講義「○○○○」

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しげじろうながおか
7 years ago
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1 講義信頼度の推定と立証内容. 点推定と区間推定. 指数分布の点推定区間推定 3. 指数分布正規分布の信頼度推定担当 : 倉敷哲生 ( ビジネスエンジニアリング専攻 )

2 統計的推測標本から得られる情報を基に母集団に関する結論の導出が目的測定値 x x x 3 : x 母集団 (populaio) 母集団の特性値統計的推測標本 (sample) 標本の特性値分布のパラメータ ( 母数 ) は推定値計算で得られた信頼度もまた推定値

3 3 信頼度の推定点推定未知の信頼度そのものの値を推定. ある一点に絞るとき何故その点にするのか判断の根拠が大切. 最もよく用いられる手法の一つが最尤推定法区間推定信頼度が存在すると考えられる範囲を推定. 投網の網目が細かいか穴が空いていないか投げ方などの使い方が重要. 片側区間推定両側区間推定の方法がある.

4 4 点推定の判断基準不偏性一致性標本数が大きくなるとととの距離が 0 になる. 標本平均をとすれば母数との関係は E[ ] 有効性不偏性を示すもので平方誤差の期待値 E[( ) ] が最小である.

5 5 最尤推定法最尤推定法 (mehod of maximum likelihood) 現実の標本は確率最大のものが実現したという原理に基づいた推定法. 成功確率が p のベルヌーイ試行の標本について { 成功失敗成功成功成功 } が与えられた場合この標本が得られる確率 ( 尤度 ) は L( p) p 4 ( p)

6 6 最尤推定法 L( p) 4 p ( p) のグラフ最尤推定量は L(p) を最大にする p0.8

7 7 最尤推定法最尤推定法 (mehod of maximum likelihood) パラメータを変化させて得られたデータが起こる確率が最も大きくなる値を求めそれを推定値とする方法. パラメータをとする確率密度関数は次式となる. m ) ( m x f i m i m m i m x f x f x f x L ) ( ) ( ) ( ) ( 個の標本 (x x ) に関して尤度関数 (likelihood fucio) を定義. 最尤推定法では尤度関数を最大にするパラメータを決定.

8 8 最尤推定法の例例題個の製品に対して寿命試験を行い得られたデータを昇順に並べたものを. とする. 指数分布を考え寿命の密度関数を f ( ) exp( ) exp で示した場合の推定値を最尤推定法で求めよ. 尤度関数は次式で示される. L( ) i exp exp i i 最尤推定値は L / 0 より (l L) / 0 l L l i l i i i ( 対数尤度関数 ) (l L) + 0 i i i i 平均寿命を示す

9 9 指数分布の点推定例題個の製品に対して寿命試験を行い得られたデータを昇順に並べたものを. とする. 指数分布を考え寿命の密度関数を f ( ) exp( ) exp で示した場合信頼度 R を点推定により求めよ. 信頼度 R は次式となる. R( ) F( ) exp( ) exp exp( ) d exp i i

10 0 信頼度の区間推定区間推定ある区間に真の信頼度の値が入ることが一定の確率 (95% や 99%) 以上となるように区間の上限と下限の限界点の推定量を求める方法. () 推定する区間の幅 ( 真の信頼度がその区間に含まれる可能性 ) () 区間の定め方 (3) 推定区間に含まれる確率の計算法に注意する必要がある.

11 信頼度の片側信頼下限片側信頼下限 RL 十分高い確率で真の信頼度 R よりも低い値となるような推定値 Pr[ R L R] を信頼水準 (cofidece level) 信頼係数信頼率という. 信頼水準としてはなどを用いることが多い. RL はデータに依存して変動する量真の信頼度より低めの ( 控え目の ) 推定値を与える信頼度の片側信頼下限 R L 確率

12 片側信頼上限と両側区間推定片側信頼上限 RU 十分高い確率で真の信頼度 R よりも高い値となるような推定値両側区間推定 Pr[ R Pr[ R L R ] U 十分高い確率で真の信頼度 R をその中に含むような区間 [ R L R U ] を求める. R R ] U Pr[ R L R] と Pr[ R R U ] が等しくなるようにしを / で置き換えた R を区間の両端とすることが多い. L R U R L R U の分布 / /

13 3 指数分布の区間推定例題個の製品に対して寿命試験を行い得られたデータを昇順に並べたものを. とする. 指数分布を考え寿命の密度関数を f ( ) exp( ) exp で示した場合信頼度の片側信頼下限 RL を求めよ. T f ( T ) は次のガンマ分布に従う. ( T ) T exp u T / の変数変換を行えば uの密度関数 g ( u) du f ( T ) dt より g( u) ( ) u exp u この式をカイ二乗分布の密度関数と比較.

14 4 ガンマ分布ある事象がポアソン過程に従う場合事象が m 回発生するまでの時間はガンマ分布に従う. ガンマ分布の密度関数 f ( ) ( ) exp ポアソン過程事象がランダムに発生し任意の時間 ( または空間 ) 区間での事象の発生は他の区間に対して独立であり区間の幅の大きさに従って発生確率は比例する. 銀行の窓口に到着する客の人数などの場合標準ガンマ分布 f ( ) ( ) e 指数分布 / の場合指数分布

15 5 カイ二乗分布とは母集団が正規分布に従うと仮定 x x x 3 : x 標準正規分布 N(0 ) に従う確率変数 Z に対して Z の乗の値を記録. ( 標準正規分布 ) c 分布正規母集団標本 3 c 分布の密度関数正規分布に従う変数の平均および分散の計算 4 5 正規分布を加えたり乗することを意味する. 個の c 分布の和 Z + Z は自由度の c 分布. + Z

16 6 指数分布の区間推定 c 分布の密度関数 c c g( c ;) ( ) exp g( c ;) 自由度の c 分布 c a + a + + a ai は標準正規分布 N(0) に従う c u T / / u g( u) ( ) は自由度の c 分布に従う. u exp g(u) 自由度の c 分布 Pr c () 信頼水準 - c () 確率 u

17 7 指数分布の区間推定 c ) ( Pr g(u) 自由度の c 分布確率 - c () u c c c exp ) ( exp Pr ) ( Pr ) ( Pr 真の信頼度 T R L ) ( exp ) ( exp c c 片側信頼下限

18 8 指数分布の区間推定例題個の製品に対して寿命試験を行い得られたデータを昇順に並べたものを. とする. 指数分布を考え寿命の密度関数を f ( ) exp( ) exp で示した場合信頼度の片側信頼下限 RL を求めよ. RL はデータに依存して変動する量 Pr R L exp - 確率 R L exp c () 信頼度の片側信頼下限 RL ガンマ分布カイ二乗分布

19 9 指数分布の信頼度推定例題 3 次の寿命データについて指数分布を考え点推定により 0hr における信頼度を求めよ. 同様に 0hr において信頼水準 90% 95% 99% に対する片側信頼下限を推定せよ (hr) c 分布表自由度

20 0 正規分布の信頼度の点推定例題 4 個の製品に対して強度試験を行い得られたデータを昇順に並べたものを. とする. 母集団が正規分布に従う場合信頼度を点推定により求めよ. 母集団が正規分布に従う場合の密度関数および標準正規分布関数 f ( ) exp ( x ) u u ( u) exp du 平均値と標準偏差を最尤推定法により求めれば x i i R ( x i ) i したがって信頼度の最尤推定値は次式となる.

21 正規分布の信頼度の片側信頼下限例題 5 個の製品に対して強度試験を行い得られたデータを昇順に並べたものを. とする. 母集団が正規分布に従いその分散は既知だが平均が未知である場合信頼度の片側信頼下限を推定せよ.

22 標本平均の平均値と分散正規母集団個の標本を抽出既知既知 ( 平均値分散 ) X X. X (X X. X は独立とする ) 個々の X X. X は母集団の平均分散に従う. E ( X 標本平均 ) E( X ) E( X ) X の平均値 E(X ) ( X ) ( X ( X ) ) X ( ) X X E X E E ( X) + E( X ) + + E( X ) ( ) 標本平均 X の分散 ( X ) X + X + + X ( X ) ( X) + ( X ) + + ( X ) ( ) 正規分布 N( ) の母集団から独立に抽出された個の標本の平均は正規分布 N( / ) に従う.

23 3 母分散母平均の区間推定正規母集団個の標本を抽出既知既知 ( 平均値分散 ) X X. X (X X. X は独立とする ) 母平均が未知母分散が既知の場合母平均の区間推定標本平均母分散を用いて標準正規分布表より区間推定母平均が未知母分散が未知の場合母平均の区間推定標本平均標本不偏分散を用いて分布表より区間推定母平均が未知の場合母分散の区間推定 c 分布表より区間推定

24 4 母分散が既知の場合母平均の片側区間推定 z / Pr z / 標本平均を用いる! は標準正規分布 N(0 ) に従う. Pr z (z は N(0 ) の上側 00 % 点 ) 密度関数分布関数 z f ( z) exp z ( z) f ( ) d f (z) - 0 z 個の標本の平均は正規分布 N( / ) に従う. 確率 z 式変形 Pr ( ) z Pr + z

25 5 母分散が既知の場合母平均の片側区間推定 + Pr z 標準正規分布関数 (u) は u の単調増加関数なので + Pr z + Pr z 真の信頼度片側信頼下限 + z R L

6 正規分布の信頼度の片側信頼下限例題 6 0 個の鉄鋼部材に強度試験を行い次のデータが得られたとする. 458 480 485 488 496 505 508 59 5 539 (MPa) 母集団が正規分布に従いその平均値は未知だが標準偏差は既知で 0.0(MPa) とする.

26 6 正規分布の信頼度の片側信頼下限例題 6 0 個の鉄鋼部材に強度試験を行い次のデータが得られたとする (MPa) 母集団が正規分布に従いその平均値は未知だが標準偏差は既知で 0.0(MPa) とする. この部材に 450MPa の応力が作用した際信頼水準 95% に対する信頼度の片側信頼下限を推定せよ. 片側信頼下限 R L + z R L (.980) (u) (u) 標準正規分布表 u u ( ) exp u u du

基礎統計

基礎統計第 11 回講義資料 6.4.2 標本平均の差の標本分布母平均の差標本平均の差をみれば良いただし, 母分散に依存するため場合分けをする 1 2 3 分散が既知分散が未知であるが等しい分散が未知であり等しいとは限らない 1 母分散が既知のときが既知標準化変量 2 母分散が未知であり, 等しいとき分散が未知であるが, 等しいということは分かっているとき標準化変量自由度の t