1/117 電験三種 ( 第三種電気主任技術者試験 ) 理論 分類電気の定義 定理電圧計 電流計ブリッジ回路回路 ベクトル図から各値を求める電圧 電流波形 ( 式 ) から各値を求める Y-Δ 変換コンデンサ関係コイル関係電力 力率関係電気一般磁気一般 Tr & OPアンプ 出題頻度 電験三種 ( 電気主任技術者試験 ) 分析資料完全版 ( 理論 ) の見本です この理論の他に 電力 機械 法規 重要公式集 小技 セオリー集があります WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
/117 理論電気の定義 定理単純なオーム則 本資料は分析資料理論概要完全版の見本であり オームの法則を利用して 各値(V I R) を求める 抵抗の分圧比から端子電圧を求める 直並列接続されている抵抗の合成抵抗 全体像の確認用としてご参照下さい 一見複雑な回路であっても分かりやすく書き換えることによって 単純な回路になることが多々ある 詳細部までは確認できません ( 塗潰し箇所あり ) No.1 直流回路のオーム則 抵抗分圧 [ 問 ] 電源と抵抗から構成される直流回路から 図のように 端子が出ている 端子開放時の電圧は V = 4 [V] だったが R = 6 [Ω] をつないだときの電圧は V = 18 [V] になった R = 10 [Ω] をつないだときの V [V] の値はいくらか? [ 問題図示 ] 直流回路の内部抵抗 r を考慮するのがポイント ( 下図参照 ) [ 解 ] 問中の 端子開放時の電圧は V = 4 [V] より 電源電圧 E = 4 [V] 1 次にSW-ONし R = 6 [Ω] をつないだ時に流れる電流を I とすると E = 4 = I ( r + 6 ) また題意より R = 6 [Ω] の時 V = 18 [V] より V = 18 = R I = 6 I よって I = 3 [A] 3 3をに代入すると 4 = 3 ( r + 6) これを解いて r = [Ω] 内部抵抗が求まる よって R = 10 [Ω] の時の V は 抵抗分圧から R 10 V = E = 4 = 0 [V] r + R + 10 となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
3/117 No. 直流回路のab 端子間の電位差 [ 問 ] 図のような回路において 端子 ab 間の電圧は 7 [V] である 電源電圧 E [V] はいくらか? [Point] 解法 1 抵抗の分圧比を用いて解く 解法 各抵抗に流れる電流を求めて キルヒホッフの法則 ( 要はオームの法則 ) で解く 市販の参考書では 解法 が掲載されていることが多いので ここでは解法 1 で解く [ 解 ] 解法 1 で解く まず下記 1 の合成抵抗を求めると E R R a b 1 R R 3 R 6 R 1 = R // 3 R = = R R + 3 R 5 R = R + R = R よって 1との分圧比は V 1 : V = 6/5 : R R 従って V 1 = 6 5 6 5 E + = 3 8 E V = 6 5 E + = 5 8 E となる 次に 上記より下記電圧 V a V b を求める E R R a b V a R V b Va Vb = = 3 1 V 1 V = = 3 1 3 8 5 8 E E = = 1 4 5 16 E E R R E R R a b R Vab よって Vab = Va + Vb = 9 16 9 題意より Vab = E = 7 [V ] 16 よって 求める電源電圧 E は E = 7 16 9 = 48 [V] となる E R R No.3 コイルの抵抗分 リアクタンス分の考え方直流電源に接続した場合は 抵抗分のみを考え 交流電源に接続した場合は 抵抗分 リアクタンス分両方考える WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
4/117 No.4 電源の内部抵抗を考慮した直列回路 [ 問 ] 図 1の抵抗回路において 抵抗 R [Ω] の消費する電力は 7 [W] である このときの pq 端子の電圧 V [V] を求める 次の (a) 及び (b) に答えよ (a) 図 1 の pq 端子から左側を見た回路は 図 に示すように 電圧源 E 0 [V] と内部抵抗 R 0 [Ω] の電源回路に置き換えることがで きる E 0 と R 0 の値を求めよ (b) 抵抗 R [Ω] が 7 [W] を消費するときの R [Ω] の値は二つある それぞれに対応した電圧 V [V] のうち 高い方の電圧 [V] の値を求めよ 0Ω p R 0 [Ω] p 100V 30Ω R[Ω] V[V] E 0 [V] R[Ω] V[V] q 図 1 図 q [ 解 (a)] R 0 は 図の 0 [Ω] 30 [Ω] の並列接続なので R 0 = ( 0 30 ) / ( 0 + 30 ) = 1 [Ω] となる 電源電圧の閉回路内に流れる電流を I [A] とすると I = 100 / ( 0 + 30 ) = [A] である また 電源回路の出力電圧 E 0 は 30 [Ω] 抵抗の両端電圧となるので E 0 = 30 I = 60 [V] となる [ 解 (b)] 図 より 回路に流れる電流 I R は I R = E 0 / ( R 0 + R ) = 60 / ( 1 + R ) [A] 1 題意より W R = 7 [W] とおくと W R = R I R となる 値を代入して整理すると R - 6R + 144 = 0 となる これを解くと R = 8 [Ω] の時 1 より I R = 60 / ( 1 + 8 ) = 3 [A] よって V = R I R = 4 [V] R = 18 [Ω] の時 1 より IR = 60 / ( 1 + 18 ) = [A] よって V = R I R = 36 [V] 3 3 > かつ 題意より 求める電圧 V は V = 36 [V] となる No.5 すべり抵抗器を含んだ 直流回路のオーム則 すべり抵抗器は 下記のように変形して考え 回路図を分かりやすく書き換える WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
5/117 No.6 直流回路の抵抗値 [ 問 ] 図のように 既知の直流電源 E [V] 未知の抵抗 R 1 [Ω] 既知の抵抗 R [Ω] 及び R 3 [Ω] からなる直流回路がある 抵抗 R 3 に流れる電流が I 3 [A] であるとき 抵抗 R 1 を求めよ [ 解 ] R 1 に流れる電流を I 1 とすると E = R 1 I 1 + R 3 I 3 1 また I 3 は 抵抗 R R 3 により I 1 が分流されて流れているものなので 分流比 ( 抵抗の逆比 ) より R + R 3 I 3 = I1 これを変形して I1 = I 3 R + R 3 R R 最後に I 1 を消去することを考える を 1 に代入して整理すると R + R + R 3 3 E = R1 I3 + R3I 3 R1 I 3 = E-R 3I3 R R R 1 = (E- R I ) 分母 分子に R 3 3 を掛けると ( ここがムタ なひっかけ) (R + R )I R 3 3 3 R R R R 3 = R + R E ( R I 1-3 3 3 1) となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
6/117 No.7 直流の直並列回路の抵抗値 [ 問 ] 図のように 可変抵抗 R 1 [Ω] R [Ω] 抵抗 R X [Ω] 電源 E [V] からなる直流回路がある また 抵抗 R X には電流 I [A] が流れている 次に示す条件 1 と条件 のときの電流 I [A] の値は等しくなった このとき R X [Ω] の値を求めよ 条件 1 : R 1 = 90 [Ω] R = 6 [Ω] R [Ω] 条件 : R 1 = 70 [Ω] R = 4 [Ω] R 1 [Ω] I [A] R X [Ω] E [V] [ 解 ] まずは 電流 I [A] を各抵抗値で表す ( 立式する ) ことを考える R 1 に流れる電流を I 1 とすると I1 = R1 + E RRX R + RX = E R1(R + RX ) + RRX R + RX = (R + RX )E R1(R + RX ) + RRX 次に R X に流れる電流 I は 抵抗の逆比 R R (R + RX )E RE I = I1 = = R + RX R + RX R1(R + RX) + RRX R1(R + RX ) + RRX RE RE E = = = R1R + R1RX + RRX (R1 + R)RX + R1R R1 ( + 1) RX + R1 R 左辺に条件 1 を代入し 右辺に条件 を代入すると 90 70 ( + 1)RX + 90 = ( + 1)RX + 70 6 4 16 RX + 90 = 18. 5 RX + 70 この分母が 条件 1 条件 の時でイコールとなれば良い ( 分子は定数の為 ) =. 5 RX 0 よって R X = 8 [ Ω] となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
7/117 理論電気の定義 定理クーロンの法則 概要 複数の電荷 (~3 個 ) 間に相互に作用するクーロン力から電荷量の比を求める 複数の電荷 (~3 個 ) 間でクーロンの法則 力のつり合いを用いてその関係式を求める Point 1 クーロン力 ( 個の点電荷間に働く力 ) 点電荷 Q 1 [C] Q [C] が r[m] 離れて置かれている時に両電荷に働く力 F [N] は F = 1 4π ε 0 Q 1Q r [N ] ε 0 : 真空の誘電率 [F/m] : 両電荷が同符号の時 ( 反発 ) : 両電荷が異符号の時 ( 吸引 ) 力 F [N] の方向 Q r [m] Q 1 これをクーロンの法則という No.1 3つの電荷に相互に加わるクーロン力がセ ロのときの3つの電荷量の比率 [ 問 ] 3 つの電荷が直線上に置かれている 相互に加わるクーロン力がセ ロ ( 力が釣り合っている ) の時 3 つの電荷量の比率 Q 1 : Q : Q 3 を求めよ Q 1 Q Q 3 r[m] r[m] [Point] Q 1 に作用するクーロン力 (Q 1 &Q と Q 1 &Q 3 ) と Q に作用するクーロン力 (Q 1 &Q と Q &Q 3 ) から比を求める [ 解 ] まずは 電荷の正負を考えず クーロンの法則を絶対値で考える 1 Q, Q 3 が Q 1 に作用する時 Q 1 でつり合うためには Q Q 3 が異符号でなければならないので Q 1, Q 3 が Q に作用する時 Q でつり合うためには Q 1 Q 3 が同符号でなければならないので したがって WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
8/117 No. つの電荷間に働くクーロン力 ( クーロンの法則 ) [ クーロン力と重力とのつり合い ] 力学的な問題が出題されている B 電荷に加わる力関係は下図となる ~ 条件 ~ 電荷 A 及び B は P 点から糸で吊るされており 電荷間のクーロン力により AB 間 a[m] 離れてつり合っている A 及び B の電荷 : +Q[C] 電荷の重力 m g [N] P AB 間 : a [m] PA 間及び PB 間 : r [m] の糸 r[m] θ θ r[m] Fq [N] A a[m] B F q Q = 4πε a 0 [N] F g = mg[n] θ 本出題では 力のつり合いの関係から下記関係式を導かせている F q Q tanθ = = 1 F g mg 4 πε0a No.3 3 つの各電荷に働く力 参照 No.1 a = rsinθ 1にを代入して整理すると Q = 4 πε0a mg tanθ = 16πε0mgr sin θ tanθ No.1 が直線状に電荷が並んでいるのに対して 本問は 3 角形に配置されている よって ある電荷に加わる力 ( クーロン力 ) の合成は 足し算 引き算ではなく ヘ クトルで合成する [Point] Q 1 に加わる力の求め方 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
9/117 No.4 クーロンの法則 [ 問 ] 大きさが等しい二つの導体球 A, B がある 両導体球に電荷が蓄えられている場合 両導体球の間に働く力は 導体球に蓄えられている電荷の積に比例し 導体球間の距離の 乗に反比例する 次の (a),(b) に答えよ (a) この場合の比例定数を求める目的で 導体球 A に Q A = + 10-8 [C], 導体球 B に Q B = +3 10-8 [C] の電荷を与えて 導体球の中心間距離で r = 0.3 [m] 隔てて両導体球を置いたところ 両導体球間に 6 10-5 [N] の反発力が働いた この結果から 求められる比例定数 k [Nm /C ] を求めよ ただし 導体球 A, B の初期電荷は零とする また 両導体球の大きさは 0.3 [m] に比べて極めて小さいものとする (b) 上記 (a) の導体球 A, B を 電荷を保持したままで 0.3 [m] の距離を隔てて固定した ここで 導体球 A, B と大きさが等しく電荷を持たない導体球 C を用意し 導体球 C をまず導体球 A に接触させ 次に導体球 B に接触させた この導体球 C を導体球 A, B 間の直線上に置くとき 導体球 C が受ける力が釣り合う位置を導体球 A との中心間距離 r AC [m] で表したとき その値はいくらか? [ 解 (a)] クーロンの法則において 1/4πε 0 が求める比例定数 k である 各値を代入すると [ 解 (b)] 導体同士を接触させたとき つの電荷には同じ量の電荷が半分ずつ蓄えられる まず A と C を接触させたときに双方に蓄えられる電荷を求める QC = QA QA = -8 = 1 10 [C] 次に この状態で C と B を接触させると B と接触させることで Q C は再度変化することに注意 -8-8 1 10 + 3 10-8 QC = QB = = 10 [C] となる 整理すると 接触後の A, B, C 各電荷量は Q A = 1 10-8 [C], Q B = Q C = 10-8 [C] となる 次に AC 間で働く力 F AC を求めると -8-8 QA QC 1 10 10 FAC = k = k r r AC AC 次に BC 間で働く力 F BC を求めると [N] -8-8 QB QC 10 10 FBC = k = k [N] r BC (0.3-r AC ) 題意より F AC = F BC として 解である r AC を求める -8-8 1 10 10 k r AC rac = (0.3- rac ) したがって r AC 0.14 [m] となる -8-8 10 10 = k (0.3- rac ) WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
10/117 理論電気の定義 定理キルヒホッフの法則 概要 複雑な問題はない 単純なオーム則で電圧 電流 抵抗を求める練習ができていれば解ける Point 1 キルヒホッフの法則 ~ 第 1 法則 ~ 回路の任意の接続点において 流入する電流の総和と 流出する電流の総和は等しい ~ 第 法則 ~ 回路の任意の閉回路を一定方向に一周したとき その閉回路の起電力の総和と 電圧降下の総和は等しい No.1 キルヒホッフの法則キルヒホッフの法則により 端子電圧 V[V] を求める V = R I + E [V] WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
11/117 理論電気の定義 定理重ね合わせの理 概要 直流回路において重ね合わせの理により 定電圧源 定電流源を取り払う方法を暗記する No.1 定電流源 定電圧源のある直流回路における 抵抗に流れる電流値 参照 No. 定電圧源 内部抵抗 0[Ω] 定電流源 内部抵抗 [Ω] の為 重ね合わせの理を利用する時は 定電圧源を取っ払うときはショート 定電流源を取っ払う時はオーフ ンで考える No. 直流回路の重ね合せの理 [Point] 重ね合せの理 1つの回路中に 複数の起電力が存在し 各部の電流値を求める場合 各々の起電力での電流値を求め 最後に電流値を合成する その際 他の起電力は短絡 ( ショート ) として計算する I 1 I V 1 I 3 V I 1 = I 11 - I 1 I = I - I 1 I 3 = I 31 + I 3 分割して計算する V 1 I 11 I 1 I 31 + I 1 I I 3 V 重ね合せの理 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
1/117 理論電気の定義 定理定義その他 電圧の定義 フレミンク の右手 左手など 概要 No.1 電圧の定義 類似 No. 単位電荷 (1 [C] ) をAからBへ動かした時のエネルキ ーが V [J] の時 AB 間の電圧をV [V] としている 単位電荷あたり [/C] V [J] のエネルキ ーとなるので 電圧は V [V] = V [J/C] となる B 点 V [J] 電圧 V [V] No. 電位差とは 類似 No.1 図のように 電界 E [V/m] の一様な電界中の A 点に 1 [C] の正の点電荷をおくと この点電荷には静電力が働く この静電力に逆らって その電界中の他の B 点にこの点電荷を移動するには外部から仕事をしてやる必要がある このような場合 B 点は A 点より電位が高いといい 点 A と点 B の間には電位差があるという 電位差の大きさは 点電荷を移動するときに要した仕事の大きさによって決まり 仕事が 1 [J] の時 点間の電位差は 1 [V] となる E[V/m] B 点 A 点 1[C] No.3 電気 磁気の単位 A 点 1[C] No.4 正弦波交流電圧を整流したときの平均値と実効値 V P : 交流波形の peak 値 [v] WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
13/117 No.5 フレミンク の左手 右手の法則フレミンク の右手の法則 : 起電力を求める 磁界中で導体が移動すると 起電力を発生する現象のこと 発電機の原理 覚え方 右 ( うっ ) 起( きー ) うっきー! 注意 ) 起電力を求めるとはいっても 中指の方向は誘導電流の向きであることに注意! フレミンク の左手の法則 : 力 ( 電磁力 ) を求める 磁界中で導体に電流を流すと 導体に力が発生し 導体が動く現象のこと 覚え方 左 ( さっ ) 力 ( ぱわー ) さっぱー! 電磁力 電磁力 磁界 磁界 左手 電流 ( 誘導 ) 電流 右手 No.6 静電界中の電気力線 ( 正電荷 ) の性質 意味 正電荷 Q[C] 誘電率 ε[f/m] の時 電気力線の本数は N [ 本 ] 電気力線は 互いに交差しない 電気力線は 等電位面と直交する 電界の強さただし N : 電気力線の本数 [ 本 ] S : 電気力線が透過する面積 [m ] 導体内に電界 E[V/m] は 発生しない No.7 電気力線から 電荷量を求める 参照 No.6 [ 問 ] 図に示すように 誘電率 ε 0 [F/m] の真空中に置かれた 静止した二つの電荷 A [C] 及び B [C] があり 図中にその周囲の電気力線が描かれている 電荷 A = 16ε 0 [C] であるとき 電荷 B [C] の値を求めよ [ 解 ] 図の電気力線の本数から判断する A から出た 16 本の電気力線のうち 8 本が B に入っている よって B の電荷は A の電荷の 1/ である また B には電気力線が入っているので 符号 - がつく したがって B = -A / = -8ε 0 [C] となる 図の電気力線の本数が重要な過去問は今までに無い まず 計算式を考えてしまった人も多かったのではないか 基本概念をついた うまい出題といえよう WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
14/117 No.8 静電界について 参照 No.6 電気力線は 導体表面に垂直に出入りする 帯電していない中空の球導体 Bが接地されていない時 帯電した導体 Aを導体 Bで包んだとしても 導体 Bの外部に電界ができる Q [C] の電荷から出る電束の数や電気力線の数は 電荷を取り巻く物質の影響 ( 誘電率 ε [F/m] など ) の影響は受けない Q [C] の電荷からは Q 本の電束が発生する 導体が帯電するとき 電荷は導体の表面にだけ分布する 導体内部は等電位であり 電界は零である No.9 磁界中に置かれた直線導体に働く電磁力 参照 No.5 参照磁気一般誘導起電力 Point 電流が流れている長さ L [m] の直線導体を磁束密度が一様な磁界中に置くと フレミンク の左手の法則に従い 導体には電流の向きにも磁界の向きにも直角な電磁力が働く 直線導体の方向を変化させて 電流の方向が磁界の方向と同じになれば 導体に働く力の大きさは零となり 直角になれば最大となる 力の大きさは 電流の 1 乗に比例する No.10 抵抗で発生するシ ュール熱 Point 1 テブナンの定理まず 複雑な電気回路 ( 複数の直流電源や抵抗のある回路網 ) を単一の内部抵抗 r のある電圧源 E に変換し簡略化する その後 その簡略化した回路に負荷 R を接続し その両端に発生する電圧 V S 負荷に流れる電流 I S を求める方法である Point 相加相乗平均により分数関数の最大 最小を求める 相加相乗平均の定義 A > 0, B > 0 のとき A + B AB が成立する 等号は A = B のとき成立する これは 以下のように解釈できる A + B の最小値は AB であり ( A + B) min = AB となる これが成立するのは A = B の時である ( 例 ) 1 4 X-1 + X- 1 左の分数関数が最大となるときの X の値を求めよ ただし X > 1 とする 1 ( 解 ) A 項 B 項が足し算の形であって 掛け合わせた時に 4 X-1 + 変数が消える場合に相加相乗平均が使える! X- 1 A B 分数関数の最大値を求めるということは 分母の最小を求めることである 4 相加相乗平均の定義より 分母が最小になるとき X-1 = が成立する X- 1 これより X = 3 or -1 X > 1 であるから 求める値は X = 3 となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
15/117 [ 問 ] 起電力が E [V] で内部抵抗が r [Ω] の電池がある この電池に抵抗 R 1 [Ω] と可変抵抗 R [Ω] を並列につないだとき 抵抗 R [Ω] から発生するシ ュール熱が最大となるときの抵抗 R [Ω] の値を求めよ [ 問題文図示 ] 可変抵抗 R を Point 1 の負荷 Rとして テブナンの定理を適用する a r I S E R 1 V S R 負荷 回路網 b [ 解 ] ~ 負荷 R が接続されていない時 ~ 電圧 V S [V] は 1 この V S が簡略化した回路 ( 等価回路 ) の電源電圧となる また 負荷の接続点 ab から見た回路網の抵抗 R S [Ω] は ~ 負荷 R を接続した時 ~ V S = I S ( R S + R ) が成立するので 整理して 1 を代入する 1 のとおり 等価回路の電源電圧 V S 回路網の抵抗 ( 内部抵抗 ) R S 負荷 R でオーム則が成立する よって 負荷 R で発生するシ ュール熱 P [J] は この つの項を整理すると WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
16/117 理論電圧計 電流計外部抵抗 倍率器などの接続 概要 倍率器の抵抗値を求める 電圧計 電流計の測定レンシ を増やす 電圧計 電流計の指示値を求める No.1 直流電圧計の指示値 倍率器の抵抗を求める 参照電気の定義 定理キルヒホッフの法則 Point1 : 第 1 法則 [ 問 ] 直流電圧計について 次の (a) 及び (b) の問に答えよ (a) 最大目盛 1 [V] 内部抵抗 r v = 1 [kω] の電圧計がある この電圧計を用いて最大目盛 15 [V] の電圧計とするための 倍率器の抵抗 R m [kω] の値を求めよ (b) 図のような回路で上記の最大目盛 15 [V] の電圧計を接続して電圧を測ったときに 電圧計の指示 V P [V] はいくらになるか? 10 [kω] 30 [kω] 16 [V] 4 [V] [ 解 (a)] 問を図示すると下図のようになる 倍率器を接続することにより V V = 1 [V] しか測れなかったのが V T = 15 [V] まで測れるようになる 回路に流れる電流を I [A] とすると となる 各値を代入すると よって となる [ 解 (b)] 設問図の電圧計部分を 解 (a) で得た抵抗 r v +R m = 15 [kω] で置きかえた図を以下に示す 電気の定義 定理キルヒホッフの法則 Point1 の第 1 法則より 1 また なので これらを 1 に代入すると より となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
17/117 理論電圧計 電流計誤差率 概要 直流回路において 抵抗の消費電力を測定する場合の誤差を求める 誤差 = 測定値 - 真値 である ただし 測定値 : 電圧計 電流計の読み値 真値 : 電圧計 電流計を接続していない時の計算で求めた値 上記の応用として 誤差率( 真値に対する測定誤差の割合 ) を求める Point 1 誤差率 ε 誤差率 ε : 真値に対する測定誤差の割合 M-T ε = 100 [%] T M : 計器の測定値 T : 真値 No.1 直流回路の抵抗の消費電力を電圧計 電流計にて測定する場合の誤差 ( 測定値 - 真値 ) を求める [Point] 測定値とは 電圧計 電流計の読値であり 真値とは 電圧計 電流計を接続していない時の値である [ 問 ] 下記抵抗 R の消費電力を求めよ 電圧計 電流計による測定値と真値から 誤差 ( 測定値 - 真値 ) を求めよ [ 解 ] 抵抗 R に測定器を接続すると 下図のようになる 真値電力 P R は 測定値電力 P M は V P = V R より 1 より 誤差 ( 測定値 - 真値 ) は WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
18/117 No. 直流回路の抵抗に加わる電圧の測定を電圧計 ( 内部抵抗 R) で行った場合の誤差率 [ 問 ] 下記抵抗 R 1 の電圧を電圧計で測定する時の誤差率を求めよ R 10 [V] [kω] V [kω] R 1 電圧計 ( 内部抵抗 r ) V r = 49 [kω] [ 解 ] R1 T = R + R 1 = R V = R 1 // r M = (R // r) + R 1 1 R1 r r + R R 1 + + R 10 = 5 [V] R1 r R1 + r V = R1 r + R R + r 1 V = r V = 98 98 + 4 + 98 R 1 R1 r R1 + r r + R 1R + R R + r 1 10 = 4.9 [V] V r 4.9-5 よって誤差率は ε= 100 = [%] 5 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
19/117 No.3 電圧計 電流計を用いて測定される電力の誤差率 [ 問 ] 電源 E [V] 負荷抵抗 R [Ω] 内部抵抗 R V [Ω] の電圧計及び内部抵抗 R A [Ω] の電流計を それぞれ図 1 図 のように結線した 電圧計及び電流計の指示値は図のとおりである (a) 図 1 において 測定で求めた電力 V 1 I 1 [W] に含まれる計器の電力損失から 誤差率を求めよ (b) 図 において 測定で求めた電力 V I [W] に含まれる計器の電力損失から 誤差率を求めよ [Point] 図 1 において 誤差の原因となるのは 電圧計の内部抵抗 R V [Ω] 図 において 誤差の原因となるのは 電流計の内部抵抗 R A [Ω] [ 解 (a)] 図 1 において 測定値電力 V 1 I 1 を別表記すると V I 1 1 V1 = V1 ( R V1 V + ) = R R V1 + R V1 R V R よって誤差率 ε 1 は ε 1 = 100 = 100[ %] となる V R 1 V R 1 V V 電圧計の内部抵抗による電力損失真値 [ 解 (b)] 図 において 測定値電力 V I を別表記すると よって誤差は V R 1 V V I = (I R A + I R)I = I R A + I R よって誤差は I R A 電流計の内部抵抗による電力損失 真値 I R A R A よって誤差率 ε は ε = 100 = 100[ %] I R R となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
0/117 理論フ リッシ 回路フ リッシ 回路 概要 フ リッシ の平衡条件より 不要な抵抗を削除し回路図を簡略化する その後 合成抵抗などを求める コイル コンテ ンサを含むフ リッシ 回路の平衡条件から関係式を求める その際 まずは複素数により計算をし 実数部 虚数部を別々に比較してみる インヒ ータ ンスの 大きさ で比較しないこと! Point 1 フ リッシ の平衡条件 R1R4 = RR3 上式のように平衡条件が成立すれば ab 間の電位差セ ロ ( 電流が流れない ) なので 下図のように変形できる 右図のように変形すれば 合成抵抗の計算が簡単になる R 1 R a R 1 R b R R 3 4 R (R 削除 ) R3 R 4 No.1 平衡したフ リッシ 回路に LやCが含まれている場合の平衡条件 [Point] 実部と虚部を別々に比較する WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
1/117 No. 回路を変形して フ リッシ 回路を導く [ 合成抵抗を求める ] 回路を分かりやすいように変形していく この手の問題は まず フ リッシ の平衡条件 を考えてみる 上記は Δ-Y 変換でも解けるが 計算がやっかいなので避ける No.3 フ リッシ の平衡条件 参照 No.1 まずは複素数により計算をし 実数部 虚数部を別々に比較してみる [ まずは ] : 複素数のまま比較してみる この方法で解が求まることが多い 上記で駄目なら [ つぎに ] : 大きさを求めて比較してみる この問題に限らず 複素数が含まれる問題は まずは複素数で考え ( 立式し ) 後で大きさを考えたほうが良い No.4 フ リッシ の平衡条件 参照 Point 1 [ 問 ] 図の直流回路において 00 [V] の直流電源から流れ出る電流が 5 [A] である また 図の a 点の電位を V a [V] b 点の電位 を V b [V] とし 各箇所の電流値 抵抗値を図のように定義する V a = V b が成立するときの r [Ω] R [Ω] の値を求めよ 8 [Ω] Vb R [Ω] b 5 [A] I R [A] I r [A] a 16 [Ω] Va r [Ω] 00 [V] [ 解 ] V a = V b ならば フ リッシ の平衡条件が成り立つので 16 x R = 8 x r より r = R 1 00 [V] 00 [V] また I である r = [A] I R = [A] r + 16 R + 8 00 [V] 00 [V] 100 + 00 300 1を Ir + IR = 5[A] に代入すると + = = = 5 R + 16 R + 8 R + 8 R + 8 300 よって R = -8 = 4 [ Ω] 1より r = R = 8 [ Ω] となる 5 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
/117 理論回路 ヘ クトル図から各値を求める電圧 概要 下記 Point 参照 Point 1 下記のようにヘ クトルの進み方向を定義する +j V L 進み方向 ( 遅れは逆方向 ) V R I ( 基準 ) = I R = I L = I C I R L C V V C -j 直列回路の場合 +j I C 進み方向 ( 遅れは逆方向 ) I I R V ( 基準 ) = V R = V L = V C V R L C I L -j 並列回路の場合 Point 力率と位相差 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
3/117 Point 3 合成インヒ ータ ンス インヒ ータ ンスから求める位相角 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
4/117 理論回路 ヘ クトル図から各値を求める電流 概要 電圧 の Point 参照 No.1 電流値はヘ クトル計算をし 最後に大きさを求める ( 例 ) No. 直流 交流電源のある RL 回路の電流実効値を求める [ 問 ] 右の回路の電流の実効値は? [Point] 1 直流電源 交流電源それぞれの実効値を求めて 最後に合成する 直流電流を流すとき コイルのリアクタンスはセ ロ 3 交流の電流実効値は 直流換算した値である ということは 直流の電流実効値は 直流電流そのものの値と考えられる 4 一般に周波数の異なる電流を合成した実効値は 乗和の平方根 [ 解 ] Point3 より 直流の電流 I [A] は Point3 より 交流の電流の実効値 i [A] は Point4 より 合成した実効値 I 0 [A] は No.3 Δ-Δ 結線の線電流の求め方 参照電圧 電流波形 ( 式 ) から各値を求める電圧 No.1 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
5/117 No.4 回路図から電流値を求める [ 問 ] 抵抗 コイル コンテ ンサからなる負荷を 図のような単相 3 線式交流電源に接続したとき I a, I b, I c の大きさを求めよ [ 解 ] まず 図の I ab, I bc I ac を求める したがって I a = I ab + I ac = (1-j 16) + (16-j 1) = 8 - j 8 I b = I bc - I ab = (16+j 1) - (1-j 16) = 4 + j 8 I c = - (I bc + I ac ) = (-16-j 1) + (-16+j 1) = -3 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
6/117 理論回路 ヘ クトル図から各値を求めるインヒ ータ ンス インタ クタンス リアクタンス 概要 電圧 の Point 参照 No.1 基本波に対するインヒ ータ ンスが与えられた時 第 5 調波に対するインヒ ータ ンスを求める [Point] 基本波の周波数が f 1 の時 第 5 調波の周波数は 5 f 1 となる [ 問 ] 図の回路において 基本波に対するインヒ ータ ンスが 5 [Ω] の時 第 5 調波のインヒ ータ ンスはいくらか? 15[Ω] 10[Ω] X C[Ω] [ 解 ] まず 基本波 (f 1 ) に対するインヒ ータ ンス Z 1 = 5[Ω] から 基本波に対するリアクタンス X C を求める Z1 = 5 = R + (XL(f )- XC(f ) ) = 15 + (10-X C(f ) ) より X (f ) = 30 [ Ω] 1 1 1 C 1 よって 基本波 (f 1 ) の時の 抵抗 リアクタンスをまとめると 基本波 (f 1 ) の時 R = 15 [ Ω] XL(f ) = π f1t = 10 [ Ω] 1 XC(f ) = = 30 [ Ω] 1 π f1t よって 第 5 調波 (f 5 ) の時の 抵抗 リアクタンスは [Point] より 基本波 (f 5 ) の時 1 R = 15 [ Ω] 周波数成分が無い為変化せず XL(f XC(f 5 5 ) = 5 XL(f XC(f ) = 5 従って 第 5 調波 (f 5 ) の時の インヒ ータ ンス Z 5 は Z = R + (XL(f )-X C(f 5 5 5 ) ) 1 1 ) = π (5 f1 )t = 50 [ Ω] ) 1 = = 6 [ Ω] π (5 f1 )t = 15 + (50-6) 46.5 [ Ω] WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
7/117 No. 交流回路のリアクタンスの扱い方 No.3 合成インヒ ータ ンスの求め方 No.4 RLC 並列回路 [ 問 ] 図 1 に示す R [Ω] の抵抗 インタ クタンス L [H] のコイル 静電容量 C [F] のコンテ ンサからなる並列回路がある この回路に角周波数 ω [rad/s] の交流電圧 E [V] を加えたところ この回路に流れる電流 I [A] I R [A] I L [A] I C [A] のヘ クトル図が図 に示すようになった このときの L と C の関係式を求めよ [ 解 ] I L I C はそれぞれ以下のように表すことができる 図 より I L < I C なので またはと表すことができる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
8/117 No.5 交流並列回路の抵抗値 [ 問 ] 図の交流回路において 電源電圧を E = 140 0 [V] とする いま この電源に力率 0.6 の誘導性負荷を接続したところ 電源から流れ出る電流の大きさは 37.5 [A] であった 次に スイッチ S を閉じ この誘導性負荷と並列に抵抗 R [Ω] を接続したところ 電源から流れ出る電流の大きさが 50 [A] となった このとき 抵抗 R [Ω] の大きさを求めよ S E = 140 0 [V] cosθ =0.6 誘導性負荷 R [Ω] [ 解 ] まず スイッチ S を開いた (OFF) 時の回路図とヘ クトル図を下記に示す E 誘導性負荷 I L cosθ =0.6 ( 遅れ ) (sinθ=0.8) スイッチ S-OFF I L sinθ =30 [A] I L cosθ =.5 [A] θ E IL=37.5 [A] 上記をもとに スイッチ S を閉じた (ON) 時の電流増加分 ( 下記の緑部分 ) を追記すると下記のようになる E I L 誘導性負荷 I I R R I L sinθ =30 [A] I a L cosθ =.5 [A] θ IR IL=37.5 [A] スイッチS-ON b E I=50 [A] ( スイッチS-ONにより電流増加 ) c このヘ クトル図から I R を求めたい 点 a~c で作る三角形に着目すると (ab) + (bc) = (ac) 1 1 に各値を代入すると (. 5 + IR ) + 30 = 50 (. 5 + I ) R = 1600 I R = 17. 5 [A] となる よって 求める抵抗 R [Ω] は R = E IR 140 = = 8 [ Ω] 17. 5 となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
9/117 No.6 交流直列回路の静電容量 参照電圧 電流波形 ( 式 ) から各値を求める電流 Point 1 : TAN 表 [ 問 ] 図のように 1000 [Ω] の抵抗と静電容量 C [μf] のコンテ ンサを直列に接続した交流回路がある いま 電源の周波数が f = 1000 [Hz] のとき 電源電圧 E [V] と電流 I [A] の位相差は π/3 [rad] であった このとき コンテ ンサの静電容量 C [μf] を求めよ 1000 [Ω] C [μf] I [A] E [V], 1000 [Hz] [ 解 ] まず ヘ クトル図を示す 題意の電源電圧と電流の位相差とインヒ ータ ンス角は等しくなる ヘ クトル図より 1 また と表すこともできる 1 = として C を求めると WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
30/117 理論回路 ヘ クトル図から各値を求める位相差 概要 電圧 の Point 参照 Point 1 位相差 インヒ ータ ンス角 V L V C V C Φ VR V I ( 基準 ) V V = tan ( L- C 位相差 -1 Φ ) [rad] VR ヘ クトルの進み方向 RLC 直列回路の場合 Φ = θ -j X j X C L Z θ -j X C R RLC 直列回路の場合 インヒ ータ ンスのヘ クトル図 インヒ ータ ンス角 -1 XL XC θ= tan ( - ) [rad] R インヒ ータ ンス Z = R + j(xl- XC ) Z = R + (X L-X C ) I C I L I C I R Φ I V ( 基準 ) I I 位相差 -1 Φ = tan ( L- C ) [rad] IR RLC 並列回路の場合 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
31/117 No.1 正弦波交流回路の位相角 力率 V I = I R + IC I R R I C C 左の回路の位相角 力率の求め方は I C Φ I = I R + IC I R 位相角 Φ[rad] I I -1 C -1 R Φ = tan ( ) = cos ( ) [rad] IR I IR 力率 cosφ = I No. E と I の位相を求める ヘ クトル図を下記に示す E を基準として書く よって I は 下図のように表せる I C 10 [A] = 5 [A] I L I R θ = 10 [A] [A] = 15 [A] I E [V] 直角二等辺三角形になるので θ= 45 となる よって I は E に対して 45 遅れる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
3/117 No.3 回路図から電流値の比と位相差を求める [ 問 ] 図のように R = ( 3)ωL [Ω] の抵抗 インタ クタンス L [H] のコイル スイッチ S が角周波数 ω [rad/s] の交流電圧 E [V] の電源に接続されている スイッチ S を開いているとき コイルを流れる電流の大きさを I 1 [A] 電源電圧に対する電流の位相差を θ 1 [ ] とする また スイッチ S を閉じているとき コイルを流れる電流の大きさを I [A] 電源電圧に対する電流の位相差を θ [ ] とする このとき I 1 /I 及び θ 1 -θ [ ] を求めよ E [V] L [H] R [Ω] S WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
33/117 理論回路 ヘ クトル図から各値を求める電力 概要 電圧 の Point 参照 No.1 交流回路のヘ クトル計算 No. RL 直列回路のインタ クタンス 参照 No.1 コイルは電力消費しない! [ 問 ] 図のような回路がある ( S はスイッチ ) S が開いている時に回路が消費する電力 P OPEN [W] は S が閉じている時に回路が消 費する電力 P CLOSE [W] の半分 (1/) になった このとき L [H] を式で表せ [ 解 ] まず スイッチS が開いている時の消費電力 P OPEN を求める この時に流れる電流を I OPEN とすると E RE POPEN = R IOPEN = R ( ) = [W] 1 次に スイッチ S が閉じている時の消費電力 P CLOSE を求める P CLOSE 題意より = R I P これを整理して ω = πf を用いると R + ( ωl) R + ( ωl) 電力消費は 抵抗 R のみで起こり インタ クタンス L では電力消費しない CLOSE 1 = OPEN P CLOSE E = R ( ) R E = R [W] なので この式に 1 を代入すると R R L = = ω π f [H] となる R RE + ( ωl) 1 E = R WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
34/117 No.3 単相 3 線式電源で消費される電力 参照 No.1 : コイル コンテ ンサでは電力消費しない 参照電力送配電線単相 3 線式 No. : 単相 3 線式において 負荷が上下対称なら中性点に電流は流れない [ 問 ] 抵抗 R = 4 [Ω] と誘導性リアクタンス X = 3 [Ω] が直列に接続された負荷を 図のように線間電圧 V ab = 100 0 [V] V bc = 100 0 [V] の単相 3 線式電源に接続した このとき これらの負荷で消費される総電力 P [W] の値を求めよ [ 解 ] 上下の負荷は対称であり平衡しているので 電力送配電線単相 3 線式 No. より 中性線には電流が流れない よって 中性線は無視して ( 無いものとして ) 考える まず 回路に流れる電流 I を求める よって 求める総電力 P [W] は No.1 より誘導性リアクタンスでは電力消費せず 抵抗 4 [Ω] 箇所でのみ消費されるので となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
35/117 理論回路 ヘ クトル図から各値を求めるその他 概要 下記参照 No.1 余弦定理を利用して解く出題あり ~ 余弦定理 ~ WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
36/117 理論電圧 電流波形 ( 式 ) から各値を求める電圧 概要 下記 Point 参照 Point 1 例えば 下記のような交流波形が与えられた時の 各波形の合成値 電圧 電流 インヒ ータ ンス 電力を求める出題がある 殆どが単相交流であるが 中には三相も出題されている しかし 三相も一相に分離してやれば求め方は単相と同じ No.1 三相電源 (Y 結線 ) の端子電圧 Vab を求める 参照回路 ヘ クトル図から各値を求める電流 No.3 上の電源は位相差があるので ヘ クトル図として表すと よって V ab = E a sin60 = 00 ( 3/) 346 [V] となる 捕捉 : Y-Y 結線時の線電流 I を求める WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
37/117 理論電圧 電流波形 ( 式 ) から各値を求める電流 概要 電圧 の Point 参照 Point 1 SIN, COS, TAN 表 ( 最低限覚えておく必要のあるもの ) No.1 交流回路の電流値計算 例 ) 電源電圧 の時 電流 i[a] を求める 波高値 Im 位相 Φ を別々に求める 1 回路のインヒ ータ ンスの大きさを求める 電流の波高値 I m [A] を求める 3 インヒ ータ ンスの位相角 Φ[rad] を求める 4 よって 求める電流 i [A] は この例では 回路にコイルがあるので電流は 電圧より Φ だけ遅れる 従って上記で -Φ としている 位相が遅れる -Φ 位相が進む +Φ WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
38/117 No. 波高値 位相が異なる正弦波電流の合成 参照 No.1 [ 問 ] 下記電流を合成せよ ( i 1 を基準とする ) [Point] 1 ヘ クトル図を書く 電流の大きさ 位相は別々に計算する [ 解 ] 各電流の波高値を用いてヘ クトル図を書くと下記のようになる i は i 1 から 90 遅れる 合成した波高値は また 基準 i 1 に対する位相は よって 求める合成電流は WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
39/117 理論電圧 電流波形 ( 式 ) から各値を求めるインヒ ータ ンス インタ クタンス リアクタンス 概要 電圧 の Point 参照 No.1 電圧 電流波形が与えられているときの抵抗値 Rを求める [ 問 ] 図のような回路において 次式が与えられている π v = 100 sin( ωt- ) [V] i 4 v C R i = 10 sin ωt [A] このときの抵抗 R [Ω] の値を求めよ [ 解 ] まず 電圧と電流の実効値 V I を求める 電圧のヒ ーク値電流のヒ ーク値 100 10 V = = 100 [V] I = = 10 [A] π 1 10 右のヘ クトル図より i R = I cos = 10 = 4 i C 0 I ( 基準 ) π/4 したがって R = V i R = 100 10 = 10 14 [ Ω] となる i R V 電流基準のヘ クトル図 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
40/117 理論電圧 電流波形 ( 式 ) から各値を求める位相差 概要 電圧 の Point 参照 No.1 電圧 電流の位相差 参照電流 No.1 [ 問 ] ある回路に電圧 v [V] を加えたところ 回路に i [A] の電流が流れた v と i の位相差 θ [rad] を時間 [s] の単位に変換して表せ [Point] 1 周期では θ= π [rad] [ 解 ] v i の式より 位相差 また 周波数を f とすると ω = πf より 100π = πf よって f = 50 [Hz] T = 1/f の関係から T = 1/50 [s] は 1 周期の時間であり この時の位相差は π [rad] 3 となる よって 求める時間 t [s] は 1~3の比例関係より t : 1 = : 3 となる 以上より WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
41/117 理論電圧 電流波形 ( 式 ) から各値を求める電力 概要 電圧 の Point 参照 No.1 電力 [ 問 ] 下記波形の電力を求めよ 電力は 同じ周波数同士で計算する 下記の場合 基本波 (ωt) と第 3 調波 (3ωt) 別々に π e = 100 sinωt + 50 sin( 3ω t- ) [V] 6 π π i = 0 sin( ωt- ) + 10 3 sin( 3ω t + ) [A] 6 6 [ 解 ] まず基本波の電力 P 1 を求める P1 = E 1 I 1 cos θ 1 [ W ] 但し E 1 : 電圧 ( 実効値 ) I 1 : 電流 ( 実効値 ) θ 1 : e, i の位相差 π 基本波の瞬時値 : e 1 = 100 sin ω t i 1 = 0 sin( ω t- ) から 6 100 0 π 基本波の実効値 : E 1 = [V ] I 1 = [A ] また 位相差 : θ 1 = となるので 6 100 0 π P1 = E 1 I 1 cos θ 1 = cos 866 [ W ] 6 次に第 3 調波の電力 P 3 を求める P3 = E3 I 3 cos θ3 [W] 但し E 3 : 電圧 ( 実効値 ) I 3 : 電流 ( 実効値 ) θ 3 : e, i の位相差 π π 基本波の瞬時値 : e 3 = 50sin(3 ω t - ) i = 10 3 sin(3 t + ) から 6 3 ω 6 50 基本波の実効値 : E = [V] また 位相差 : となるので 3 [A] I 10 3 π π π 3 = θ 3 = + = 6 6 3 50 10 3 π P3 = E3 I 3 cos θ3 = cos 16.5[W] 3 よって 合成電力 P [W] は P = P1 + P3 = 0.866 + 0.165 1.083 [kw] P 1 P 3 はそれぞれ有効電力を求めているので 合成電力は単純に足せばよい WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
4/117 理論 Y-Δ 変換 Y-Δ 変換 Y Δ 変換の公式を暗記する Y Δ 変換を用いて 回路を簡単化して各値を求める Y 結線時の 相電圧と線間電圧の関係 Δ 結線時の 相電流と線電流の関係 コンテ ンサ コイルを含む Y Δ 変換 概要 Point 1 Y Δ 変換 a a R a R c R ab R ca b R b c b R bc c Y 結線 Δ 結線 R a R b R a b = R a+ R b + R c Y-Δ 変換 R b R c R b c = R b + R c + R a Δ-Y 変換 R c R a R ca = R c + R a+ R b R a b R ca R a = R ab + R bc + R ca R b c R a b R b = R ab+ R b c + R ca R ca R b c R c = R a b + R b c + R ca Δ 結線の相電流 I と線電流 I a の関係 Y 結線の相電圧 E と線間電圧 V の関係 V E a -E V = 3 E b E c E b ただし E = E a = E b = E c I = 3 Ia ただし I a = I b = I c ( 上式の解説 ) 線間電圧 V は 相電圧 ( この例では E a と E b ) の電位差なので V = E a -E b = E a + (- E b ) となる よって 線間電圧の大きさ V はベクトル図より V = V = E a + ( -E b) = E ab= E a cos 30 + E b cos 30 = E a cos 30 = 3 E となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
43/117 No.1 Δ-Y 変換 [Point] 図のように1 相につ以上の負荷があるときは 別々に変換して後で合成する [ 問 ] 下記負荷をΔ-Y 変換せよ [ 解 ] 上記を合成すると 下図となる No. コンテ ンサのΔ-Y 変換下図のように コンテ ンサをΔ-Y 変換すると C 3C (1 相あたり ) と変化する 暗記する! a a c C C C b (Δ-Y 変換 ) c 3C 3C 3C b Xa = 1 Xab Xca ( ) = ωc Xab+ Xbc + Xca 3 ωc = 1 3ωC よって C 3C WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
44/117 No.3 Δ-Y 変換により 回路を簡略化する 参照フ リッシ 回路 Point 1 [Point] 回路の変形 a 16 [Ω] 4 [Ω] 上図のように 平衡していないフ リッシ 回路では 80 [Ω] を削除することができない このような時は Δ-Y 変換をして回路を簡単にする a 16 [Ω] 4 [Ω] こうすることで 電流値等の計算がしやすくなる b 4 [Ω] 80 [Ω] 16 [Ω] 4 [Ω] 80 [Ω] 16 [Ω] 変換 b Δ-Y 変換する 16 80 80 4 16 4 Ra = = 1.8 [ Ω ] Rb = = 3. [ Ω ] Rc = = 0.64[ Ω] 16 + 80 + 4 16 + 80 + 4 16+ 80+ 4 No.4 平衡三相回路の線電流 相電流 [ 問 ] 図のように インヒ ータ ンス Z [Ω] が接続された平衡三相負荷に線間電圧 E [V] の対称三相交流電源を接続した このとき 図に示す電流 I [A] の大きさを求めよ [ 解 ] 図の中央部の Δ 結線を Δ-Y 変換すると となるので 一相あたりのインヒ ータ ンス となる よって となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
45/117 No.5 R,L,C 平衡三相交流回路の計算 参照 Point 1 参照 No. [ 問 ] 図のように R [Ω] の抵抗 静電容量 C [F] のコンテ ンサ インタ クタンス L [H] のコイルからなる平衡三相負荷に線間電圧 V [V] の対称三相交流電源を接続した回路がある 次の (a) 及び (b) の問に答えよ ただし 交流電源電圧の角周波数は ω [rad/s] とする (a) 三相電源からみた平衡三相負荷の力率が 1 になった時 インタ クタンス L [H] のコイルと静電容量 C [F] のコンテ ンサの関係式を求めよ L a (b) 平衡三相負荷の力率が 1 になったとき 静電容量 C [F] のコンテ ンサの端子電圧 [V] を求めよ V V C o R R C V L L b R C c [ 解 (a)] コンテ ンサを Δ Y 変換し 一相あたり (a 相 ) を抜き出した場合の回路図を下記に示す コンテ ンサの Δ Y 変換は No. 参照 これより 一相あたりのインヒ ータ ンス Z を求めると 題意の力率 1 とするためには 上式の虚部を零にすればよいので WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
46/117 前ヘ ーシ の続き [ 解 (b)] 題意 ( 力率 1 ) より 一相あたりのインヒ ータ ンスは解 (a) 1 式の実部となる また 解 (a) の回路を使用して線電流 I を求めると もともと Δ 結線であるコンテ ンサの端子電圧 V C を求めたいので 今度は抵抗を Y Δ 変換してやる 抵抗を Y Δ 変換し 一相あたり (ab 相 ) を抜き出した場合の回路図を下記に示す 抵抗の Y Δ 変換は Point 1 参照 以上より よって 求める大きさは WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
47/117 理論コンテ ンサ関係静電容量 概要 平行平板コンテ ンサに誘電体を挿入したときの 静電容量 電荷量 平行平板コンテ ンサに誘電体を挿入した場合は コンテ ンサの直列接続として考える コンテ ンサを直列 並列に接続した時の合成静電容量 Point 1 平行平板コンテ ンサ間に 媒質 ( 抵抗率 ρ 比誘電率 εr) を挿入した時の極板間の CR 定数 Point 平行平板空気コンテ ンサの容量 平行平板コンテ ンサの単位面積あたりの静電容量 [F/m ε E ] は 0 C = V ただし ε 0 : 真空の誘電率 [F/m] E : 電界の強さ [V/m] V : コンテ ンサに加えた電圧 [V] Point 3 合成静電容量合成静電容量 C は [F / m ] S S C = C1 + C = ε0εr + ε0 = (εr + 1)ε0 d d S d [F] C 1 C ε r ただし 電極間距離 : d [m] 電極面積: S [m ] Point 4 電束密度 電界電束密度 D [C/m ] = εe ただし ε: 誘電率 E : 電界 [V/m] 周囲は真空 ε 0 電界 ただし d : 電極間距離 [m] 電極間電圧 [V] Point 5 電位 V 真空中にある導体球 ( 半径 r ) が電荷 Q を帯電しているときの電位 V 電気の定義 定理クーロンの法則 Point 1 の式と混同しないように! WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
48/117 No.1 平行平板コンテ ンサの直列接続真空中 (ε 0 ) におかれた平行平板コンテ ンサに 比誘電率 ε r の誘電体を挿入した時のコンテ ンサの考え方 ε0 εr 上図を変形すると 別々のコンテ ンサが直列接続されたものと等価であることが分かる ε 0 ε r C1 C よって 合成容量 [C] は C = C1// C C1C = C1 + C No. 平行板コンテ ンサの電界 充電電圧 参照 Point 4 [ 問 ] 電極板の間隔が d 0 [m] 電極板面積が十分に広い平行板空気コンテ ンサがある このコンテ ンサの電極板間にこれと同形 同面積 の厚さ d 1 [m] 比誘電率 ε r の誘電体を挿入した いま このコンテ ンサの電極 A B に +Q [C] -Q [C] の電荷を与えた 次の (a) 及び (b) に答えよ (a) 空げきの電界 E 1 [V/m] と誘電体中の電界 E [V/m] の比 E 1 /E を求めよ (b) d 0 = 1.0 10-3 [m] d 1 = 0. 10-3 [m] ε r = 5.0 としたとき E 1 = 7 10 4 [V/m] であった コンテ ンサの充電電圧 V [V] を求めよ [ 解 (a)] 電束 D は 空げき部分と誘電体部分で同じ値なので D = ε 0 E 1 = ε 0 ε r E より E 1 = ε r E よって [ 解 (b)] 空げき間の電圧を V 1 誘電体間の電圧を V とし Point 4 から また コンテ ンサの電極間の電圧を V [V] とすると 上式に各値を代入すると となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
49/117 No.3 真空中の導体球の静電容量 参照 Point 5 参照電荷量 静電エネルキ ー Point 5 [ 問 ] 真空中に半径 6.37 10 6 [m] の導体球がある これの静電容量 [F] の値を求めよ ただし 真空の誘電率を ε 0 = 8.85 10-1 [F/m] とする [ 解 ] Point 5 の式を Q = CV に代入して整理すると C = 4 πε 0 r 4 3.14 8.85 10-1 6.37 10 6 7.08 10-4 [F] となる No.4 平行平板コンテ ンサの等電位線の分布 参照電荷量保存 Point 1 下図のような平行平板コンテ ンサの等電位線の分布 ( 密 or 疎 ) は ε 1 = 1 ( 空気 ) 電界の強さ E 1 ε = 6 ( 固体 ) 電界の強さ E Point 4 の電束の公式より E E 1 D D = = ε ε ε 0 1 D D = = ε ε ε 0 D = ε = 0 D 6ε [V / m] 0 [V / m] E 1 > E となるので 等電位線は 空気中で密 固体誘電体中で疎となる Why 電界 E の単位 [V/m] は 1 [m] あたりの電位 ( 等電位線 ) の変化量を示す 仮に 空気側 E 1 = 5 [V/m] 固体誘電体側 E = 1 [V/m] とすると ~ 電束密度 D について ~ D の単位は [C/m ] : 1m あたりに貯まる電荷量 上図のような直列接続 ( 空気 + 固体誘電体 ) の場合 それぞれに貯まる電荷量は等しく 平行平板の面積も等しいとすると 空気中と固体誘電体中の D は等しい WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
50/117 No.5 コンテ ンサを並列接続した時の端子電圧 参照電荷量 静電エネルキ ー Point 5 [ 問 ] 図 1 及び図 のように 静電容量がそれぞれ 4 [uf] と [uf] のコンテ ンサ C 1 及び C スイッチ S 1 及び S からなる回路がある コ ンテ ンサ C 1 と C には それぞれ [uc] と 4 [uc] の電荷が図のような極性で蓄えられている この状態から両図ともスイッチ S 1 及び S を閉じたとき 図 1 のコンテ ンサ C 1 の端子電圧を V 1 [V] 図 のコンテ ンサ C 1 の端子電圧を V [V] とする このときの電圧比 V 1 /V を求めよ S 1 S 1 V 1 C 1 =4uF + Q- 1 =uc C =uf + Q- =4uC C 1 =4uF V + - Q 1 =uc C =uf - + Q =4uC S S 図 1 図 [ 解 ] S 1 S を閉じた時 各コンテ ンサに蓄えられている電荷が移動し 最終的に C 1 C 両端の電圧は等しくなる 図 1 においては両端の電圧が V 1 に 図 においては両端の電圧が V になる また 電荷量 静電エネルキ ー Point 5 の Q = CV より 最終的に蓄えられる電荷は C 1 C に比例した値になる (V が等しいので比例定数 K とおくと Q KC) まず図 1 について スイッチ ON 後の電荷量を求めると 4uF Q1 = 6uC = 4 [uc] 4uF + uf 同極性なので 総電荷量は 6 [uc] このときの端子電圧 V 1 は Q1 4uC V1 = = = 1[V] C1 4uF uf Q = 6uC = [uc] 4uF + uf S 1 C 1 =4uF + V - 1 Q 1 '=4uC C =uf + Q- '=uc 次に図 についても同様に 4uF 4 Q1 = (-uc) = - [uc] 4uF + uf 3 異極性なので 総電荷量は +uc-4uc = - [uc] 4 Q uc 1 - このときの端子電圧 V は V = = 3 1 = - [V] C1 4uF 3 uf Q = (-uc) = - [uc] 4uF + uf 3 C 1 =4uF - + Q 1 '= -4/3 uc S 図 1 のスイッチ ON S 1 V S 図 のスイッチ ON C =uf + - Q '= -/3 uc 以上より V1 V = 1 1-3 = 3 となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
51/117 No.6 平行平板コンテ ンサの静電容量と電位 参照 Point 1 [ 改題 ] 極板 A-B 間が誘電率 ε 0 [F/m] の空気で満たされている平行平板コンテ ンサの空気キ ャッフ 長を d [m] 静電容量を C 0 [F] とし 極板間の直流電圧を V 0 [V] とする 極板と同じ形状と面積を持ち 厚さが d/4 [m] 誘電率 ε 1 [F/m] の固体誘電体 (ε 1 > ε 0 ) を図に示す位置 P-Q 間に極板と平行に挿入すると コンテ ンサ内の電位分布は変化し 静電容量は C 1 [F] に変化した このとき 次の問に答えよ ただし 空気の誘電率を ε 0 コンテ ンサの端効果は無視できるものとし 直流電圧 V 0 [V] は一定とする また 解答には ε 1 /ε 0 = α ( 定数 ) を利用すること P Q d/4 [m] d/4 [m] d/ [m] A ε0 [F/m] ε1 [F/m] ε0 [F/m] B V 0 [V] (a) 固体誘電体を挿入したときの合成静電容量 C 1 [F] を C 0 [F] で表せ また 位置 P での電位 V P1 [V] を V 0 [V] で表せ (b) 固体誘電体を導体に変えた場合の合成静電容量を C [F] とし C [F] を C 0 [F] で表せ また 位置 P での電位 V P [V] を V 0 [V] で表せ [ 解 (a)] まず 各区間での静電容量を求める A-P 間 Q-B 間 ε0 S ε0 S ε1 S ε1 S ε0 S ε1 C AP = = 4 = 4C d 0 P-Q 間 C 4 = 4 = 4 C0 d PQ = = α d d d ε0 4 C 0 4 ε0 S ε0 S C QB = = = C d 0 d よって 1 1 1 1 α+ 1 + α 3α + 1 4α = + + = = より C C1 4C0 4α C0 C0 4α C0 4α C 1 = C0 0 3α + 1 となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
5/117 V P1 を求める為に まず P-B 間の合成静電容量 C PB を求める よって [ 解 (b)] 固体誘電体を導体に変えた場合 P-Q 間の静電容量はゼロとなる よって C は WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
53/117 理論コンテ ンサ関係電荷量保存 概要 それぞれ充電されたつのコンテ ンサを並列に繋いだ時の端子電圧 電荷量を 電荷量保存則 から求める コンテ ンサ充電前後の 電荷量保存則 から静電容量と静電エネルキ ーを求める 直列または並列に接続されたコンテ ンサの端子電圧 電荷量を 電荷量保存則 から求める Point 1 直列接続のコンテ ンサを充電すると どのコンテ ンサにも同じ量の電荷がたまる Point 並列接続のコンテ ンサを充電したときの総電荷は 各コンテ ンサにたまる電荷の和に等しい No.1 静電容量の関係式を求める [ 問 ] 下記回路の電荷の関係を求めよ [ 解 ] コンテ ンサ C 1 に貯まる電荷 Q 1 は コンテ ンサ C 及び C 3 に貯まる電荷 Q 3 は 各コンテ ンサに蓄えられる電荷は等しいので Q 1 = Q 3 となるので となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
54/117 No. それぞれのコンテ ンサに蓄えられる電荷量 No.3 充電されたコンテ ンサと 電荷 0のコンテ ンサを並列につないだときの全静電エネルキ ー [ 問 ] 図のような回路のSWを閉じた場合 変化しない値 変化する値は何か? Q 0 V0 C1 C SW を閉じる Q1 Q V C 1 1 C C の初期電荷セ ロ [ 解 ] 変化しない値 総電荷量 QT = C1V0 = (C1 + C ) V1 ( 電荷量保存 ) 変化する値 静電エネルキ ー V0 V 1 Q Q 0 1, Q 1 1 C 1V0 (C1 + C ) V1 この手の問題はまず 電荷量保存則により変化後のコンデンサ電圧 静電容量を求め その後 静電エネルキ ーを求めることが多い WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
55/117 No.4 C 並列回路の電荷量保存と静電エネルキ ー 参照 No.3 参照電荷量 静電エネルキ ー Point [ 問 ] 図の回路において スイッチ S が開いているとき 静電容量 C 1 = 0.004 [F] のコンテ ンサには電荷 Q 1 = 0.3 [C] が蓄積されており 静電容量 C = 0.00 [F] のコンテ ンサの電荷は Q = 0 [C] である この状態でスイッチ S を閉じて それから時間が十分に経過して過渡現象が終了した この間に抵抗 R [Ω] で消費された電気エネルキ ー [J] を求めよ [Point] スイッチ S の開閉前後での電荷量は等しい 電荷量保存 スイッチ S の開閉前後で 静電エネルキ ーは変化する 本文 スイッチ S を閉じて それから時間が十分に経過して過渡現象が終了 V 1 = V 過渡現象中は V 1 > V となり その間抵抗 R に電流が流れエネルキ ー消費される 抵抗 R で消費されるエネルキ ー = スイッチ S の開閉前後での 静電エネルキ ーの差 ( 減少分 ) [ 解 ] ~ スイッチ S が開いているとき ~ 回路の電荷量 Q O = Q 1 = 0.3 [C] エネルキ ーが蓄えられているコンテ ンサ容量 C O = C 1 = 0.004 [F] 回路の全静電エネルキ ー ~ スイッチ S が閉じたとき ~ 回路の電荷量 Q C = Q 1 + Q = 0.3 [C] ( スイッチ開と同じ ) エネルキ ーが蓄えられているコンテ ンサ容量 C C = C 1 + C = 0.006 [F] 回路の全静電エネルキ ー よって [Point] より抵抗 R で消費されたエネルキ ー E は E = E O - E C = 11.5-7.5 = 3.75 [J] となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
56/117 No.5 電荷量保存則 参照 No.3 [ 問 ] 図 1に示すように 二つのコンテ ンサ C 1 = 4 [uf], C = [uf] が直列に接続され 直流電圧 6 [V] で充電されている 次に電荷が蓄積されたこの二つのコンテ ンサを直流電源から切り離し 電荷を保持したまま同じ極性の端子同士を図 に示すように並列に接続する この時のコンテ ンサの端子電圧 V [V] を求めよ C 1 + - + - + - C 1 C 6 [V] 図 1 + C - V [V] 図 [ 解 ] まず図 1 において コンテ ンサ C 1 に貯まる電荷量を求める Q = CV という式からも分かるように 各コンテ ンサに加わる電圧は 容量 C に反比例 (Q 一定 ) する よって よって C 1 に蓄えられる電荷 Q C1 = C 1 V C1 = 8 [uc] となる Point 1 より 双方のコンテ ンサに貯まる電荷は等しい ( Q C1 = Q C ) ので 総電荷 Q = Q C1 = 16 [uc] 1 となる 次に 図 における総電荷 Q は Q = Q C1 +Q C と表せるが 電荷量保存則及び 1 より Q C1 +Q C = 16 [uc] と表せる また ここでも Q = CV という式から分かるように 各コンテ ンサに蓄えられる電荷は 容量 C に比例 (V 一定 ) する よって C 1 : C = Q C1 : Q C となるので Q C1 = Q C 3 となる 3 より Q C = 16/3 [uc] となり 求める端子電圧 V は WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
57/117 No.6 平行平板コンテ ンサの静電容量と静電エネルキ ー 参照静電容量 Point 1 : 静電容量の式 参照電荷量 静電エネルキ ー Point 1 : エネルキ ーの式 [ 問 ] 直流電圧 1000 [V] の電源で充電された静電容量 8 [μf] の平行平板コンテ ンサがある コンテ ンサを電源から外した後に電荷を保持したままコンテ ンサの電極間距離を最初の距離の 1/ に縮めたとき 下記を求めよ (a) 静電容量 C [μf] [ 解 (a)] Point 1 より (b) 静電エネルキ ー [J] 題意より なので上式に代入して整理すると よって となる [ 解 (b)] 題意より 充電前後で電荷が保持される ( 電荷量保存 ) ので Q = Q とおいて整理すると WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
58/117 理論コンテ ンサ関係電荷量 静電エネルキ ー コンテ ンサに蓄えられる電荷量 Q = CV コンテ ンサに蓄えられるエネルキ ー 平行平板電極間のエネルキ ー保存則 概要 Point 1 直流回路で L 及び C に蓄えられるエネルキ ー [J] コイルに蓄えられるエネルキ ー W L コンテ ンサに蓄えられるエネルキ ー W C V[V] L[H] V[V] C[F] 1 1 W = LI [J ] L W C = CV [J] Point コンテ ンサに蓄えられるエネルキ ー W[J] Point 1 の別表現 Q コンテ ンサ C[F] に蓄えられるエネルキ ー W[J] と電荷 Q[C] の関係は W = [J] Q=CV より C Point 3 平行平板コンテ ンサに蓄えられるエネルキ ー 参照静電容量 Point 4 電束密度 また 静電容量 Point 4 より D = εe と表せる ε: 誘電率 よって 体積 V [m 3 ] の時の静電エネルキ ー Wc は W c = w c V となるので Point 4 電子の運動エネルキ ー 電子の質量を m [kg] 電子の電荷を e [C] 電子の動く速さを v S [m/s] 電子に加わる外部電圧を V [V] とすると 下記式が成り立つ 単位 [ev] ( エレクトロンホ ルト ) : 1V の電位差がある自由空間内で 電子 1 個が得るエネルキ ーのこと Point 5 コンテ ンサに蓄えられる電荷 Q と静電容量との関係 参照電荷量保存 Point 1 コンテ ンサに蓄えられる電荷 Q = CV [C] C [F] V [V] WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
59/117 No.1 平行電極板間のエネルキ ー保存則 [ 問 ] 下記平行電極間のエネルキ ー保存則から 速度 v の式を導け 陰極板に置かれた電荷 e [C] が陽極に達した時の速度を v [m/s] とする (+) 電界 E[V/m] (-) m[kg] e[c] d [m] V [V] [ 解 ] 1 電荷 e が陰極板にある時 電荷 e が蓄えている静電エネルキ ー Wc [J] は W C = ev [J ] 1 質量 m [kg] の電荷が速度 v [m/s] で運動している時の運動エネルキ ー Wm [J] は Wm = mv [J ] ev 1かつエネルキ ー保存則より W C = W m よって v = [m / s] となる m 注 ) その他 No. の 力の式を混同しないように! F = ee [N] と本問のエネルキ ーの式 W C = ev [J ] No. 平行平板電極間の電子のエネルキ ー 熱電子放出 参照 No.1 参照電気一般その他 No.11 真空中において 図のように電極板の間隔が d [mm] 電極板の面積が十分広い平行平板電極があり 電極 K P 間には V [V] の直流電圧が加えられている このとき 電極 K P 間の電界の強さは E = V / d [V/m] である 電極 K をヒータで加熱すると 表面から熱電子が放出される ある1 個の電子に着目してその初速度を零とすれば 電子が電極 P に達したときの運動エネルキ ー W は 電子の電荷を e [C] とすると W = ev [J] となる No.3 静電エネルキ ーを抵抗で消費したときの電気エネルキ ー 参照 Point 1 [ 問 ] 図に示す RLC 回路において 静電容量 C [F] のコンテ ンサが電圧 V [V] に充電されている この状態でスイッチ S を閉じて それから時間が十分に経過してコンテ ンサの端子電圧が最終的に零になった この間に抵抗 R [Ω] で消費された電気エネルキ ー [J] を式で表せ [ 解 ] スイッチ S がオーフ ンの時に コンテ ンサに蓄えられているエネルキ ー J C [J] は また 時間が十分に経過した時には エネルキ ーは全て抵抗で消費されたことになる イメーシ 的には C と F でエネルキ ーの交換をしながら 徐々に R でエネルキ ー消費されていく感じ この時のエネルキ ーを J R [J] とすると となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
60/117 No.4 静電エネルキ ー 参照 Point 1 参照電荷量保存 Point 1 [ 問 ] 静電容量が C [F] と C [F] の二つのコンテ ンサを図 1 図 のように直列 並列に接続し それぞれに V 1 [V] V [V] の直流電圧を加えたところ 両図の回路に蓄えられている総静電エネルキ ーが等しくなった この場合 図 1 の C [F] のコンテ ンサの端子間の電圧を V C [V] としたとき 電圧比 V C / V の値を求めよ [ 解 ] ~ まず 図 1 の静電エネルキ ーを求める ~ 電荷量保存 Point 1 より C C ともに同じ量の電荷が蓄えられるので CV C = C(V 1 -V C ) これより 1 Point 1 より 静電エネルキ ー J 1 [J] は ~ 次に 図 の静電エネルキ ーを求める ~ 合成抵抗は C + C = 3C よって 静電エネルキ ー J [J] は 3 題意より = 3 とすると これを整理すると となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
61/117 No.5 直並列接続したコンテ ンサに蓄えられる電荷と極板間の電界 参照静電容量 Point1 : 静電容量 C 参照静電容量 Point4 : 電界 E 参照電荷量保存 Point1 : 直接接続のコンテ ンサには同じ電荷量がたまる [ 問 ] 図のように 三つの平行平板コンテ ンサを直並列に接続した回路がある ここで それぞれのコンテ ンサの極板形状及び面積は同じであり 極板間には同一の誘電体が満たされている なお コンテ ンサの初期電荷は零とし 端効果は無視できるものとする いま 端子 a-b 間に直流電圧 300 [V] を加えた このとき 次の (a) 及び (b) の問に答えよ Q (a) C 3 のコンテ ンサに蓄えられる電荷 Q 3 [C] を求めよ (b) C 1 のコンテ ンサの極板間の電界の強さ E 1 は Q C =[uf] 1 C 3 のコンテ ンサ極板間の電界の強さ E 3 の何倍か a b C 1 =3[uF] Q 3 C 3 =4[uF] V 1 V V [ 解 (a)] C と C 3 の合成静電容量 C 3 は C3 = C + C3 = + 4 = 6 [ μf] 電荷量保存 Point1 より C 1 C 3 それぞれにたまる電荷量は等しくなるから Q( 等しい ) = CV の式より CとV は反比例の関係になる したがって V1 : V = C3 : C1 = 6 : 3 = : 1 1 よって V1 = V = 00 [V] V = V = 100 [V] となる 3 3-6 -4 よって求める電荷 Q 3 は Q3 = C3 V = 4 10 100 = 4 10 [C] となる [ 解 (b)] 静電容量 Point1 より (ε=ε 0 ε r ) である 題意より どのコンテ ンサも面積 S 誘電率 ε は同じになるので 分母の極板間距離 d のみが異なる コンテ ンサ C 1 で d 1 コンテ ンサ C 3 で d 3 とおくと 静電容量 Point4 かつ解 (a) より 上記より よって 求める倍率は となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
6/117 理論コンテ ンサ関係その他 概要 下記参照 No.1 コンテ ンサ直列接続時の各コンテ ンサに加わる電圧 No. 平行平板コンテ ンサ電極間の電子に加わる力 ] 参照電荷量 静電エネルキ ー No.1 (+) (-) V [V] m[kg] e[c] d [m] V 電界 E = [V/m] 1 d e[c] の電子に加わる力は クーロンの法則より F = ee [N] に1を代入すると V F = e [N] d No.3 コンテ ンサの電界の強さ 電束密度 電荷量 参照 No. : 電界 E 参照静電容量 Point 4 : 電束密度 平行平板コンテ ンサの蓄えられる電荷を Q [C] 電束密度を D [C/m ] 電極板面積を S [m ] とすると Q = D S と表すことができる これは 参照先を元に以下のようにも変形できる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
63/117 理論コイル関係環状コイル 自己インタ クタンス L 相互インタ クタンス M 鉄心内及びエアキ ャッフ の磁束 磁束密度 磁気抵抗 概要 Point 1 磁気回路 電気回路の対応表 ( 補足 ) Φ=BS S : 磁束が鎖交する面積 [m ] B : 磁束密度 [T] or [Wb/m ] Point 磁気抵抗の定義 I N 巻 上記点線 : L [m] A [m ] 磁気回路のオームの法則より NI L 磁気抵抗 R は -1 R = = [H ] Φ μ0 μs A ただし μ 0 : 真空の透磁率 [H/m] μ S : 比透磁率 [H/m] L : 鉄心の磁路長 [m] [ 用語 ] 比透磁率 : ある一般の物質の透磁率と真空の透磁率との比 Point 3 環状鉄心に巻かれたコイルの自己及び相互インタ クタンス鉄心の磁気抵抗 R [A/Wb] ただし μ 0 : 真空の透磁率 μ S : 比透磁率 L : 鉄心の磁路長 A : 鉄心の断面積 相互インタ クタンス M [H] Point 4 環状コイルの磁束 Φ WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
64/117 No.1 相互インタ クタンスM[H] [ 問 ] 下記の相互インタ クタンス M を求めよ N 1 N A [m ] 点線 : L [m] Nx : 巻数 μ 0 : 真空の透磁率 μs : 比透磁率 [ 解 ] 1 まず N 1 コイルに電流 I [A] を流す 磁気抵抗 R[1/H] は 3 起磁力 F[A] は 4 3 より発生する磁束 φ 1 は Point より 5 4 で求めた N 1 コイルで発生する磁束が N コイルと鎖交した時 N コイルで発生する磁界 Φ は 6 Φ = N φ 1 = M I より 参照起電力 Point 1 No. エアキ ャッフ のある環状鉄心に巻きつけたコイルに電流を流した時のエアキ ャッフ の磁束密度 参照 Point [ 問 ] 下記環状鉄心のエアキ ャッフ の磁束密度を求めよ I 下記点線 : L [m] N 巻 μ S : 比透磁率 [H/m] μ 0 : 真空の透磁率 [H/m] ( 周囲は真空 ) [ 解 ] d [m] A [m ] B[T] : エアキ ャッフ の磁束密度 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
65/117 No.3 環状鉄心に巻かれたコイルのインタ クタンス 参照 No. 参照起電力 Point 1 [ 問 ] 図のように 断面積 A = 10 [cm ] の環状鉄心に巻かれた巻数 N = 600 のコイルがある このコイルに直流電流 I = 4 [A] を流したとき 鉄心中に発生した磁束密度は B = 0. [T] であった このコイルのインタ クタンス L [mh] を求めよ ただし コイルの漏れ磁束は無視する [ 解法手順 ] NΦ = L I 1 起電力 Point 1 および Φ = B A Point 1 から 磁束 Φ を消去して L を求める [ 解 ] まずは 単位変換 A = 10 [cm ] = 10 10-4 [m ] 1 式より 600 Φ = L 4 3 式より Φ = 0. 10 10-4 = 10-4 4 3 に 4 を代入して L を求めると L = 600 10-4 / 4 = 0.03 [H] = 30 [mh] となる No.4 環状コイルのインタ クタンスについて 参照 Point : 磁気抵抗 磁気回路のオーム則 参照起電力 Point1 : Nφ=Li ~ 文章の穴埋めで出題された公式 ~ Point3 の相互インタ クタンス M = (L 1 L ) その他 No.1 の和動接続 L = L 1 + L + M [ 問 ] 下記コイルの自己インタ クタンス L を巻数 N と磁路長 C の式で表せ I N 巻 上記点線 : C [m] A [m ] μ 0 : 真空の透磁率 [H/m] μ S : 環状鉄心の比透磁率 [H/m] C : 鉄心の磁路長 [m] [ 解 ] NI NI μμ 0 SANI Point より 鉄心に発生する磁束 φは φ= = = [Wb] R C C μμ 0 SA Nφ N μμ 0 SANI μ0 μs AN 起電力 Point1 より L = = = I I C C 自己インタ クタンスは 巻数 N の 乗に比例し 磁路長 C に反比例する WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
66/117 理論コイル関係起電力 概要 N 巻のコイルに発生する起電力 相互インタ クタンス M で結合されたつのコイルA Bにおいて コイルAに交流電流を流した時に コイルBに発生する起電力 Point 1 磁界中で発生する起電力 相互インタ クタンス 自己インタ クタンス 参照磁気一般誘導起電力 Point 1 I [A ] L [H ] e [V ] dφ e = N = L d t d i d t [V] よって Nφ= L i ただし N : コイル巻数 Φ: 磁束 [Wb] i : 電流 [A] I A M 電流 I A [A] によって B Coil に発生する磁束を Φ BA [Wb] B Coil の巻数を N A Coil B Coil 相互インタ クタンスを M[H] とすると B Coil の起電力 e B は dφba eb = N d t d IA = M [V] d t V 1 I 1 L 1 M I : 巻き始め L V di1 V1 = L1 dt di + M [V] dt di1 di V = M + L [V] dt dt No.1 R L が直列接続された直流回路の特徴 スイッチ S を t = 0 で閉じた瞬間 コイルの電圧 V L は 電源電圧 E となる t = 0 の時 コイル L は無限大の抵抗となるので R が無視できる 定常状態では 抵抗の電圧 V R は 電源電圧 E となる 定常状態の時 コイル L の抵抗値は零となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
67/117 理論コイル関係エネルキ ー コイルに蓄えられるエネルキ ー ( 同鉄心に巻かれた つのコイルが蓄えるエネルキ ーなど ) 概要 Point 1 直流回路で L 及び C に蓄えられるエネルキ ー [J] Point コイルの磁気エネルキ ーコイルのインタ クタンス L コイルに流れる直流電流 I とすると 磁束鎖交数 Ѱ = L I [Wb] No.1 直流回路において コイルが蓄えるエネルキ ー 参照 Point 1 [Point] 1 コイルが蓄えるエネルキ ー 1 1 W L = LI = (LI I) = (Nφ I) = [ 問 ] コイルが蓄えるエネルキ ー W L を表せ 1 ( φ NI ) = 1 ( 磁束 起磁力 ) [J ] [ 解 ] [Point] の式より WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
68/117 No. コイルに蓄えられるエネルキ ー [ 問 ] 図の交流回路において 回路素子は インタ クタンス L のコイル又は静電容量 C のコンテ ンサである この回路に正弦波交流電圧 v = 500sin(1000t) [V] を加えたとき 回路に流れる電流は i = -50cos(1000t) [A] であった このとき (a) (b) に答えよ (a) 回路素子の値 (b) この回路素子に蓄えられるエネルキ ーの最大値 Wmax [J] i 回路素子 v [ 解 (a)] [ 解 (b)] 求めるエネルキ ー Wmax は WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
69/117 理論コイル関係その他 概要 下記参照 No.1 インタ クタンスの直列接続 参照エネルキ ー No.1 φ 1 Coil 1 Coil インタ クタンスL 1 インタ クタンスL M φ φ 1 Coil 1 Coil インタ クタンスL 1 インタ クタンスL M φ L X : 自己インタ クタンス M : 相互インタ クタンス L X : 自己インタ クタンス M : 相互インタ クタンス 和動接続 ( 磁束が足される ) L = L 1 + L + M [H] 差動接続 ( 磁束が打消し合う ) L = L 1 + L - M [H] No. 変圧器の巻数比 1:n の理想変圧器の電圧比 [Point] 巻数比を 1 : n とすると E 1 : E = 1 : n [ 問 ] 右図の V 1 : V ( 電圧比 ) を求めよ 変圧器の巻数比を 1 : n とする [ 解 ] 題意より E 1 : E = 1 : n よって E = ne 1 回路図より V 1 = E 1 よって E = ne 1 = nv 1 V 1 = E + V = nv 1 + V であるから V = ( 1-n )V 1 したがって V 1 : V = V 1 : ( 1-n )V 1 = 1 : 1-n となる No.3 円形コイルの中心に発生する磁束密度 半径 a[m] の円形コイルの中心の磁界 H[A/m] は 但し N : コイルの巻数 I : コイルに流れる電流 [A] 真空中の磁束密度 B[T] 磁界 H[A/m] の関係は WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
70/117 No.4 円形コイルの中心に発生する磁界 参照 No.3 [ 問 ] 図のように 点 O を中心とするそれぞれ半径 1 [m] と半径 [m] の円形導線の 1/4 と それらを連結する直線状の導線からなる扇形導線がある この導線に 図に示す向きに直流電流 I = 8 [A] を流した場合 点 O における磁界 [A/m] の大きさを求めよ ただし 扇形導線は同一平面上にあり その巻き数は一巻きである B I = 8A A 1m m O C D [ 解 ] まず AB 間及び CD 間の直線導線の電流による点 O の磁界はセ ロである 次に No.3 より 一巻きの円形コイルの中心磁界 H [A/m] は I H [A / m] a であるが 本問では 内側 外側の扇形導線とも円形の 1/4 であるので 1 I 8 内側導線が作る 点 Oの磁界 H1 = = = 1[A / m] 1 4 a 4 1 1 I 8 外側導線が作る 点 Oの磁界 H = = = 0. 5 [A / m] 4 a 4 右ネシ の法則から分かるように 1の磁界の方向は互いに逆方向であり 本問は大きさを求めるので 求める磁界 ( 大きさ ) H = H 1 - H = 1-0.5 = 0.5 [A/m] となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
71/117 理論電力 力率関係電力計算 三相負荷で消費される有効電力 皮相 有効 無効電力 皮相 有効 無効電力から 力率を求める Y 結線時の相電圧と線間電圧の関係 Δ 結線時の相電流と線電流の関係 概要 Point 1 皮相電力 Point 三相回路の有効電力 a V AB V AB b I A V A Ra Rc Rb c a I A I AB Rca Rab b Rbc c 有効電力 P は V P = 3 VAI A cos θ = 3 3 有効電力 P は P = 3 V AB I AB 同式 AB cos θ = 3 V I AB A cos θ = I A cos θ = 3 3 V AB 3 V I AB A cos θ cosθ : 負荷力率 V AB = V BC = V CA I AB = I BC = I CA V A = V B = V C I A = I B = I C I A cos θ Point 3 Y 結線一相あたりの回路 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
7/117 No.1 交流回路の電力計算 この回路での合計消費電力 P T は PT = R I [W] コイル コンテ ンサは電力消費しない! No. 三相交流負荷を求める 参照回路 ベクトル図から各値を求める電流 No.3 [ 問 ] 図のように 相電圧 10 [kv] の対称三相交流電源に 抵抗 R [Ω] と誘導性リアクタンス X [Ω] からなる平衡三相負荷を接続した交流回路がある 平衡三相負荷の全消費電力が 00 [kw] 線電流 I [A] の大きさ ( スカラ量 ) が 0 [A] のとき R [Ω] と X [Ω] の値を求めよ I [A] X [Ω] R [Ω] 10 [kv] 10 [kv] 10 [kv] R [Ω] X [Ω] X [Ω] R [Ω] [Point] 1 1 相を抜き出して考える 1 相あたりのインヒ ータ ンス Z = ( R + X ) 3 電力消費するのは 抵抗 R のみ [ 解 ] まず 1 相を抜き出して 各値を求めると下図のようになる 10 [kv] I S [A] X [Ω] R [Ω] P S [kw] I 0 相電流 I S = = [A] 3 3 題意より 1 相あたりの消費電力 P S 00 = 3 [kw] 抵抗 R のみで電力消費されるので P S = R I S から抵抗が求められる 3 00 10 P 3 S 00 10 R = = 3 = = 500 [ Ω] I 0 S ( ) 0 3 3 3 10 10 10 10 また1 相あたりのインヒ ータ ンス Z は Z = = = 500 3 [ Ω] IS 0 3 また [Point] より Z = ( R + X ) となるので 各値を代入して X を求めると X = Z -R = (500 3) -500 = 500 [ Ω] 以上をまとめると R = 500 [Ω] X = 500 [Ω] となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
73/117 No.3 対称三相交流回路に接続される平衡三相負荷のリアクタンス 全消費電力 参照 No. [ 問 ] 抵抗 R [Ω] 誘導性リアクタンス X [Ω] からなる平衡三相負荷 ( 力率 cosθ= 0.8 ) に対称三相交流電源を接続した交流回路がある 次の (a) 及び (b) に答えよ (a) 図 1 のように Y 結線した平衡三相負荷に線間電圧 10 [V] の三相電圧を加えたとき 回路を流れる線電流 I は 14/ 3 [A] であった 負荷の誘導性リアクタンス X [Ω] を求めよ 10 [V] 10 [V] 10 [V] I [A] X [Ω] R [Ω] X [Ω] R [Ω] X [Ω] R [Ω] 図 1 [ 解 (a)] 1 相あたりのインヒ ータ ンス Z は 相電圧 E = 10 / 3 [V] であるので Z = E / I = 10 / 14 = 15 [Ω] また sinθ= ( 1-cos X [Ω] θ) = 0.6 以上より X = Zsinθ = 15 0.6 = 9 [Ω] となる θ R [Ω] Z [Ω] (b) 図 1 の各相の負荷を使って Δ 結線し 図 のように相電圧 00 [V] の対称三相電源に接続した この平衡三相負荷の全消費電力 [kw] を求めよ [ 解 (b)] 1 相あたりの回路で考える 相電流 I は I = 00 3 [V] / Z = 00 3 / 15 3.1 [A] よって 全消費電力 P は P = 3 Z I cosθ = 3 15 3.1 0.8 19. [kw] となる ( 1 相あたりの消費電力 Z I cosθの 3 倍 ) WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
74/117 No.4 三相平衡負荷の電力 [ 問 ] 図のような平衡三相負荷に 00 [V] の対称三相交流を接続した回路がある Y 結線の抵抗 6 [Ω] と誘導性リアクタンス 8 [Ω] に流れる電流の大きさを I 1 [A] Δ 結線の抵抗 r [Ω] に流れる電流の大きさを I [A] とするとき 次の (a) (b) に答えよ (a) I 1 = I のとき 抵抗 r [Ω] を求めよ (b) I 1 = I のとき 平衡三相負荷が消費する電力を求めよ 00 [V] I 1 [A] 8 [Ω] 6 [Ω] r [Ω] I [A] r [Ω] 00 [V] 00 [V] 8 [Ω] 8 [Ω] 6 [Ω] 6 [Ω] r [Ω] [ 解 (a)] 題意より I 1 = I なので [ 解 (b)] Y 結線 Δ 結線の消費電力を足せばよい このとき Y 結線のコイル ( 誘導性リアクタンス ) では電力消費しないことに注意! ~Y 結線部の消費電力 P Y ~ ~Δ 結線部の消費電力 PΔ ~ よって 求める消費電力 P = P Y + P Δ =.4 + 6.9 = 9.3 [kw] となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
75/117 理論電力 力率関係力率 概要 単相 三相回路の力率計算 問題図からヘ クトル図を書けるかがホ イント また 三相回路の力率を求める場合は負荷にコイルやコンテ ンサが使用されているので リアクタンスを含む負荷のY Δ Δ Y 変換に慣れておくこと Point 1 力率 cosθ jx L -jxc -jxc θ Z R = Z cosθ より R cos θ = Z R [ 参考 ] Z = R + j (XL-XC ) = Z cos θ + j Z sinθ = Z (cos θ + jsinθ) = Z θ No.1 交流回路の力率計算 参照 No., No.4 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
76/117 No. 交流電圧 電流波形が与えられているときの負荷の力率を求める [ 問 ] 下記瞬時値の電圧 電流のときの負荷力率を求めよ π v = V sinω t [V] i = I cos( ωt- ) [A] 3 [ 解 ] まず i を sin の式に変換する (v, i で統一させる ) π 公式 cos( ωt-φ) = sin( ωt-φ + ) を用いて V θ π π π π cos( ωt- ) = sin( ωt- + ) = sin( ωt + ) I 3 3 6 π よって i は i = I sin( ωt + ) [A] これより i は v より π/6 進んでいることが分かる 6 π よって力率 cosθは cos θ = cos = 6 3 0.866 ( 進み ) 負荷の力率 電圧 ( 基準 ) からの 電流の遅れ又は進み No.3 RC 直列回路の力率 参照力率 Point 1 [ 問 ] 図のように 8 [Ω] の抵抗と静電容量 C [F] のコンテ ンサを直列に接続した交流回路がある この回路において 電源 E [V] の周波数を 50 [Hz] にしたときの回路の力率は 80 [%] になる 電源 E [V] の周波数を 5 [Hz] にしたときの回路の力率 [%] の値を求めよ [ 解 ] 周波数 50 [Hz] の時のコンテ ンサのリアクタンスを X C50 [Ω] とすると 力率 0.8 は以下で示すことができる また一般的にリアクタンスは と表すことが出来る つまり リアクタンスは 周波数に逆比例する といえる よって 周波数 5 [Hz] の時のリアクタンスを X C5 [Ω] とすると X C50 : X C5 = 5 [Hz] : 50 [Hz] が成立する よって 1 より X C5 = 1 [Ω] となる よって 周波数 5 [Hz] の時の力率 cosθ は となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
77/117 No.4 三相平衡回路の負荷力率計算 参照 Y-Δ 変換 No.1 三相回路の負荷力率は 1 相当たりの回路から求める Δ-Y 変換をして 1 相当たりの負荷力率を求める a a b c V C R C R R C (Δ-Y 変換 ) E = b c V 3 R 3C 3C R R 3C C について Δ-Y 変換をした R と 3C が並列接続となることに注意! 上右図の 1 相当たりについて 負荷力率の説明 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
78/117 No.5 ある力率が与えられた時の容量性リアクタンスを求める 参照電圧 電流波形 ( 式 ) から各値を求める電流 Point 1 : SIN, COS, TAN 表 [ 問 ] 抵抗 R [Ω] と誘導性リアクタンス X L [Ω] を直列に接続した回路の力率 (cosφ) は 1/ であった いま この回路に容量性リアクタ ンス X C [Ω] を直列に接続したところ R [Ω] X L [Ω] X C [Ω] 直列回路の力率は ( 3) / ( 遅れ ) になった このときの容量性リアクタンスを R の式で表せ [ 解 ] まず R と X L の直列回路をヘ クトル図で表すと下図 (a) のようになる 題意より力率 cosφ=1/ なので 電圧 電流波形 ( 式 ) から各値を求める電流 Point 1 の表から Φ=π/3 となる X L Z1 よって Φ R 図 (a) π XL tanφ = tan = 3 R X L = 3 R 1 = 3 次に 上記 R X L 直列回路に X C を直列に追加接続したときのヘ クトル図は図 (b) のようになる 題意より 力率 cosφ=( 3)/ なので 電圧 電流波形 ( 式 ) から各値を求める電流 Point 1 の表から Φ=π/6 となる X L X C X L -X C Z Φ R 図 (b) X よって L XC tanφ = tan π = - 6 R 1 XL-XC = R 3 = 1 3 に1を代入すると 1 1 1 3-1 XC = XL- R = 3R- R = ( 3- )R = ( )R = 3 3 3 3 R 3 となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
79/117 理論電力 力率関係電力量計 三電流計法により電力を求める 二電力計法 ( 単相電力計 台使用 ) により電力を求める 概要 Point 1 二電力計法 A V AB B V CB V AC W 1 I A I B Z C Z A Z B 左図の平衡三相回路に接続した 単相電力計の指示値 W 1 W は W1 = VAB I A cos(θ + 30 ) [W] W = VCB I C cos(θ - 30 ) [W] C W I C ここで 三相電力 W = W 1 + W [W] となる 単相電力計 つで三相電力を求めることができる V AB = V CB = V AC I A = I B = I C 負荷力率 : cosθ V B は B から見た線間電圧のこと 上式 W 1 W は下記ヘ クトル図から求められる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
80/117 No.1 三電流計法による 負荷の電力計算 [Point] 三電流計法による負荷電力 P[W] は下記となる ただし 負荷力率を cosθ( 遅れ ) とする I 3 V [V] A3 A I R[ Ω] A1 I 1 負荷 R P [W] P = I Vcosθ = (I I I 1 3 - - 1 ) [W ] ~ 式の導出 ~ まず ヘ クトル図を示す I 1 θ I 3 I I 1 sinθ θ I 1 cosθ V I = (I + I cosθ) + (I sin θ) = I + I 3 1 1 1 + I1I cos θ V V この式に I = を代入すると I = I + I + I cosθ R 3 1 1 1 R P P = I1Vcosθ なので 1は I = I + I 3 1 + となる よって この式を変形すると R R P = (I I I 3 - - 1 ) [W] となる No. 平衡三相回路に接続した 単相電力計の指示値 ( 二電力計法 ) 参照 Point 1 [ 問 ] 上図の電力計 W 1 および W の指示値を求めよ [ 解 ] WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
81/117 No.3 二電力計法による電力の測定 参照 Point 1 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
8/117 理論電気一般電気計器 電気計器の特徴 使用方法などの用語 概要 Point 1 指示電気計器の動作原理整流形 : タ イオート などで交流を直流に変換し 可動コイル形の計器で指示する 熱電形 : 計器内を流れる電流により熱せられた熱電対が 起電力を生じ 可動コイル形を駆動する 電流力計形 : 固定コイルの電流が作る磁界 と 可動コイルの電流が作る磁界 との間に生じる電磁力により 可動コイルを駆動する 可動コイル形 : 固定された永久磁石の磁界 と 可動コイルの電流が作る磁界 との間に生じる電磁力により 可動コイルを駆動する 静電形 : 固定電極と可動電極との間に生じる静電力により 可動電極を駆動する 可動鉄片形 : 固定コイルの電流が作る磁界 と その磁界により磁化された可動鉄片 との間に生じる力で駆動する または コイルに流れる電流により 固定鉄片及び可動鉄片を磁化し 両間に生じる力で可動鉄片を駆動する Point 指示電気計器について DC~ 数十 MHzまでの電流を測定できる計器 1. 誘導形計器 電流力計形計器 可動鉄片形計器 電磁力によって可動部を駆動するため 高周波に不向き. 静電形計器 静電力によって可動部を駆動するため 高周波に不向き 3. 熱電形計器 電流によって発熱させ電流測定するため 高周波向き Point3 可動コイル形計器の動作原理 < 動作原理 > 被測定対象の電流を可動コイルに流し 永久磁石による磁界中の電流に働く力回転軸 ( フレミンク の左手の法則 ) を利用して駆動トルクを得 指針を動かす 永久磁石 N 極 磁極片 B 指針 目盛 回転軸 磁極片 可動コイル 電流 うず巻きハ ネ 円筒鉄心 可動コイル形計器 B S 極 永久磁石 可動コイルに着目 上図の可動コイルの 1 辺 ( 回転軸と平行な辺 ) に働く力は 参照磁気一般磁界中で導体 電子が受ける力 Point コイル n 巻で かつ 辺の力 F は同じ回転方向 ( 足し合わされる方向 ) であるので n 巻きのコイルに働く力の合計 F T は L F B I a B I F トルク T ( 回転方向 ) 磁界中の可動コイルのフレミンク の左手の法則 n 巻の可動コイルの 1 巻を抽出 この F T によって発生するトルク T は 参照磁気一般磁界中で導体 電子が受ける力 No.1 可動部分の応答速度が数秒あるので 商用周波数やこれより早い変化の電流には追従できない その為 電流の平均値に比例した指示をすることになる このような計器を 平均値指示形計器という WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
83/117 No.1 電流力計形について つのコイルに電流を流してトルクを発生させて動作させる計器である そのため直流及び交流 ( 商用周波数 ) で使用可能である 電力計として使うときは 一方を電流コイル 他方を電圧コイルとして使う No. 配電盤用の交流電圧計として 一般的に用いられている計器配電盤用 (1.5 級.5 級 ) として多く用いられているのは 可動鉄片形計器や誘導形計器である No.3 可動コイル形電圧計の指示値 参照電気の定義 定理定義その他 No.4 参照その他 No.7 可動コイル形電圧計の指示値は 平均値を示す No.4 熱電形計器の特徴 1) 低周波 ( 直流含む ) から高周波まで測定できる ) 過負荷に弱い 3) 熱電対と可動コイルにて構成される 4) 波形 周波数による測定誤差が小さい ( 発熱により測定する為 ) 5) 計器の指示値は 実効値である No.5 電流計の指示値 参照 No.8 可動鉄片形交流電流計 実効値を表示する可動コイル形直流電流計 平均値を表示する No.6 交流の測定に用いられる測定器について静電形計器は 低い電圧では駆動トルクが小さく誤差が大きくなる為 高電圧測定用の電圧計として用いられる 可動鉄片形計器は 丈夫で安価であるため商用周波数用に広く用いられている 振動片形周波数計は 振れの大きな振動片から交流の周波数を知ることができる 電流力計形電力計は 交流及び直流の電力を測定できる 整流形計器は 測定信号の波形が正弦波形よりひずむと誤差を生ずる No.7 誘導形計器の動作原理 参照 Point WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
84/117 No.8 可動コイル形計器の原理 参照 Point3 計器の指針に働く電流によるトルクは その電流の 1 乗に比例する これに脈流を流すと可動部の慣性モーメントが大きいので 指針は電流の平均値を指示する この計器を電圧計として使用する場合 倍率器を使う [ 問 ] 内部抵抗 r a = [Ω] 最大目盛 I m = 10 [ma] の可動コイル形電流計を用いて 最大 150 [ma] と最大 1 [A] の直流電流を測定できる多重範囲の電流計を作りたい そこで 図のような二つの- 端子を有する多重範囲の電流計を考えた 抵抗 R 1 [Ω] R [Ω] の値を求めよ - 端子 150mA 1A + 端子 R 1[Ω] R [Ω] A I m = 10mA, r a = Ω [ 解 ] まず 電流計に加えることのできる最大電圧 V m を求める 上図より V m = 10 10-3 [A] [Ω] = 0 10-3 [V] 1 ~150 [ma] 端子に流す場合 ~ 抵抗 R 1 R に流れる電流は I 1 = 150 [ma] - I m = 140 [ma] = 140 10-3 [A] 1 より V m = ( R 1 + R ) I 1 に各値を代入して整理すると R 1 + R 0.143 [Ω] 3 ~1 [A] 端子に流す場合 ~ R 1 r a に流れる電流は 10 [ma] であり R に流れる電流は 1000 [ma] - 10 [ma] = 990 [ma] となる よって 次の等式 ( 端子電圧 ) が成り立つ R 990 10-3 = ( R 1 + r a ) 10 10-3 これを整理して 99R = R 1 + 4 4 に 3 を代入すると 99R = ( 0.143 - R ) + これより R 0.01 [Ω] よって 3 より R 1 = 0.143-0.01 = 0.1 [Ω] となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
85/117 理論電気一般抵抗 導電率 導電率 抵抗率 面積 長さを用いて抵抗値を求める 導電率と抵抗率の関係 概要 Point 1 導電率 σ の SI 単位 SI 単位 ( 万国共通の単位とする国際単位 ) ~SI 基本単位 ~ Point 導体の抵抗と重さ 抵抗 L R = ρ [ Ω] = S L [ Ω] δ S ρ: 抵抗率 [Ωm] δ: 導電率 [1/Ωm] 長さ L[m] 重さ M = K SL [kg] 重さ [kg] = 比重 体積 断面積 S[m ] 抵抗 : R [Ω] 比重 : K 重さ : M [kg] WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
86/117 理論電気一般共振回路 直並列共振回路の共振周波数などを求める 概要 Point 1 直並列共振直列共振 ( 共振 ) 並列共振 ( 反共振 ) 上記の直列共振 並列共振とも WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
87/117 No.1 並列共振回路 ] 参照 Point 1 [ 問 ] 図のような RLC 交流回路がある この回路に正弦波交流電圧 E = 100 [V] を加えたとき 可変抵抗 R [Ω] に流れる電流 I [A] は零であった また 可変抵抗 R [Ω] の値を変えても I [A] の値に変化はなかった このとき 容量性リアクタンス X C [Ω] の端子電圧 V C [V] とこれに流れる電流 I C [A] の値を求めよ ただし 誘導性リアクタンス X L = 0 [Ω] とする I = 0 [A] I L [A] I C [A] R [Ω] E = 100 [V] X L = 0 [Ω] V L [V] X C [Ω] V C [V] [ ホ イント ] 本文中の 可変抵抗 R [Ω] に流れる電流 I [A] は零であった から C と L が並列共振していることに気づけば解ける問題 Point 1 より 並列共振中の L-C 並列回路では I = 0 となる [ 解 ] [ ホ イント ] より I = I C + I L = 0 なので I C = - I L ( 電流の流れる向きが逆 ) 1 となる また I = 0 より 可変抵抗 R による電圧降下が零であるので V C = V L = 100 [V] スカラ量で考えると V C = I C X C = V L = I L X L となる よって 題意および 1 より X C = X L = 0 [Ω] となる したがって I C = V C / X C = 100 / 0 = 5 [A] よって求める解は V C = 100 [V] I C = 5 [A] となる No. 直列共振回路 参照 Point 1 [ 問 ] 図のように 静電容量 C X [F] 及び C [F] のコンテ ンサと インタ クタンス L [H] のコイルを直列に接続した交流回路がある この回路に おいてスイッチ S を開いたときの共振周波数は f 1 [Hz] 閉じたときの共振周波数は f [Hz] である f 1 [Hz] が f [Hz] の 倍であると き 静電容量の比 C/C X の値は? [ 解 ] スイッチ S を閉じた時の共振周波数 Cx と C の合成容量 よって スイッチ S を開いた時の共振周波数 題意より f 1 = f なので これを整理して よって求める比は となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
88/117 No.3 RLC 直列共振回路のインヒ ータ ンス 参照 Point1 RLC 直列のインヒ ータ ンスは E I = Z E = = 1 R + j( ωl- ) ωc 1 Z = R + j ( ωl- ) ωc E R + 0 E = R ( 最大 ) であるから 直列共振時の電流 I は最大となる I Point1 の直列共振参照 R [Ω] L [H] C [F] E 共振周波数 f 0 ( 角周波数 ω 0 ) よりも低い周波数 f L ( 角周波数 ω L = πf L ) の時 したがって L と C の合成リアクタンスは容量性リアクタンスとなり 電流 I は, 電圧 E よりも進み位相になる 逆に 共振周波数 f 0 ( 角周波数 ω 0 ) よりも高い周波数 f H ( 角周波数 ω H = πf H ) の時 したがって L と C の合成リアクタンスは誘導性リアクタンスとなり 電流 I は, 電圧 E よりも遅れ位相になる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
89/117 理論電気一般過渡現象 概要 スイッチを閉じた瞬間の過渡現象を通して 十分時間が経った後の回路定数 波形を求める問題が多い No.1 RL 直列直流回路の過渡現象下図の回路において スイッチS を閉じた直後 どのような ( 過渡 ) 現象が起こるか 1 回路に流れる電流は次第に大きくなるインタ クタンス L は 電流がト ハ ーっと流れ込んでくると それを妨げる方向 ( E と逆方向 ) に逆起電力 e L を発生する 短時間 ( dt 小 ) に 多くの電流変化 ( di 大 ) がある時 e L は大きくなることが分かる スイッチS を閉じた瞬間には 電流値セ ロの状態から急激に電流が流れこむので e L は最大となる ということは 回路に流れる電流は最大に阻止されるので 殆ど流れない その後 ( 直後 ) 電流変化が緩やかになってくる ( 電源が直流の為 ) ので 回路に流れる電流は次第に大きくなる 抵抗 R [Ω] の端子電圧は 次第に上昇する上記 1より 電流が次第に大きくなることから ( 過渡現象を過ぎると Rの端子電圧は一定 ) 3 電流が安定すると コイルの端子電圧 ( 逆起電力 ) e L は低下する上記 1の式より 電流が安定する ( 電流変化が少なくなる ) と e L は低下する WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
90/117 No. CR 直流回路の過渡現象 参照 No.1 [ 問 ] 図に示す回路において スイッチ S を閉じた瞬間 ( 時刻 t = 0) に点 Aを流れる電流を I 0 [A] とし 十分に時間が経ち 定常状態に達したのちに点 A を流れる電流を I [A] とする 電流比 I 0 /I の値を とするために必要な抵抗 R 3 [Ω] の値を R 1 R の式で表せ ただし コンテ ンサの初期電荷は零とする C[F] R 3 [Ω] R 1 [Ω] A R [Ω] S E[V] [ 解 ] まず t = 0 の場合を考える 題意より初期電荷は零なので コンテ ンサ部分は短絡 ( ショート ) 状態となる この状態は下記図 1のようになる R 3 [Ω] R 1 [Ω] I 0 [A] E (R よって R3 )E I0 RR3 R1(R R3 ) RR3 R [Ω] R1 R R3 E[V] 図 1 t = 0 次に 定常状態の場合を考える この時コンテ ンサには電流が流れなくなるので コンテ ンサ部分は開放 ( オーフ ン ) 状態となる この状態は下記図 のようになる R 1 [Ω] I [A] よって R [Ω] E[V] 図 定常状態 I E R 1 R 従って題意より (R R 3 )E I0 R1(R R 3 ) R R 3 I E R1 R (R1 R )(R R1(R R 3 ) R 3 ) R R 3 上式を整理していくと ( R1 R )(R R 3 ) (R1R R R 3 R 3R1 ) ( R1 R )(R R 3 ) {R 3(R1 R ) R1R } (R R3 ) {R 3(R1 R ) R1R} R1R R3 (R1 R ) R1 R よって R3 R1R R1 R1 R-R 1 R R- R(1- ) R( ) (R -R 1) となる R1 R R1 R R1 R R1 R WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
91/117 No.3 RL 直並列回路の過渡現象 ( 回路に流れる電流 Iの波形 ) 上図のような回路において 時刻 t = t 1 [s] でスイッチ S 1 を閉じ その後 時定数 L/R [s] に比べて十分に時間が経過した時刻 t = t [s] で S を閉じる このとき 電源から流れ出る電流 I [A] の波形は下図のようになる ただし 電源の内部インヒ ータ ンス零とする まず t = t 1 [s] でスイッチ S 1 を閉じた瞬間 コイル L ( 回路図左側の L) には 電流を妨げる向きに起電力が発生するので 電流は流れな い しかし 時間の経過とともに電流が次第に流れはじめ 最終的に I = E / R [A] の電流が流れる 十分時間が経った場合 コイル L は短絡状態になる 次に t = t [s] でスイッチ S も閉じた場合を考える この時点で既に回路図左側のコイル L が短絡状態 ( 抵抗零 ) で両端電圧も零になっているので 回路図右側の抵抗 R とコイル L には電流が流れない したがって 回路全体を流れる電流は変化せず I = E / R [A] のままとなる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
9/117 理論電気一般その他 概要 下記参照 No.1 半導体の特徴 参照 No. 半導体の電気伝導は 電子 正孔の 種類のキャリアにより行われる 電子 > 正孔の時 n 形電子 < 正孔の時 p 形 No. 半導体の作成方法高純度に精製された真性半導体に下記の元素を入れると 真性半導体の例 : けい素 (Si) やケ ルマニウム (Ge) など いづれも 4 価 n 形半導体 5 価のひ素 (As) 又はアンチモン (Sb) を加えると n 形半導体になる このとき加えた不純物をト ナーという p 形半導体 3 価の不純物を入れると p 形半導体になる このとき加えた不純物をアクセフ タという No.3 テ シ タル電圧計の特徴測定テ ータの記録 演算などの処理が容易 表示の読取り誤差がなく また 個人差もない 高精度の測定及び表示ができる 電流 抵抗測定などもできるマルチメータとしての使用が多く やや高価 A-D 変換を行うが A-D 変換器は 極めて高速でミリ秒の単位で処理される為 人間が気付かない短い測定時間である No.4 二次関数の極小値 ( 極大値 ) 二次関数 y = ax + bx + c (a > 0) の頂点 ( 極小値 ) を求めるために 式を変形すると b b -4ac y = a(x + ) - 以上より 軸及び頂点は下記となる a 4a y c O x 軸 : x = - b a 頂点 ( 極小値 ) : ( - b b - 4ac 頂点 : ( -, - ) a 4a b a b - 4ac, - ) 4a ( 参考 ) a<0 の場合は 上に凸となり 頂点は極大値となる y O 頂点 ( 極大値 ) x 上に凸のグラフ例 No.5 二次方程式の解 A X - B ± B - 4AC + B X + C = 0 (A 0) の解 X は X = A WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
93/117 No.6 真空中で 平行電線に往復電流 I [A] を流した時に両間に働く力 μ I F = 0 π r [N] μ 0 : 真空の透磁率 [H/m] 往復電流 ( 逆方向 ) を流した場合両電線間に反発力が 同方向の電流を流した場合は吸引力が発生する No.7 各種波形の電流の実効値 F[N/m] r[m] I [A] 紙面手前方向 F[N/m] I [A] 紙面奥方向 No.8 ひずみ波交流電圧のひずみ率 ひずみ波交流電圧 ( 例 ) ひずみ波とは 一般的に正弦波でなく 滑らかな波形をひずみ波という ( カクカクしている波はひずみ波ではない ) 基本波 ( ひずみ波の周期 ) 第 高調波 ( 基本波の 倍の周波数 ) 第 3 高調波 ( 基本波の 3 倍の周波数 ) [ 問 ] 上記ひずみ波のひずみ率を求めよ [ 解 ] 基本波の実効値 Σ( 基本波以外の実効値 ) よって ひずみ率は となる No.9 オシロスコーフ の仕組みオシロスコーフ を用いて電圧波形を観測する場合 垂直入力端子に正弦波電圧を加えると 垂直偏向電極にはそれと同じ波形の電圧が加わり 水平偏向電極には内部で発生するのこぎり波電圧が加わるので蛍光膜上に正弦波電圧の波形が表示される ( のこぎり波により観測波形スィーフ を行い 時間軸を作る ) また垂直及び水平の両入力端子に 同相で同じ大きさの正弦波電圧を加えると直線状のリサーシ ュ図形が蛍光膜上に表示される No.10 発光タ イオート の性質電流を順方向に流し 半導体の pn 接合を利用して発光する ひ化カ リウム (GaAs) りん化カ リウム(GaP) などを使用する No.11 金属表面から真空中に電子を放出させる方法熱電子放出金属を高温にする ( 熱エネルキ ーを加える ) と 電子が放出する 二次電子放出金属に高速度の電子を衝突させ そのエネルキ ーをもらって金属の表面から電子が放出する 電界放出金属表面の電界の大きさを強くしていき ある値を超えると電子が放出する ( 電界のエネルキ ーを利用 ) WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
94/117 No.1 点電荷による電位 No.13 との違いに注意 真空中において 点電荷 Q から r[m] 離れた点 P の電位 V P [V] は No.13 導体球に帯電できる最大の電荷空気中において 導体球 ( 半径 a[m] 電荷 Q[C] に帯電 ) の中心 Oから r[m] 離れた点 Pの電界 Ep[V/m] は Q EP = [V / m] ε : 空気の誘電率 [F/m] 4πεr a[m] o r[m] P [ 問 ] 上記導体球が帯電できる最大電荷 Q M [C] を求めよ Q [ 解 ] 導体球表面の電界 Ea [V/m] は Ea = [V / m] 4πεa 導体球表面の電荷は 絶縁破壊が起こる直前まで帯電できる この時が最大電荷となる Q したがって空気の絶縁耐力を E M とすると M E M= [V / m] 4πεa これを解いて QM = 4πεa E M [C] となる 電荷 Q[C] に帯電した導体球 No.14 半導体素子の特徴 参照 No.1 サイリスタは p 形半導体と n 形半導体を 4 層構造とした形が基本 可変容量タ イオート は 逆方向電圧を変化させると 静電容量が変化する 演算増幅器の出力インヒ ータ ンスは極めて小さい ホトタ イオート は 光が照射されると p 側に正電圧 n 側に負電圧が発生する pチャネルmosfetの電流は ソースからト レーンへ流れる No.15 正弦波交流電圧の半波整流 参照 No.7 参照電気の定義 定理定義その他 No.4 参照電気計器 No.4 [ 問 ] 商用周波数の正弦波交流電圧 v = 100 sinωt [V] をタ イオート により半波整流して R = 100 [Ω] の抵抗負荷に供給する このとき 抵抗負荷に流れる電流を (a) 熱電形電流計 (b) 可動コイル形電流計で測定したときの値を求めよ [ 解 ] まず 実際に流れる電流式 i を求める 半波整流なので 流れない時間があることに注意 0 ωt π の時 1 π ωt π の時 i = 0 [A] (a) 熱電形電流計の計測値は 実効値 を指示し (b) 可動コイル形電流計の計測値は 平均値 を指示する したがって 1 より 熱電形電流計での電流値 = / 707 10-3 [A] となり 可動コイル形電流計の電流値 = / π 450 10-3 [A] となる No.16 半導体の性質 類似 No. 極めて高い純度に精製されたケイ素 ( Si ) の真性半導体に 微量のホウ素 (B) 又はインシ ウム ( In) などの 3 価の元素を不純物として加えたものを p 形半導体といい このとき加えた不純物をアクセフ タという WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
95/117 No.17 磁界中で ある導体が別の導体から受ける力 参照 No.6 [ 問 ] 真空中において 同一平面内に 無限に長い3 本の導体 A B C が互いに平行に置かれており 電流が流れている ( 下図参照 ) このとき B が A に流れる電流と C に流れる電流によって受ける 1 [m] 当たりの力の大きさ F [N/m] を求めよ ただし 真空 の透磁率を μ 0 = 4π 10-7 [H/m] とする A B C [A] 3 [A] 3 [A] [m] 1[m] [Point] 真空中にて 距離 r [m] 離れて平行に並んだ 本の無限長直線導体に それぞれ I 1 I の電流が流れている場合 本間の 1 [m] 当たりに働く電磁力 F [N/m] は μ I1I F = 0 πr [N / m] μ 0 : 真空の透磁率 [ 解 ] まず B が A から受ける力を F BA B が C から受ける力を F BC とする 力の向きは 電流の向きが同方向なら 吸引力 異方向なら 反発力 が働くことを考慮すると 下図が書ける A B C [A] 3 [A] 3 [A] [m] F BA F BC 1[m] B に働く力の図 A C に働く力は省略 導体 B に働く力 FB = FBA + FBC [N / m] また [Point] より -7 4π 10 3-7 FBA = = 6 10 π -7 4π 10 3 3-7 FBC = = 18 10 π 1 [N / m] [N / m] よって F B = 6 10-7 + 18 10-7 = 4 10-7 =.4 10-6 [N/m] となる No.18 CR 直列回路の時定数 参照コイル関係起電力 No.1 C と R を直列接続した閉回路の時定数 τ は τ = CR [s] No.19 各種タ イオート の性質 参照 No.10, No.14 可変容量タ イオート は 通信機器の同調回路などに用いられる このタ イオート は pn 接合に逆方向電圧を加えて使用するものである pn 接合に逆方向電圧を加え その値を大きくしていくと 降伏現象が起きる この降伏電圧付近では 流れる電流が変化しても接合両端の電圧は ほぼ一定に保たれる 定電圧タ イオート は この性質を利用して所定の定電圧を得るようにつくられたものである レーサ タ イオート は光通信や光情報機器の光源として利用され pn 接合に順方向電圧を加えて使用するものである No.0 太陽電池の仕組み 参照 No.19 pn 接合の半導体を使用した太陽電池は 太陽の光エネルキ ーを電気エネルキ ーに直接変換するものである 半導体の pn 接合部分に光が当たると 光のエネルキ ーによって新たに正孔と電子が生成され 正孔は p 形領域に 電子は n 形領域に移動する その結果 p 形領域と n 形領域の間に起電力が発生する その起電力は 光を当てている間持続し 外部電気回路を接続すれば 光エネルキ ーを電気エネルキ ーとして取り出すことができる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
96/117 No.1 電子の平均移動速度 [ 問 ] 直径 1.6 [mm] の銅線中に 10 [A] の直流電流が一様に流れている この銅線の長さ 1 [m] 当たりの自由電子の個数を n = 1.69 10 3 個 自由電子 1 個の電気量を e = -1.60 10-19 [C] として 次の問に答えよ なお 導体中の直流電流は自由電子の移動によってもたらされているとみなし その移動の方向は電流の方向と逆である また ある導体の断面を 1 秒間に 1 [C] の割合で電荷が通過するときの電流の大きさが 1 [A] と定義される (a) 10 [A] の直流電流が流れているこの銅線の中を移動する自由電子の平均移動速度 v [m/s] を求めよ (b) この銅線と同じ材質の銅線の直径が 3. [mm] 流れる直流電流が 30 [A] であるとき 自由電子の平均移動速度 [m/s] は 問 (a) の速度の何倍になるか その倍数を求めよ 尚 銅線の単位体積当たりの自由電子の個数は同一である [ 解 (a)] I [A] v = = n [ 個 / m] e [C / 個 ] v [m / s] = nev [C/ s] I ne = 1.69 10 この単位変換は暗記しておくこと 3 [ 解 (b)] (a) に対して 銅線の直径が 倍になった 銅線 1 [m] 当たりの体積は 4 倍となる つまり 銅線 1 [m] 当たりの自由電子の個数 n は (a) の時の 4 倍 となる よって このときの速度 v' は 30 v -4 =.77 10 [m / s] 3-19 4 1.69 10 1.60 10 となる -4 v.77 10 よって求める倍数は = 0.75 [ 倍 ] となる v -4 3.70 10 No. 点電荷が三角形に配置されている時の ある点の電界 参照電気の定義 定理クーロンの法則 Point 1, No.3 三角形に配置されている電荷のヘ クトル計算 参照 No.13 電界を求める式 [ 問 ] 真空中において 図のように一辺が a [m] の正三角形の各頂点 A, B, C に 正の電荷 Q [C] が配置されている 点 A から辺 BC の中点 D に下ろした垂線上の点 G を正三角形の重心とする 点 D から x [m] 離れた点 P の電界 E [V/m] を求めよ ただし 点 P は点 D と点 G の垂線上にあるものとし 真空の誘電率を ε 0 [F/m] とする Q[C] A より 10-4 3.70 10 [m / s] -19 1.60 10 となる Q[C] B G P x[m] a[m] D a[m] Q[C] C [Point1] 点 P の電界 E は 点 A,B,Cによる電界の合成である よって 各点からの電界を1つずつ求めていく [Point] 各辺の長さを求めるために 上図を整理する A 30 r AD rbd a = = tan30 1/ 3 = 3a P BP CP r = r = a + x ( 三平方の定理 ) B 60 θ a D x a C WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
97/117 [ 解 ] まず 点 A が点 P に及ぼす電界を求める 電界の式は No.13 より ただし r AP は A-P 間の距離である Point より なので 次に 点 B, 点 C を求めていくが Point より r BP = r CP なので E BP = E CP となる よって 次に電界の合成ヘ クトルを求める為に 下記のようなヘ クトル図を書く WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
98/117 No.3 半導体の性質 類似 No. シリコン (Si) やケ ルマニウム (Ge) の真性半導体においては キャリヤの電子と正孔の数は同じである 真性半導体に微量のⅢ 族又はⅤ 族の元素を不純物として加えた半導体を不純物半導体といい 電気伝導度が真性半導体に比べて大きくなる シリコン (Si) やケ ルマニウム (Ge) の真性半導体に V 族の元素を不純物として微量だけ加えたものを n 形半導体という n 形半導体の少数キャリヤは正孔である 半導体の電気伝導度は温度が下がると小さくなる No.4 点電荷による電位 参照 No.1 [ 問 ] 真空中において 図のように点 A に正電荷 +4Q [C] 点 Bに負電荷 -Q [C] の点電荷が配置されている この 点を通る直線上で電位が 0 [V] になる点を点 P とする 図の a 領域 ab 領域 b 領域それぞれの領域について 存在しない ことも含めて 点 P の位置を求めよ ただし 点 A と点 B の距離を L [m] とし 真空の誘電率を ε 0 [F/m] とする +4Q [C] -Q [C] a 領域 A L [m] ab 領域 B b 領域 [ 解 ] No.1 より 任意の距離 r [m] の時の点電荷 A による電位 V A r' [m] の時の点電荷 B による電位 V B は 4Q 4Q V A = = K [V] 4πε 0 r r V Q Q 1 B = - = -K [V] ただし 4πε 0r r K = 4πε 0 よって 点を通る直線上の電位 V は 電位 0 [V] は ここを 0 とすることを考える 4Q Q 4 1 V = VA + VB = K -K = KQ ( - ) [V] 1 r r r r (a 領域の点 P について ) (ab 領域の点 P について ) (b 領域の点 P について ) WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
99/117 No.5 平行に配置された直線導体に働く力 参照 No.6 参照 No.17 : 導体棒に働く吸引力 参照電気の定義 定理定義その他 No.5 : フレミンク の左手の法則 [ 問 ] 図に示すように 直線導体 A 及び B が y 方向に平行に配置され 両導体に同じ大きさの電流 I がともに +y 方向に流れているとする このとき 各導体に加わる力の方向を示せ なお xyz 座標は破線枠内で示したとおりとする I I z 導体 A 導体 B y x [ 解 ] 導体 B に加わる力を考察してみる 導体 A が導体 B の位置に作る磁界は アンヘ アの右ねじの法則により 下図のように -z 方向となる 導体 B 導体 A 導体 A が導体 B の位置に作る磁界 H 導体 B は フレミンク の左手の法則により 電磁力 F を受ける その方向が求める解のひとつとなり 答え : 導体 B は -x 方向の力を受けるとなる 導体 A 電磁力 F 電流 I 導体 B 導体 A が導体 B の位置に作る磁界 H フレミンク の左手の法則 導体 A が受ける力も同様の考えで 答え : 導体 A は +x 方向の力を受けるとなる No.6 金属などの表面から真空中に電子が放出される現象 類似 No.11 No.11 に加えて 光電子放出という現象がある 光電子放出金属に光を照射することにより電子が放出する なお 波長が短いほど光のエネルキ ーが大きい No.7 半導体集積回路の特徴 MOS IC は MOSFET を中心としてつくられた IC である IC を構造から分類すると モノリシック IC とハイフ リット IC に分けられる CMOS IC は n チャネル MOSFET と p チャネル MOSFET を組み合わせて構成される IC である CMOS は Complementary MOS の略である Complementary : 相補的な の意味がある アナロク IC には 演算増幅器やリニア IC などがある ハイフ リット IC では 絶縁基板上に IC チッフ や抵抗 コンテ ンサなどの回路素子が組み込まれている WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
100/117 理論磁気一般定義 フレミンク レンツ ファラテ ーの電磁誘導 ヒ オ サハ ールの法則 概要 Point 1 フレミンク の左手 / 右手の法則 参照理論電気の定義 定理定義その他 No.5 電磁力を求めるのか 起電力を求めるのかにより フレミンク の左手 右手どちらを用いるか判断する Point レンツの法則 電磁誘導により発生した電流が作る磁界は 電磁誘導を発生させた元々の磁界の変化を打ち消すような作用をする Point 3 ファラテ ーの電磁誘導の法則 参照理論コイル関係起電力 Point 1 電磁誘導によって回路に生じる誘導起電力の大きさは 回路を貫く磁束の時間的変化の割合に比例する Point 4 ヒ オ サハ ール電線に電流 I [A] を流した時 電線上の微小 ΔL から r[m] 離れた地点にできる磁界の強さΔH [A/m] は I ΔL ΔH = sin θ となる I [A] 4 πr 磁界の強さ ΔH[A/m] ΔL[m] θ r[m] 電線 Point 5 N 巻の円形電線に流れる電流が作る中心磁界 中心磁界 H [A/m] 半径 r[m] の円形電線 N 巻 H = N I r [ A / m ] I [A] WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
101/117 Point 6 物質の磁気誘導 参照磁界の強さ 磁束密度 No.1 磁界中に物質を置くと その物質の性質によって図 1 または図 に示されるような磁極が現れるものがある このように物質を磁界中にもってきたために磁気を帯びるようになることを磁化されたといい この現象を磁気誘導という 磁化によって 図 1 のように磁界と同じ向きの磁束を発生させる磁極が現れる物質の比透磁率は 1 より大きく これは常磁性体と名付けられている 一方 図 のように磁界と逆向きの磁束を発生させる磁極が現れる物質の比透磁率は 1 より小さく これは反磁性体と言われる 特に強く磁化される物質は強磁性体と言われるが これには鉄 ニッケルのような物質がある WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
10/117 理論磁気一般磁界の強さ 磁束密度 導体の周囲 内部に発生する磁界の強さ 磁束密度 概要 Point 1 真空中の無限長の直線導体から r [m] 離れた地点での磁界の強さと磁束密度 H [A/m] r [m] 周囲は真空 I [A] ( 紙面奥方向 ) 無限長電線 I 磁界の強さ H = [A / m] πr 磁束密度 Point Point 1 の図を側面から見たときの様子 H [A/m] B = μ0 H [T] μ 0 : 真空の透磁率 r[m] I [A] H = I πr [A / m] 見る方向により印象が異なるが 適用する公式は Point1 と同じである Point 3 有限長の直線導体に電流が流れている時 点 Pに発生する磁界 H (A/m) 長さ a [m] の直線導体に直流電流 I [A] が流れているとき 導体から距離 r [m] 離れた点 P における磁界の大きさ H は No.1 平等磁界中に 透磁率の非常に大きな磁性体を置いた時の現象 WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
103/117 No. [ 直線状導体 円形コイルの作る磁界の強さ ] 参照定義 Point 5 参照 Point [ 問 ] 図 1のように 無限に長い直線状導体 A に直流電流 I 1 [A] が流れている時 この導体から a [m] 離れた点 P での磁界の大きさは H 1 [A/m] であった 一方 図 のように半径 a [m] の1 巻きの円形コイル B に直流電流 I [A] が流れている時 この円の中心点 O での磁界の大きさは H [A/m] であった H 1 = H であるときの I 1 と I の関係式を求めよ [Point] 1 巻き円形コイルが中心に作る磁界の強さ H は 図 参照 本公式は 定義 Point 5 の N 巻きコイルにおいて N = 1 としたものである [ 解 ] まず Point より 図 1 の直線状導体の磁界の強さは H 1 は 1 次に [Point] より 1 = として整理すると となる WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
104/117 理論磁気一般磁界中で導体 電子が受ける力 磁界中で導体棒が受ける力 磁界中での電子の円運動 物理公式 ( 遠心力 ) を用いる 概要 Point 1 平等磁界に 電子が垂直に進入した時の円運動の式平等磁界 ( 磁束密度 B) に 速度 v で垂直に入射した電子 eは半径 r の円運動をする 電子 e が 速度 v で入射 遠心力 Fe[N] - Fe = Fb 求心力 Fb[N] 電子部分に着目すると 電流の向き 電子の移動方向と逆 電子 e - 磁界の方向 r [m] B [T] 力 ( 求心力 Fb) - : e[c], m[kg] の電子 e m v 遠心力 F e = [N] 求心力 F b = evb[n] r Fe = Fb より m v mv mv = evb r よって r = = [m evb eb ] π r π v v この円運動の周期 T [s] は T = = = [s] 角周波数を ω rad/s] とすると 速度 v [m/s] は フレミングの左手の法則が成り立つ 参照電気の定義 定理定義その他 No.5 mv π m 時間 = 距離 / 速度より eb eb v v eb v = ωr と表せるので ω = = = [rad / s] r mv m eb Point 一様磁界中の導体棒に加わる力 誘導起電力 Point と混同しないように! となる Point 3 磁界中及び電界中での電子の動き 参照 Point 1 磁界中の電子には 磁界と直角方向の速度成分 v 1 に対して の力 F が B と v 1 の両方に直角な方向に作用する 一方 磁界と同一方向の速度成分 v に対しては力は作用しない WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
105/117 No.1 コイルに生じる最大トルク 参照 Point ~ 磁界中で導体が受ける力 ~ Point は N 巻のコイルの 1 辺と考えられる 1 巻のコイルでは 辺になり 更に N 巻になった場合の総巻数は xn となる この時 コイルに働く力は下記となる F = N B I L sinθ [N] ~ トルク T~ r [m] 回転方向 F [N] r [m] 回転軸 トルク T = F r [Nm] 単位で考えると覚えやすい [N m] = [N] [m] [ 問 ] 図のように 空間に一様に分布する磁束密度 B = 0.4 [T] の磁界中に 辺の長さが a = 15 [cm] b = 6 [cm] で 巻数 N = 0 の長方形のコイルが置かれている このコイルに直流電流 I = 0.8 [A] を流したとき このコイルの回転軸 OO' を軸としてコイルに生じるトルク T [N m] の最大値を求めよ ただし コイルの辺 a は磁界と直交し OO' は辺 b の中心を通るものとする また コイルの太さは無視し 流れる電流によって磁界は乱されないものとする [ 解 ] N 巻コイルの a 辺に加わる力 F は F = N B I a sinθ = 0 0.4 0.8 (15 10 - ) sinθ = 1.9 sinθ [N] 本文では 上記 ~ トルク T ~ の r は r = b/ = 6 10 - / = 3 10 - [m] となる よって トルク T [N m] は T = F r = 5.76 10 - sinθ 0.058 sinθ [N m] となる 本問では θ= 90 より sinθ = 1 であり かつ sinθ= 1 の時 T は最大となる (sinθ のク ラフより ) よって 求める T の最大値 T MAX は T MAX = T = 0.058 [N m] となる No. 磁界中で 導体や電子が受ける力電流が流れている導体を磁界中に置くと フレミンク の左手の法則に従う電磁力を受ける これは導体中を移動している電子が磁界から力を受け 結果として導体に力が働くと考えられる また 強さが一定の一様な磁界中に 磁界の方向と直角に電子が突入した場合は 電子の運動方向と常に直角方向の力を受け 結果として等速円運動をすることになる このような力をローレンツ力という WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
106/117 No.3 平行直線導体に働く電磁力 参照磁界の強さ 磁束密度 Point1 : B=μ 0 H, H = I / (πr) 参照 Point : F = BILsinθ 参照電気一般その他 No.6 : 平行電線に往復電流を流したときの力 [ 問 ] 真空中に 本の無限長直線状導体が 0 [cm] の間隔で平行に置かれている 一方の導体に 10 [A] の直流電流を流している とき その導体には 1 [m] 当たり 1x 10-6 [N] の力が働いた このとき 他方の導体に流れている直流電流 I [A] の大きさを求めよ ただし 真空の透磁率は μ 0 = 4πx 10-7 [H/m] とする [ 問題文 +α 図示 ] B 1 [T] : 導体 1 の I 1 が 導体 に作る磁束密度 導体 1 導体 F[N/m] r = 0.[m] I 1 =10[A] I [A] F[N/m] 紙面手前方向 紙面奥方向 導体 1 と に往復電流が流れていると仮定した場合の図示 力の向き ( 反発力 ) は 電気一般その他 No.6 参照 [ 解 ] 導体 1の電流 I 1 が 0 [cm] 離れた導体 につくる磁界 H 1 [A/m] は 磁界の強さ 磁束密度 Point1 より H1 = したがって磁束密度 B 1 [T] は 磁界の強さ 磁束密度 Point1 より よって 導体 に働く単位長当たりの電磁力 F [N/m] は Point より μ0 I1 B1 = μ0 H1 = π r π μ0 I1 μ0 I1I F = BILsinθ= B1 I 1[m] sin = I 1 [m] 1 = π r π r -7 4π 10 I1I = π r 単位長 -7 10 I1I = r B 1 と I の角度 -6 Fr 1 10 0. よって I = I = = = 0. 1 [A] となる -7 7 10 I1 10-10 I1 π r WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
107/117 理論磁気一般誘導起電力 磁界中で直線導体に発生する誘導起電力 概要 Point 1 平等磁界中の誘導起電力 意味 dt [s] 間に dφ[wb] の磁束変化があった時 e[v] の起電力が発生 Point 一様な磁界の中を直角に移動する直線導体に発生する誘導起電力 磁界中で導体 電子が受ける力 Point と混同しないように! dφ 誘導起電力 e は e = = BLv[V] dt ただし B : 磁束密度 [T] L : 導体の長さ [m] v : 導体の速さ [m/s] B [T] B [T] と直角に速度 v [m/s] で移動 直線導体 : L [m] ( 紙面直角方向に棒が延びている ) [Point] 上式の v [m/s] は磁界を垂直に横切る速度である [ 下記のように斜めに移動した場合は?] 磁界と直角方向の速度 v [m/s] は よって 誘導起電力 e は WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
108/117 理論磁気一般ヒステリシス 磁束密度などの意味 ヒステリシスルーフ と損失 保磁力などの関係 概要 Point 1 強磁性体のヒステリシスルーフ 電磁石 永久磁石の性質 [ 用語 ] 磁界の強さ H [A/m] 磁力線数を示す H [A/m] は 1m 当たりの磁力線数がH 本であることを表す 磁束 M [Wb] M [Wb] の磁極から M 本の磁気的な線が出ていることを表す 磁束密度 B [T] or [Wb/m ] 磁界方向に対して垂直に 1m あたりを通過する磁束数を表す WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
109/117 理論 Tr OP アンフ Tr FET 電流増幅率 電圧増幅率 等価回路にて 各ハ ラメータを用いての立式 ハ イホ ーラ FETの特徴 ( 比較 ) 概要 Point 1 トランシ スタエミッタ接地の h 定数等価回路 i b : ヘ ース電流 i c : コレクタ電流 v be : ヘ ース電圧 v ce : コレクタ電圧 ヘ ース コレクタ接地については別の h 定数がある Point エミッタ接地トランシ スタの出力抵抗 ΔVCE 出力抵抗 RO = ΔIC Point 3 相互コンタ クタンス gm ΔID gm = [S] ΔVGS V CE : コレクタ-エミッタ間電圧 [V] [ Ω] I C : コレクタ電流 [A] gm は I D -V GS 特性曲線の傾きを示す これは 入力電圧 V GS を変化させたとき 出力電流 I D がどのくらい変化するかという 電圧対電流の利得のようなものである 従って ト レイン抵抗をR L とすると 電圧利得 A V は vo ΔID RL ΔID AV = = = RL vi ΔVGS ΔVGS Point 4 小信号トランシ スタの電流増幅 電圧増幅率 v i [V] i B R a [Ω] i C R C [Ω] v o [V] ic = hfe ib h FE : 電流増幅率 vo Rc Ic 電圧増幅率 AV = = vi vi WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.
110/117 No.1 ハ イホ ーラトランシ スタと電界効果トランシ スタ (FET) の違い No. トランシ スタ増幅器の各ハ イアス回路の特徴 各値は 下記の通り V CC : 電源電圧 V B : ヘ ース電圧 I B : ヘ ース電流 I C : コレクタ電流 I E : エミッタ電流 R R B R C 及び R E : 抵抗 [ 図 1 固定ハ イアス回路 ] 温度上昇により I B が増加すると 増幅特性が安定しない [ 図 電圧帰還ハ イアス回路 ] 温度上昇により I B が増加すると R C の電圧降下でコレクタ エミッタ間電圧 V CE が抑えられ 増幅特性が安定する [ 図 3 電流帰還ハ イアス回路 ] 温度上昇により I B が増加すると I E も増加する 他方 V B は一定であるから V BE が減少するので 結果的に上昇した I B が減少する 図 1~ 図 3 で 最も安定した増幅特性をもつ WEB で分析電験三種 Copyright http://www.denken3.info/ 011. All Rights Reserved.