > 2 2 13.3 x 2 x y = ax 2 + bx + c y = 0 2 ax 2 + bx + c = 0 y = 0 x ( x ) y = ax 2 + bx + c D = b 2 4ac (1) D >
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1. ベクトル ベクトル : 方向を持つ量 ベクトルには 1 方向 2 大きさ ( 長さ ) という 2 つの属性がある ベクトルの例 : 物体の移動速度 移動量電場 磁場の強さ風速力トルクなど 2. ベクトルの表現 2.1 矢印で表現される 矢印の長さ : ベクトルの大きさ 矢印の向き : ベクトルの方向 2.2 2 個の点を用いて表現する 始点 () と終点 () を結ぶ半直線の向き : ベクトルの方向
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0 章数学基礎 1 大学では 高校より厳密に議論を行う そのために 議論の議論の対象を明確にする必要がある 集合 ( 定義 ) 集合 物の集まりである集合 X に対して X を構成している物を X の要素または元という 集合については 3 セメスタ開講の 離散数学 で詳しく扱う 2 集合の表現 1. 要素を明示する表現 ( 外延的表現 ) 中括弧で 囲う X = {0,1, 2,3} 慣用的に 英大文字を用いる
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本日の内容 繰り返し計算 while 文, for 文 例題 1. 自然数の和例題 2. 最大公約数の計算例題 3. ベクトルの長さ while 文例題 4. 九九の表 for 文と繰り返しの入れ子例題 5. ド モアブルの公式計算誤差の累積 今日の到達目標 繰り返し (while 文, for 文 ) を使って, 繰り返し計算を行えるようになること ループカウンタとして, 整数の変数を使うこと 今回も,
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04_ 高校 数学 Ⅱ 必須基本公式 定理集 数学 Ⅱ 第 章式の計算と方程式 0 商と余り についての整式 A をについての整式 B で割ったときの商を Q, 余りを R とすると, ABQ+R (R の次数 ) > 0
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0 大阪大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a a を自然数とする O を原点とする座標平面上で行列 A= a の表す 次変換 を f とする cosθ siθ () >0 および0θ
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07 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 曲線 y= x - 4x+ を C とする 直線 l は C の接線であり, 点 P(, 0) を通るもの とする また, l の傾きは負であるとする このとき, C と l で囲まれた部分の面積 S を求めよ -- 07 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 次の問いに答えよ ただし, 0.00 < log0
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量子計算基礎 東京工業大学 河内亮周 概要 計算って何? 数理科学的に 計算 を扱うには 量子力学を計算に使おう! 量子情報とは? 量子情報に対する演算 = 量子計算 一般的な量子回路の構成方法 計算って何? 計算とは? 計算 = 入力情報から出力情報への変換 入力 計算機構 ( デジタルコンピュータ,etc ) 出力 計算とは? 計算 = 入力情報から出力情報への変換 この関数はどれくらい計算が大変か??
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(1) 数と式 学習指導要領ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 千早高校学力スタンダード 自然数 整数 有理数 無理数の用語の意味を理解す る ( 例 ) 次の数の中から自然数 整数 有理 数 無理数に分類せよ 3 3,, 0.7, 3,,-, 4 (1) 自然数 () 整数 (3) 有理数 (4) 無理数 自然数 整数 有理数 無理数の包含関係など
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08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ関数 f ( ) = + cos (0 < < ) の増減表をつくり, + 0, 0 のと sin きの極限を調べよ 08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ n+ 数列 a, a, を, Cn a n = ( n =,, ) で定める n! an qn () n とする を既約分数 an p として表したときの分母
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φ + 5 2 φ : φ [ ] a [ ] a : b a b b(a + b) b a 2 a 2 b(a + b). b 2 ( a b ) 2 a b + a/b X 2 X 0 a/b > 0 2 a b + 5 2 φ φ : 2 5 5 [ ] [ ] x x x : x : x x : x x : x x 2 x 2 x 0 x ± 5 2 x x φ : φ 2 : φ ( )
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99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 問題 第 問 ( 必答問題 ) [] 関数 y cos3x の周期のうち正で最小のものはアイウ 解答解説のページへ 0 x 360 のとき, 関数 y cos3x において, y となる x はエ個, y となる x はオ 個ある また, y sin x と y cos3x のグラフより, 方程式 sin x cos3x は 0 x 360のときカ個の解をもつことがわかる
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オートマトンと言語 回目 4 月 8 日 ( 水 ) 章 ( 数式の記法, スタック,BNF 記法 ) 授業資料 http://ir.cs.yamanashi.ac.jp/~ysuzuki/public/automaton/ 授業の予定 ( 中間試験まで ) 回数月日 内容 4 月 日オートマトンとは, オリエンテーション 4 月 8 日 章 ( 数式の記法, スタック,BNF) 3 4 月 5 日
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補論 3. 多変量 GARC モデル 07//6 新谷元嗣 藪友良 対数尤度関数 3 章 7 節では 変量の対数尤度を求めた ここでは多変量の場合 とくに 変量について対数尤度を求める 誤差項 は平均 0 で 次元の正規分布に従うとする 単純化のため 分散と共分散は時間を通じて一定としよう ( この仮定は後で変更される ) したがって ij から添え字 を除くことができる このとき と の尤度関数は
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6 章ラプラシアン, ベクトル公式, 定理 6.1 ラプラシアン Laplacian φ はベクトル量である. そこでさらに発散をとると, φ はどういう形になるであろうか? φ = a + a + a φ a + a φ + a φ = φ + φ + φ = 2 φ + 2 φ 2 + 2 φ 2 2 φ = 2 φ 2 + 2 φ 2 + 2 φ 2 = 2 φ したがって,2 階の偏微分演算となる.
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数理計画法第 2 回 塩浦昭義情報科学研究科准教授 shioura@dais.is.tohoku.ac.jp http://www.dais.is.tohoku.ac.jp/~shioura/teaching 前回の復習 数理計画とは? 数理計画 ( 復習 ) 数理計画問題とは? 狭義には : 数理 ( 数学 ) を使って計画を立てるための問題 広義には : 与えられた評価尺度に関して最も良い解を求める問題
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代数 幾何 < ベクトル > ベクトルの演算 和 差 実数倍については 文字の計算と同様 ベクトルの成分表示 平面ベクトル :, 空間ベクトル : z,, z 成分での計算ができるようにすること ベクトルの内積 : os 平面ベクトル :,, 空間ベクトル :,,,, z z zz 4 ベクトルの大きさ 平面上 : 空間上 : z は 良く用いられる 5 m: に分ける点 : m m 図形への応用
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基本公式 例題 0 定義式 f( ) 数 Ⅲ 微分入門 = の導関数を定義式にもとづいて計算しなさい 基本事項 ( f( ), g( ) が微分可能ならば ) y= f( ) g( ) のとき, y = y= f( ) g( ) h( ) のとき, y = ( f( ), g( ) が微分可能で, g( ) 0 ならば ) f( ) y = のとき, y = g ( ) とくに, y = のとき,
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行列 (Mtri) と行列式 (Determinnt). 行列 (Mtri) の演算. 和 差 積.. 行列とは.. 行列の和差 ( 加減算 ).. 行列の積 ( 乗算 ). 転置行列 対称行列 正方行列. 単位行列. 行列式 (Determinnt) と逆行列. 行列式. 逆行列. 多元一次連立方程式のコンピュータによる解法. コンピュータによる逆行列の計算.. 定数項の異なる複数の方程式.. 逆行列の計算
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可制御性 可観測性. 可制御性システムの状態を, 適切な操作によって, 有限時間内に, 任意の状態から別の任意の状態に移動させることができるか否かという特性を可制御性という. 可制御性を有するシステムに対し, システムは可制御である, 可制御なシステム という言い方をする. 状態方程式, 出力方程式が以下で表されるn 次元 m 入力 r 出力線形時不変システム x Ax u y x Du () に対し,
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07 年度大学入試センター試験解説 数学 Ⅰ A 第 問 9 のとき, 9 アイ 0 より, 0 であるから, 次に, 解答記号ウを含む等式の右辺を a とおくと, a a a 8 a a a 8 a これが 8 と等しいとき,( 部 ) 0 より, a 0 よって, a ウ ( 注 ) このとき, 8 9 (, より ) 7 エ, オカ また,より, これより, 9 であるから, 6 8 8 すなわち,
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(1) 数と式 学習指導要領ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 第 1 章第 節実数 東高校学力スタンダード 4 実数 (P.3~7) 自然数 整数 有理数 無理数 実数のそれぞれの集 合について 四則演算の可能性について判断できる ( 例 ) 下の表において, それぞれの数の範囲で四則計算を考えるとき, 計算がその範囲で常にできる場合には
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平成 0 年度高校 1 年 ( 中入 ) シラバス 科 目 授業時数 教 材 学習到達 目標 時間 / 週 教科書 : Standard( 東京書籍 ), 数学 Ⅱ Standard( 東京書籍 ) 副教材 :Standard Buddy WIDE +A ( 東京書籍 ), 数学 Ⅱ+B( 東京書籍 ) 集合と論証,2 次関数, 図形と計量 ( ) 及び方程式 式の証明, 図形と方程式 ( 数学 Ⅱ)
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http://totemt.sur.ne.p 外積 ( ベクトル積 ) の活用 ( 面積, 法線ベクトル, 平面の方程式 ) 3 次元空間の つのベクトルの積が つのベクトルを与えるようなベクトルの掛け算 ベクトルの積がベクトルを与えることからベクトル積とも呼ばれる これに対し内積は符号と大きさをもつ量 ( スカラー量 ) を与えるので, スカラー積とも呼ばれる 外積を使うと, 平行四辺形や三角形の面積,
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05 京都大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ つの関数 y= si( x+ ) と y = six のグラフの 0 x の部分で囲まれる領域 を, x 軸のまわりに 回転させてできる立体の体積を求めよ ただし, x = 0 と x = は領域を囲む線とは考えない -- 05 京都大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ次の つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ
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公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? < 図形と方程式 > 点間の距離 A x, B x, のとき x x + : に分ける点 A x, B x, のとき 線分 AB を:に分ける点 æ x + x + ö は ç, è + + ø 注 < のとき外分点 直線の方程式 傾き で 点 x, を通る : x 点 x, x, を通る : x 注 分母が のとき は座標軸と平行な直線 x x 4 直線の位置関係
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