Schrödinger I

Schrödinger I 2016 7 6

2 1 3 1.1...... 4 1.2......... 6 1.3................ 8 1.4....................... 11 1.4.1............... 11 1.4.2 Bohr........................... 12 1.5.............. 15 2 Schrödinger 17 2.1...................... 18 2.2.............................. 19 A Planck 20 A.1 Reileigh-Jeans............................. 20 A.1.1................................ 23 A.2 Planck................................. 23 25

3 1 1900 4 1989 [1]

4 1 1.1 ν 1902 Lenard *1 2 1. 2. 2 ν W *2 hν c 1905 Einstein *3 ν λ E = hν (1.1) p = h λ (1.2) 1.1 *1 Philipp Eduard Anton von Lenard (1862 1947) *2 *3 Albert Einstein (1879 1955)

1.1 5 E p h Planck * 4 1 K max K max = hν W (1.3) 1916 Millikan *5 Millikan *6 K max V b V b K max K max = ev b (1.4) K max ν 1.2 1.2 2 A B A B h A B ν c ν = 0 A B W A W B 1.2 (1.3) 1.2 2 AB *4 Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 1947) *5 Robert Andrews Millikan (1868 1953) *6

6 1 1.2 1912 Laue *7 X X X X 1.3 NaCl X *8 Laue Laue 1913 Bragg *9 Laue 1.4 X X A θ X θ B A B 2 X X 1.3 NaCl X 1.4 Bragg 2d sin θ = nλ (n = 1, 2, ) (1.5) d λ X Bragg X X *7 Max Theodor Felix von Laue (1879 1960) *8 http://seaborgium.blog54.fc2.com/blog-entry-572.html#no572 *9 William Henry Bragg (1862 1942 )William Lawrence Bragg(1890 1971)

1.2 電子線回折 物質波 電子は粒子だと思っていたのに ド ブ ロ 7 イ 1923 年 de Broglie*10 は運動量 p の粒子が λ= h p (1.6) ぶっしつは で与えられる波長の波として振る舞うとの仮説を発表した*11 この考え方を物質波といい ド ブ ロ イ はちょう (1.6) 式で計算される波長をde Bloglie 波長という ここで 100 V で加速した電子を考えると 加速のためのエネルギー ev がそのまま電子の 運動エネルギーに変わるから ev = me v 2 2 (1.7) が成り立つ このとき 電子の運動量は p = me v = 2me ev (1.8) であるから これを de Broglie 波長に換算すると h λ= 2me ev (1.9) 6.626 10 34 Js = 2 9.109 10 31 kg 1.602 10 19 C 100 V = 1.2 10 10 m (1.10) を得る これは X 線の波長とほぼ同じであるから 100 V で加速した電子を結晶にあてると Laue の斑点 と同じような干渉縞が観測されると期待される 実 デ ビ ス ン ジ ャ ー マ ー 際に 1927 年Davisson*12 とGermer*13 は Ni 単結 晶による電子線回折を発見した 図 1.5 は Al-Cu-Fe 準結晶の電子線回折パターンである*14 図 1.5 Al-Cu-Fe 準結晶の電子 線回折 *10 *11 *12 *13 *14 Louis-Victor Pierre Raymond, 7th duc de Broglie (1892 1987) 前節では Einstein が 波長 λ の光が運動量 p = h/λ の粒子として振る舞う として光量子仮説を提唱し たことを述べたが de Broglie の仮説は光量子仮説の 逆 に相当する Clinton Joseph Davisson (1881 1958) Lester Halbert Germer (1896 1971) 出典 http://shinbun.fan-miyagi.jp/article/article 20120223.php

第 1 章 古典力学の破綻と前期量子論 8 1.3 光のエネルギーは離散的である 黒体輻射 高温の物体に手をかざすと温かく感じるの は 物体が電磁波を出しているからであり こ ねつふくしゃ れを熱輻射という 熱輻射によって発する光 の色は 物体の温度により異なる 鍛冶職人 が溶かした鉄の温度を測らずとも 次の作業 へと移るタイミングを知ることができるのは 単なる感ではなく鉄の発する色と適切な温度 との対応を長年の経験から知っているからで ある 図 1.6 鍛冶職人は温度を測らなくて も 加熱した鉄の色を見るだけで作業に 適した温度かどうかを判断できる 19 世紀後半には工業の発展とともに 熱輻 射の色と物体の温度との関係を厳密に知る必 要が生じ 科学の対象となった この問題の 最も大きな障害は 高温の物体から観察される 光が 熱輻射による光だけでなく 余計な 反 射光 を含むことであった もしも 外部から の光を全く反射せず 全ての波長の光を吸収 する物体があれば それは熱輻射の研究に最 こくたい 適な物体である このような物体を黒体とい こくたいふくしゃ い 黒体より放射される電磁波を黒体輻射と いう 現実には黒体など存在しないが 図 1.7 図 1.7 空洞による光の吸収 に示すような小さな穴があいた空洞が黒体と 同じように振る舞うことがわかった 小さな穴から入った光は空洞の内壁で反射を何回とな く繰り返し やがて内壁に吸収されて熱平衡状態となる すなわち この小さな穴から光が 出て来たとすれば その光には反射光は含まれず熱輻射だけと考えることができる これを くうどうふくしゃ 空洞輻射という すなわち 空洞輻射は近似的に黒体輻射とみなすことができるので 空洞 を用いた黒体輻射の研究が進められた ウ ィ ー ン 1893 年 Wien*15 は実験結果を再現する 経験式 として ( ) bν 3 ρ(ν, T ) = aν exp kb T (1.11) を提案した ここで a と b はできるだけ実験結果をうまく再現できるように定める定数で *15 Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien (1864 1928)

1.3 9 * 16 1.8 1.8 Planck Planck Wien (1.11) ν 3 ν ρ exp( bν/k B T ) ν ρ Wien 1905 Reyleigh * 17 Jeans * 18 ρ(ν, T ) = 8πν2 c 3 k BT (1.12) A.1 Wien Reyleigh Jeans 1.8 500 K Planck Reyleigh Jeans Wien Reyleigh Wien Planck *16 *17 John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh (1842 1919) *18 Sir James Hopwood Jeans (1877 1946)

10 1 Reyleigh Jeans Reyleigh Jeans 5 1900 Planck ρ(ν, T ) = 8πν2 c 3 hν e hν/k BT 1 (1.13) h Planck Planck ν E hν E = nhν (1.14) Planck Planck hν hν Planck 5 Reyleigh Jeans Planck * 19 *19 Reyleigh Jeans Reyleigh 1900 1. + Reyleigh Jeans 2. Planck 3. hν 4.

1.4 11 1.4 1.4.1 * 20 4 1.9 1885 Balmer * 21 λ = an2 n 2 4 (a = 364.7 nm) (1.15) * 22 Balmer Paschen * 23 Lyman * 24 Brackett * 25 Pfund * 26 Humphreys * 27 ( 1 1 λ = R m 2 1 ) n 2 (1.16) 1.9 *20 *21 Johann Jakob Balmer (1825 1898) *22 Balmer 656.28 nm486.13 nm434.05 nm410.17 nm 4 n = 2, 3, 4, 5 Balmer n 7 Balmer *23 Louis Carl Heinrich Friedrich Paschen (1865 1947) *24 Theodore Lyman (1874 1954) *25 Frederick Sumner Brackett (1896 1988) *26 August Herman Pfund (1879 1949) *27 Curtis Judson Humphreys (1898 1986)

12 1 Rydberg * 28 R Rydberg R = 1.097 10 7 m 1 m = 1, n = 2, 3, 4, Lyman m = 2, n = 3, 4, 5, Balmer m = 3, n = 4, 5, 6, Paschen m = 4, n = 5, 6, 7, Brackett m = 5, n = 6, 7, 8, Pfund m = 6, n = 7, 8, 9, Humphreys 1906 1885 1908 1922 1924 1953 Rydberg 1.4.2 Bohr 1911 Rutherford * 29 Rutherford Rutherford Coulomb * 30 e 2 4πɛ 0 r 2 }{{} Coulomb = m ev 2 r }{{} 1.10 Rutherford (1.17) 1913 Bohr * 31 *28 Johannes Rydberg (1854 1919) *29 Ernest Rutherford, 1st Baron Rutherford of Nelson( 1871 1937) *30 Charles-Augustin de Coulomb (1736 1806) *31 Niels Henrik David Bohr (1885 1962)

1.4 13 Bohr m e vr m e vr = n (1.18) = h/2π Planck Bohr 2 r m 2 ev 2 r 2 = n 2 2 m e v 2 = n2 2 m e r 2 e 2 4πɛ 0 r 2 = n2 2 m e r 3 r = n 2 ɛ 0h 2 πm e e 2 (1.18) 2 m e v 2 (1.17) r = n 2 a 0 a 0 := ɛ 0h 2 (1.19) πm e e2 a 0 = ɛ 0 h 2 /(πm e e 2 ) Bohr Bohr a 0, 4a 0, 9a 0, 16a 0, m e v 2 /2 U(r) e +e/(4πɛ 0 r 2 ) E = m ev 2 r ( ) +e + ( e) 2 4πɛ 0 r 2 dr = m ev 2 [ ] r e2 1 2 4πɛ 0 r = e2 8πɛ 0 r = e2 8πɛ 0 r e2 4πɛ 0 r (1.19) 2 (1.17) 1 (1.20) E n = e2 8πɛ 0 πm ee 2 n 2 ɛ 0 h 2 (1.20) r = n 2 ɛ 0h 2 πm e e 2 = m ee 4 8ɛ 2 0 h2 1 n 2 (1.21) Bohr ν hν = E n E m (1.22)

14 1 E n E m n m (1.21) (1.22) hν = m ee 4 1 ( 8ɛ 2 0 h2 n 2 m ee 4 ) 1 8ɛ 2 0 h2 m 2 = m ee 4 1 8ɛ 2 0 h2 n 2 1 m 2 (1.23) c = νλ 1 λ = ν c = hν h hc = 1 m e e 4 1 hc 8ɛ 2 0 h2 n 2 1 m 2 (1.23) = m ee 4 1 8ɛ 2 0 h3 c n 2 1 m 2 (1.24) (1.16) m e e 4 /(8ɛ 2 0h 3 c) Rydberg R m e e 4 8ɛ 2 0 h3 c = 9.109 10 31 kg (1.602 10 19 C) 4 8 (8.854 10 12 F/m) 2 (6.626 10 34 Js) 3 2.997 10 8 m/s = 1.097 10 7 m 1 (1.25) R * 32 *32 C = s AV = W/A W = J/sF = C/V

1.5 15 1.5 1807 Young * 33 1.11 Young * 34 180 * 35 Young 1 * 36 1.11 (a)young 1 2 2 2 (b) *33 Thomas Young (1773 1829) *34 2 *35 (1942 2012) *36 1.11 2010

第 1 章 古典力学の破綻と前期量子論 16 図 1.12 (a) 検出に到達した電子は輝点として観測される (b) 輝点がランダムに観測さ れるように見えるが (c) 縦方向にうっすらと縞模様が見え始め (d) 鮮明な縞模様が現 れる が 粒子であるから 右か左のスリットを通過して 検出器に捉えられ輝点として検出され る 1 つの電子が輝点として検出されたあと 電子源から次の電子を放出する すると 前 と同じように電子は右か左のスリットを通過して 検出器に捉えられて輝点が観察される 図 1.12(a) がこの様子を表している これを続けていくと はじめのうち (b) はランダムに 輝点が観察されるように見えるが 次第に (c) 縦方向に縞のようなものが観察されるように なり しまいには (d) 明白に縦方向に縞模様が観察される これは Young の行った二重ス リット実験に酷似した結果である Young の実験では 波である光を用いたから 観察され る縞模様は 2 つのスリットから検出器に到達した波の山と谷の重ねあわせ すなわち干渉効 果として説明される しかし 外村の実験で用いたのは 粒子 であるから 電子源から放 出された 1 つの電子が 同時に 2 つのスリットを通過することなどあり得ない 電子は 1 つ であるから 右か左 どちらかのスリットを通過するのである にもかかわらず 電子は 2 つのスリットを同時に通過した波が引き起こす干渉効果と同じ現象を示すのである これ でんし はどうせい を電子の波動性という ミクロな粒子は電子に限らず波動性を示すことが知られている ミ りゅうし にじゅうせい クロな粒子が波動性をあわせせ持つことを粒子の二重性という

17 2 Schrödinger 1 Schrödinger Schrödinger Schrödinger Schrödinger Schrödinger Schrödinger Schrödinger

18 2 Schrödinger 2.1 ψ(x, t) = Ae i2π(x/λ νt) = Ae i(kx 2πνt) k = 2π λ (2.1) k λ ν E p E = p2 2m Einstein λ ν (2.2) E = hν Einstein = ω ω = 2πν (2.3) p = h λ Einstein = k k = 2π λ (2.4) ω (2.1) t ψ(x, t) t i (2.3) ψ(x, t) i t = i2πνψ(x, t) (2.5) = i( i }{{} 2πν )ψ(x, t) =ω = ωψ(x, t) (2.1) x 2 = Eψ(x, t) (2.3) (2.6) ψ(x, t) = ikψ(x, t) x (2.7) 2 ψ(x, t) x 2 = k 2 ψ(x, t) (2.8)

2.2 19 (2.8) 2 /2m (2.4) (2.2) 2 2 ψ(x, t) 2m x 2 = 2 2m k2 ψ(x, t) ψ(x, t) 2m (2.4) = Eψ(x, t) (2.2) (2.9) = p2 (2.6) (2.9) Schrödinger Schrödinger 2 2 ψ(x, t) ψ(x, t) 2m x 2 = i t (2.10) 2.2 (2.7) i (2.4) ψ(x, t) i x = kψ(x, t) = pψ(x, t) (2.4) (2.11) (2.11) ψ(x, t) i( / x) p ψ(x, t) i x ψ(x, t) = p ψ(x, t) (2.12) }{{} ψ(x, t) i( ψ(x, t)/ x) ψ(x, t) p i( / x) (2.9) ( 2 /2m)( 2 / x 2 )

20 A Planck A.1 Reileigh-Jeans Boltzmann E e βe β β = 1/k B T E E E = 0 0 = d dβ log = d dβ log = d dβ log Ee βe de e βe de [ 0 ] e βe de [ 1 β e βe ] 0 ( ) 1 β = d log(1/β) d(1/β) d(1/β) dβ = β ( 1 ) β 2 = 1 β = k BT (A.1) E E + de E ν ν ν + dν 1 L 1 λ 1/2 L 1 0 nλ 2 = L λ = 2L n (n = 1, 2, ) (A.2)

A.1 Reileigh-Jeans 21 L 1 λ = 2L, L, L/2, L/3, n n L 1 3 1 L x y z x y z x y z A.1 L ν = 1, 2, 3, 4, 5 λ x = 2L n x (n x = 1, 2, ) (A.3) λ y = 2L n y (n y = 1, 2, ) (A.4) λ z = 2L n z (n z = 1, 2, ) (A.5) ( λ ) 2 ( λ + ) 2 ( λ + ) 2 = 1 (A.6) λ x λ y λ z (A.6) (A.3) (A.4) ( ) 2 λnx + 2L ( ) 2 λny + 2L λ 2 4L 2 (n2 x + n 2 y + n 2 z) = 1 λ 2 4L 2 = n 2 x + n 2 y + n 2 z 2L λ = n 2 x + n 2 y + n 2 z ( ) 2 λnz = 1 2L (A.7) ν = c/λ (A.7) A.2 (n x, n y, n z ) 1 1 (n x, n y, n z ) = (1, 2, 3) λ = 2L/ 14

22 A Planck ν = c n 2 x + n 2 y + n 2 z 2L (A.8) 1 (n x, n y, n z ) n x = 1, 2, 3, n y = 1, 2, 3, n z = 1, 2, 3 3 3 3 = 27 3 n x n y n z (n x, n y, n z ) νν + dν r = n 2 x + n 2 y + n 2 z n x > 0, n y > 0, n z > 0 rr + dr r < n 2 x + n 2 y + n 2 z < r + dr (A.9) r r + dr 1/8 1 8 4πr2 dr (A.10) (A.8) r = n 2 x + n 2 y + n 2 z ν = cr 2L r = 2Lν c dr dν = 2L c dr = 2L c (A.10) 1 8 4πr2 dr = 1 2 π ( 2Lν c = 4πL3 ν 2 dν = c 3 dν (A.11) ) 2 ( ) 2L c dν 4πV ν2 c 3 dν V = L 3 (A.12) V 2 2 2 ν ν + dν 2 4πV ν 2 dν/c 3 V = 8π c 3 ν2 dν (A.13)

A.2 Planck 23 1 ν (A.1) (A.13) (1.12) ρ(ν, T )dν = k B T 8π c 3 ν2 dν = 8πν2 c 3 k BT dν (A.14) A.1.1 a = (a 1, a 2, a 3 ) x y z αβγ a cos α = l cos β = m cos γ = n (A.15) cos α = a 1 a cos β = a 2 a cos γ = a 3 a (A.16) l 2 + m 2 + n 2 = a2 1 a 2 + a2 2 a 2 + a2 3 a 2 = a2 1 + a 2 2 + a 2 3 a 2 = a 2 a 2 = 1 (A.17) A.2 Planck Reileigh Jeans Planck E = nhν (n = 1, 2, ) (A.18) Reileigh Jeans E = n=0 Ee βe = e βe n=0 n=0 n=0 nhνe βnhν e βnhν (A.19)

24 A Planck e βnhν = 1 + e βhν + e 2βhν + n=0 1(1 e kβhν ) = lim k 1 e βhν 1 eβhν = = 1 e βhν e βhν 1 (A.20) n=0 nhνe βnhν = d dβ = d dβ ( ) e βnhν n=0 }{{} = ( e βhν e βhν 1 ) (A.20) = hνeβhν (e βhν 1) 2 (A.21) 1 ν E E = hνe βhν (e βhν 1) 2 e βhν e βhν 1 hν = e βhν 1 (A.22) 1 ν (A.22) (A.13) ρ(ν, T )dν = hν e βhν 1 8π c 3 ν2 dν = 8πν2 c 3 hν e (hν/k BT ) 1 dν (A.23) (1.13)

25 [1] 2013 [2] 2010