07 別冊③三次元差分法を用いた長周期地震動の推計手法

Size: px

Start display at page:

Download "07 別冊③三次元差分法を用いた長周期地震動の推計手法"

みひなじゅふく
6 years ago
Views:

1 別冊 3 三次元差分法を用いた長周期地震動の推計手法平成 7 年月南海トラフの巨大地震モデル検討会首都直下地震モデル検討会

3 . 長周期地震動に用いる計算手法.... スタッガードグリッドによる 3 次元差分法の概要深い地盤構造モデル (3 次元速度層モデル )... 7

. 長周期地震動に用いる計算手法長周期地震動を再現する計算手法は Graes ) や Piarka ) Aoi ad Fujiwara 3) で利用されている 3 次元有限差分法 ( 以下 3 次元差分法 ) を用いた図 -に 3 次元差分法の概念図を示す 3 次元差分法は地震波を発生する震源を多数の点震源群 ( 複双震源 =ダブルカップルフォース ) として導入することができる

4 . 長周期地震動に用いる計算手法長周期地震動を再現する計算手法は Graes ) や Piarka ) Aoi ad Fujiwara 3) で利用されている 3 次元有限差分法 ( 以下 3 次元差分法 ) を用いた図 -に 3 次元差分法の概念図を示す 3 次元差分法は地震波を発生する震源を多数の点震源群 ( 複双震源 =ダブルカップルフォース ) として導入することができる導入する際は人為的なパルス列が発生しないようスムースな断層破壊を表現するために計算周期範囲を考慮して配置する必要がある更に 3 次元差分法では地震波が伝播する地盤構造の 3 次元的な不均質性を考慮することができるこれは地震波が伝播する不均質な地盤構造をスタッガードグリッドと呼ばれる不連続格子を用いてモデル化するためであるスタッガードグリッドによる不連続格子モデルの概念図を図に示す図.3 次元差分法の概念図

5 図 - スタッガードグリッドによる不連続格子モデルの概念図 (Piarka ) より抜粋 ) スタッガードグリッドによる不連続格子を用いた地盤構造モデルでは地震波の波長や地盤構造の不均質を考慮するため格子間隔を適切に設定することで精度の良い計算を効率よく行うことができるなお本検討におけるモデルでは深さ方向に格子間隔を変えておいるまた広い領域を計算対象とする際は PC を複数台利用する並列計算により計算時間を短縮することができる 3 次元差分法による地震動の計算フローを図 -3に示す

6 図 -3.3 次元差分法による地震動の計算フロー ( 図中番号から 4 は図 - の図中番号に対応している ). スタッガードグリッドによる 3 次元差分法の概要 3 次元差分法は空間方向 (,, 方向 ) と時間方向 ( 方向 ) に関して速度成分 ν と応力 σの微分方程式を時間差分近似で解く方法である今回用いる 3 次元差分法は広域な長周期地震動の計算を行うため以下の点を考慮したプログラムとなっている ) 深部構造の不均質性を簡略化することができるよう鉛直方向 (Z 軸方向 ) に不等間隔なグリッド配置ができるそのため計算の大幅な短縮化ができるこれは Virieu 4),5) によって提案されたスタッガードグリッドを導入しているためである ) 地盤の減衰を表す Q 値を P 波と S 波で個別に設定することができるこれは Robberso 6) や Robberso e al. 7) によって提案された手法を参考にしているためである速度成分 νと応力成分 σによるスタッガードグリッドを用いた波動方程式は以下のように記述できる 3

7 4 ) ( () ) ( () ) ( (3) ) ( (4) ) ( (5) ) ( (6) (7) (8) (9) 式 ()~(9) において ρ は密度 λ と μ はラメの定数である式 ()~(3) は速度 ν の時間微分が応力 σ の勾配成分に依存することを表しており式 (4)~(9) は応力 σ の時間微分が速度 ν の勾配成分に依存することを表しているすなわち式 ()~(3) が速度 ν を求める時間差分の計算式 (4)~(9) が応力 σ を求める時間差分の計算を示しており上式 ()~(3) と (4)~(9) を交互に繰返し計算することで 3 次元的に伝播する地震波動の計算を行うなお 3 次元差分法の計算では上述の時間方向のみならず空間方向にも現れる式 () を時間差分で書き直すと ( ) (0) となるとはそれぞれ時間ステップ幅と方向の速度 ν の微小変化を表している式 ()~(3) も同様に書き直すことができる式 (0) において右辺はひとつ前の時間ステップで計算済みである上述のような時間差分による離散化形式の解法は時間を陽にしているため陽解法と言い直接方程式を解かずに済むので大規模領域の 3 次元計算でも PC の負荷を軽減でき計算時間を短縮できる利点がある

8 空間勾配の離散化は式 (0) の直交応力成分 σ を用いると以下の式 () で表される i i () 式 () において i は応力格子の方向に付けられているインデックスであるは応力の格子間隔を表しているスタッガードグリッドでは式 (0) の左辺が計算される位置にある速度格子が応力格子に付けられたインデックス i と i+ の間に存在することになる図.に 3 次元の速度 νと応力 σのスタッガードグリッドの要素格子を示す σ υ σ σ σ υ Y σ X υ Z σ 図. 速度 ν と応力 σ のスタッガードグリッドの要素格子図.の要素格子によると速度 νと応力 σの格子点は互いに隣接しているのが分かる換言すれば速度勾配の計算に必要な速度の格子点が応力の格子点と隣接しているという事であるスタッガードグリッドを用いた 3 次元差分法では速度 νと応力 σの格子点は上述のように空間的に交互に隣接しており時間ステップが進むにつれ両者が更新されて次の時間ステップの計算へと進む時間ステップの半分とした場合の式 ()~(9) の時間差分を考えると式 ()~(9) は以下のように書き直される ( ) ( ) () (3) 5

9 6 ) ( (4) ) ( (5) ) ( (6) ) ( (7) (8) (9) (0) 上式 ()~(0) においては経過時間をで表す時間に付せられるインデックスであるなお式 () の方向の格子インデックス i とは異なりここでは応力 σ が計算されるステップをとしているので速度 ν が計算されるステップのインデックスは時間の半分ずれているためとなっている地震動計算の場合計算領域を設定するため計算境界における処理が必要となるとりわけ地表面を表すには固体である地表面と大気の境界条件を付加する必要がある 3 次元差分法による地震動計算では大気は真空とみなし地表面は応力が伝わらない自由表面として設定される場合が多いまた地表面の地形を考慮した計算はまだ研究段階であることから地表面は平面として扱われることが多い今回の計算でも地表面は平面を仮定している地表面を平面とした自由表面の境界条件は次式で表される 0 0 Z ()

10 地表面に露頭している断層による地震外力などを地表面に作用させる場合はこの条件下で外力を表す項を付加する地表面の応力状態を表現するために軸方向の応力勾配および速度勾配を必要とする式 ()~(0) において地表面より上にある格子を使用しないため同式を変形する必要がある応力勾配は以下の解放端反射の条件を用いる / / / / / / () (3) 応力 σの上付きインデックスは空間格子であることを表す鉛直下向きに Z 軸を設定した場合は地表面より上に存在するので参照できないが解放端反射の条件により鏡像を参照できることを意味している一方速度勾配は応力 σの変化が無いことを式 (7) を用いて次式のように表わされる ( ) 0 (4) 式 (4) を整理すると ( ) (5) が得られ地表面における地震動が求まる 3 次元差分法では計算結果は速度 νで出力されるこの結果を微分すると加速度が得られ積分することで変位が求められる 3. 深い地盤構造モデル (3 次元速度層モデル ) 章で述べたように 3 次元差分法では地震波が伝播する地盤構造の 3 次元的な不均質性を考慮することができるしたがって推計する長周期地震動の精度を高くするためには不均質な地盤構造を精度よく構築することが重要となる地震動の水平動と上下動の観測記録を比較すると堅固な地盤では水平動と上下動が同程度であるのに対し柔らかい地盤では水平動が上下動に比べて大きくなっているこれは深い地盤の固有周期に対応する周期の表面波が増幅する特性によるものと考えられているこれより本両検討会における震度分布及び津波高等のこれまでの検討では地震調査研究推進本部から公開されている全国一次地下構造モデル ( 暫定版 ) 8) を基にして水平動 (H) と上下動 7

11 (V) の周期ごとの振幅比 (H/V スペクトル ) の観測値に合致するよう首都圏及び中部圏の地盤構造モデルを修正している本検討においてもこれまでの修正方法を用いて四国及び東海地域など図 3-に示す地域の観測データを点検し深部地盤モデルの修正を行った主な地点の H/V スペクトルによる地盤モデルの修正結果を図 3-に示す図 3-3には観測記録の H/V スペクトルと地盤モデルから計算される H/V スペクトルそれぞれの卓越周期の相関図を地盤モデルの修正前と修正後について示す修正後の地盤モデルは概ね観測記録の卓越周期を説明することが分かるまた地盤構造モデル修正前後の速度層上面深度分布を図 3-4 に中央防災会議 007 年モデルからの変更履歴を比較した断面図を図 3-5に示すなお地域毎に観測される地震波形の卓越周期は地盤の一次固有周期と相関が高いことが中央防災会議のこれまでの検討会で確認されている本検討で用いる地盤構造モデルから計算した地盤の一次固有周期は図 3-6に示すとおりであり地域毎に卓越しやすい地震動の周期を把握することができる 8

12 点検していない領域 ( 今後点検を実施 ) 修正を行った地域点検を行った領域図 3-. 地盤構造モデルの修正を行った地域 9

13 修正後修正前 SZO0 SZO0 SZO05 SZO05 SZO0 SZO0 K-NET 記録の地震毎の H/V スペクトル K-NET 記録の H/V スペクトルの平均地盤モデルによるレイリー波の H/V スペクトル図 3-(). 静岡県における修正前後の H/V スペクトル例 0

14 修正後修正前 TKS003 TKS007 KGW003 KGW003 TKS007 TKS003 K-NET 記録の地震毎の H/V スペクトル K-NET 記録の H/V スペクトルの平均地盤モデルによるレイリー波の H/V スペクトル図 3-(). 徳島県と香川県における修正前後の H/V スペクトル

15 観測されたピーク周期モデルのピーク周期 ( 修正後 ) モデルのピーク周期 ( 修正前 ) 観測とモデルの相関 ( 修正後 ) 観測とモデルの相関 ( 修正前 ) グラフの横軸 : 観測ピーク周期縦軸 : 計算ピーク周期図 3-3(). 地盤構造のピーク周期の比較 ( 静岡県 )

16 観測されたピーク周期モデルのピーク周期 ( 修正後 ) モデルのピーク周期 ( 修正前 ) 観測とモデルの相関 ( 修正後 ) 観測とモデルの相関 ( 修正前 ) グラフの横軸 : 観測ピーク周期縦軸 : 計算ピーク周期図 3-3(). 地盤構造のピーク周期の比較 ( 徳島県 ) 3

17 内閣府 (03) で修正修正前首都圏 ( 関東平野 ) 内閣府 (0) で修正全国次地下構造モデル中部圏 ( 濃尾平野 ) 近畿圏全国次地下構造モデルから修正なし ( 大阪平野 ) 図 3-3(3) 三大都市圏におけるピーク周期の比較 ( 横軸 : 観測ピーク周期縦軸 : 計算ピーク周期 ) 4

18 修正後 ( 本検討 ) 修正前 S 波速度 0.9km/s 層上面深度 S 波速度 0.9km/s 層上面深度 S 波速度.5km/s 層上面深度 S 波速度.5km/s 層上面深度 S 波速度 3.km/s 層上面深度 S 波速度 3.km/s 層上面深度図 3-4(). 地盤構造モデル修正前後の速度層上面深度分布 5

19 修正後 ( 本検討 ) 修正前 S 波速度 0.9km/s 層上面深度 S 波速度 0.9km/s 層上面深度 S 波速度.5km/s 層上面深度 S 波速度.5km/s 層上面深度 S 波速度 3.km/s 層上面深度 S 波速度 3.km/s 層上面深度左図 : 修正後 ( 本検討 ) 右図 : 修正前 ( 全国一次地下構造モデル ) 図 3-4(). 地盤構造モデル修正前後の速度層上面深度分布 6

20 中央防災会議 (007) 内閣府 (0) 内閣府 (03) 本検討 ( 内閣府 (05)) 図 3-5(). 地盤構造モデルの断面 7

21 中央防災会議 (007) 内閣府 (0) 内閣府 (03) 本検討 ( 内閣府 (05)) 図 3-5(). 地盤構造モデルの断面図 8

22 深い地盤構造モデルから算出した地盤の次固有周期の分布は図 3-6(). 地盤モデルから算出した次固有周期の分布図 3-6(). 地盤モデルから算出した次固有周期の分布 ( 中央防災会議,006) 0. 地盤モデルから算出した次固有周 9

23 参考文献 ) Graes, R. W. : Simulaig seismic wae propagaio i 3D elasic media usig saggered-grid fiie differeces, Bull. Seism. Soc. Am., Vol.86, pp.09-06, 999. ) Piarka, A. : 3D elasic fiie-differece modelig of seismic moio usig saggered grids wih mo-uiform spacig, Bull. Seism. Soc. Am., Vol.89, pp.54-68, ) Aoi, S. ad H. Fujiwara, : 3-D fiie differece mehod usig discoiuous grid, Bull. Seism. Soc. Am., Vol.89, pp , ) Virieu, J. : SH-wae propagaio i heerogeeous media : eloci-sress fiie-differece mehod, Geophsics, Vol.49,pp , ) Virieu, J. : P-SV-wae propagaio i heerogeeous media : eloci-sress fiie-differece mehod, Geophsics, Vol.5,pp , ) Robberso, J. O. A., J. O. Blach ad W. W. Smes, : Viscoelasic fiiedifferece modelig, Geophsics, Vol.59, pp , ) Robberso, J. O. A. : A umerical free-surface codiio for elasic/iscoelasic fiie-differece modelig i he presece of opograph, Geophsics, Vol.6, pp.9-934, ) 地震調査研究推進本部長周期地震動予測地図 0 年試作版, 全国次地下構造モデル hp:// 9) 中央防災会議東南海南海地震等に関する専門調査会 : 長周期地震動の卓越周期と深部地盤の固有周期 ( 参考資料 ), ) 内閣府南海トラフの巨大地震モデル検討会 : 南海トラフの巨大地震による震度分布津波高について ( 第一次報告 ), 0. ) 内閣府首都直下地震モデル検討会 : 首都直下のM7クラスの地震及び相模トラフ沿いのM8クラスの地震等の震源断層モデルと震度分布津波高等に関する報告書, 03. 0

パソコンシミュレータの現状

パソコンシミュレータの現状第 2 章微分偏微分, 写像豊橋技術科学大学森謙一郎 2. 連続関数と微分工学において物理現象を支配する方程式は微分方程式で表されていることが多く, 有限要素法も微分方程式を解く数値解析法であり, 定式化においては微分積分が一般的に用いられており. 数学の基礎知識が必要になる. 図 2. に示すように, 微分は連続な関数 f() の傾きを求めることであり, 微小なに対して傾きを表し, を無限に