Math-Aquarium 例題微分法 ( 導関数の計算 ) 微分法 ( 導関数の計算 ) 1 微分係数 (1) 関数 f(x) = 2 の,x = 1 における微分係数を求めよ x (2) 関数 f (x)= x-1 について, 次の問いに答えよ 1 x=1 において連続かどうかを調べよ 2 x

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たつやとこたに
1 years ago
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1 微分法 ( 導関数の計算 ) 微分係数 () 関数 f() = の, = における微分係数を求めよ () 関数 f ()= - について, 次の問いに答えよ = において連続かどうかを調べよ = において微分可能かどうかを調べよ微分係数と微分可能数学 Ⅱ で学んだように, 関数 f () の =a における微分係数 f '(a) は次のように表される f (a) f(a + ) f(a) ここで,a+= とおくと,=-a であり, のとき a であるから, 微分係数 f '(a) は次のようにも表される f (a) a f() f(a) a 関数 f () について,=a における微分係数 f '(a) が存在するとき,f () は =a で微分可能であるというまた, 関数 f () がある区間のすべてのの値に対して微分可能であるとき,f () はその区間で微分可能であるという微分可能と連続数学 Ⅲ 極限で学んだように, 関数 f() において, その定義域内の = a に対して, 極限値 lim a f() が存在し, lim a f() = f(a) が成り立つとき,f () は =a で連続であるという連続の定義は, 極限値 lim f() が存在し, lim f() = f(a) が成り立つであるが, 次のように a a 言い換えることもできる lim f() f() = f(a) a+0 a 0 関数 f() について, = aにおける微分可能の定義は, 微分係数 f f(a + ) f(a) (a) が存在するであるが, 連続と同様に次のように言い換えることもできる f(a + ) f(a) f(a + ) f(a) lim = f (a) +0 0

2 微分可能と連続について, 次のことが成り立つ関数 f () が =a で微分可能ならば,f () は =a で連続である証明関数 f () が =a で微分可能ならば,f '(a) が存在して lim a {f() f(a)} a f(a) {f() ( a)} = f (a) 0 = 0 a よって lim a f() = f(a) これより, 関数 f() は = a で連続である () f () f( + ) f() + ( + ) = () lim f() ( ) = 0, lim f() { ( )} = また,f() = 0 であるから, lim f() = f() が成り立つよって, 関数 f () は = において連続である f( + ) f() 0 lim =, f( + ) f() 0 lim = であるから,f '() は存在しないよって, 関数 f () は = において微分可能ではない (), からわかるように, 関数 f () が =a で微分可能ならば,f () は =a で連続であるの逆関数 f () が =a で連続ならば,f () は =a で微分可能であるは, 一般には成り立たない導関数次の関数を, 導関数の定義に従って微分せよ () y = () y = 関数 f () がある区間で微分可能であるとき, その区間のの値 a に微分係数 f '(a) を対応させる関数を, f () の導関数といい,f '() で表す関数 f () からその導関数 f '() を求めることを,f () を微分するという関数 f() の導関数 f () は, 次の式で定義される f () f( + ) f() 関数 y = f() の導関数 f () は, 右のように表すこともある y, {f()}, d, d d f()

3 () y f( + ) f() + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = () y f( + ) f() ( + ) ( ( + ) ) ( ( + ) + ) ( ( + ) + ) ( + ) ( ( + ) + ) ( + ) + = 積商の導関数 () 関数 y=(+)( -) を微分せよ () 次の関数を微分せよ y = + y = y = n (n は正の整数 ), 定数, 和差の導関数の性質数学 Ⅱ で学んだように, n (n は正の整数 ) と定数 c の導関数について, 次の公式が成り立つ n が正の整数のとき ( n )' =n n- c が定数のとき (c)' =0 関数 f (),g() が微分可能であるとき, 次の公式が成り立つ {k f ()}' =k f '() {f ()+g()}' =f '()+g'(), {f ()-g()}' =f '()-g'() {k f ()+l g()}' =k f '()+l g'() 積の導関数関数 f (),g() が微分可能であるとき, 次の公式が成り立つ {f ()g()}' =f '()g()+f ()g'() ( まえ微分うしろそのままプラスまえそのままうしろ微分 ) 証明 {f()g()} f( + )g( + ) f()g() f( + )g( + ) f()g( + ) + f()g( + ) f()g() {f( + ) f()}g( + ) + f(){g( + ) g()} f( + ) f() { g( + ) + f() g( + ) g() } ここで,g() は微分可能であるから連続であるので lim g( + ) = g() よって {f ()g()}' =f '()g()+f ()g'() 導関数の定義に戻り, 極限値の性質を用いれば証明できる f '(),g'() の定義式が現れるように, f ()g(+) を引いて足す

4 商の導関数関数 f (),g() が微分可能であるとき, 次の公式が成り立つ { g() } = g () {g()} ( マイナス ( 分母の乗 ) 分の ( 分母の微分 )) { f() g() } = f ()g() f()g () {g()} 証明 { g() } (( 分母の乗 ) 分の ( 上微分下そのままマイナス上そのまま下微分 ) g( + ) g() g() g( + ) g( + )g() { g( + )g() g( + ) g() } = g () {g()} g() は連続より lim g( + ) = g() { f() g() } = {f() g() } = f () g() + f() { g() } = f () g () + f() ( g() {g()} ) f() g() を,f() と g() の積とみなす積の導関数の公式 {f ()g()}' =f '()g()+f ()g'() 商の導関数の公式を利用 n (n は整数 ) の導関数 = f ()g() f()g () {g()} n が正の整数のとき, ( n )' =n n- が成り立つことは先ほど確認した n が負の整数のときも, ( n )' =n n- が成り立つかどうかを調べる負の整数 n は,m を n と絶対値が等しい正の整数として n=-m とおくことができる ( n ) = ( m ) = ( m) = (m ) ( m ) = mm m = m m = n n よって,n が負の整数のときも, ( n )' =n n- が成り立つまた,( 0 )' =()' =0 であるから, n=0 のときも, ( n )' =n n- が成り立つ以上から, 次の公式が成り立つ n が整数のとき ( n )' =n n- () y' ={(+)( -)}' =(+)' ( -)+(+) ( -)' = ( -)+(+) 4 = =6 +- (+)' =, ( -)' = - =4 4

5 () y = ( + ) y = ( ) ( + ) = ( + ) = ( + ) = () () = 0 = 別解 = とみると y = ( ) = ( ) = = = y = ( ) = ( + ) ( ) = () ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = 4 ( ) 4 合成関数の微分法関数 y=( +) を微分せよ関数 y = f() において, の増分を, に対する y の増分 f( + ) f() を y で表すと, 導関数 f () は次のように表される f y () 0 f( + ) f() 0 合成関数の微分法 y=f (u) が u の関数として微分可能,u=g() がの関数として微分可能であるとき, 合成関数 y=f (g()) もの関数として微分可能で d = du du d 証明 u = g() において, の増分に対する u の増分を u,y = f(u) において,u の増分 u に対する y の増分を y として y = y u u と変形することができるここで, u = g( + ) g() で,g() は連続であるから, 0 のとき u 0 となるよって d y 0 0 ( y u u ) y 0 u lim u 0 y u 0 u lim u 0 = du du d ここで,y=f (u) と u=g() の合成関数 y=f (g()) において, d = {f(g())}, du = f (u) = f (g()), du d = g () であるから, 合成関数の微分法の公式 d = du du d は, 次のようにも表される {f(g())} = f (g())g () 5

6 y' ={( +) }' =( +) - ( +)' =( +) =6( +) この関数のように, y={g()} n (n は整数 ) と表されるとき, y = n{g()} n g () が成り立つ u=g()= + とおくと,y={g()} =u =f (u) であるから y = du du = f (u) g () d 5 逆関数の微分法関数 y = ( > 0) を微分せよ逆関数の微分法関数 y=f () が,=g(y) と表すことができるとするこの両辺をの関数とみて, それぞれについて微分すると, 左辺は右辺は d d = d d g(y) = d g(y) d = d d =g(y) のと y を入れかえて y=g() と表したものが, もとの関数の逆関数 y=f - () であるとなるからよって, = d d d = d が成り立つ関数 y=f () のままでは微分しづらいが, について解いた =g(y) の形だと微分しやすいとき, 逆関数の微分法を利用するとよい r (r は有理数 ) の導関数 r が有理数のときも, ( r )' =r r- が成り立つかどうかを調べるまず,q を正の整数として,r = q で表される関数 y = r の導関数について考える y = qの両辺をq 乗すると, = y q から d = = d qy q = q q = q (q) q = q q = r r 次に,pを整数,qを正の整数として,r = p q で表される関数 y = r の導関数は, r p = q = (q) y = ( r ) p = {(q) } 以上から, 次の公式が成り立つ p = p (q) r が有理数のとき ( r )' =r r- p (q) = p q q q = p p q q q + q = p p q q = r r p より 6

7 y = より y = すなわち = y 逆関数の微分法により d = = = d y y = ( ) = 9 別解 y = y = = = = より = = 9 6 三角関数の導関数次の関数を微分せよ () y = sin () y = tan 三角関数の導関数 (sin ) sin( + ) sin sin cos + cos sin sin 三角関数の加法定理 sin(+)=sincos+cossin sin ここで, lim =, であるから cos sin sin ( cos ) (cos sin cos lim cos ( + cos ) (sin)' =cos -sin 0=cos (cos ) = {sin ( + π )} sin ( + cos ) cos sin ) = cos ( + π ) ( + π ) = cos ( + π ) = sin (tan ) sin = ( cos ) = (sin ) cos sin (cos ) cos = cos + sin cos = cos 以上から, 三角関数の導関数について, 次の公式が成り立つ (sin ) = cos, (cos ) = sin, (tan ) = cos sin sin + cos = 0 + = 0 7

8 () 合成関数の微分法により y' =(sin)' =cos ()' =cos 別解 sin=sincos より, 積の導関数の公式を利用すると y' =(sin)' =(sincos)' =(sin)' cos+sin(cos)' =cos cos+sin (-sin) =cos -sin =cos () y = ( tan ) = () tan (tan ) tan = sin tan cos cos tan = cos sin = cos sin cos sin tan の導関数の公式をあえて用いず,sin,cos の導関数の公式のみを用いて, 次のようにしてもよい y = ( tan ) = ( ) sin cos cos = ( sin ) = ( cos ) sin cos (sin ) sin = {() cos + (cos ) } sin cos cos sin = cos sin sin cos sin = {cos + ( sin )} sin cos sin = sin cos (sin + cos ) sin = sin cos sin 7 対数関数指数関数の導関数 () 次の関数を微分せよ y=(log ) y=log (+) y=log - () 関数 y = を微分せよ () 次の関数を微分せよ y = e y = 自然対数の底 e lim( + t) t の極限値を e とする t 0 e=.78 であり, 無理数であることが e y = ( + t) t 知られている残念ながら, lim t 0 ( + t) t = e は, 高校数学で求めることはできない 8

9 対数関数の導関数 y=log a (a>0,a ) の導関数を考える y = (log a ) log a ( + ) log a log + a log a ( + ) ここで = t とおくと, 対数関数 y = log a の定義域は > 0 であるから, 0 のとき t 0 であるよって (log a ) log a ( + ) t 0 lim( + t) t = eであるから (log a ) = t 0 log a e = log e a t log a( + t) = lim log a( + t) t t 0 特に a=e のとき,e を底とする対数 log e をの自然対数という一般に,log e は底 e を省略して log と書く log ee=log e= より, 対数関数の導関数について, 次の公式が成り立つ (log ) =, (log a ) = log a ( log )',( log a )' について考える > 0 のとき (log ) = (log ) =, < 0 のとき (log ) = {log( )} = ( ) = よって (log ) = したがって, 次の公式が成り立つ (log ) =, (log a ) = また (log a ) log = ( log a ) = log a = log a log a 合成関数の微分法により {log f() } = f () f() α (α は実数 ) の導関数 α が実数のときも, ( α )' =α α- が成り立つかどうかを調べる y= α の両辺の自然対数をとると log y=αlog 両辺をについて微分すると y y = α = α よって y = α y = α α = α α したがって, 次の公式が成り立つ α が実数のとき ( α )' =α α- 例えば,α=e( 自然対数の底 ) であるとき, ( e )' =e e- であるまた, 両辺の自然対数をとる微分法を対数微分法という 9

10 指数関数の導関数 y=a (a>0,a ) の導関数を考える y = a の両辺の自然対数をとると log y = log a よって y = y log a = a log a 両辺をについて微分すると y y 特に a = e のとき, log e = であるから (e ) = e したがって, 指数関数の導関数について, 次の公式が成り立つ (e )' =e, (a )' =a log a 合成関数の微分法により {e f () }' =e f () f '() = log a () y = {(log ) } = log (log ) = y = {log ( + )} = log ( + ) ( + ) log = ( + ) log y = (log ) = ( ) = () ( 対数微分法を用いる ) y = の両辺の絶対値の自然対数をとると log y = log = log log 両辺をについて微分すると y y = ( ) ( ) = ( ) = ( )( ) = ( )( ) よって y = ( )( ) = ( ) 対数関数の微分法において, 真数部分に絶対値が付いていても, 微分すると絶対値は外れる絶対値を付けて対数をとるのは, 真数条件をチェックする必がなくなるため, 計算がラクになるからである別解 ( 商の導関数の公式を用いる ) y = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) 0

11 対数微分法を用いると, 対数関数の真数の積や商を和や差に表すことができ, 微分は楽になるが, その結果を通分したり, 両辺に y を掛けたりする計算を考えると, 全体として計算量はあまり変わらないことが多い底と指数の両方に変数を含む関数, 例えば y= (>0) のような関数を微分する場合, 以下のように対数微分法を用いる必がある y= の両辺の自然対数をとると log y=log = log 両辺をについて微分すると y y = () log + (log ) = log + = log + よって y' =(log +)y=(log +) () y' =( e )' =( )' e + (e )' = e + e ()' =e + e =(+)e y = ( ) = log ( ) = log = log 8 高次導関数 () 次の関数の第次導関数, 第次導関数を求めよ y=log y=cos y=e () 関数 y=sin +cos は, 等式 y+y'' =0 を満たすことを示せ () 関数 y=e の第 n 次導関数を求めよ高次導関数関数 y=f () の導関数 f '() が微分可能であるとき, これをさらに微分して得られる導関数を f () の第次導関数といい, y, f (), d y d, などの記号で表す d f() d さらに, 第次導関数 f ''() の導関数を第次導関数といい, y, f (), d y d, などの記号で表す d f() d 一般に, 関数 y=f () を n 回微分して得られる関数を f () の第 n 次導関数といい, y (n), f (n) (), dn y d n, などの記号で表す dn f() dn なお,y (), y (), y () は, それぞれ y', y'', y''' を表す第次以上の導関数をまとめて, 高次導関数という y', f '() を第次導関数ということがある

12 () y = (log ) =, y = ( ) = ( ) = =, y = ( ) = ( ) = = y' =(cos )' =cos (cos )' =-sin cos =-sin, y'' =(-sin )' =-cos ()' =-cos, y''' =(-cos )' =sin ()' =4sin y' =(e )' =()' e +(e )' =e +e =(+)e, y'' ={(+)e }' =(+)' e +(+)(e )' =e +(+)e =(+)e, y''' ={(+)e }' =(+)' e +(+)(e )' =e +(+)e =(+)e () y =sin +cos, y' =(sin +cos )' =cos -sin, y'' =(cos -sin )' =-sin -cos よって y+y'' =(sin +cos )+(-sin -cos )=0 () y =e, y' =(e )' =e ()' =e, y'' =(e )' =e ()' =4e, よって, y (n) = n e と推測できるこれを, 数学的帰納法を用いて示す (ⅰ) n= のとき, y () =y' =e = e より,は成り立つ (ⅱ) n=k のときが成り立つと仮定すると y (k) = k e ここで,n=k+ のときを考えると y (k+) ={y (k) }' =( k e )' = k e ()' = k+ e よって,n=k+ のときもは成り立つ (ⅰ),(ⅱ) から, すべての自然数 n について,は成り立つので y (n) = n e 9 曲線のいろいろな表し方と微分法 () 次の曲線の方程式で定められるの関数 yの導関数を,,yを用いて表せ d y = 6 + y 9 = y = (),yが, 媒介変数 tを用いて次の式で表されるとき,の関数 yの導関数をtを用いて表せ d =t-, y=t - =sin t, y=sin 4t

13 陰関数の導関数の関数 y が方程式 F(,y)=0 の形で表されているとき,y をの陰関数ということがある F(,y) の中の y を含む式を f (y) とする f (y) をで微分するとき, 合成関数の微分法を用いて次のようにする d d f(y) = d f(y) d 陰関数に対して,y=f () の形で表される関数を陽関数ということがある媒介変数表示された関数の導関数,y が, 媒介変数 t を用いて =f (t),y=g(t) で表されており,,y が t について微分可能で,f '(t) 0 のとき, 合成関数の微分法により以上より, 次の公式が成り立つ = f(t),y = g(t) のとき d = d = dt dt d dt = g (t) d f (t) dt また, 逆関数の微分法により dt d = d dt () 方程式 y = の両辺をで微分すると d d y = d () よって y d d = したがって,y 0 のとき d = y 方程式 6 + y 9 = の両辺をで微分すると d d ( 6 ) + d d (y 9 ) = d d () よって 8 + y 9 d = 0 したがって,y 0 のとき d = 9 6y 方程式 y = の両辺をで微分すると d d (y) = d d () よって y + d = 0 したがって d = y () d dt = d (t ) =, dt dt = d dt (t ) = tであるから d = dt = t d = t dt d d (y) = () y + (y) d dt = d dt (sin t) = cos t d (t) = cos t, dt dt = d dt (sin 4t) = cos 4t d (4t) = 4 cos 4t dt であるから, cos t 0 のとき d = dt 4 cos 4t = d cos t dt

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Microsoft Word - 微分入門.doc 基本公式例題 0 定義式 f( ) 数 Ⅲ 微分入門 = の導関数を定義式にもとづいて計算しなさい基本事項 ( f( ), g( ) が微分可能ならば ) y= f( ) g( ) のとき, y = y= f( ) g( ) h( ) のとき, y = ( f( ), g( ) が微分可能で, g( ) 0 ならば ) f( ) y = のとき, y = g ( ) とくに, y = のとき,

Math-Aquarium 例題 微分法 ( 導関数の計算 ) 微分法 ( 導関数の計算 ) 1 微分係数 (1) 関数 f(x) = 2 の,x = 1 における微分係数を求めよ x (2) 関数 f (x)= x-1 について, 次の問いに答えよ 1 x=1 において連続かどうかを調べよ 2 x

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