スライド 1

Size: px

Start display at page:

Download "スライド 1"

こうしょえんの
5 years ago
Views:

1 暫定版修正加筆の可能性あり ( 付録 ) 点群基礎 (). 三回転対称 2. 表現行列. 基底変換 4. 具体例 5. 簡約化 6. 指標表 7. 直積付録 (75 76) のアプローチ : 群論 (group thor) の基礎. アンモニア (NH) でお馴染みの点群 (point group) について検討する 2. ダイヤモンド窒素空孔 (nitrogn acanc cntr in diamond) も点群である. 点群 : 三回転対称 (rotation)+ 鏡映 (rflction) に話題を限定します 4. 付録 75では基底ベクトル付録 76では基底関数を扱う 75-

2 三回転対称 :() 対称操作 (smmtric opration):2 反時計回り回転操作赤矢印 : 非直交基底ベクトル以後ベクトルは省略 2 反時計回り回転操作 : 非直交基底 x x x x x + x x z 青矢印 : 直交基底ベクトル 75-2

3 三回転対称 :(2) 再掲 :2 反時計回り回転操作青矢印 : 直交基底 x x x x x + x x z 赤矢印 : 非直交基底行列表示 :2 反時計回り回転操作 2 注意 : 括弧について形式的に三個の基底ベクトルを束ねただけなので括弧 {} を使用した括弧 {} 内にベクトルがある点を除けば通常の行列演算で対応可能以後括弧 {} の使用を止めて括弧 [ ] で基底ベクトルを束ねる 75-

4 表現行列 () 単位操作 ( 恒等表現 ):idntit 鏡映 :rflction E 反時計回り回転操作 : 2 反時計回り回転操作 :

5 表現行列 (2) 特徴 : 鏡映と回転逆操作 : 逆回転 E 2 2, E 2,,, E 様々な性質 : 鏡映と回転逆操作 : 逆鏡映も鏡映赤矢印 : 非直交基底 2 2 注意 : 単位操作 ( 記号 E) E 75-5

6 基底変換 () 基底変換 : 非直交基底 ( 赤色 ) から直交基底 ( 青色 ) へ赤矢印 : 非直交基底 x z x 比較 : 非直交基底ベクトル ( 赤矢印 ) と直交基底ベクトル ( 青矢印 ) 非直交基底は粒子の位置に対応するが直交基底は粒子の位置と直接的な対応はない三次元直交基底 : 単位ベクトル基底ベクトル z, x z x z は +z 軸を向いているから両辺を等号で結ぶことはできない既約表現(irrducibl rprsntation) を得るためには考えない x 等の基底変換 z 青矢印 : 直交基底 75-6

7 基底変換 (2) Т: 基底変換行列 x x T T 2 2 z z 直交行列 : 逆行列と転置行列が一致群論 (group thor) T 2 6 T T 非直交基底は粒子位置に対応するが直交基底は粒子位置との直接的な対応はない群論では対称操作を記述する表現行列を非直交基底から直交基底に書き直して ( 基底変換 ) 対称操作の特徴を系統的に理解します直交基底変換後の行列表示に注目しましょう! 75-7

8 基底変換 () 一例 : 2 反時計回り回転操作赤矢印 : 非直交基底 Т: 基底変換行列 x z z x x TT T T T 重要 : 基底変換前 ( 赤色 ) と変換後 ( 青色 ) の 2 反時計回り回転操作 T T 直交基底 ( 青色 ) 非直交基底 ( 赤色 ) 青矢印 : 直交基底 75-8 z

9 具体例 () 例 : 2 反時計回り回転操作 T T T cos2 sin2 sin2 cos2 x z あたりまえかな?: 2 反時計回り回転操作の回転軸は +z 軸になります 75-9

10 具体例 (2) 一覧 : 鏡映操作 T T T 参照 : 75-5 T T T T 2 T T T T TT 75-

11 一覧 : 回転操作具体例 () 2 2 2, cos sin 2 2 sin cos 2 2 cos sin 2 2 sin cos T T E T T E T T π 75-

12 具体例 (4) 一覧 : 鏡映操作 E cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin 2 sin cos sin cos 75-2

13 具体例 (5) 実感 : 非直交基底は粒子位置に対応するが直交基底は粒子位置との直接的な対応はない ( 参照 :75-4) 単位操作 ( 恒等表現 ):idntit 鏡映 :rflction cos, sin c s x x ' x E ' z z ' z x x ' x ' z z ' z 反時計回り回転操作 : 2 x c s x ' x s c ' z z ' z x c s x ' x s c ' z z ' z 反時計回り回転操作 : 24 2 ' x ' z ' z x c s x s c z x c s x ' x s c ' z z ' z 75-

14 簡約化 () 可約表現 :rducibl rprsntation イメージ : 可約表現と既約表現既約表現 :irrducibl rprsntation 2 2 簡約化注意 : の行列? 今回は全部ですがいつも全ての対称操作に対してとは限りません! 例えば - になることもあります cos sin cos sin sin cos sin cos, 2 cos sin cos sin sin cos sin cos π

15 簡約化 (2) 既約表現 : 行列表示 cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos 既約表現 :irrducibl rprsntation 鏡映 : パウリ行列の z 成分 E c E 2 2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c s c s c s c s s c s c s c s c cos, sin s 75-5

16 簡約化 () ところが : にはもう一つの既約表現 2 がある! 注目 : 鏡映操作で符号反転表現の名前 E 2 E 2 2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c s c s c s c s s c s c s c s c 注意 : 名前の表現 E と恒等表現 E を混同しない! 鏡映操作 : 行列表現お詫び : 両者の違いについては付録 76 で議論する + E, 2 + E 青括弧 : 正符号紫括弧 : 負符号 75-6

17 指標表 () 可約表現 :rducibl rprsntation 重要 : 可約表現と既約表現でトレース (trac) が一致 T T ( ) ( ) Tr ( T T ) Tr ( ) Tr Tr T T 既約表現 :irrducibl rprsntation cos sin cos sin sin cos sin cos, 2 cos sin cos sin sin cos sin cos π

18 指標表 (2) 既約表現 : 指数表可約表現 : 指数表 E 2 2 E 2 E 2 Γ 対称操作 : 行列表現可約表現 : 指数表 Γ + E 指標表 (charactr tabl): なにがいいたいのかな? 可約表現の指数表は容易に作成できる ( と思う ) 既約表現の指数表は予め用意されている指数表を比較すれば即座に簡約化できる! 群論では対称操作を記述する表現行列を非直交基底から直交基底に変換して対称操作の特徴を系統的に理解します但し面倒くさい計算は不要である 75-8

19 直積一例 : 既約表現同志の直積 (tnsor product) E 2 E 2 E E 4 E E E E 2 2 E 2 目的 : 直積の簡約化, E E 2 2 E E, E E 2 2 E E + + E 注意 : 直積のトレース 2 指標表 (charactr tabl): なにがいいたいのかな? 可約表現の指数表は容易に作成できる ( と思う ) 既約表現の指数表は予め用意されている指数表を比較すれば即座に簡約化できる! 群論では対称操作を記述する行列表示を非直交基底から直交基底に変換して対称操作の特徴を系統的に理解します但し面倒くさい計算は不要である更に直積の簡約化にも便利! 既約表現 2 がないと直積の簡約化ができません三回転対称 () の既約表現は三種類既約表現既約表現 2 既約表現 E ( ) ( ) r ( ) Tr Tr T 75-9

スライド 1

スライド 1 暫定版修正加筆の可能性あり ( 付録 ) 電磁波 ( 光 ) の角運動量. 復習 : 電磁波 ( 光 ) のエネルギー. 運動量角運動量 ( 実空間 ) 3. 軌道スピン角運動量 4. 円偏光状態 5. 螺旋状態付録 8 のアプローチ. 本付録では電磁波 ( 光 ) の軌道スピン角運動量ついて古典的に扱う. スピン角運動量は直線偏光状態では零円偏光状態では非零右左回りで大きさは同じ