はしがき 三宅唯すべてオリジナルで私が作成した. あえて, 内部抵抗のある電池のパフォーマンス問題, ホイートストンブリッジ回路, 非直線抵抗の特性曲線問題 などの頻出題材を避けた. その手のパターン化学習では得られない, 電気回路の理解を目的としているからだ. 細心の注意をはらい, 設問の考察を通

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1 電磁気学 ( 電気回路のみ ) Lv 日間の集中演習で最強の回路力を マスター オブ サーキット パズルゲームのようでシンプルな電気回路演習 集中演習で回路素子の基本的な振る舞いをしっかり把握 回路素子の気持ちになれるオリジナル 題 電気回路が 苦 大得意 へ. 針を振り切るような成 を スイッチを入れてほしいあなたに なぜか豆電球がつかないあなたに そもそも電池が入っていないあなたにも

2 はしがき 三宅唯すべてオリジナルで私が作成した. あえて, 内部抵抗のある電池のパフォーマンス問題, ホイートストンブリッジ回路, 非直線抵抗の特性曲線問題 などの頻出題材を避けた. その手のパターン化学習では得られない, 電気回路の理解を目的としているからだ. 細心の注意をはらい, 設問の考察を通して, 電気回路が身体に染みわたるような作問をしたつもりである. 素子の基本的性格を身につけて, 直観的に電気回路を扱える下地を作ることを目的としている. 各問, 目的を絞ってシンプルに出題しているつもりだが, シンプルだからといって容易であるわけではない. 電気回路を貴方の支配下に置くべく, 時間をかけて一生懸命頭をひねって欲しい.

3 回路問題 出題要点のまとめ 電気回路において何が出題の焦点となるか, どんな量を 求めよ と問われるのかのまとめである. 問題演習の際は, 設問で問われていなくても, その回路の状態で求めうる物理量はすべて求められるように自主的に訓練しておくこと. 以下に回路問題に登場する物理量を 瞬間の量, 過程の量, 固有の量 のつに分類した. 演習の際, その回路問題について, すべて考察しきっているかの確認に用いてほしい. 瞬間の量 一般的には時間の関数となり, 各瞬間で値が変動しうるもの. 問われる量 求めうる物理量 電流 :I 電圧 :V 電力 : P コンデンサの電気量 : Q コイルの電流変化率 : I t コンデンサが蓄えた静電エネルギー : U コイルが蓄えた磁場のエネルギー : U L = = LI V 解法 回路の解法原理 電荷保存則 ( キルヒホッフの第 法則 ) 電気回路 (electronic circuit) は電気量が移動する circuit である. 回路を移動する途中で電気量が失われることはない.( エネルギーが失われることはあっても, 電気量, および電気量の流れである電流が失われることはない.) 回路方程式 ( キルヒホッフの第 法則 ) 各素子の作る電位差による, 回路上の電位の高低には必ず整合性がある. 電位のバランス方程式. 攻略 スイッチ開閉問題 出題例 : スイッチを閉じた ( 開いた ) 直後のコンデンサは操作直前の電気量を保持コイルは操作直前の電流を保持抵抗は他の回路素子の電圧に合わせて, 電圧降下を定める

4 出題例 : スイッチを閉じて ( 開いて ) 十分に時間が経った後 ( 定常状態で ) のコンデンサへの電気量の流入出はなくなる ( 電流が 0 ) コイルの電流は一定となり, 誘導起電力はなくなる ( 電圧が 0 ) 抵抗は他の回路素子の電圧に合わせて, 電圧降下を定めるスイッチを閉じる ( 短絡する ) と電流が流れる理由スイッチ端子間に電位差が存在するため. 電位差がなければスイッチを閉じて ( 短絡して ) も電流は流れない. ホイートストンブリッジ回路, ダイオードを電流が流れる 流れない問題にはこれを応用する. 過程の量 指定された過程 ( 瞬間と瞬間を結ぶ間 ) がないと, 定義されないもの. 問われる量 求めうる物理量 コンデンサ コイルのエネルギーの変化 :, 電源のした仕事 : W = QV 抵抗でのジュール熱 : エネルギー収支から U U L 解法 エネルギー収支の立式 ( 貯蓄 ) + ( 支出 ) = ( 収入 ) 電気回路に対しての貯蓄, 支出, 収入を考える. 貯蓄 : コンデンサの静電エネルギーの変化, コイルの磁場のエネルギーの変化 支出 : 抵抗でジュール熱として失われるエネルギー 収入 : 電池のした仕事 固有の量 回路素子の個性のみで定まり, 電流や電圧など, 瞬間の量が影響しないもの. 問われる量 求めうる物理量 合成抵抗合成容量合成インダクタンス交流回路における素子のリアクタンス交流回路のインピーダンス

5 日間の集中演習で最強の回路力を Lv 図のような, 内部抵抗のない起電力, の 電池,, 抵抗値,,, の抵抗,,, 4 からなる回路を考える. 以 下の問いに と を用いて答えよ. 複数の電池と抵抗の回路 () 電池, を流れる電流の大きさをそれ ぞれ求めよ. 4 () 抵抗,,, 4 での消費電力, 電 池, の供給電力をそれぞれ求めよ. 0 可変抵抗と最大消費電力 図のような, 内部抵抗のない起電力 の電池, 抵抗 値, の抵抗, 抵抗値 r を調整できる可変抵抗か らなる回路を考える. () 可変抵抗での消費電力 P の最大値 PM と, そのと きの可変抵抗の抵抗値 r を求めよ. r () r を変化させるとき, 可変抵抗での消費電力 P と抵抗値 r の関係を, 横軸 r, 縦 軸 P にとり, 増減がわかるように図示せよ.

6 Lv マスター オブ サーキット 0 抵抗の合成 以下の回路を構成する導線の抵抗, スイッチの接触抵抗, 電池の内部抵抗, および 回路の自己誘導は無視できるとする. Ⅰ 図 のように, 端子 PQ 間に抵抗値,,,x の 4 つ P の抵抗とスイッチ を導線で接続した. () を開いた状態での, 端子 PQ 間の合成抵抗値 はいくらか. () を閉じた状態での, 端子 PQ 間の合成抵抗値 はいくらか. x () と が等しい場合のx を, を用いて答えよ. また, こ のとき, を閉じた状態で端子 PQ に起電力 の電池を接続 すると, を流れる電流の大きさはいくらになるか. Q 図 Ⅱ 図 のように抵抗値がすべて の 7 つの抵抗と導線を用いて, はしご型回路を作成した.,,, D,,F は回路上の点 である. 以下の端子間での合成抵抗値をそれぞれ求めよ. F () 間の合成抵抗値. () 間の合成抵抗値. () D 間の合成抵抗値 D. (4) 間の合成抵抗値. (5) F 間の合成抵抗値 F. (6) 間の合成抵抗値. D 図 Ⅲ 図 のように抵抗値がすべて の 9 つの抵抗と導線を用いて回路を作成した.,,, D,,F は回路上の点である. 以下の端子間での合成抵抗値をそれぞ れ求めよ. () 間の合成抵抗値. () 間の合成抵抗値. () D 間の合成抵抗値 D. F (4) F 間の合成抵抗値 F. D 図 4

7 日間の集中演習で最強の回路力を Lv コンデンサとスイッチ開閉 図のように, 内部抵抗のない起電力 の電池, 抵抗値, の抵抗,, 電気容量 のコ I ンデンサ, スイッチ からなる回路を考える. はじめスイッチ は開いており, コンデンサ に は電気量は蓄えられていない. 回路に流れる電流 I I I, I, I を図の位置に矢印で表された向きに 定める. 解答には,, のうち, 必要なも のを用いるものとし, I, I, I に関する問いは符号を含めて答えよ. Ⅰ はじめに, 時刻 t= 0 に を閉じた. () を閉じた直後の電流 I, I, I を求めよ. () ある時刻 t= t に電流 I が, 前問 () で求めた値の半分となった. このときの, 電 流 I, I, およびコンデンサ の電気量 Q を求めよ. () を閉じて十分時間が経った後の電流 I, I, I, およびコンデンサ の電気量 Q を求めよ. Ⅱ 次に, 十分に時間が経過した後, 時刻 t = T に を開いた. () を開いた直後の電流 I, I を求めよ. () を開いて十分時間が経つまでに で失われたエネルギーを求めよ. Ⅲ 設問 ⅠⅡの操作において, コンデンサ に流入する電流 I および, コンデンサ の電気量 Q の時間変化を, それぞれグラフに表せ. なおグラフは横軸に時刻 t をと り, t= t, t= T, t= T の点を明確に表せ. 5

8 Lv マスター オブ サーキット 05 図のように, 起電力 の電池と, 容量の等しい つのコンデンサ, 抵抗値の等しい つの抵抗とスイッチからなる回路がある. はじめスイッチは開いており, コンデンサに電気量は蓄えられていない. 図の,,, G は回路上の点である. 点 G は接地 ( アース ) してあり, 回路における電位の基準とする. 以下の問いに答えよ. スイッチ開閉による回路上の電位変化 G () スイッチを閉じる前の,, の電位, V, V, V をそれぞれ答えよ. () スイッチを閉じた直後の,, の電位, V, V, V をそれぞれ答えよ. () スイッチを閉じて十分時間が経過した後の,, の電位, V れぞれ答えよ., V, V をそ 6

9 日間の集中演習で最強の回路力を Lv コンデンサと抵抗のブリッジ回路 図のように静電容量がそれぞれ µ [ F], [ µ F] のコンデン サ および, 抵抗値がそれぞれ 6Ω, [ ] 4Ω, [ ] Ω [ ] の抵 抗, および, 内部抵抗の無視できる起電力が [ V] の直流電源, およびスイッチ が配置された回路を考え る. はじめ, つのコンデンサの両極に電気量は蓄えられ ておらず, スイッチ は開いている. 今, スイッチ を閉 じると回路には電流が流れ始めた. () を閉じた直後の, 抵抗, および を流れる電流の大きさをそれぞれ求め よ. () を閉じて十分時間が経過したとき, 抵抗, および を流れる電流の大き さをそれぞれ求めよ. () を閉じて十分時間が経過するあいだに を通過した電気量の大きさを求めよ. (4) を閉じて十分時間が経過した後, を開く. を開いた直後に, コンデンサ を 流れる電流の大きさを求めよ. 7

10 Lv マスター オブ サーキット 07 コンデンサの放電と抵抗の発熱比 抵抗値がそれぞれ,,,, の抵抗,,, 4 と, 起電力 の電池および, 容量が のコンデンサ, スイッチ で図のような回路を作成した. 抵抗はすべてオ ームの法則に従う抵抗であり, 電池やコンデンサの内部抵 抗およびスイッチでの接触抵抗は無視できる.,, の うち必要なものを用いて以下の問いに答えよ. 4 () スイッチ を閉じた瞬間の を流れる電流の大きさ I を求めよ. () スイッチ を閉じて十分に時間が経過したとき, コンデンサに蓄えられた静電エ ネルギー U を求めよ. () 次にスイッチ を開いた. この瞬間の を流れる電流の大きさ I を求めよ. I (4) スイッチ を開き, を流れる電流の大きさが となるまでに回路で失われた エネルギー W を求めよ. (5) スイッチ を開いてから十分に時間が経過するまでに, 抵抗,, で失わ れたエネルギー Q, Q, Q をそれぞれ求めよ. 8

11 日間の集中演習で最強の回路力を Lv コイルとスイッチ開閉 図のように, 内部抵抗のない起電力 の電池, 抵抗値, の抵抗,, 自己インダクタ I ンス L のコイル L, スイッチ からなる回路を考 える. はじめスイッチ は開いており, コイル L に は電流は流れていない. 回路に流れる電流 I, I, I I L L I を図の位置に矢印で表された向きに定める. 解 答には,,L のうち, 必要なものを用いるも のとし, I, I, I に関する問いは符号を含めて答えよ. Ⅰ はじめに, 時刻 t= 0 に を閉じた. () を閉じた直後の電流 I, I, I, および, 電流 I の変化率を求めよ. () ある時刻 t= t に電流 I が, 前問 () で求めた値の 倍となった. このときの, 電 流 I, I, および, 電流 I の変化率を求めよ. () を閉じて十分時間が経った後の電流 I, I, I, および電流 I の変化率を求め よ. Ⅱ 次に, 十分に時間が経過した後, 時刻 t = T に を開いた. () を開いた直後の電流 I, I, および, 電流 I の変化率を求めよ. () を開いて十分時間が経つまでに で失われたエネルギーを求めよ. Ⅲ 設問 ⅠⅡの操作において,L に流入する電流 I および,L の自己誘導起電力 V の 時間変化を, それぞれグラフに表せ. なおグラフは横軸に時刻 t をとり, t= t, t= T, t= T の点を明確に表せ. また,V は正の電流 I を流す向きを正とする. 9

12 Lv マスター オブ サーキット 09 コッククロフト ウォルトン回路 図のように, 4 つのダイオード D, D, D, D 4, 容量 の 4 つのコンデンサ,,, 4, 起電力 P D 4 の つの電池, とスイッチ からなる回路を考え 4 D る. コンデンサにはわずかに内部抵抗があるが, ダイオ D ードは整流作用のみを考え, 抵抗は無視できる.P,G D は回路上の点であり, G は接地されている ( G の電位 を 0 とする ). スイッチ を端子 の方へ倒すと, 回路は 電池 に接続され, 端子 の方へ倒すと, 電池 に接 G 続される. はじめ, すべてのコンデンサに電荷は蓄えら れておらず, はどちらの端子へも倒されていない. () を端子 へ倒し, 十分時間が経ったときの,,,, 4 の端子間電圧, およびP の電位 V をそれぞれ求めよ. () 続いて, を端子 へ倒し, 十分時間が経ったときの,,,, 4 の端子 間電圧, およびP の電位 V をそれぞれ求めよ. () 続いて, を端子 へ倒し, 十分時間が経ったときの,,,, 4 の端子 間電圧, およびP の電位 V をそれぞれ求めよ. (4) 続いて, を端子 へ倒し, 十分時間が経ったときの,,,, 4 の端子 間電圧, およびP の電位 V 4 をそれぞれ求めよ. (5) 以上のように, を交互に倒し続けると, やがて回路における電気量の移動はな くなった. このとき,P の電位 V を求めよ. この回路の電源部分は交流電源で代用できる. コッククロフトとウォルトンは, こ のような梯子状の回路で高電圧を得る方法を見出した. 彼らはこの方法で安定に得ら れる高電圧を用いて粒子加速器を作成し, 世界初の人工原子核反応実験に成功した. 0

13 日間の集中演習で最強の回路力を Lv ダイオードによる回路の切り替え 図のように, 起電力 の電池, 静電容量が, の つのコンデンサ および, つのダイ オード D, D, スイッチ, 抵抗値, の D つの抵抗,, および導線を用いて回路を作 った. 電池, コンデンサ,, ダイオード D, D D, および導線に内部抵抗はないものとする. はじめ は開いており, つのコンデンサに電気量は蓄えられていない. 操作 : を閉じて十分な時間をおき, を開いてまた十分な時間をおく 操作 をn 回繰り返した後の, コンデンサ の電圧の大きさV n を求めよ.

14 Lv マスター オブ サーキット コンデンサとコイルの素子特性 電気容量 のコンデンサ, 抵抗の無視できる自 己インダクタンス L のコイル, 抵抗値 の抵抗, 抵抗値 の抵抗, スイッチ, および起電力 V の 内部抵抗の無視できる電池からなる図のような電 気回路がある. 図のように, コンデンサの右側の 極板の電気量を q, コイル, 抵抗, を左向きに 流れる電流をそれぞれ i L, i, i とおく. また, 電池 i 各瞬間の i L の時間変化率を L t で表すものとする. はじめ, スイッチは開いており, コンデンサには電荷はなかった ( q= 0 ). 以下の問いに, L,,, V の中か ら必要なものを用いて答えなさい. () スイッチを閉じた瞬間の i, i, q, コンデンサ q i L t の値をそれぞれ求めよ. q コイル 抵抗 抵抗 スイッチ i L i i () スイッチを閉じた後, しばらくすると回路を流れる電流は一定になった. このと i きの i, i, q, L t の値をそれぞれ求めよ. () スイッチを閉じてから, 回路を流れる電流が一定となる間に, i が設問 () で求め i た値の半分となる瞬間がある. このときの i, q, L t の値をそれぞれ求めよ. (4) 電流が一定になった設問 () の状態において, コンデンサの蓄えた静電エネルギ ー U, コイルの蓄えた磁場のエネルギー U をそれぞれ求めよ. L (5) 電流が一定になった設問 () の状態において, スイッチを開いた. この瞬間の i, i i, q, L t の値をそれぞれ求めよ. (6) 設問 (5) でスイッチを開いてから, 十分に時間が経つと回路の電流はすべて 0 とな った. この間に抵抗, 抵抗 で失われたエネルギー Q, Q をそれぞれ求めよ.

15 解答 解説 日間の集中演習で最強の回路力を Lv 図のような, 内部抵抗のない起電力, の電池,, 抵 抗値,,, の抵抗,,, 4 からなる回路を 考える. 以下の問いに と を用いて答えよ. () 電池, を流れる電流の大きさをそれぞれ求めよ. () 抵抗,,, 4 での消費電力, 電池, の供給電 力をそれぞれ求めよ. 複数の電池と抵抗の回路 NW () の電流の大きさ : 5, の電流の大きさ : () の消費電力 : 5, 9 の消費電力 : 5, の消費電力 :, 4 の消費電力 : 5, 6 の供給電力 : 5, 8 の供給電力 : 5 OLUTION () まず, を流れる電流 i を求める. 図 の回路に着目すれば, 電池, を流 れる電流に依らず, 回路方程式は, i + = i = 4 図 i j j k k 4 図 続いて, 4 を図 の向きに流れる電流をそれぞれ j,k とおく. 電荷保存則 より, を図の向きに流れる電流は j k. 回路方程式は, j+ k= k= ( j k) + 4

16 Lv マスター オブ サーキット 7 4 連立して, j=, k= を得る. 電荷保存則より, 電池 を流れる電流の 大きさは, i+ j=, 電池 を流れる電流の大きさは, i+ j k=. 5 5 Point 例え電池を流れる電流が求めたい場合でも, 置くのは抵抗を流れる電流である. なぜなら, オームの法則によって電流から電圧降下がわかるのは電池ではなく抵抗であり, これを利用して回路方程式を立てたいからである. Point 電荷保存則で回路を流れる電流の分流, 合流を常にイメージしながら, 問題を解く. 抵抗に流れる電流を, 各抵抗すべて異なる文字で置くのは, 連立計算を煩雑にするだけ. 予め電荷保存則を考慮し, 電流配置は最小限に. 回路を流れるすべての電流が求まってからも, 回路図に電流の大きさと向きを書き込み, 回路の各分岐点で電荷保存則が成立するかどうか確認するとよい. () 消費電力 7 49 抵抗 : j = = 5 5 抵抗 : i = = ( すべての抵抗での消費電力和 : P 9 抵抗 : ( j k) = = 抵抗 4 : k = = = = ) 供給電力 6 8 電池 : ( i+ j) = 電池 : ( i + j k) = 5 5 ( すべての電池での供給電力和 : P= = ) Point すべての抵抗で消費した電力と, すべての電池が供給した電力は等しい. これはエネルギー収支の関係から自然である. 4

17 解答 解説5 日間の集中演習で最強の回路力を Lv 図のような, 内部抵抗のない起電力 の電池, 抵抗値, の抵抗, 抵抗値 r を調整できる可変抵抗からなる回路を考える. () 可変抵抗での消費電力 P の最大値 PM と, そのときの可変抵抗の抵抗 値 r を求めよ. () r を変化させるとき, 可変抵抗での消費電力 P と抵抗値 r の関係を, 横軸 r, 縦軸 P にとり, 増減がわかるように図示せよ. NW () 消費電力の最大値 : P M = 4 そのときの可変抵抗の抵抗値 : r= () 右図 OLUTION 可変抵抗と最大消費電力 () 消費電力の最大値を得るためには, 可変抵抗での消費電力 P を r の関数で表すこ とが必要である. その P を求めるために, まず, 可変抵抗を流れる電流を r の関 数として求めよう. 可変抵抗を流れる電流の大きさを I とおく (). 抵抗値 の抵抗と可変抵抗は並列であるから, そ の電圧降下は等しく, 電流値は抵抗値と逆比の関 係にある. したがって, 抵抗値 の抵抗を流れる 電流は r I と書ける (). 抵抗値 の抵抗を流 r れる電流は電荷保存則から, I+ I であるため (), 電池を含めた回路方程式から, r I + I + ri = I = r + よって可変抵抗での消費電力 P は P M 0 I+ I+ P r I r I r I I r I r r r

18 Lv マスター オブ サーキット = = = ( r + ) r + r P ri r 相加相乗平均より, r + 6 ( 等号成立は r= のとき ) r だから, 消費電力の最大は r= のとき, PM= = ( 6 ) 4 Point 物理の分数関数の最大最小問題は十中八九, 相加相乗平均で解決する. () 前問より, P = r ( r+ ). r= 0 のとき, P= 0 だから, 原点を通る. r のとき, P= 0 だから,r 軸に漸近する. r r のとき, 分母の r を無視して, P と表せるから, グラフの原 4 点からの出方は, 傾き 4. P 4 P M 4 前問より,P の最大値 PM= は, 4 r= のとき. 0 r 以上より求めるグラフは右図. Point グラフは, 極端な値 ( ) ± をとる場合, 漸近線, 軸との切片, 出発点での傾 き, 最大 最小値を調べることで書く. おおよその問題で微分は必要ない. 6

19 解答 解説7 日間の集中演習で最強の回路力を Lv 抵抗の合成 以下の回路を構成する導線の抵抗, スイッチの接触抵抗, 電池の内部抵抗, および回路の自己誘導は 無視できるとする. Ⅰ 図 のように, 端子 PQ 間に抵抗値,,,x の 4 つの抵抗とスイッチ を導線で接続した. () を開いた状態での, 端子 PQ 間の合成抵抗値 はいくらか. () を閉じた状態での, 端子 PQ 間の合成抵抗値 はいくらか. () と が等しい場合の x を, を用いて答えよ. また, このとき, を閉じた状態で端子 PQ に起 電力 の電池を接続すると, を流れる電流の大きさはいくらになるか. Ⅱ 図 のように抵抗値がすべて の 7 つの抵抗と導線を用いて, はしご型回路を作成した.,,, D,, F は回路上の点である. 以下の端子間での合成抵抗値をそれぞれ求めよ. () 間の合成抵抗値. () 間の合成抵抗値. () D 間の合成抵抗値 D. (4) 間の合成抵抗値. (5) F 間の合成抵抗値 F. (6) 間の合成抵抗値. Ⅲ 図 のように抵抗値がすべて の 9 つの抵抗と導線を用いて回路を作成した.,,,D,, F は回路上の点である. 以下の端子間での合成抵抗値をそれぞれ求めよ. () 間の合成抵抗値. () 間の合成抵抗値. () D 間の合成抵抗値 D. (4) F 間の合成抵抗値 F. P Q NW 図 ( + x) Ⅰ() = 6+ x x 図 F D D 図 ( 6 + x) () = 4( + x) () x= 6, を流れる電流の大きさ : Ⅱ() = () = () D = (4) = (5) F = (6) = Ⅲ() = () = () D = (4) F = F

20 Lv マスター オブ サーキット OLUTION Ⅰ() と の直列合成抵抗値は, + =. とx の直列合成抵抗値は, + x. それらの並列合成抵抗値が求める値だから, ( + x) ( + x) = = + ( + x) 6 + x P P P + x x Q Q Q () と の並列合成抵抗値は, =. とx の並列合成抵抗値は, + 4 x + x. それらの直列合成抵抗値が求める値だから, x ( 6 + x) = + = 4 + x 4( + x) P P 4 P x x + x Q Q Q () 求めるx の値は, 題意より ( + x) ( 6 + x) = = 6 + x 4( + x) ( x 6) = 0 x = 6 を閉じても閉じなくても合成抵抗値が等しいということは, を閉じても には電流が流れないことに他ならない. よって求める電流の大きさは 0. = を解かなくとも, ホイートストンブリッジ回路の性質を知っていれば, : = : x x = 6 と直ちにx は求まる. 8

21 解答 解説9 日間の集中演習で最強の回路力を Lv Ⅱ() D 直列接続で + + =. この と 間の が並列接続だから =. これと F の直列接続で + + = 最後に 間の との並列合成をとり, 4 = = F F F D () まず, 間に電圧をかけても, 対称性より 間の電圧は 0 だから, 間には 電流は流れない ( 流れたとすると電位のバランスが崩れる ). よって 間を切断 しても同じ. 直列合成抵抗値は + =. F D 直 列合成抵抗値は+ + + = 4. これらが並列接続だから, 4 4 = = + 4 F () どの抵抗も直列でも並列でもない. よって, 電流を D 4 配置し, 合成抵抗値を求める. から大きさ I の電 流が流入し, から流出することを考える. を流れる電流を i とすると, 電荷保存則より, F を流れる電流は I は I i. 対称性より, D を流れる電流はi, Dを流れる電流 i. 電荷保存則より, を流れる電流は F の回路方程式より, I 4 I F i I i i i I i I D

22 Lv マスター オブ サーキット i + ( i I) = ( I i) i = I 5 また D 間電圧をV とすれば, Dの電圧降下から, V= i+ ( I i) = ( I i) 7 以上より,i を消去してV とI の関係を求めれば, V= I. 5 7 ゆえに, D = 5 (4) D 直列接続で + + =. この と 間の が並列接続だから =. これと 間の が直列接続で + = 最後に F の直列接続 + = と 7 4 の並列合成をとり, F D F = = F F (5) D 直列接続で + + =. この と 間の が並列接続だから =. これと Fの直列接続で+ + = 最後に F間の との並列合成をとり, 4 F = = F D F F 4 4 F 5 F (6) F 直列接続で + + =. D 直列接続でも 0

23 解答 解説 日間の集中演習で最強の回路力を Lv =. この つの並列を先に考えて =. さらに 間 の と並列合成をとり, = = 5 + F Ⅲ() D D 5 ( ) と D ( ) は並列接続で, その合成抵抗値は. F D 間も同様に. これらの直列接続 4 が F ( ) と並列接続なので =. これが F ( ) と直列接続なので + =. 最後 に ( ) と並列接続すれば, 7 = = D F F D 4 7 () から広がり に集まる電流の流れを考える. 対称性から と れる電流は等しい. また F F 8 を流 と D を流れる電流も等しい. よって の流れと F D の流れは独立なので で分離する. F D 間の,, の つの並列抵抗の合成抵抗値は, = + + これを F ( ),D 5 ( ) と直列合成して, + + =. 最後に.

24 Lv マスター オブ サーキット 5 0 ( ) と並列合成して, = = () 回路は直線 D について対称である. から に向かう電流と F に向かう電流は 等しい. 間と F 間の電圧降下は等しいので, F 間に電位差は生じない. よ って F 間を切断して考えても同じ. D ( ) と D ( ) は並列なので合成して, =. これ + 5 と ( ) は直列なので合成して, + =. 対称性から右側も だから, 最後に並列合成し, 求める D 間合成抵抗値は, D = = 6 D F D F 5 5 D D 5 6 (4) D ( ) と D ( ) は並列なので合成して. 同様に DF 間も. これらの直列合成で D F は 4. F ( ), F D F ( 4 ) は並列なので合成して, 求める合成抵抗値は ( ), F 4 = = D F F D 4 9 F

25 解答 解説 日間の集中演習で最強の回路力を Lv 図のように, 内部抵抗のない起電力 の電池, 抵抗値, の 抵抗,, 電気容量 のコンデンサ, スイッチ からなる回 路を考える. はじめスイッチ は開いており, コンデンサ には電 気量は蓄えられていない. 回路に流れる電流 I, I, I を図の位置 に矢印で表された向きに定める. 解答には,, のうち, 必要 なものを用いるものとし, I, I, I に関する問いは符号を含めて 答えよ. Ⅰ はじめに, 時刻 t= 0 に を閉じた. () を閉じた直後の電流 I, I, I を求めよ. コンデンサとスイッチ開閉 () ある時刻 t= t に電流 I が, 前問 () で求めた値の半分となった. このときの, 電流 I, I, およ びコンデンサ の電気量 Q を求めよ. () を閉じて十分時間が経った後の電流 I, I, I, およびコンデンサ の電気量 Q を求めよ. Ⅱ 次に, 十分に時間が経過した後, 時刻 t () を開いた直後の電流 I, I を求めよ. = T に を開いた. () を開いて十分時間が経つまでに で失われたエネルギーを求めよ. Ⅲ 設問 ⅠⅡの操作において, コンデンサ に流入する電流 I および, コンデンサ の電気量 Q の時間 変化を, それぞれグラフに表せ. なおグラフは横軸に時刻 t をとり, t= t, t= T, t= T の点を 明確に表せ. NW Ⅰ() I = I =, I = 0 () I = I =, Q = 4 () I = I =, I = 0, Q = Ⅱ() I =, I = () 9 Ⅲ 次図 / / 4 0 / I t T T t Q Q 0 Q t T I I I T t

26 Lv マスター オブ サーキット OLUTION Ⅰ() コンデンサの電気量はまだ 0 であるから, 電圧 も0. ゆえに並列の抵抗 の電圧降下も0 だから, 抵抗 には電流は流れない.( つまり, コンデン サは導線のような振る舞いをする.) 電荷保存則よりI = I. 回路方程式より, I = I = 以上より, I = I =, I = 0 I I () I = だから, 回路方程式より, = I + I I = 4 また, は に並列だから, 端子間電圧は に 等しくI =. よって, Q = = また, 電荷保存則より, 以上より, I = I + I I = I I = I = I =, Q= 4 4 I I I Point コンデンサの電気量は, 並列の抵抗の電圧降下によって決定する. () コンデンサに電荷の流入はないのでI = 0.( つまり, コンデンサは断線のよう な振る舞いをする.) 電荷保存則より, I = I. 回路方程式より, 4

27 解答 解説5 日間の集中演習で最強の回路力を Lv I + I = I = このとき, は に並列だから, 端子間電圧は に等しく, I =. よって, Q = = 以上より, I = I =, I = 0, Q = Ⅱ() コンデンサの電気量はQ のままなので, 電 圧も のまま. 回路方程式より, I = I = 電荷保存則より, I = I. 以上より, I =, I= () で失われるエネルギーの起源は, コンデンサの蓄えた静電エネルギーである から, Ⅲ 次図 / 4 0 / Point / I t T Q = 9 T コンデンサの充放電の時間変化グラフは, 電流も電気量も指数関数で平衡値 ( 終端値 ) へ漸近する. t Q Q 0 Q t I T I I I T t

28 Lv マスター オブ サーキット コンデンサ ( キャパシタ ) 6

29 解答 解説7 日間の集中演習で最強の回路力を Lv 図のように, 起電力 の電池と, 容量の等しい つのコンデン サ, 抵抗値の等しい つの抵抗とスイッチからなる回路がある. はじめスイッチは開いており, コンデンサに電気量は蓄えられて いない. 図の,,,G は回路上の点である. 点 G は接地 ( アース ) してあり, 回路における電位の基準とする. 以下の問 いに答えよ. () スイッチを閉じる前の,, の電位, V, V, V を それぞれ答えよ. スイッチ開閉による回路上の電位変化 () スイッチを閉じた直後の,, の電位, V, V, V をそれぞれ答えよ. () スイッチを閉じて十分時間が経過した後の,, の電位, V, V, V をそれぞれ答えよ. NW () V = 0, V () V =, V OLUTION =, V = 0 () V = 0, V = 0, V =, V = 0 () 図のように, 抵抗, とコンデンサ,, を定める. 経路 G について には電荷が溜まっていないから, 電位差は 生じていない. よって, V = 0. 経路 G 電池 について 電流は流れていないから, の電圧降下はな = く, 考察すべきは電池での起電力 のみ. 電池の正極から負極へ向かう向きで だけ電位は降りるから, V 経路 G について =. には電荷が溜まっていないから, 電位差は生じていない. よって, V = 0. Point 電源が接続されていないからといって, 回路上の電位はすべて 0 ではない. そもそも, スイッチを閉じる前に電位差がなければ閉じても電流は流れない. G G

30 Lv マスター オブ サーキット () 経路 G について には電荷が溜まっていないから, 電位差は生じていない. よって, V = 0. 経路 について スイッチが閉じたので は強制的に等電位とされた. よって, V = 0. 経路 電池 について 電池で起電力 分だけ電位が上昇する. には電荷が溜まっていないから, 電位差は生じていない. よって, V =. () 十分時間が経過し, すべてのコンデンサに電荷の流入はなくなっている, すなわ ち, 回路のどこにも電流は流れていない. したがって,, の端子間電圧は等しい. さらに電荷保存則から,, の 電気量はともに 0. つまり端子間電圧は 0 で等しいことになる. 経路 G 電池 について 電流は流れていないから, の電圧降下はなく, 電池の正極から負極へ向かう 向きで だけ電位は降りるから, V 経路 について =. スイッチが閉じているので は等電位のまま. よって, V 経路 G について =. 電流は流れていないから, の電圧降下はなく, 前述のとおり, の端子間 電圧もない. よってV = 0 8

31 解答 解説9 日間の集中演習で最強の回路力を Lv 図のように静電容量がそれぞれ [ µ F], [ µ F] のコンデンサ および, 抵抗値がそれぞれ 6 [ Ω ], 4 [ Ω ], [ Ω] の抵抗, および, 内部抵抗の 無視できる起電力が [ V] の直流電源, およびスイッチ が配置された回路 を考える. はじめ, つのコンデンサの両極に電気量は蓄えられておらず, ス イッチ は開いている. 今, スイッチ を閉じると回路には電流が流れ始めた. () を閉じた直後の, 抵抗, および を流れる電流の大きさをそれ ぞれ求めよ. コンデンサと抵抗のブリッジ回路 () を閉じて十分時間が経過したとき, 抵抗, および を流れる電流の大きさをそれぞれ求め よ. () を閉じて十分時間が経過するあいだに を通過した電気量の大きさを求めよ. (4) を閉じて十分時間が経過した後, を開く. を開いた直後に, コンデンサ を流れる電流の大 きさを求めよ. NW () を流れる電流 : [ ], を流れる電流 : 0 [ ], を流れる電流 : 6 [ ] () を流れる電流 : 0 [ ], を流れる電流 : [ ], を流れる電流 : [ ] () 8 [ µ] (4).5 [ ] OLUTION (), には電気量がまだ蓄えられていないから, 端 子間電圧はともに 0 ( 導線と同じ ). したがって の 電圧降下も 0 であり, には電流は流れないことにな る ( 断線と同じ ). このとき,, の電圧降下は の起電力 [ V] と等しいので, を流れる電流 : [ V ] 6 [ Ω] を流れる電流 : 0 [ ] を流れる電流 : [ V ] [ Ω] = [ ] = 6[ ] (), に電気量流入はない. つまり, にも電流は流れない. したがって, [ V] [ ] 6Ω [ ] Ω

32 Lv マスター オブ サーキット は, のみに大きさ, 4+ [ ] V [ ] Ω = [ ] の電流を供給する. 以上より, を流れる電流 : 0 [ ] [ ] 4Ω [ ] Ω を流れる電流 : [ ] を流れる電流 : [ ] [ V] () 充電前, つのコンデンサの電気量は共に 0[ ]. 充電後, コンデンサ, の 電気量はそれぞれ [ µf] [ V ] = 4 [ µ] [ µf] 4 [ V ] = 4 [ µ] で, つのコンデンサは抵抗 側が共に負極であるか ら, 抵抗 には右に合計 4 [ µ ] + 4 [ µ ] = 8 [ µ] の電 気量が通過したことになる. + 4[ µ] + 4[ µ] +8[ µ] [ ] µf [ ] 4Ω [ ] µf Ω [ ] [ ] [ V] (4) コンデンサは開く直前の電気量を保持している. したがって, つのコンデンサ の端子間電圧も () のまま.( コンデンサは電池とみなせる.) 回路方程式より, 4i = 4 i = [ ] j + 6j = 4 j = 0.5 [ ] ゆえに電荷保存則より, を流れる電流の大きさは i j= 0.5=.5 [ ] i [ ] 4Ω [ V] 4 [ V] 6Ω [ ] [ ] Ω j Point コンデンサに流入する電流は, まわりの電流から決定する. 0

33 解答 解説 日間の集中演習で最強の回路力を Lv 抵抗値がそれぞれ,,,, の抵抗,,, 4 と, 起電 力 の電池および, 容量が のコンデンサ, スイッチ で図のような回路を 作成した. 抵抗はすべてオームの法則に従う抵抗であり, 電池やコンデンサ の内部抵抗およびスイッチでの接触抵抗は無視できる.,, のうち必要 なものを用いて以下の問いに答えよ. () スイッチ を閉じた瞬間の を流れる電流の大きさI を求めよ. コンデンサの放電と抵抗の発熱比 () スイッチ を閉じて十分に時間が経過したとき, コンデンサに蓄えられた静電エネルギー U を求め よ. () 次にスイッチ を開いた. この瞬間の を流れる電流の大きさI を求めよ. I (4) スイッチ を開き, を流れる電流の大きさが となるまでに回路で失われたエネルギー W を求 めよ. (5) スイッチ を開いてから十分に時間が経過するまでに, 抵抗,, で失われたエネルギー Q, Q, Q をそれぞれ求めよ. NW 5 () I = () U= () I = (4) (5) Q=, Q =, Q = OLUTION () を閉じた瞬間, コンデンサでの端子間電圧は 0 だから,,, は並列とみなせる. 回路の合成抵抗値は 7 となり, を流 5 れる電流は, この合成抵抗を流れる電流とみなせるから, Point 7 5 I = I = 5 7 複雑に感じる場合は, 両端子が等電位となる素子 ( 並列素子 ) を探し, 整理 した等価回路を書き直す. W = 4 4

34 Lv マスター オブ サーキット () 十分時間が経つと, コンデンサに流入する電気量は 0. ( 断線と同じ.) ここで,, に流れる電流を i と 仮定しても, 回路方程式より, i + i = 0 i = 0 よって, の電圧降下は 0.(, は導線と同 じ.) 電池を流れる電流を j, コンデンサの端子間電 j 4 i 圧を V とすると, 回路方程式より, j+ j=, j= V V = ゆえに求める静電エネルギー U は U = V = = 8 () コンデンサの電気量は開く直前と変わらないの で, 端子間電圧は.( コンデンサは電池とみな せる.),, の合成抵抗は 5 だから, 5 I = I = 0 I (4) 電流が半分になるとすべての抵抗での電圧降下も半分となる. このとき, コンデ ンサの端子間電圧も半分の 4 となるから, コンデンサに残っている静電エネル ギーは U = = 4 よって, これまでに回路で失われたエネルギーは W = U U = = 8 Point コンデンサの残留電気量, 端子間電圧は, 抵抗の電圧降下から決める.

35 解答 解説 日間の集中演習で最強の回路力を Lv (5) 放電過渡において, を流れる電流が k ならば, 並列の を流れる電流は k, を流れる電流は合流して k. したがって,,, での消費電力はそれぞれ 9k, 4k, k.() で求め た静電エネルギーは, この比に応じて各抵抗で失われるか ら, Point Q Q Q 8 Q=, Q =, Q : Q : Q= 9 : 4 : 0 =, 時間によらず抵抗を流れる電流比が決まる場合は, 消費電力比で各抵抗の放 熱比が定まる. Q = 60 k k k

36 Lv マスター オブ サーキット コンデンサ 4

37 解答 解説5 日間の集中演習で最強の回路力を Lv 図のように, 内部抵抗のない起電力 の電池, 抵抗値, の 抵抗,, 自己インダクタンス L のコイル L, スイッチ から なる回路を考える. はじめスイッチ は開いており, コイル L には 電流は流れていない. 回路に流れる電流 I, I, I を図の位置に矢 印で表された向きに定める. 解答には,, L のうち, 必要なも のを用いるものとし, I, I, I に関する問いは符号を含めて答え よ. Ⅰ はじめに, 時刻 t= 0 に を閉じた. () を閉じた直後の電流 I, I, I, および, 電流 I の変化率を求めよ. コイルとスイッチ開閉 () ある時刻 t= t に電流 I が, 前問 () で求めた値の 倍となった. このときの, 電流 I, I, および, 電流 I の変化率を求めよ. () を閉じて十分時間が経った後の電流 I, I, I, および電流 I の変化率を求めよ. Ⅱ 次に, 十分に時間が経過した後, 時刻 t = T に を開いた. () を開いた直後の電流 I, I, および, 電流 I の変化率を求めよ. () を開いて十分時間が経つまでに で失われたエネルギーを求めよ. Ⅲ 設問 ⅠⅡの操作において,L に流入する電流 I および,L の自己誘導起電力 V の時間変化を, それ ぞれグラフに表せ. なおグラフは横軸に時刻 t をとり, t= t, t= T, t= T の点を明確に表せ. また, V は正の電流 I を流す向きを正とする. NW di Ⅰ() I = I =, I = 0, di = () I =, I =, = dt L 6 dt L di () I = I =, I = 0, = 0 dt Ⅱ() I =, di I =, L = () dt L Ⅲ 次図 0 I t T T t V 0 / / t T I I L L I T t

38 Lv マスター オブ サーキット OLUTION Ⅰ() コイルは直前の電流値 0 を保つ.( つまり, コ イルは断線のような振る舞いをする.) 電荷保存則よりI = I. 回路方程式より, I + I = I = このとき, 抵抗 の電圧降下は, I = だ から, 並列のコイルの自己誘導起電力も. ゆえに, di I の電流変化率 dt L di = di = dt dt L 以上より, Point I = I =, I = 0, di dt = L コイルを流れる電流が 0 でも, 電流変化率は 0 とは限らない. I L L I は () I = だから, 回路方程式より, = I + I I = 6 また,L は に並列だから, 端子間電圧は に 等しく I =. ゆえに, I の電流変化率 di は, dt L di di = = dt dt L また, 電荷保存則より, 以上より, I = I + I I = I I = I =, I =, 6 di dt = L I I L L I 6

39 解答 解説7 日間の集中演習で最強の回路力を Lv Point コイルの電流変化率は, 並列の抵抗の電圧降下によって決定する. () コイルに流れる電流は一定となるので, 自己 誘導起電力が0 となる. ゆえに, I の電流変化 率は0. また, 並列の抵抗 の電圧降下も0 だ から, 抵抗 には電流は流れない.( つまり, コイルは導線のような振る舞いをする.) 電荷 保存則より, I = I. 回路方程式より, 以上より, I I = I = = I =, I = 0, Ⅱ () コイルは直前の電流を保持するから, I=. 電荷保存則より, I = I. ゆえに 回路方程式より, di di I = L = dt dt L 以上より, Point I =, I =, di dt di dt = 0 = 電流変化率は, 電流が増加するとき正, 減少するとき負. () で失われるエネルギーの起源は, コイルの蓄えた磁場のエネルギーであるか ら, I I L L L I I L L

40 Lv マスター オブ サーキット L LI = Ⅲ 次図 0 I t T T t V 0 / / t T T t Point コイルの充放電の時間変化グラフは, 電流も自己誘導起電力も指数関数で平 衡値 ( 終端値 ) へ漸近する. 8

41 解答 解説9 日間の集中演習で最強の回路力を Lv 図のように, 4 つのダイオード D, D, D, D 4, 容量 の 4 つのコ ンデンサ,,, 4, 起電力 の つの電池, とスイッチ からなる回路を考える. コンデンサにはわずかに内部抵抗があるが, ダイ オードは整流作用のみを考え, 抵抗は無視できる.P,G は回路上の点で あり,G は接地されている (G の電位を 0 とする ). スイッチ を端子 の 方へ倒すと, 回路は電池 に接続され, 端子 の方へ倒すと, 電池 に 接続される. はじめ, すべてのコンデンサに電荷は蓄えられておらず, は どちらの端子へも倒されていない. () を端子 へ倒し, 十分時間が経ったときの,,,, 4 の端 子間電圧, およびP の電位 V をそれぞれ求めよ. コッククロフト ウォルトン回路 () 続いて, を端子 へ倒し, 十分時間が経ったときの,,,, 4 の端子間電圧, およびP の電位 V をそれぞれ求めよ. () 続いて, を端子 へ倒し, 十分時間が経ったときの,,,, 4 の端子間電圧, およびP の電位 V をそれぞれ求めよ. (4) 続いて, を端子 へ倒し, 十分時間が経ったときの,,,, 4 の端子間電圧, およびP の電位 V 4 をそれぞれ求めよ. (5) 以上のように, を交互に倒し続けると, やがて回路における電気量の移動はなくなった. このと き,P の電位 V を求めよ. NW () の端子間電圧 :, の端子間電圧 : 0, の端子間電圧 : 0 4 の端子間電圧 : 0, P の電位 : V = 0 () の端子間電圧 : 0, の端子間電圧 :, の端子間電圧 : 0 4 の端子間電圧 : 0, P の電位 : V = () の端子間電圧 :, の端子間電圧 :, の端子間電圧 : V = 4 の端子間電圧 : 0, P の電位 : (4) の端子間電圧 :, の端子間電圧 : 5 4 4, の端子間電圧 : 4 4 の端子間電圧 :, P の電位 : V 4 = 4 (5) V = 4 4 P G D D D 4 D

42 Lv マスター オブ サーキット OLUTION () 図 のように, ダイオードをすべて断線とみなして考 高電位 える. このとき, を端子 へ倒すと, 回路の左側が 低電位 高電位, 右側が低電位となるため, 順方向に電圧がか かるダイオードは D, D である. ゆえに, D, D を 導線, D, D 4 を断線とみな D 4 D D して等価回路をかけば, 図 D D のようになる ダイオードの内部抵抗はな く, D の電圧降下は 0 だか 0 ら,, の充電は起きな 図 図 い. は充電され, 電気量, 端子間電圧 となる.P の電位は, 4 の端 子間電圧の合計だから, 0. 以上より, の端子間電圧 :, の端子間電圧 : 0, の端子間電圧 : 0 4 の端子間電圧 : 0, P の電位 : V = 0 Point ダイオードに電流が流れるかどうかは, 断線とみなして順方向に電位差が生 じているかどうかを考える. () 前問と同様に, ダイオードをすべて断線とみなして を 端子 へ倒すと, 今度は回路の左側が低電位, 右側が高 電位となる. ゆえに, 順方向に電圧がかかるダイオード はD, D 4 であるから, D, D 4 を導線, D, D を 断線とみなして等価回路をかけば, 図 のようになる. D の電圧降下は 0 だから,, 4 の充電は起きない. 十分時間が経った後の の電気量を q とすれば, 電荷保存則より, の電気量 は q. 回路方程式より, q 0 q D 4 D 図 + + q + q 40

43 解答 解説4 日間の集中演習で最強の回路力を Lv q q = + q = q q よって,, の端子間電圧はそれぞれ, = 0, =. 以上より, の端子間電圧 : 0, の端子間電圧 :, の端子間電圧 : 0 4 の端子間電圧 : 0, P の電位 : V = () () と同様に, ダイオードをすべて断線とみなして を 端子 へ倒すと, 回路の左側が高電位, 右側が低電位 となる. ゆえに, 順方向に電圧がかかるダイオードは D, D であるから, D, D を導線, D, D 4 を断 線とみなして等価回路をかけば, 図 4 のようになる. 十分時間が経つと, は電池によって再び電気量, 端子間電圧 に充電される., は電圧が等し くなるように電気量を分配するので, 電気量, 端子間電圧 となる.( こ のとき, の正極と, の負極の電気量合計が であることから, D を右に電気量が だけ通過しており, 確かに順方向の電流が流れたことになる.) 以上より, の端子間電圧 :, の端子間電圧 :, の端子間電圧 : V = 4 の端子間電圧 : 0, P の電位 : Point コンデンサのみの電気量分配比は, 電圧が等しいことから容量比となる. (4) () と同様に, 順方向に電圧がかかるダイオードは D, D 4 であるから, D, D 4 を導線, D, D を 断線とみなして等価回路をかけば, 図 5 のようにな る. 十分時間が経つと,, 4 は電圧が等しくなるよ D D 図 4 図 5 0 D q D + + q + q + q

44 Lv マスター オブ サーキット うに電気量を分配するので, 電気量 4, 端子間電圧となる. の電気量 4 を q とすると, 電荷保存則より, の電気量は q となる. 回路方程式より, q q 5 = + q = 4 q よって,, の端子間電圧はそれぞれ, より, q 5 =, 4 = 4. 以上 の端子間電圧 :, の端子間電圧 : 5 4 4, の端子間電圧 : 4 4 の端子間電圧 :, P の電位 : V 4 = 4 (5) 電気量の移動がないとい うことは, すべてのコンデ ンサの電圧は, スイッチ操 D D 4 4 作によって変動することが ないということ. を端子 に倒して電圧変 動がないので, の電圧は に確定 ( )., の D を端子 へ倒したとき D を端子 へ倒したとき 電圧は等しい ( ). 端子 に倒して電圧変動がないので, の電圧は電池と の 電圧の和に等しく, に確定 ( )., の電圧は等しかったので, の電 圧も に確定 ( ). と 4 の電圧は等しいので, 4 の電圧も に確定 ( ). P の電位は, 4 の電圧の和だから, V = + = 4 コラム 実際のコッククロフト ウォルトン回路は交流電源を用いる. コンデンサと ダイオードを n 個用いれば, 電圧は交流最大電圧の n 倍まで引き上げられる. 取り扱いには十分注意すべきだが, 乾電池で放電を起こすこともできる. 4

45 解答 解説4 日間の集中演習で最強の回路力を Lv 図のように, 起電力 の電池, 静電容量が, の つのコンデ ンサ および, つのダイオード D, D, スイッチ, 抵抗値, の つの抵抗,, および導線を用いて回路を作った. 電池, コンデンサ,, ダイオード D, D, および導線に内部 抵抗はないものとする. はじめ は開いており, つのコンデンサに 電気量は蓄えられていない. ダイオードによる回路の切り替え 操作 : を閉じて十分な時間をおき, を開いてまた十分な時間をおく 操作 を n 回繰り返した後の, コンデンサ の電圧の大きさ V n を求めよ. NW OLUTION コンデンサ の電圧の大きさ : まず, 回目の操作について考える. はじめコン デンサに電気量は蓄えられていないから, を閉 じた直後, と の端子間では電位差が生じず, D には電圧 が逆方向にかかる. D は電流を通 すので, 等価回路は図 のようになる. 十分時間 が経てば, の充電は完了し, 電気量が流入しな くなるから, と を流れる電流 i は回路方程 式より, i + i = i = また, このとき, の電気量 Q は回路方程式よ り, Q i Q = = この状態で を開くと ( 図 ), D に逆方向, D に順方向の電圧がかかり, と の間で電気量 分配が起こる. 十分に時間が経てば端子間電圧が Vn n = 4 i 図 図 D D D D D 0 D + 0 +

46 Lv マスター オブ サーキット 等しくなり, 電気量は容量比で分配されるから, の電気量は + = ゆえに, 回の操作後, の電圧は V= = 6 n+ 回目の操作を考える. 始める前の の電圧はV n である. を閉じると 回目の 操作と同様で, D には逆電圧がかかり電流が流れず, D は電流をとおす. を閉じ る前の の残存電気量に依らず, 十分に時間が経てば, にかかる電圧は の電圧 降下 と等しくなるので, 回目と同様に電気量, Q= が蓄えられる. 続いて, を開けば ( 図 ), D には逆電圧がかかり電流が 流れず, D は電流をとおす., の容量比による電気量 分配から, 十分に時間が経った後の の電気量は, 9 Q = + V n = Vn ゆえにn+ 回の操作後, の電圧は 9 Vn+ = Vn + = Vn この漸化式を解いて, Vn+ = Vn + Vn+ = Vn n Vn V 0 = 4 V 0= 0 であるから, n n Vn = + = Vn Q D D + V + Q n 図 44

47 解答 解説45 日間の集中演習で最強の回路力を Lv 電気容量 のコンデンサ, 抵抗の無視できる自己インダクタンス L のコイル, 抵抗値 の抵抗, 抵抗値 の抵抗, スイッチ, および 起電力 V の内部抵抗の無視できる電池からなる図のような電気回路 がある. 図のように, コンデンサの右側の極板の電気量を q, コイル, 抵抗, を左向きに流れる電流をそれぞれi L, i, i とおく. また, 各瞬間のi L の時間変化率を i L t で表すものとする. はじめ, スイッ チは開いており, コンデンサには電荷はなかった ( q= 0 ). 以下の問 いに, L,,, V の中から必要なものを用いて答えなさい. () スイッチを閉じた瞬間の i, i,q, i L t の値をそれぞれ求めよ. コンデンサとコイルの素子特性 i () スイッチを閉じた後, しばらくすると回路を流れる電流は一定になった. このときの i, i,q, L t の値をそれぞれ求めよ. () スイッチを閉じてから, 回路を流れる電流が一定となる間に, i が設問 () で求めた値の半分となる i 瞬間がある. このときの i,q, L t の値をそれぞれ求めよ. (4) 電流が一定になった設問 () の状態において, コンデンサの蓄えた静電エネルギー U えた磁場のエネルギー U をそれぞれ求めよ. L (5) 電流が一定になった設問 () の状態において, スイッチを開いた. この瞬間の i, i,q, 値をそれぞれ求めよ., コイルの蓄 i L t の (6) 設問 (5) でスイッチを開いてから, 十分に時間が経つと回路の電流はすべて 0 となった. この間に抵 抗, 抵抗 で失われたエネルギー Q, Q をそれぞれ求めよ. NW V i () i= 0, i =, q= 0, L t V il () i =, q= V, t V V il (5) i =, i =,q = V, t OLUTION V V i L = () i =, i = 0,q = V, = 0 L t V = (4) L U V = (6) L = V, Q コンデンサ q q U L LV = コイル 抵抗 抵抗 スイッチ i i LV = V, Q= () コンデンサに電気量はないので, 端子間電圧は 0. よって並列の抵抗 の電圧降 電池 i L

48 Lv マスター オブ サーキット 下も0. ゆえにi= 0. コイルは直前の電流を保持するので, i = 0. 抵抗 の L 電圧降下は電池の起電力 V と等しく, i = V i = V コイルの自己誘導起電力も電池の起電力 V と等しく, il il V L = V = t t L () 定常状態ではコイルの自己誘導起電力はない. よって il il L = 0 = 0 t t 並列の抵抗 の電圧降下も0 だから, i = 0. 抵抗 の電圧降下は電池の起電力 V と等しく, i = V i = V コンデンサの電圧も電池の起電力 V と等しく, q = V 定常状態ではコンデンサは電気量の流入を許さないので, V il = i = () このとき, 抵抗 の電圧降下も半分の V だから, 並列のコンデンサの電圧も V なので, V q= = V また, コイルと抵抗 の電圧も V だから, il V il V V L = i = =, i = t t L (4) このときのコンデンサの端子間電圧は V であり, コイルを流れる電流は i L = V であったから, U = V, U L LV = LiL = 46

49 解答 解説47 日間の集中演習で最強の回路力を Lv (5) コンデンサの電気量は q= V だから, 端子間電圧はV のまま. よって並列の抵 抗 の電圧降下も V だから, コイルの電流は i L i = V i = V = のままだから, V i= il= 抵抗 の電圧降下とコイルの自己誘導起電力が等しいから, il il V L = i = V = t t L V (6) コンデンサとコイルが放電している間, コンデンサと抵抗 を流れる電流は共通 であり, 端子間電圧も等しい. またコイルと抵抗 を流れる電流は共通であり, 端子間電圧も等しい. つまり, 中央の導線で回路を つに分離して, 独立に考え た場合と, 回路方程式も, 電荷保存則も同一になるので, エネルギー消費も独立 に考えて良い. したがって, Q U V i コンデンサ = =, コイル 抵抗 抵抗 il 分 離 Q = U = LV L i コンデンサ コイル 抵抗 抵抗 il

50 Lv マスター オブ サーキット 抵抗ダイオード 48