. f( ) V (V V ) V e + V e V V V V ( ) V V ( ) E. - () V (0 ) () V (0 ) () V (0 ) (4) V ( ) E. - () V (0 ) () V (0 ) O r θ ( ) ( ) : (r θ) : { r cos θ r sn θ { r + () V (0 ) (4) V ( ) θ θ arg( ) : π π < θ π 0 θ < π O θ (r 0)
直交座標と極座標 E. - 次の各点を座標平面にプロットし 直交座標で表された 点は極座標表示に 極座標で表された点は直交座標表示 に変換せよ ただし偏角は ( π π] に制限するとする () ( ) ( ) () (r θ) ( π/) () ( ) ( ) (4) (r θ) ( π/6) E. - の解答 () () 座標曲線 θ 曲線 r 曲線 eθ 曲線 θ を固定し を動かして得られる曲線を 曲線という を固定し を動かして得られる曲線を 曲線という θ を固定し r を動かして得られる曲線を r 曲線という r を固定し θ を動かして得られる曲線を θ 曲線という 座標曲線 極座標の基本ベクトル 直交座標を用いているときは 基本ベクトル e e を 用いてベクトル場を表す 次の各点での極座標の基本ベクトルを求めよ () ( ) ( ) E. -4 の解答 eθ () er eθ 極座標を用いているときは 基本ベクトル er eθ を 用いてベクトル場を表す er () er (0 ) eθ ( 0) er (cos θ sn θ) cos θ e + sn θ e eθ ( sn θ cos θ) sn θ e + cos θ e e cos θ er sn θ eθ e sn θ er + cos θ eθ ベクトル場と極座標 E. -4 er 極座標の基本ベクトル er eθ とは 各点でされ その点を通る座標 曲線 r 曲線 θ 曲線 に接する単位 ベクトル 向きは座標の増加方向 原点では基本ベクトルはできない 曲線 () ( ) (0 ) () z r 極座標の基本ベクトル 極座標系 (r θ) () z ( + ) 極座標は 円領域や円環領域での現象を記述する場合や 回転対称な現象を記述する場合に便利 (4) ( ) ( ) 直交座標系 ( ) z f (r cos θ r sn θ) E. - の解答 () z r cos θ r sn θ () (r θ) ( π/) () ( ) (0 ) z f ( ) () z () (r θ) ( π/4) (4) 例えば z + という式で表されるスカラー場を 極座標で表すと z r となる E. - 次のスカラー場を極座標で書け () スカラー場と極座標 eθ er 直交座標で同様に基本ベクトルを考えると すべての点 で e e となり 極座標の基本ベクトルのような位置 依存性はない E. -5 次のベクトル場を図示せよ また直交座標とその基本 ベクトルを用いて書き直せ () V reθ () V rer 直交座標を用いるか極座標を用いるかは 場の様子や 領域の形状に依存してケースバイケースで選択
ベクトル場と極座標 ベクトル値関数 復習 E. -5 の解答 ある変数に対してベクトル量を一つ対応させる関数を ベクトル値関数という () V r( sn θ e + cos θ e ) e + e 点 P が平面 または空間 の中を運動している r(t) : 時刻 t における点 P の位置ベクトル v r r (t) (t) (t) 加速度: a(t) 速度: v(t) v(t) r (t) a(t) v (t) r (t) () V r(cos θ e + sn θ e ) e e 例. v(t) r (t) a(t) v (t) r (t) ベクトル値関数の微分は成分ごとの微分によって 計算できる ベクトル値関数の微分則 E. -6 教科書57ページの (.) (.) を証明せよ ただし (.) は３次元ベクトル限定 E. -6 の解答 (.) a(t) b(t) a (t)b (t) より (a (t)b (t)) (a (t)b (t) + a (t)b (t)) a (t)b (t) + a (t)b (t)) a (t) b(t) + a(t) b (t) (a(t) b(t)) (.) a(t) b(t) の 成分は a (t)bz (t) az (t)b (t) なので (a(t) b(t)) の 成分は a (t)bz (t) + a (t)bz (t) az (t)b (t) az (t)b (t) (a (t)bz (t) az (t)b (t)) + (a (t)bz (t) az (t)b (t)) となり これは a (t) b(t) + a(t) b (t) の 成分に一致する 他の成分も同様 合成関数の微分 r(t) ((t) (t)) を２次元ベクトル値関数とし f ( )を２変数関数とする f ((t) (t)) は t の関数 １変数関数 f ((t) (t)) は１変数関数の通常の微分 微分の連鎖律 ベクトル値関数の微分則 (.) a(p(t)) の 成分は a (p(t)) なので (a(p(t))) の 成分は (a (p(t))) p (t)a (p(t)) となり これは p (t)a (p(t)) の 成分に一致する 他の成分も同様. E. -7 原点を中心とする円周上 または球面上 を運動する点 の位置ベクトルと速度ベクトルは直交することを示せ E. -7 の解答 時刻 t における位置ベクトルを r(t) とする 円 または球 の半径を R とすると r(t) r(t) R 両辺を t で微分すると r (t) r(t) 0 v(t) r(t) 0 合成関数の微分 E. -8 以下のf ( ) (t) (t) に対し f ((t) (t)) を合成関数 の微分法によって求めよ () f ( ) + 7 (t) cos t (t) sn t () f ( ) log ( + ) (t) e t (t) et E. -8 の解答 () f ((t) (t)) + () f 参考 f ((t)) f ((t) (t)) (4 )( sn t) + ( + 4) cos t (4 cos t sn t)( sn t) + ( cos t + 4 sn t) cos t 0 sn t cos t (cos t sn t) 5 sn t cos t f ((t) (t)) ( e t ) + et + + t t e e e t e t e t + t et t tanh t t e + et e + et e + e t
連続関数 ２変数関数 f ( ) が (0 0 ) において連続であるとは lm f ( ) f (0 0 ) が成立することである () (0 0 ) ) (0 0 ) とは 点 ( ) が動いて点 (0 0 ) との ただし ( 距離 r ( 0 ) + ( 0 ) が 0 に近付くことである この際 r 0 になるどのような近付き方に対しても極限が 存在し f (0 0 ) に一致しないとならない 域の任意の点で連続な関数を 連続関数 C 0 級関数 という 連続関数 E. -9 以下の関数の原点における連続性をチェックせよ + () for ( ) (0 0) + 0 for ( ) (0 0) + for ( ) (0 0) + f ( ) 0 for ( ) (0 0) f ( ) () Hnt 曲座標で書き直してみると... 注 １変数関数では近付く方向が２通りのみなので連続性 は左極限と右極限をチェックすれば事足りる 連続関数 E. -9 の解答 ( ) (0 0) において r cos θ r sn θ とおく 偏導関数の偏導関数をすることができる よって原点で連続である なので cos θ + sn θ (for θ 0) lm f (r cos θ r sn θ) r 0 π (for θ ) lm f (r cos θ r sn θ) r 0 () f (r cos θ r sn θ) 近付く方向により極限値が異なるので原点で不連続 である () + + 0 0 + + () e cos e sn e cos e cos f e sn e sn を で偏微分したもの を で偏微分したもの を で偏微分したもの E. -0 次の各関数の４通りのを計算せよ () f ( ) + 5 () f ( ) e cos E. -0 の解答 を で偏微分したもの () f (r cos θ r sn θ) r(cos θ + sn θ) なので lm f (r cos θ r sn θ) 0 f (0 0) が成立する r 0 C 級関数と C 級関数 がいずれも連続関数であるとき f ( ) は C 級であるという 偏導関数 がいずれも 連続関数であるとき f ( ) は C 級であるという 注 f ( ) が C 級であるとき が成立する E. -0 の例で確認してみよ
１次関数による近似 ２変数の１次関数 関数 f () が C 級であるとき f () f (0 ) + f (0 )( 0 ) + O( 0 ) ２変数の１次関数 双１次関数 f ( ) a + b + c a b c 定数 １次関数 (0 f (0 )) グラフは平面 z b + c (0 f (0 )) z z z a0 + b + c (0 f (0 )) z a + b0 + c Zoom In c Zoom In 関数 f () のグラフが接線で局所的に近似できる c z a + c 0 0 f ( + ) f () + f () + O( ) 偏微分係数の意味 偏微分係数の意味 接線の傾き (0 0 ) E. - の解答 z f (0 ) この平面は点 (0 0 f (0 0 )) を通るので 平面 0 平面 0 z f ( 0 ) 接線の傾き (0 0 ) 0 0 z f (0 0 ) + a( 0 ) + b( 0 ) と書ける z (0 0 ) と a は平面 0 上の接線の傾き 一致していなければならない ゆえに a (0 0 ) (0 0 ) である 同様に b よって平面の方程式は E. - ２つの接線を含む平面 の方程式を求めよ z f (0 0 ) + １次関数による近似 微分の連鎖律 再掲 f ( ) (t) (t) が C 級であるとき f ( ) が C 級であるとき f ( ) f (0 0 ) + (0 0 )( 0 ) + (0 0 )( 0 ) １次関数.0 +O( 0 + 0 ) (0 0 f (0 0 )) z f ( ) グラフ z f ( ) の.5 接平面による局所近似.0 0.5 0.0.0.0 0.0 0.0 0.5 0.5.0.0 参考 f ((t) (t)) + Proof f ((t) (t)) lm {f ((t + t) (t + t)) f ((t) (t))} である t 0 t t + O( t ) (t + t) (t) と置くと (t + t) (t) t + O( t ) f ((t + t) (t + t)) f ((t) (t)) 0.5 0.5 (0 0 )( 0 ) + (0 0 )( 0 ) + + O( + ) これより連鎖律が示せた f () + t + O( t ) 注 C 級を仮定したが この結果は C 級関数についても成立する
r(t) ((t) (t)) t r(t) r(t) t r(t) E. - f(). E. - f() r(t) (t f(t)) r(t) (cos t sn t) f() r(t) P r r(t + t) r(t) P r lm t 0 t lm r(t + t) r(t) r (t) t 0 t O P t r (t) r(t) t O t r (t) r (t) E. -4 r(t) () r(t) (t sn t) () r(t) (e t cos t e t sn t) E. -4 () r (t) ( cos t) r (t) + cos t ( ) t + cos t cos t + cos t () r (t) e t (cos t sn t sn t + cos t) ( e t cos (t + π r (t) 4 ) sn (t + π ) 4 ) e t t (cos (t + π 4 ) sn (t + π ) 4 )